解答题01 函数性质及其应用（专项训练，五大题型）（上海专用）2026年高考数学一轮复习讲练测

解答题01 函数性质及其应用 高频考点：函数的单调性、奇偶性几乎每年都会考查，常与指数函数、对数函数等基本初等函数结合命题。题型特点：解答题常以新定义问题的形式出现，要求考生理解并运用新定义，结合函数性质进行推理和计算。 综合考查：函数性质常与导数、方程、不等式等知识综合考查，体现了数学知识的综合性和灵活性。 考查形式：解答题一般设置 2-3 问，第一问通常考查函数性质的基本判断与应用，如判断函数的奇偶性、单调性等；后续问题则逐渐深入，可能涉及参数的讨论、函数最值的求解、不等式的证明等。 难度水平：整体难度适中偏上，注重对考生逻辑推理、数学抽象和数学运算等核心素养的考查。 题型一：函数的单调性 【典例1-1】已知函数的表达式（为实数）． (1)函数在区间上是严格增函数，试用函数单调性的定义求实数的取值范围； (2)设，若不等式在上有解，求的取值范围． 【详解】（1）由题意，任取、，且， 则， 因为，，所以，即， 由，得，所以， 所以，的取值范围是． （2）由，得， 因为，所以， 令，则，所以， 令，， 于是，要使原不等式在有解，当且仅当， 因为，所以图象开口向下，对称轴为直线， 因为，设：为区间的中点值，， 故当，即，即时，； 当，即，即时，． 综上，当时，；当时，． 【典例1-2】（2025·上海青浦·模拟预测）对于函数，其中. (1)若函数的图像过点，求的解集； (2)求证：当时，存在使得成等差数列. 【详解】（1）已知函数的图像过点， 所以，即，因为，所以， 则. 函数的定义域为，且在定义域上单调递增. 由可得， 解得，所以不等式的解集为. （2）当时，， . 若成等差数列，则， 即. 所以， 即， 即，则，移项可得. 对于一元二次方程，， 所以方程有实数解，即存在使得成等差数列. 1.熟记与函数单调性有关的常用结论 (1)若∀x1,x2∈I(x1≠x2),则 ①>0(或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0)⇔f(x)在区间I上单调递增. ②<0(或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0)⇔f(x)在区间I上单调递减. (2)y＝x＋的单调递增区间为(－∞,－1]和[1,＋∞),单调递减区间为(－1,0)和(0,1). (3)在区间I上,两个增函数的和仍是增函数,两个减函数的和仍是减函数. (4)函数f(g(x))的单调性与函数y＝f(u)和u＝g(x)的单调性的关系是“同增异减”. 2.解题时谨防以下易误点 (1)单调区间只能用区间表示,不能用不等式表示. (2)求函数单调区间或讨论函数的单调性时,必须先求函数的定义域. (3)一个函数的同一种单调区间用“和”或“,”连接,不能用“∪”连接. (4)“函数的单调区间是M”与“函数在区间N上单调”是两个不同的概念,显然N⊆M. 【变式1-1】设是定义在上的函数，且，当时，． (1)判断的单调性，并证明； (2)若，解不等式． 【详解】（1）设，则，因为当时， 所以， 即时，， 所以为上的减函数； （2）令，得，所以， 令，，得，所以， 则， 即， 由于， 则， 因为为上的减函数， 所以，解得：或， 故解集为． 【变式1-2】已知函数，其中常数且. (1)判断上述函数在区间上的单调性，并用函数单调性定义证明你的结论； (2)若，利用上述函数在区间上的单调性，讨论和的大小关系，并述理由. 【详解】（1）在区间上单调递减， 证明：当时，任取， 则， 因为，则，所以， 即，即，所以此时在区间上单调递减， 当时，任取， 因为，则，所以， 即，即，所以此时在区间上单调递减， 综上所述，在区间上单调递减， （2）当时，时，函数在上单调递增， 当时，函数在上单调递增， 由（1）在上单调递减，在上单调递增， 当时，，， 当时，，， ， ，即， ， 当时，，，，且， 所以， 综上，当时，， 当且时，. 【变式1-3】已知函数. (1)求函数的值域； (2)判断并证明函数的单调性； (3)已知，求关于的不等式的解集. 【详解】（1）令，则， ，，即，解得：， 即的值域为. （2）为定义在上的增函数. 证明如下： 任取，且， 则； ，，又，，， 为定义在上的增函数. （3）为增函数且， 由得：， 即； 当时，不等式为，解得：； 当时，令，解得：，， 则当，即时，不等式的解为； 当，即时，不等式的解为； 当，即时，不等式的解为； 综上所述：当时，不等式解集为；当时，不等式解集为；当时，不等式解集为；当时，不等式解集为. 【变式1-4】已知函数(常数)． (1)若，且，求的值； (2)若，用函数单调性定义证明：函数在上是严格增函数； (3)当为奇函数时，存在使得不等式成立，求实数的取值范围． 【详解】（1）由，可得， 设可得即，解得， 所以，即. （2）设且， ， 由可得即， 由可得，故， 又，所以， 所以即， 所以函数在上是严格增函数. （3）因为的定义域为， 当为奇函数时，由解得，所以， 检验：，满足题意， 由（2）可知当时在上是严格增函数，所以， 则原不等式可转化为存在使得不等式成立， 只需的最小值小于0即可， 因为一元二次函数的开口向上，对称轴为， ①即时，当时，函数取得最小值，解得， 所以； ②当即时，当时，函数取得最小值，解得或， 所以； ③当即时，当时，函数取得最小值，解得， 所以； 综上的取值范围. 题型二：函数的奇偶性 【典例2-1】已知函数. (1)判断并证明函数的奇偶性. (2)若，求角.（用反三角符号表示） 【详解】（1）为偶函数，证明如下： 的定义域为，关于原点对称，， ，为偶函数. （2），当， ， 是偶函数， 【典例2-2】已知函数，其中. (1)求证：是奇函数； (2)若关于的方程在区间上有解，求实数的取值范围. 【详解】（1）函数的定义域为 ， 在中任取一个实数，都有，并且. 因此，是奇函数. （2）等价于即在上有解. 记，因为在上为严格减函数， 所以，，， 故的值域为，因此，实数的取值范围为. 