第四章 三角函数与解三角形（高效培优综合训练）（全国通用）2026年高考数学一轮复习高效培优系列

第四章 三角函数与解三角形 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若点在角α的终边上，则sinα的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据任意角三角函数的定义进行求解． 【解答】解：由已知，点P（﹣3，），所以sinα． 故选：A． 2．已知sinθ＝﹣2cosθ，则（　　） A．﹣6 B． C．8 D．﹣8 【答案】D 【分析】由已知求得tanθ＝﹣2，化为二次齐次式，再化为tanθ的代数式，求解即可． 【解答】解：由题意可得tanθ＝﹣2， 所以8． 故选：D． 3．已知α为锐角，且，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，利用倍角公式即可求出，再根据α的范围即可求出． 【解答】解：利用换元法令，则， 则， 故， 可得，因为α为锐角，则， 则． 故选：A． 4．在△ABC中，2A＝B+C，AC＝8，，则BC＝（　　） A．11 B．7 C．16 D． 【答案】D 【分析】由三角形内角和确定，再由sinB＝sin（A+C），结合正弦定理即可求解． 【解答】解：因为2A＝B+C，在△ABC中，可得A+B+C＝π， 可得， 显然sinC＞0，故， 于是， 在△ABC中由正弦定理可得，即， 解得BC． 故选：D． 5．已知函数，将f（x）的图象向左平移φ（φ＞0）个单位后，得到函数g（x）的图象，若g（x）的图象与f（x）的图象关于y轴对称，则φ的最小值等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数平移可得，进而根据g（x）＝f（﹣x）即可代入化简得求解． 【解答】解：，要g（x）的图象与f（x）的图象关于y轴对称，则， 所以，故， 又φ＞0，故． 故选：B． 6．已知函数的部分图象如图所示，若方程f（x）＝2m在上有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（　　） A．（﹣2，﹣1] B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据函数f（x）的图象，可得A，T的值，进而可得ω＝2，将点代入f（x）＝2sin（2x+φ），结合，即可得.令，则，可得方程f（x）＝2m在上有两个不相等的实数根等价于函数y＝sint的图象与直线y＝m在上有两个交点，在同一平面直角坐标系下画出函数y＝sint，的图象与直线y＝m，数形结合即可求解． 【解答】解：由题意，根据函数f（x）的部分图象，可得A＝2，， 可得T＝π，可得， 因为f（x）＝2sin（2x+φ）经过点， 根据五点法作图可得， 可得， 又， 可得， 所以， 令，则当时，， 所以方程f（x）＝2m在上有两个不相等的实数根，等价于函数y＝sint的图象与直线y＝m在上有两个交点， 在同一平面直角坐标系下画出函数y＝sint，的图象与直线y＝m如下图所示： 可得实数m的取值范围为． 故选：B． 7．设函数f（x）＝2sin（ωx+φ）﹣1（ω＞0），若对于任意实数φ，f（x）在区间[，]上至少有2个零点，至多有3个零点，则ω的取值范围是（　　） A．[，） B．[4，） C．[4，） D．[，） 【答案】B 【分析】原问题转化为y＝sint在区间[，]上至少有2个t，至多有3个t，使得y＝sint，求ω的取值范围，作出图象可知满足条件的最短区间长度为2π，最长区间长度为，由此建立ω的不等式组求ω的取值范围． 【解答】解：令f（x）＝0，则sin（ωx+φ），令t＝ωx+φ，则sint， 则原问题转化为： y＝sint在区间[，]上至少有2个t，至多有3个t，使得y＝sint，求ω的取值范围， 作出y＝sint与y的图象，如图所示： 由图可知，满足条件的最短区间长度为2π， 最长区间长度为， 2π≤（）﹣（），解得4≤ω， 所以ω的取值范围是[4，）． 故选：B． 8．在锐角三角形ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2＝b2+bc，则的取值范围为（　　） A．（1，3） B．（2，3） C．（1，2） D．（2，4） 【答案】C 【分析】由已知条件结合余弦定理可得b＝c﹣2bcosA，利用正弦定理边化角得sinB＝sin（A﹣B），求得A＝2B，结合△ABC是锐角三角形和三角形内角和定理求出，再由正弦定理结合三角恒等变换可得，运算得解． 【解答】解：在锐角三角形ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2＝b2+bc， 由余弦定理，a2＝b2+c2﹣2bccosA与a2＝b2+bc联立，可得bc＝c2﹣2bccosA， 即b＝c﹣2bcosA，由正弦定理可得，sinB＝sinC﹣2sinBcosA，即sinB＝sin（A﹣B）， 故B＝A﹣B+2kπ，k∈Z或（舍去）， 因为2B＝A+2kπ∈（0，2π），故k＝0，故A＝2B， 所以C＝π﹣3B，因为△ABC是锐角三角形， 所以，解得， 则， 所以 ＝cos2B+2cos2B＝4cos2B﹣1∈（1，2）． 故选：C． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的是（　　） A．若sinα•cosα＞0，则α为第一象限角 B．将表的分针拨快5分钟，则分针转过的角度是﹣30° C．终边经过点（a，a）（a≠0）的角的集合是 D．在一个半径为3cm的圆上画一个圆心角为30°的扇形，则该扇形面积为 【答案】BC 【分析】A项可得正余弦同号，由此判断；B项，表针转过的角度是负角，且转一圈是﹣360°；C项找经过点的特殊性可确定；D项利用弧长公式l＝αR，SlR即可． 【解答】解：A．若sinα•cosα＞0，则α为第一象限角或第三象限角，错误； B．将表的分针拨快5分钟，则分针转过的角度是﹣30°，正确； C．终边经过点（a，a）（a≠0）的角的终边再直线y＝x上，故角的集合是{α|αkπ，k∈Z}，正确； D．弧长l3，扇形面积为，故错误； 故选：BC． 10．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知A是△ABC的最小内角，且tanA为整数，，则下列说法正确的是（　　） A． B．c＝3 C．当C＞B＞A，且tanB也是整数时，tanC＝﹣3 D．△ABC面积的取值范围是 【答案】ABD 【分析】对于A，根据条件易得tanA＝1，即可判断；对于B，利用正弦定理计算即得；对于C，根据tanB也是整数，且C＞B＞A，可分tanB＝2和tanB≥3两种情况，利用差角的正切公式计算判断；对于D，由正弦定理推得，结合，利用正切函数的单调性即可求得△ABC面积的范围判断． 【解答】解：对于A，因A是△ABC的最小内角，则， 又因tanA为整数，故tanA＝1，可得，故A正确； 对于B，由，，可得， 由正弦定理，，可得，解得c＝3，故B正确； 对于C，由A+B+C＝π，可得B+C，因，且tanB也是整数， 若tanB＝2，因 ， 则，则， 此时，符合题意； 若tanB＝3，则，同理，此时，，不合题意， 随着tanB取更大的整数，tanC的值逐渐减小，不合题意， 故当C＞B＞A，且tanB也是整数时，tanC＝3，故C错误； 对于D，由正弦定理，和， 可得， 因A是△ABC的最小内角，则，，则， 当时，， △ABC的面积为， 当时，，因tanC≥1， 则，， 故， 综上，△ABC面积的取值范围是[，故D正确． 故选：ABD． 11．关于函数f（x）＝sin|x|+|cosx|，有下述四个结论，则正确的有（　　） A．2π是f（x）的一个周期 B．f（x）的最小值为﹣1 C．f（x）在区间上单调递减 D．f（x）在（﹣2026π，2026π）上有4052个零点 【答案】BD 【分析】举反例得到A错误；由sin|x|+|cosx|≥﹣1，且，判断B正确；当时，去绝对值可得函数解析式，得到f（x）在区间上单调递增，再由复合函数的单调性判断C；说明函数f（x）＝sin|x|+|cosx|为偶函数，并得到x≥0时，f（x）＝sinx+|cosx|的一个周期为2π，考虑x∈[0，2π]，得到f（x）的分段函数，令f（x）＝0，可得，，从而得到（﹣2026π，2026π）上零点个数． 