1.理解函数奇偶性的常用结论 (1)①如果一个奇函数f(x)在原点处有定义,即f(0)有意义,那么一定有f(0)＝0. ②如果函数f(x)是偶函数,那么f(x)＝f(|x|). (2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性. 2.灵活应用奇函数的两个特殊性质 (1)若f(x)为奇函数,则f(x)＋f(－x)＝0.特别地,若f(x)存在最值,则f(x)min＋f(x)max＝0. (2)若F(x)＝f(x)＋c,f(x)为奇函数,则F(－x)＋F(x)＝2c.特别地,若F(x)存在最值,则F(x)min＋F(x)max＝2c. 3.谨防两个易误点 (1)求奇函数的解析式时,忽略x＝0会造成解析式缺失,特别地,奇函数要么在x＝0处没有定义,要么在x＝0处的函数值为0,即f(0)＝0. (2)解函数的奇偶性与单调性相结合的题目时,不要忽视自变量的取值在定义域内这一隐含条件. 【变式2-1】设，函数. (1)求的值，使得为奇函数； (2)若，求满足的实数的取值范围. 【详解】（1）由为奇函数，可知， 即，解得， 当时，对一切非零实数恒成立， 故时，为奇函数. （2）由，可得，解得， 所以 解得：，所以满足的实数的取值范围是. 【变式2-2】已知，，． (1)若，，且函数为奇函数，求的值． (2)若，且存在，使得成立，求的取值范围． 【详解】（1）设， 因为，，， 所以，因为函数为奇函数， 所以，即， 所以，又， 所以 （2）因为，所以， 所以不等式，可化为， 所以，所以， 由已知存在，使得成立， 所以，其中， 因为函数在上单调递减， 所以函数在的最小值为， 所以， 所以的取值范围为． 【变式2-3】已知函数. (1)求证：为偶函数； (2)关于的不等式有解，求关于的不等式的解集. 【详解】（1）由得，所以的定义域为关于原点对称， ，所以为偶函数. （2），是偶函数，定义域为. 若时，在上单调递减，在上单调递增， 此时有解等价于有满足的解， 当时，不等式不成立， 当时，由得有解， 由于，时取等号， 所以, 所以，与前提矛盾； 当时，在上单调递增，在上单调递减， 此时，若，则， 当时，不等式成立， 当时，由得有的的解， 但当时， 所以有解总是成立， 所以. 于是由得， 解得，所以解集为. 题型三：函数的零点 【典例3-1】已知函数. (1)当时，求函数的零点； (2)若不等式在时恒成立，求实数k的取值范围. 【详解】（1）由题设，令，则， ∴，可得或（舍）， ∴，故的零点为. （2）由，则，即在上恒成立， ∵在上均递减， ∴在上递减，则， ∴k的取值范围为. 【典例3-2】已知函数，其中. (1)若不等式的解集是，求m的值； (2)若函数在区间上有且仅有一个零点，求m的取值范围. 【详解】（1）的解集是，得到的解集是，所以， ，所以， （2）令，因为，所以，当时，， 即有，因为函数在区间上有且仅有一个零点，令，根据对勾函数的性质，可得，因为与有且仅有一个交点，根据对勾函数的图像性质，得或，进而可得答案为： 【典例3-3】若函数满足，称为的不动点. (1)求函数的不动点； (2)设.求证：恰有一个不动点； (3)证明：函数有唯一不动点的充分非必要条件是函数有唯一不动点. 【详解】（1）由题意,得,解得,即不动点为. （2）当时,,故0为函数的一个不动点， 当时,求的解,即求的解. 构造函数，求导得， 当时,，则, 当时,,所以在上严格递减,在上严格递增, 故,即对任意恒成立, 即对任意恒成立. 综上所述,函数恰有一个不动点. （3）设,则函数有唯一不动点, 由可得, 则函数的不动点不唯一，必要性不成立， 另一方面，先证不动点是存在的， 不妨设是的唯一不动点,即， 令,则,那么,, 而,故,这说明是的不动点， 由只有一个不动点知,， 从而,这说明是的不动点，存在性得证. 再证唯一性，若还有另一个不动点,即, 则,这说明还有另一个不动点,与题设矛盾. 综上所述,函数有唯一不动点的充分非必要条件是函数有唯一不动点. 1.谨记三个相关性质 (1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数,则f(x)至多有一个零点.函数的零点不是一个“点”,而是方程f(x)＝0的实数解. (2)图象连续不断的函数,其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号. (3)连续不断的函数图象通过零点时,函数值可能变号,也可能不变号. 2.谨防两个易错易混 (1)连续函数f(x)在区间[a,b]上,若满足f(a)f(b)<0,则在区间[a,b]上至少有一个零点,反之不一定. (2)已知二次函数的零点求参数时,不要忽略对二次项系数的讨论. 【变式3-1】已知，函数. (1)若函数的值域为，求的取值范围； (2)若关于的方程的解集中恰好只有一个元素，求的取值范围. 【详解】（1）因为函数的值域为， 所以的值域为， 故能够取到一切大于0的实数， 当时，，不符合题意； 当时, 不符合题意， 当时, 根据二次函数的图象和性质可得， 解得， 综上可得，的取值范围是. （2）由题意得关于的方程的解集中恰好只有一个元素， 所以的解集中恰好只有一个元素， 即且的解集中恰好只有一个元素， 所以,即， ①当时，解得，此时，满足题意， ②当时，，此时也满足题意， ③当且时，两根为,， 当时，由得， 当时，由得， 因为和只能取一个值， 所以只能取，故且，解得. 综上所述，的取值范围是. 【变式3-2】已知，，. (1)若，，写出曲线的一条水平切线的方程； (2)若，使得，，，形成等差数列，证明：； (3)若存在，使得函数有唯一零点，求的取值范围． 【详解】（1）当，时，，求导得， 由，即，得，此时， 所以所求水平切线的方程为. （2）依题意，只需证明：， 而，，，成等差数列，则， 即， 此时，若，则，从而有， 又，且由知等号不成立，因此，与矛盾， 于是，同理， 所以. （3）依题意，， 当时，，函数在上严格递增， 从而当时，有唯一零点， 当时，，其中，而函数在上严格递增， 则当时，，而当时，， 于是函数在区间上严格递减，在区间上严格递增， 又，因此当且时，； 当且时，，而， 从而由零点存在定理知，连续函数在区间和上各有一个零点，即函数不可能有唯一零点， 所以的取值范围是. 【变式3-3】已知集合{（其中是虚数单位）}，定义：，. (1)计算的值； (2)记，若，且满足，求的最大值； (3)若，且满足，，记，求证：当时，函数必存在唯一的零点，且当时，. 【详解】（1）. （2）设， 由，得， 所以 ， 当，时等号成立，所以的最大值为4. （3）由条件可知， 所以，设， 当时，和是单调递增函数， 则在上单调递增， 又，， 所以在上有唯一的零点，即在上有唯一的零点， 当时，是单调递增函数， 得，先增后减，且， 因此，即在上没有零点， 当时，是单调递增函数， 则，而， 因此，即在上没有零点， 综上，当时, 必存在唯一的零点， 当时，， 且得， 所以, 其中， 此时是单调递增函数，所以， 从而， 所以当时，. 题型四：函数与方程的综合应用 【典例4-1】两点已知函数是定义域为R的偶函数. (1)求实数a的值； (2)已知关于x的方程在上有解，求实数k的取值范围. 【详解】（1）由偶函数定义知：， 即，. （2）由（1）知， ，即， 即，令，则， 则方程在时有解， 则，令，，则. 【典例4-2】已知 (1)当时， 判断函数的奇偶性; (2)若函数的图像经过点， 且函数在上有两个不相等的零点，求实数的值以及实数的取值范围. 【详解】（1）当时，， 因为， 当时，， 所以函数既不是奇函数也不是偶函数； 当时，，函数是偶函数； （2）因为函数的图像经过点， 所以，则，且， 所以， 令， 则， 因为函数在上有两个不相等的零点， 所以且，解得， 综上，，且. 【变式4-1】设函数在区间D上有定义，若对任意，都存在使得：，则称函数在区间D上具有性质 (1)判断函数在R上是否具有性质，并说明理由; (2)若函数在区间上具有性质，求实数a的取值范围; (3)设，若存在唯一的实数m，使得函数在上具有性质，求t的值. 【详解】（1）指数函数在R上不具有性质， 理由如下：指数函数的定义域为R， 对于，，因为，， 所以不存在，满足， 因此函数在R上不具有性质； （2）因为函数在区间上具有性质， 所以对于任意，都存在， 使得，即， 因为，所以， 得； （3）设， 若函数在上具有性质， 则对任意，都存在，使得， 即，因为， 所以，所以， ①当时，， 因为，所以且， 即，因为m唯一， 所以，得 ②当时， 因为，所以且， 即，因为m唯一，所以， 得，综上，t的值为或 【变式4-2】对于函数，若其定义域内存在非零实数满足，则称为“局部奇函数”. (1)已知函数，判断是否为“局部奇函数”； (2)若幂函数使得在上是“局部奇函数”，求m的取值范围； (3)若整数使得是定义在上的“局部奇函数”，求m的取值集合. 【详解】（1）因为，定义域为，则， ， 因为恒成立，从而， 故在其定义域内不存在非零实数使得， 即不存在使得， 所以不是“局部奇函数”； （2）因为是幂函数，则，所以，， 所以，， 因为在上是“局部奇函数”， 所以在上存在非零实数解， 所以在上存在非零实数解， 则，且， 令，且，则， 因为对勾函数在上单调递减，在上单调递增， 又，，， 所以，当且时，，即， 故； （3）由定义可得，在上存在非零实数解， 则在上存在非零实数解， 即在上存在非零实数解， 所以(在上存在非零实数解， 令， 因为，当且仅当，即时取等号， 又，所以， 则方程在上有实数解， 令，对称轴为， 当时，则，所以，故； 当时，则，即，故， 综上，， 又为整数，则， 所以的取值集合为. 【变式4-3】对于函数，若存在实数，使得成立，则称函数存在“漂移点”. (1)判断函数是否存在“漂移点”？并说明理由； (2)求证：函数在上存在“漂移点”； (3)若函数在上存在“漂移点”，求实数的取值范围. 【详解】（1）假设函数有“飘移点” ，则有解， 即，由于方程无实根，与题设矛盾，所以函数没有飘移点． （2）令 ， 所以， ．所以， 又在连续， 所以在至少有一个实根， 即函数在上存在漂移点； （3）若在上有飘移点， 所以成立，即，， 整理得， 由，，则． 则实数的取值集合是． 题型五：函数模型及其应用 【典例5-1】某矿物质有A、B两种冶炼方法，若使用A方法，所需费用（单位：千元）与矿物质的重量（单位：吨）的平方成正比，若使用B方法，所需费用（单位：千元）与矿物质的重量（单位：吨）成正比，已知用A方法冶炼2吨、用B方法冶炼1吨所需的总费用为14千元，用A方法冶炼1吨、用B方法冶炼2吨所需的总费用也是14千元，现有该矿物质共m吨（），计划用A方法冶炼x吨（），剩余部分用B方法冶炼，所需总费用为y千元. (1)建立y与x的函数关系： (2)求总费用y的最小值，并说明其实际意义． 【详解】（1）若分别表示用A、B方法的费用，表示A、B方法使用矿物重量， 所以，可设，， 由题意，， 所以，所需总费用，且. （2）由（1）知：，， 当时，时总费用y的最小值，即全部用方法A冶炼费用最小； 当时，时总费用y的最小值，即1.5吨用方法A，剩余的用方法B，费用最小. 【典例5-2】某公司按销售额给销售员提成作奖金，每月的基本销售额为20万元，超额中的第一个5万元（含5万元以下），按超额部分的提成作奖金；超额中的第二个5万元，按超额部分的 提成作奖金；……后每增加5万元，其提成比例也增加一个．如销售员某月销售额为27万元，则按照合约，他可得奖金为元．试求： (1)销售员某月获得奖金7200元，则他该月的销售额为多少？ (2)若某销售员、月份的总销售额为60万元，且两月都完成基本销售额，那么他这两个月的总奖金的最大、最小值分别是多少？ 