【解答】解：对于A，， ，f（）， 则2π不是f（x）的一个周期，故A错误； 对于B，因为﹣1≤sin|x|≤1，0≤|cosx|≤1，所以sin|x|+|cosx|≥﹣1， 且当时，，故f（x）的最小值为﹣1，故B正确； 对于C，当时，， 由，得，z＝x在（）上单调递增， 而函数在上单调递增， 所以f（x）在区间上单调递增，故C错误； 对于D，f（x）＝sin|x|+|cosx|的定义域为R， 且f（﹣x）＝sin|（﹣x）|+|cos（﹣x）|＝sin|x|+|cosx|＝f（x）， 可得f（x）＝sin|x|+|cosx|为定义域上的偶函数， 当x≥0时，f（x）＝sinx+|cosx|， 此时满足f（x+2π）＝sin（x+2π）+|cos（x+2π）|＝sinx+|cosx|＝f（x）， 所以x≥0时，f（x）＝sinx+|cosx|的一个周期为2π， 则当x∈[0，2π]时，有， 令f（x）＝0，可得，， 故x∈[0，2026π）上有2026个零点，同理可得x∈（﹣2026π，0）上有2026个零点， 综上，f（x）在（﹣2026π，2026π）上有4052个零点，故D正确． 故选：BD． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．在△ABC中，若，a，S△ABC＝2，则△ABC的外接圆半径为 　　 ． 【答案】 【分析】根据三角形的面积公式算出c＝4，然后由余弦定理算出，最后运用正弦定理求出△ABC的外接圆半径的大小． 【解答】解：根据题意，可得，即，解得c＝4， 由余弦定理得b2＝a2+c2﹣2ac＝2+16﹣24cos10，解得（舍负）． 所以△ABC的外接圆半径R满足2R，可得R． 故答案为：． 13．若，且，则2α+β的值为　　 ． 【答案】 【分析】结合同角基本关系及和差角公式即可求解． 【解答】解：因为，tanα＝3﹣2， 故α∈（0，）， 因为β∈（，π），所以， 因为cos（α+β）， 所以α+β∈（，π）， 所以sin（α+β），tan（α+β）， 则tan（2α+β）1， 又2α+β∈（，π）， 所以2α+β． 故答案为：． 14．已知函数f（x）＝sin（2x+φ）（0＜φ＜π），其图像的一个对称中心是，将f（x）图像向左平移个单位长度后得到函数g（x）的图像．若对任意x1，x2∈[0，t]，当x1＜x2时，都有f（x1）﹣f（x2）＜g（x1）﹣g（x2），则实数t的最大值为 　　 ． 【答案】 【分析】根据函数的对称性求出φ的值，利用图象变换关系求出g（x），构造函数h（x）＝f（x）﹣g（x），将条件转化为当x∈[0，t]，h（x）为增函数，利用函数的单调性进行求解即可． 【解答】解：∵f（x）一个对称中心是， ∴2+φ＝kπ，k∈Z，即φkπ，k∈Z， ∵0＜φ＜π，∴当k＝0时，φ，即f（x）＝sin（2x）， 将f（x）图像向左平移个单位长度后得到函数g（x）的图像， 即g（x）＝sin[2（x）]＝sin（2x+π）＝﹣sin2x， 由f（x1）﹣f（x2）＜g（x1）﹣g（x2），得f（x1）﹣g（x1）＜f（x2）﹣g（x2）， 设h（x）＝f（x）﹣g（x），则不等式等价为当x1＜x2时，h（x1）＜h（x2）， 即若对任意x∈[0，t]，h（x）为增函数． h（x）＝sin（2x）+sin2xsin2xcos2x+sin2x sin2xcos2x（sin2xcos2x）sin（2x）， 当x∈[0，t]时，2x∈[0，2t]，所以2x∈[，2t]， 因为对任意x∈[0，t]，h（x）为增函数， 所以2t，所以2t，所以0＜t， 即t的最大值为． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2b＝c+2acosC． （1）求A； （2）若△ABC的周长为9，面积为，求a． 【分析】（1）根据正弦定理化简所给等式，结合两角的正弦公式化简，进而求得角A的大小； （2）由（1）的结论，利用三角形面积公式与余弦定理列式求解，即可得到本题的答案． 【解答】解：（1）根据2b＝c+2acosC，由正弦定理得2sinB＝sinC+2sinAcosC， 在△ABC中，sinB＝sin（A+C）＝sinAcosC+sinCcosA， 则2sinAcosC+2cosAsinC＝sinC+2sinAcosC，整理得2cosAsinC＝sinC， 结合sinC＞0，可得，又A∈（0，π），所以． （2）由（1）得，解得bc＝3， 根据△ABC的周长为a+b+c＝9，可得b+c＝9﹣a， 由余弦定理得a2＝b2+c2﹣2bccosA＝（b+c）2﹣3bc，可得a2＝（9﹣a）2﹣9，解得a＝4． 