【详解】（1）超额第一个5万元可得奖金1000元，超额第二个5万元可得奖金2000元，超额第三个5元可得奖金3000元，超额第四个5万元可得奖金4000元， 所以当销售员的销售额超额部分为15万元时，可得奖金3000元，当销售员的销售额超额部分为20万元时，可得奖金7000元， 因为销售员某月获得奖金7200元， 所以销售员该月的销售超额部分在15万元到20万元之间， 设超额部分比15万多元，提成比例为， 则，可得， 故他该月的销售额为万元． （2）设两个月的总奖金为，某销售员月份的销售额为万元，则销售员月份的销售额为万元， 则， ①当时，则， ， ②当时，则， ， ③当时， 则 ， ④当时， 则 ， 综上所述，，作出图像，    由图可知，当，即7月份销售额为30万元，奖金最低为0.6万元； 当或时，即7月份销售额为20或40万元，奖金最高为1万元． 【典例5-3】某公司实行了年薪制工资结构改革．该公司从2023年起，每人的工资由三个项目构成，并按下表规定实施： 项目 金额[万元（人·年）] 性质与计算方法 基础工资 2022年基础工资为1万元 考虑到物价因素，决定从2023年起每年递增（年入职年限无关，2023年基本工资为万元） 房屋补贴 0.08万元 从2023年起，按职工到公司年限计算，每年递增0.08万元 医疗费 0.32万元 固定不变 如果该公司2023年有5位职工，计划从2024年起每年新招5名职工．若2023年算第一年 (1)求第三年公司付给职工的工资总额. (2)将第年该公司付给职工工资总额（万元）表示成年限的函数； (3)若公司每年发给职工工资总额中，房屋补贴和医疗费之和总是不会超过基础工资总额的，求的最小值． 【详解】（1）依题意第三年共有职工人， 基础工资为万， 房屋补贴为万， 医疗费为万， 所以第三年公司付给职工的工资总额为万. （2）设第年共有个职工，那么基础工资总额为万元 医疗总额为：万元， 房屋补贴为： 万元， 所以，. （3）依题意， 所以，令， 令，即，解得， 又且，，，所以当或时取得最大值， 所以，则，则的最小值为. (1)理解三个术语：“直线上升”是匀速增长,其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快,其增长量成倍增加,常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢,其增长速度缓慢. (2)充分理解题意,并熟练掌握几种常见函数的图象和性质是解题的关键. (3)解题时,易忽视实际问题中自变量的取值范围,需合理确定函数的定义域,必须验证数学结果对实际问题的合理性. 【变式5-1】（24-25高三上·上海·期中）茶是中华民族的举国之饮，发于神农，闻于鲁周公，始于唐朝，兴于宋代，中国茶文化起源久远，历史悠久，文化底蕴深厚，是我国文化中的一朵瑰宝！我国人民历来就有“客来敬茶”的习惯，这充分反映出中华民族的文明和礼貌.现代研究成果显示，茶水的口感与水的温度有关.经实验表明，用的水泡制，待茶水温度降至时，饮用口感最佳.东雅中学利用课余时间开设了活动探究课《中国茶文化》，某实验小组为探究室温下刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔1min测量一次茶水温度，得到茶水温度随时间变化的数据如下表： 时间 0 1 2 3 4 5 水温 100 91 82.9 78.37 72.53 67.27 设茶水温度从经过后温度变为，现给出以下三种函数模型： ①； ②； ③. (1)从上述三种函数模型中选出最符合上述实验的函数模型，并根据前3组数据求出该解析式； (2)根据（1）中所求函数模型，求刚泡好的茶达到最佳饮用口感的放置时间（精确到0.01）（参考数据：）； (3)考虑到茶水温度降至室温就不能再降的事实，求进行实验时的室温约为多少. 【详解】（1）由表格数据知：函数单调递减且递减速度逐渐变慢，故模型①③不符合， 选模型②，则，即，可得， 所以且. （2）令，则. 所以泡好的茶达到最佳饮用口感的放置时间为. （3）由，即，所以进行实验时的室温约为10℃. 【变式5-2】（24-25高三上·上海·期中）为研究一种浮游植物的生长规律，某科研团队在一个面积为8000平方米且保持各项指标均稳定的实验池塘中开展研究，一开始在此池塘投放了一定覆盖面积的该植物，观察实验得到该植物覆盖面积（单位：平方米）与所经过月数的下列数据： 0 2 3 4 4 25 63 156 为了描述该植物覆盖面积（单位：平方米）与经过的月数的关系，现有以下三种函数模型可供选择：①；②；③. (1)试判断以上哪个函数模型更适合植物覆盖面积与经过的月数的关系，并求出该模型的函数解析式： (2)约经过几个月，该植物能覆盖整个池塘？ (3)经过4个月的研究，在掌握该植物生长规律后，科研小组开始改善池塘生态，现有两种方案： 方案一：加入能抑制该植物生长的某种物质，使其覆盖面积与经过的月数的关系变为； 方案二：在4月底集中打捞一次，使其覆盖面积减少到4平方米，植物增长速度不变. 请比较这两种方案的植物覆盖面积增长状况，并说明理由. 【详解】（1）根据图表可知随x增长函数值增长越来越快， 而函数刻画的是增长速度越来越快的变化规律， 函数刻画的是增长速度越来越慢的变化规律，不符合题意； 若选择函数模型，则有，解得， 即，， 当时，，当时，， 所给数据均比较接近满足函数； 若选择函数模型，显然， 且，解得，即， 而当时，，与给定的数据相差太大，不符合题意， 所以函数模型更适合； （2）由（1）知，，， 设约经过个月，此生物能覆盖整个池塘， 则，解得 . 所以约经过9个月此生物能覆盖整个池塘； （3）依题意，方案二的函数模型为， 当时， 方案二的函数模型对应的值依次为， 方案一的函数模型对应的值依次为， 方案一的增长速度比方案二的小，方案二在第5到9月生物量较方案一小，10月开始方案一生物量较小， 方案二再经过13个月此生物能覆盖整个池塘， 由，解得，方案一再经过15个月此生物能覆盖整个池塘. 【变式5-3】今年是中国“一带一路”但议提出十周年，期间中国与共建国家共同打造政治互信、经济融合的利益共同体，中国对外投资大幅增加.某中国企业抓住机遇，准备到某地建立原材料加工厂.此地有三处原材料采集点，分别位于矩形的顶点A、B，及的中点处，已知，.现要在矩形的区域内（不含边界），与A、B等距离的一点O处建厂，并修路、、，以便从采集点向工厂运输原材料.设修路的总长为.    (1)按下列要求写出函数关系式： ①设，将表示成的函数关系式； ②设，将表示成的函数关系式. (2)请你选用（1）中的一个函数关系式，确定建厂的位置，使三条路总长度最短. 【详解】（1）设是的中点，依题意可知三点共线，且. ①设，则 . ②设，则 .    （2）若选①，，则， 所以函数在区间，函数单调递减；在区间，函数单调递增. 所以当时，函数取得极小值也即是最小值， 此时. 若选②，， ，在上单调递增， 令解得或（舍去）， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 所以当时，函数取得极小值也即是最小值. 1．（2025·上海宝山·二模）已知函数，（且） (1)若，求方程的解； (2)已知，若关于的不等式在区间上恒成立，求实数的最大值. 【详解】（1）即解得，于是 ， 方程即为， 令，则有即， 求得（舍负） ， 所以方程的解为 . （2）由已知得， 整理得 ， 因为，所以 ， 从而对任意恒成立， 因为（当且仅当取等号）， 所以， 即实数的最大值为. 2．（2025·上海金山·二模）已知函数是定义在上的奇函数，当时，. (1)求的值； (2)若，求函数的值域. 【详解】（1）因为函数是定义在上的奇函数， 所以， 所以； （2）， 令，问题等价于求的值域， 函数图象开口向上，对称轴为直线， ， 函数的值域为． 3．（2025·上海金山·三模）如图所示是函数的图象，由指数函数与幂函数“拼接”而成． (1)已知，求的取值范围； (2)若方程存在实数解，求的取值范围． 【详解】（1）由题意可得，解得，故. 因为函数在上严格减， 由可得，解得， 因此，实数的取值范围是. （2）因为方程存在实数解，即方程存在实数解， 则的取值范围即为函数的值域， 由题图可知，函数的值域为，故函数的值域为， 所以，即，解得或， 因此，实数的取值范围是. 4．（2025·上海青浦·模拟预测）对于函数，其中. (1)若函数的图像过点，求的解集； (2)求证：当时，存在使得成等差数列. 【详解】（1）已知函数的图像过点， 所以，即，因为，所以， 则. 函数的定义域为，且在定义域上单调递增. 由可得， 解得，所以不等式的解集为. （2）当时，， . 若成等差数列，则， 即. 所以， 即， 即，则，移项可得. 对于一元二次方程，， 所以方程有实数解，即存在使得成等差数列. 5．（2025·上海杨浦·二模）已知函数是定义在上的偶函数. (1)当时，，求时，的表达式； (2)当时，，若实数满足，求的取值范围. 【详解】（1）因为函数是定义在上的偶函数，即 当时，， 所以， 所以. （2）当时，， 由幂函数和指数函数的单调性可得为递增函数. 又函数为偶函数， 所以， 两边平方后展开可得，即， 解得. 6．（2025·上海浦东新·三模）已知. (1)数列的前项和为，点均在函数的图象上，求数列的通项公式； (2)设；当时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【详解】（1）由题意，， 当时，， 当时，， 则. （2）， 设，当时，， 恒成立， 则， 因为，所以. 7．（2025·上海·三模）设且，已知函数． (1)判断是否为偶函数，并说明理由； (2)令函数，解关于的不等式． 【详解】（1）是偶函数. 理由如下： 因为， 且，即定义域为，定义域关于原点对称. ， 是偶函数. （2）为偶函数， 令. 当时，在上单调递增，在区间上单调递减， 由，得且，解得. 当时，在上单调递减，在区间上单调递增， 由，得且，解得. 综上所述：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 8．（2025·上海浦东新·三模）已知（且）． (1)若，解方程，求的值； (2)若，求的取值范围． 【详解】（1）当时，则，因为， 所以，化简可得， 即，化简得， 所以，所以， 解得或，即或； （2）当时，函数在上单调递减，若， 则，解得； 当，函数在上单调递增，若， 则，解得， 综上所述：的取值范围为． 9．（2025·上海·三模）已知函数， (1)当时，解不等式； (2)已知函数为偶函数，且函数在区间上有零点，求正实数的取值范围． 【详解】（1）当时，函数， 函数是和都是R上的减函数，所以为减函数， 所以不等式等价于， 解得或， 即原不等式解集为． （2）由于是偶函数，则， 代入化简得，解得， 令，，则， 所以在上有解，， 因为函数在上严格增，所以， 解得，故的取值范围为． 10．（2025·上海嘉定·二模）已知函数，其中，定义集合．对于点，定义集合．若对任意，均有，则称点P为平衡点． (1)当时，判断点是否为平衡点； (2)当时，求实数b的取值范围，使得点是平衡点； (3)求所有实数a和b，使得点是平衡点． 【详解】（1）由题设，而， 当，则，即，故， 所以点是平衡点； （2）由题设，若是平衡点，则，即， 此时恒成立，则； （3）由题意，对于，都有， 当，即时，在上单调递增，则， 所以，易知，显然不满足前提； 当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 则，故，则， 所以时，； 当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 则，故，则， 所以时，； 当，即时，在上单调递减，则， 所以，易知，显然不满足前提； 综上，时，；时，. 1．（2020·上海·高考真题）已知：，，且， （1）若，求的取值范围； （2）已知时，，求为多少时，可以取得最大值，并求出该最大值. 【详解】（1）当时，,即,； 当时，,此时无解. 综上所述，； （2）当时，,解得, 当时， 当时，, 当 时取得最大值. 综上所述当 时取得最大值，. 2．（2023·上海·高考真题）函数 (1)当时，是否存在实数c，使得为奇函数； (2)若函数过点，且函数图像与轴负半轴有两个不同交点，求实数a的取值范围. 