16．已知函数． （1）求f（x）的最小正周期和对称轴方程； （2）求f（x）在区间上的最大值，并求出此时对应的x的值． 【分析】（1）根据三角恒等变换公式化简得，结合正弦函数的周期公式与对称性求出答案； （2）求出，根据正弦函数的最大值进行求解，可得本题答案． 【解答】解：（1）由题意得f（x）（1﹣cos2x）sin2x ＝sin2xcoscos2xsinsin（2x）， 所以f（x）的最小正周期Tπ， 令，解得， 可得f（x）的对称轴方程为． （2）若，则， 当，即时，，f（x）取得最大值， 所以f（x）在区间上的最大值为，此时． 17．已知函数，且对任意x1，x2，若|f（x1）﹣f（x2）|＝1，则|x1﹣x2|的最小值为． （1）求ω和φ； （2）求图像y＝f（x）与在[0，10π]上的交点个数． 【分析】（1）根据求出，不妨令θ1＝ωx1+φ，θ2＝ωx2+φ，根据|f（x1）﹣f（x2）|＝1，则|x1﹣x2|的最小值为得到|θ1﹣θ2|最小值为，故，求出ω＝2； （2），恒等变换得到，换元后，等价于，解得u＝2kπ或，分两种情况，得到且的u共有10+10＝20个，得到答案． 【解答】解：（1）由题意函数， 可得，而，所以； 不妨令θ1＝ωx1+φ，θ2＝ωx2+φ， 则 ， 当且仅当或时该式取等， 故最小为，此时|θ1﹣θ2|可取最小值， 而y＝sinx在单调递增，最小为，故不存在比更小的取值， 即|θ1﹣θ2|不存在比更小的取值，即满足条件的|θ1﹣θ2|最小值为， |θ1﹣θ2|＝|（ωx1+φ）﹣（ωx2+φ）|＝ω|x1﹣x2|， 且对任意满足|f（x1）﹣f（x2）|＝1的实数x1，x2，|x1﹣x2|的最小值为，故； （2）由（1）可得，不妨令， 则 ， 此时，图象y＝f（x）与在[0，10π]上的交点个数， 等于方程在[0，10π]上的解的个数， 令，则该方程等价于， 化简得，即， 此时，或， 即u＝2kπ或， u＝2kπ（k∈Z）时，共有1，2，3，……，10这10个取值， 即有10个符合条件的u； 时，， k共有1，2，3，……，10这10个取值，即有10个符合条件的u； 故满足且的u共有10+10＝20个， 即图象y＝f（x）与在[0，10π]上的交点个数为20． 18．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其外接圆的半径为，且． （1）求角B； （2）若∠B的角平分线交AC于点，点E在线段AC上，EC＝2EA，求△BDE的面积． 【分析】（1）利用正弦定理以及两角和的正弦公式化简可求得，结合角的取值范围可求得角B的值； （2）利用正弦定理可求得b的值，利用S△ABC＝S△BCD+S△ABD可得，余弦定理可得（a+c）2﹣ac＝36，两式联立可得，然后利用三角形的面积公式可求得△BDE的面积． 【解答】解：（1）因为， 由正弦定理可得， 又A＝π﹣（B+C），所以， 所以， 即， ∵C∈（0，π），故sinC≠0， ∴，即， 又B∈（0，π），则； （2） 由（1）可知，，又外接圆的半径为， 由正弦定理可知， 所以， 因为BD是∠ABC的平分线，故， 又， 由S△ABC＝S△BCD+S△ABD， 可得，即，① 由余弦定理可知，，即（a+c）2﹣ac＝36，② 由①②可知， 所以BD⊥AC， 又∵EC＝2AE，则DE＝1， 所以． 19．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的周期为π，图象的一个对称中心为（，0），将函数f（x）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移个单位长度后得到函数g（x）的图象． （1）求函数f（x）与g（x）的解析式 （2）是否存在x0∈（），使得f（x0），g（x0），f（x0）g（x0）按照某种顺序成等差数列？若存在，请确定x0的个数，若不存在，说明理由； （3）求实数a与正整数n，使得F（x）＝f（x）+ag（x）在（0，nπ）内恰有2013个零点． 