【详解】（1）当时，，定义域为， 假设为奇函数，则， 而，则，此时无实数满足条件， 所以不存在实数，使得函数为奇函数； （2）图像经过点，则代入得，解得， 所以，定义域为， 令，则的图像与轴负半轴有两个交点， 所以，即，解得， 若，即是方程的解， 则代入可得，解得或. 由题意得，所以实数的取值范团且. 3．（2024·上海·高考真题）若． (1)过，求的解集； (2)存在使得成等差数列，求的取值范围． 【详解】（1）因为的图象过，故，故即（负的舍去）， 而在上为增函数，故， 故即， 故的解集为. （2）因为存在使得成等差数列， 故有解，故， 因为，故，故在上有解， 由在上有解， 令，而在上的值域为， 故即. 4．（2021·上海·高考真题）已知函数. （1）若，求函数的定义域； （2）若，若有2个不同实数根，求的取值范围； （3）是否存在实数，使得函数在定义域内具有单调性？若存在，求出的取值范围. 【详解】解：（1），∴，解得； 所以函数的定义域为. （2）由题知有2个不同实数根， 所以，， 设，∴有2个不同实数根， ∴整理得，有2个不同实数根，同时， ∴； （3）当，，在递减， 此时需满足，即时，函数在上递减； 当，，在上递减， ∵， ∴，即当时，函数在上递减； 综上，当时，函数在定义域上连续，且单调递减. 所以的取值范围是 5．（2025·上海·高考真题）已知函数的定义域为．对于正实数a，定义集合． (1)若，判断是否是中的元素，请说明理由； (2)若，求a的取值范围； (3)若是偶函数，当时，，且对任意，均有．写出，解析式，并证明：对任意实数c，函数在上至多有9个零点． 【详解】（1）（1），，则不是中的元素. （2）法一：因为，则存在实数使得，且， 当时，，其在上严格单调递增， 当时，，其在上也严格单调递增， 则，则， 令，解得，则， 则. 法二：作出该函数图象，则由题意知直线与该函数有两个交点， 由图知，假设交点分别为，， 联立方程组得 （3）（3）对任意，因为其是偶函数， 则，而， 所以， 所以，因为，则， 所以，所以， 所以当时，，，则， ，则， 而，， 则，则， 所以当时，，而为偶函数，画出函数图象如下： 其中，但其对应的值均未知. 首先说明， 若，则，易知此时， 则，所以，而时，， 所以，与矛盾，所以，即， 令，则， 当时，即使让，此时最多7个零点， 当时，若，此时有5个零点， 故此时最多5个零点； 当时，若，此时有5个零点， 故此时最多5个零点； 当时，若，此时有3个零点， 若，则，易知此时， 则，所以，而时，， 所以，与矛盾，所以， 则最多在之间取得6个零点， 以及在处成为零点，故不超过9个零点. 综上，零点不超过9个. 9 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$ 解答题01 函数性质及其应用 高频考点：函数的单调性、奇偶性几乎每年都会考查，常与指数函数、对数函数等基本初等函数结合命题。题型特点：解答题常以新定义问题的形式出现，要求考生理解并运用新定义，结合函数性质进行推理和计算。 综合考查：函数性质常与导数、方程、不等式等知识综合考查，体现了数学知识的综合性和灵活性。 考查形式：解答题一般设置 2-3 问，第一问通常考查函数性质的基本判断与应用，如判断函数的奇偶性、单调性等；后续问题则逐渐深入，可能涉及参数的讨论、函数最值的求解、不等式的证明等。 难度水平：整体难度适中偏上，注重对考生逻辑推理、数学抽象和数学运算等核心素养的考查。 题型一：函数的单调性 【典例1-1】已知函数的表达式（为实数）． (1)函数在区间上是严格增函数，试用函数单调性的定义求实数的取值范围； (2)设，若不等式在上有解，求的取值范围． 【典例1-2】（2025·上海青浦·模拟预测）对于函数，其中. (1)若函数的图像过点，求的解集； (2)求证：当时，存在使得成等差数列. 1.熟记与函数单调性有关的常用结论 (1)若∀x1,x2∈I(x1≠x2),则 ①>0(或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0)⇔f(x)在区间I上单调递增. ②<0(或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0)⇔f(x)在区间I上单调递减. (2)y＝x＋的单调递增区间为(－∞,－1]和[1,＋∞),单调递减区间为(－1,0)和(0,1). (3)在区间I上,两个增函数的和仍是增函数,两个减函数的和仍是减函数. (4)函数f(g(x))的单调性与函数y＝f(u)和u＝g(x)的单调性的关系是“同增异减”. 2.解题时谨防以下易误点 (1)单调区间只能用区间表示,不能用不等式表示. (2)求函数单调区间或讨论函数的单调性时,必须先求函数的定义域. (3)一个函数的同一种单调区间用“和”或“,”连接,不能用“∪”连接. (4)“函数的单调区间是M”与“函数在区间N上单调”是两个不同的概念,显然N⊆M. 【变式1-1】设是定义在上的函数，且，当时，． (1)判断的单调性，并证明； (2)若，解不等式． 【变式1-2】已知函数，其中常数且. (1)判断上述函数在区间上的单调性，并用函数单调性定义证明你的结论； (2)若，利用上述函数在区间上的单调性，讨论和的大小关系，并述理由. 【变式1-3】已知函数. (1)求函数的值域； (2)判断并证明函数的单调性； (3)已知，求关于的不等式的解集. 【变式1-4】已知函数(常数)． (1)若，且，求的值； (2)若，用函数单调性定义证明：函数在上是严格增函数； (3)当为奇函数时，存在使得不等式成立，求实数的取值范围． 题型二：函数的奇偶性 【典例2-1】已知函数. (1)判断并证明函数的奇偶性. (2)若，求角.（用反三角符号表示） 【典例2-2】已知函数，其中. (1)求证：是奇函数； (2)若关于的方程在区间上有解，求实数的取值范围. 1.理解函数奇偶性的常用结论 (1)①如果一个奇函数f(x)在原点处有定义,即f(0)有意义,那么一定有f(0)＝0. ②如果函数f(x)是偶函数,那么f(x)＝f(|x|). (2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性. 2.灵活应用奇函数的两个特殊性质 (1)若f(x)为奇函数,则f(x)＋f(－x)＝0.特别地,若f(x)存在最值,则f(x)min＋f(x)max＝0. (2)若F(x)＝f(x)＋c,f(x)为奇函数,则F(－x)＋F(x)＝2c.特别地,若F(x)存在最值,则F(x)min＋F(x)max＝2c. 3.谨防两个易误点 (1)求奇函数的解析式时,忽略x＝0会造成解析式缺失,特别地,奇函数要么在x＝0处没有定义,要么在x＝0处的函数值为0,即f(0)＝0. (2)解函数的奇偶性与单调性相结合的题目时,不要忽视自变量的取值在定义域内这一隐含条件. 【变式2-1】设，函数. (1)求的值，使得为奇函数； (2)若，求满足的实数的取值范围. 【变式2-2】已知，，． (1)若，，且函数为奇函数，求的值． (2)若，且存在，使得成立，求的取值范围． 【变式2-3】已知函数. (1)求证：为偶函数； (2)关于的不等式有解，求关于的不等式的解集. 题型三：函数的零点 【典例3-1】已知函数. (1)当时，求函数的零点； (2)若不等式在时恒成立，求实数k的取值范围. 【典例3-2】已知函数，其中. (1)若不等式的解集是，求m的值； (2)若函数在区间上有且仅有一个零点，求m的取值范围. 1.谨记三个相关性质 (1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数,则f(x)至多有一个零点.函数的零点不是一个“点”,而是方程f(x)＝0的实数解. (2)图象连续不断的函数,其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号. (3)连续不断的函数图象通过零点时,函数值可能变号,也可能不变号. 2.谨防两个易错易混 (1)连续函数f(x)在区间[a,b]上,若满足f(a)f(b)<0,则在区间[a,b]上至少有一个零点,反之不一定. (2)已知二次函数的零点求参数时,不要忽略对二次项系数的讨论. 【变式3-1】已知，函数. (1)若函数的值域为，求的取值范围； (2)若关于的方程的解集中恰好只有一个元素，求的取值范围. 【变式3-2】已知，，. (1)若，，写出曲线的一条水平切线的方程； (2)若，使得，，，形成等差数列，证明：； (3)若存在，使得函数有唯一零点，求的取值范围． 【变式3-3】已知集合{（其中是虚数单位）}，定义：，. (1)计算的值； (2)记，若，且满足，求的最大值； (3)若，且满足，，记，求证：当时，函数必存在唯一的零点，且当时，. 题型四：函数与方程的综合应用 【典例4-1】两点已知函数是定义域为R的偶函数. (1)求实数a的值； (2)已知关于x的方程在上有解，求实数k的取值范围. 【典例4-2】已知 (1)当时， 判断函数的奇偶性; (2)若函数的图像经过点， 且函数在上有两个不相等的零点，求实数的值以及实数的取值范围. 【变式4-1】设函数在区间D上有定义，若对任意，都存在使得：，则称函数在区间D上具有性质 (1)判断函数在R上是否具有性质，并说明理由; (2)若函数在区间上具有性质，求实数a的取值范围; (3)设，若存在唯一的实数m，使得函数在上具有性质，求t的值. 【变式4-2】对于函数，若其定义域内存在非零实数满足，则称为“局部奇函数”. (1)已知函数，判断是否为“局部奇函数”； (2)若幂函数使得在上是“局部奇函数”，求m的取值范围； (3)若整数使得是定义在上的“局部奇函数”，求m的取值集合. 【变式4-3】对于函数，若存在实数，使得成立，则称函数存在“漂移点”. (1)判断函数是否存在“漂移点”？并说明理由； (2)求证：函数在上存在“漂移点”； (3)若函数在上存在“漂移点”，求实数的取值范围. 题型五：函数模型及其应用 【典例5-1】某矿物质有A、B两种冶炼方法，若使用A方法，所需费用（单位：千元）与矿物质的重量（单位：吨）的平方成正比，若使用B方法，所需费用（单位：千元）与矿物质的重量（单位：吨）成正比，已知用A方法冶炼2吨、用B方法冶炼1吨所需的总费用为14千元，用A方法冶炼1吨、用B方法冶炼2吨所需的总费用也是14千元，现有该矿物质共m吨（），计划用A方法冶炼x吨（），剩余部分用B方法冶炼，所需总费用为y千元. (1)建立y与x的函数关系： (2)求总费用y的最小值，并说明其实际意义． 【典例5-2】某公司按销售额给销售员提成作奖金，每月的基本销售额为20万元，超额中的第一个5万元（含5万元以下），按超额部分的提成作奖金；超额中的第二个5万元，按超额部分的 提成作奖金；……后每增加5万元，其提成比例也增加一个．如销售员某月销售额为27万元，则按照合约，他可得奖金为元．试求： (1)销售员某月获得奖金7200元，则他该月的销售额为多少？ (2)若某销售员、月份的总销售额为60万元，且两月都完成基本销售额，那么他这两个月的总奖金的最大、最小值分别是多少？ 【典例5-3】某公司实行了年薪制工资结构改革．该公司从2023年起，每人的工资由三个项目构成，并按下表规定实施： 项目 金额[万元（人·年）] 性质与计算方法 基础工资 2022年基础工资为1万元 考虑到物价因素，决定从2023年起每年递增（年入职年限无关，2023年基本工资为万元） 房屋补贴 0.08万元 从2023年起，按职工到公司年限计算，每年递增0.08万元 医疗费 0.32万元 固定不变 如果该公司2023年有5位职工，计划从2024年起每年新招5名职工．若2023年算第一年 (1)求第三年公司付给职工的工资总额. (2)将第年该公司付给职工工资总额（万元）表示成年限的函数； (3)若公司每年发给职工工资总额中，房屋补贴和医疗费之和总是不会超过基础工资总额的，求的最小值． (1)理解三个术语：“直线上升”是匀速增长,其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快,其增长量成倍增加,常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢,其增长速度缓慢. (2)充分理解题意,并熟练掌握几种常见函数的图象和性质是解题的关键. (3)解题时,易忽视实际问题中自变量的取值范围,需合理确定函数的定义域,必须验证数学结果对实际问题的合理性. 