【分析】（1）依题意，可求得ω＝2，φ，利用三角函数的图象变换可求得g（x）＝sinx； （2）依题意，当x∈（，）时，sinx，0＜cosx⇒sinx＞cos2x＞sinxcos2x，问题转化为方程2cos2x＝sinx+sinxcos2x在（，）内是否有解．通过G′（x）＞0，可知G（x）在（，）内单调递增，而G（）＜0，G（）＞0，从而可得答案； （3）依题意，F（x）＝asinx+cos2x，令F（x）＝asinx+cos2x＝0，方程F（x）＝0等价于关于x的方程a，x≠kπ（k∈Z）．问题转化为研究直线y＝a与曲线y＝h（x），x∈（0，π）∪（π，2π）的交点情况．通过其导数，列表分析即可求得答案． 【解答】解：（1）∵函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的周期为π， ∴ω2， 又曲线y＝f（x）的一个对称中心为，φ∈（0，π）， 故f（）＝sin（2φ）＝0，得φ，所以f（x）＝cos2x． 将函数f（x）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）后可得y＝cosx的图象， 再将y＝cosx的图象向右平移个单位长度后得到函数g（x）＝cos（x）的图象， ∴g（x）＝sinx． （2）当x∈（，）时，sinx，0＜cos2x， ∴sinx＞cos2x＞sinxcos2x， 问题转化为方程2cos2x＝sinx+sinxcos2x在（，）内是否有解． 设G（x）＝sinx+sinxcos2x﹣2cos2x，x∈（，）， 则G′（x）＝cosx+cosxcos2x+2sin2x（2﹣sinx）， ∵x∈（，）， ∴G′（x）＞0，G（x）在（，）内单调递增， 又G（）0，G（）0，且G（x）的图象连续不断，故可知函数G（x）在（，）内存在唯一零点x0，即存在唯一零点x0∈（，）满足题意． （3）依题意，F（x）＝asinx+cos2x，令F（x）＝asinx+cos2x＝0， 当sinx＝0，即x＝kπ（k∈Z）时，cos2x＝1，从而x＝kπ（k∈Z）不是方程F（x）＝0的解， ∴方程F（x）＝0等价于关于x的方程a，x≠kπ（k∈Z）． 现研究x∈（0，π）∪（π，2π）时方程a的解的情况． 令h（x），x∈（0，π）∪（π，2π）， 则问题转化为研究直线y＝a与曲线y＝h（x），x∈（0，π）∪（π，2π）的交点情况． h′（x），令h′（x）＝0，得x或x， 当x变换时，h′（x），h（x）的变化情况如下表： x （0，） （，π） （π，） （，2π） h′（x） + 0 ﹣ ﹣ 0 + h（x） ↗ 1 ↘ ↘ ﹣1 ↗ 当x＞0且x趋近于0时，h（x）趋向于﹣∞， 当x＜π且x趋近于π时，h（x）趋向于﹣∞， 当x＞π且x趋近于π时，h（x）趋向于+∞， 当x＜2π且x趋近于2π时，h（x）趋向于+∞， 故当a＞1时，直线y＝a与曲线y＝h（x）在（0，π）内无交点，在（π，2π）内有2个交点； 当a＜﹣1时，直线y＝a与曲线y＝h（x）在（0，π）内有2个交点，在（π，2π）内无交点； 当﹣1＜a＜1时，直线y＝a与曲线y＝h（x）在（0，π）内有2个交点，在（π，2π）内有2个交点； 由函数h（x）的周期性，可知当a≠±1时，直线y＝a与曲线y＝h（x）在（0，nπ）内总有偶数个交点，从而不存在正整数n，使得直线y＝a与曲线y＝h（x）在（0，nπ）内恰有2013个零点； 又当a＝1或a＝﹣1时，直线y＝a与曲线y＝h（x）在（0，π）∪（π，2π）内有3个交点，由周期性，2013＝3×671， ∴依题意得n＝671×2＝1342． 综上，当a＝1，n＝1342，或a＝﹣1，n＝1342时，函数F（x）＝f（x）+ag（x）在（0，nπ）内恰有2013个零点． 1 / 3学 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 三角函数与解三角形 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若点在角α的终边上，则sinα的值为（　　） A． B． C． D． 2．已知sinθ＝﹣2cosθ，则（　　） A．﹣6 B． C．8 D．﹣8 3．已知α为锐角，且，则（　　） A． B． C． D． 4．在△ABC中，2A＝B+C，AC＝8，，则BC＝（　　） A．11 B．7 C．16 D． 5．已知函数，将f（x）的图象向左平移φ（φ＞0）个单位后，得到函数g（x）的图象，若g（x）的图象与f（x）的图象关于y轴对称，则φ的最小值等于（　　） A． B． C． D． 6．已知函数的部分图象如图所示，若方程f（x）＝2m在上有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（　　） A．（﹣2，﹣1] B． C． D． 7．设函数f（x）＝2sin（ωx+φ）﹣1（ω＞0），若对于任意实数φ，f（x）在区间[，]上至少有2个零点，至多有3个零点，则ω的取值范围是（　　） A．[，） B．[4，） C．[4，） D．[，） 8．在锐角三角形ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2＝b2+bc，则的取值范围为（　　） A．（1，3） B．（2，3） C．（1，2） D．（2，4） 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的是（　　） A．若sinα•cosα＞0，则α为第一象限角 B．将表的分针拨快5分钟，则分针转过的角度是﹣30° C．终边经过点（a，a）（a≠0）的角的集合是 D．在一个半径为3cm的圆上画一个圆心角为30°的扇形，则该扇形面积为 10．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知A是△ABC的最小内角，且tanA为整数，，则下列说法正确的是（　　） A． B．c＝3 C．当C＞B＞A，且tanB也是整数时，tanC＝﹣3 D．△ABC面积的取值范围是 11．关于函数f（x）＝sin|x|+|cosx|，有下述四个结论，则正确的有（　　） A．2π是f（x）的一个周期 B．f（x）的最小值为﹣1 C．f（x）在区间上单调递减 D．f（x）在（﹣2026π，2026π）上有4052个零点 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．在△ABC中，若，a，S△ABC＝2，则△ABC的外接圆半径为 　　 ． 13．若，且，则2α+β的值为　　 ． 14．已知函数f（x）＝sin（2x+φ）（0＜φ＜π），其图像的一个对称中心是，将f（x）图像向左平移个单位长度后得到函数g（x）的图像．若对任意x1，x2∈[0，t]，当x1＜x2时，都有f（x1）﹣f（x2）＜g（x1）﹣g（x2），则实数t的最大值为 　　 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2b＝c+2acosC． （1）求A； （2）若△ABC的周长为9，面积为，求a． 16．（15分） 已知函数． （1）求f（x）的最小正周期和对称轴方程； （2）求f（x）在区间上的最大值，并求出此时对应的x的值． 17．（15分） 已知函数，且对任意x1，x2，若|f（x1）﹣f（x2）|＝1，则|x1﹣x2|的最小值为． （1）求ω和φ； （2）求图像y＝f（x）与在[0，10π]上的交点个数． 18．（17分） 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其外接圆的半径为，且． （1）求角B； （2）若∠B的角平分线交AC于点，点E在线段AC上，EC＝2EA，求△BDE的面积． 19．（17分） 已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的周期为π，图象的一个对称中心为（，0），将函数f（x）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移个单位长度后得到函数g（x）的图象． （1）求函数f（x）与g（x）的解析式 （2）是否存在x0∈（），使得f（x0），g（x0），f（x0）g（x0）按照某种顺序成等差数列？若存在，请确定x0的个数，若不存在，说明理由； （3）求实数a与正整数n，使得F（x）＝f（x）+ag（x）在（0，nπ）内恰有2013个零点． 1 / 3学 学科网（北京）股份有限公司 $