【变式5-1】（24-25高三上·上海·期中）茶是中华民族的举国之饮，发于神农，闻于鲁周公，始于唐朝，兴于宋代，中国茶文化起源久远，历史悠久，文化底蕴深厚，是我国文化中的一朵瑰宝！我国人民历来就有“客来敬茶”的习惯，这充分反映出中华民族的文明和礼貌.现代研究成果显示，茶水的口感与水的温度有关.经实验表明，用的水泡制，待茶水温度降至时，饮用口感最佳.东雅中学利用课余时间开设了活动探究课《中国茶文化》，某实验小组为探究室温下刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔1min测量一次茶水温度，得到茶水温度随时间变化的数据如下表： 时间 0 1 2 3 4 5 水温 100 91 82.9 78.37 72.53 67.27 设茶水温度从经过后温度变为，现给出以下三种函数模型： ①； ②； ③. (1)从上述三种函数模型中选出最符合上述实验的函数模型，并根据前3组数据求出该解析式； (2)根据（1）中所求函数模型，求刚泡好的茶达到最佳饮用口感的放置时间（精确到0.01）（参考数据：）； (3)考虑到茶水温度降至室温就不能再降的事实，求进行实验时的室温约为多少. 【变式5-2】（24-25高三上·上海·期中）为研究一种浮游植物的生长规律，某科研团队在一个面积为8000平方米且保持各项指标均稳定的实验池塘中开展研究，一开始在此池塘投放了一定覆盖面积的该植物，观察实验得到该植物覆盖面积（单位：平方米）与所经过月数的下列数据： 0 2 3 4 4 25 63 156 为了描述该植物覆盖面积（单位：平方米）与经过的月数的关系，现有以下三种函数模型可供选择：①；②；③. (1)试判断以上哪个函数模型更适合植物覆盖面积与经过的月数的关系，并求出该模型的函数解析式： (2)约经过几个月，该植物能覆盖整个池塘？ (3)经过4个月的研究，在掌握该植物生长规律后，科研小组开始改善池塘生态，现有两种方案： 方案一：加入能抑制该植物生长的某种物质，使其覆盖面积与经过的月数的关系变为； 方案二：在4月底集中打捞一次，使其覆盖面积减少到4平方米，植物增长速度不变. 请比较这两种方案的植物覆盖面积增长状况，并说明理由. 【变式5-3】今年是中国“一带一路”但议提出十周年，期间中国与共建国家共同打造政治互信、经济融合的利益共同体，中国对外投资大幅增加.某中国企业抓住机遇，准备到某地建立原材料加工厂.此地有三处原材料采集点，分别位于矩形的顶点A、B，及的中点处，已知，.现要在矩形的区域内（不含边界），与A、B等距离的一点O处建厂，并修路、、，以便从采集点向工厂运输原材料.设修路的总长为.    (1)按下列要求写出函数关系式： ①设，将表示成的函数关系式； ②设，将表示成的函数关系式. (2)请你选用（1）中的一个函数关系式，确定建厂的位置，使三条路总长度最短. 1．（2025·上海宝山·二模）已知函数，（且） (1)若，求方程的解； (2)已知，若关于的不等式在区间上恒成立，求实数的最大值. 2．（2025·上海金山·二模）已知函数是定义在上的奇函数，当时，. (1)求的值； (2)若，求函数的值域. 3．（2025·上海金山·三模）如图所示是函数的图象，由指数函数与幂函数“拼接”而成． (1)已知，求的取值范围； (2)若方程存在实数解，求的取值范围． 4．（2025·上海青浦·模拟预测）对于函数，其中. (1)若函数的图像过点，求的解集； (2)求证：当时，存在使得成等差数列. 5．（2025·上海杨浦·二模）已知函数是定义在上的偶函数. (1)当时，，求时，的表达式； (2)当时，，若实数满足，求的取值范围. 6．（2025·上海浦东新·三模）已知. (1)数列的前项和为，点均在函数的图象上，求数列的通项公式； (2)设；当时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 7．（2025·上海·三模）设且，已知函数． (1)判断是否为偶函数，并说明理由； (2)令函数，解关于的不等式． 8．（2025·上海浦东新·三模）已知（且）． (1)若，解方程，求的值； (2)若，求的取值范围． 9．（2025·上海·三模）已知函数， (1)当时，解不等式； (2)已知函数为偶函数，且函数在区间上有零点，求正实数的取值范围． 10．（2025·上海嘉定·二模）已知函数，其中，定义集合．对于点，定义集合．若对任意，均有，则称点P为平衡点． (1)当时，判断点是否为平衡点； (2)当时，求实数b的取值范围，使得点是平衡点； (3)求所有实数a和b，使得点是平衡点． 1．（2020·上海·高考真题）已知：，，且， （1）若，求的取值范围； （2）已知时，，求为多少时，可以取得最大值，并求出该最大值. 2．（2023·上海·高考真题）函数 (1)当时，是否存在实数c，使得为奇函数； (2)若函数过点，且函数图像与轴负半轴有两个不同交点，求实数a的取值范围. 3．（2024·上海·高考真题）若． (1)过，求的解集； (2)存在使得成等差数列，求的取值范围． 4．（2021·上海·高考真题）已知函数. （1）若，求函数的定义域； （2）若，若有2个不同实数根，求的取值范围； （3）是否存在实数，使得函数在定义域内具有单调性？若存在，求出的取值范围. 5．（2025·上海·高考真题）已知函数的定义域为．对于正实数a，定义集合． (1)若，判断是否是中的元素，请说明理由； (2)若，求a的取值范围； (3)若是偶函数，当时，，且对任意，均有．写出，解析式，并证明：对任意实数c，函数在上至多有9个零点． 9 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$