第01讲 函数的概念及其表示（高效培优讲义）（全国通用）2026年高考数学一轮复习高效培优系列

第01讲 函数的概念及其表示 目录 考情探究 2 知识梳理 2 探究核心考点 4 考点一 函数关系的判断 4 考点二 求函数值 5 考点三 己知函数值求参数 6 考点四 具体函数的定义域 6 考点五 抽象函数及复合函数的定义域 7 考点六 求分式型、根式型函数值域 8 考点七 求抽象函数、复合函数值域 8 考点八 判断函数相等 9 考点九 函数的图象及其应用 10 考点十 求函数解析式 11 考点十一 分段函数求值及参数值 12 考点十二 分段函数的单调性问题 12 考点十三 分段函数的值域问题 13 考点十四 解分段函数不等式 14 三阶突破训练 15 基础过关 15 能力提升 16 真题感知 17 一、5年真题考点分布 5年考情 考题示例 考点分析 关联考点 2025年全国一卷，第5题,5分 求函数值 函数的周期性 函数奇偶性的应用 2024年新I卷，第6题,5分 根据分段函数的单调性求参数 判断指数函数的单调性 判断对数函数的单调性 2024年新I卷，第8题,5分 求函数值 抽象函数的关系 比较函数值的大小关系 二、命题规律及备考策略 【命题规律】函数的概念及其表示是高中函数知识的基础，在新高考中常作为函数问题的开篇考查点，多与函数定义域、值域、解析式求解等结合，难度中等偏下。 【备考策略】1.深刻理解函数的定义，明确函数的三要素（定义域、值域、对应关系），掌握判断两个函数是否为同一函数的方法。 2.熟练掌握求函数定义域的常见类型，如分式、根式、对数式等函数定义域的求解规则。 3.学会函数解析式的常用求法，如待定系数法、换元法、配方法、消元法等。 4.理解函数值域的概念，掌握求函数值域的基本方法，如观察法、配方法、换元法、单调性法等。 【命题预测】本节内容常与后续函数性质、函数应用等知识结合考查，着重考查对函数基本概念的理解与运用能力，需扎实掌握基础内容。 知识点1 函数的概念 函数的定义 设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系，使对于集合中的，在集合中都有和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数，记作． 知识点2 函数三要素 （1）一般地，对于函数，则称为函数的，称集合 为函数的值域. （2）函数的三要素指：，，. （3）两个函数相同指两个函数的三要素全部相同. 知识点3 函数相等 一般地，如果两个函数表达式表示的函数相同，也相同（即对自变量的每一个值，两个函数表达式得到的函数值都相等），则称这两个函数表达式表示的就是同一个函数 知识点4 具体函数的定义域问题 ①：分式函数：定义域是，分母不为0. ②：0次幂类型：定义域是，底数不为0. ③：根式类型： ④：对数函数：真数大于0 知识点5 函数的表示方法 知识点6 分段函数 如果一个函数，在其定义域内，对于自变量的不同，有不同的，则称其为分段函数. 考点一 函数关系的判断 典例1．若函数 的定义域为 ，值域为 ，则函数的图象可能是（　　） A． B． C． D． 典例2．（2025·浙江宁波·模拟预测）已知集合，是的函数，且满足，则这样的函数的个数为（     ） A．31 B．33 C．41 D．133 跟踪训练1．设集合，则下列图象能表示集合到集合Q的函数关系的有（　　） A．       B．   C．   D． 跟踪训练2．下列可以作为集合A到集合B的一个函数的是（    ） A． B． C． D． 考点二 求函数值 典例1．（2025·山西·模拟预测）已知函数，则（   ） A． B．5 C．9 D．10 典例2．（2025·江苏盐城·模拟预测）定义在上的函数满足，且当时，，则等于（    ） A． B． C． D． 跟踪训练1．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）已知定义在上函数满足，若，则（    ） A．1 B．16 C．128 D．256 跟踪训练2．（2025·江西萍乡·三模）已知定义在上的函数满足对于任意实数x，y均有，且，则（    ） A．675 B．1350 C．2025 D．4050 跟踪训练3．（2025·湖北·三模）已知定义在正整数集上的函数满足，且有，则（    ）． A． B． C． D． 考点三 己知函数值求参数 典例1．已知函数，若，则 ． 典例2．（2025·山东泰安·二模）已知是定义域为的单调递增函数，且存在函数，使，若分别为方程和的根，则（   ） A．8 B．4 C． D． 跟踪训练1．已知函数，，则实数（   ） A．1 B． C． D．0或1 跟踪训练2．设，，则（    ） A． B． C． D． 考点四 具体函数的定义域 典例1．（2025·广东·一模）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 典例2．（2025·广东·一模）已知全集为：的定义域为集合．的解集为集合，则（    ） A． B． C． D． 跟踪训练1．（2025·北京朝阳·一模）函数的定义域为 ． 跟踪训练2．（2025·北京·二模）函数的定义域为 ． 跟踪训练3．（2025·四川成都·三模）若集合，则（    ） A． B． C． D． 考点五 抽象函数及复合函数的定义域 典例1．已知函数的定义域是，则的定义域是（    ） A． B． C． D． 典例2．已知函数，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 典例3．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 跟踪训练1．已知函数的定义域为 ，则函数的定义域为 ． 跟踪训练2．已知函数的定义域为，则的定义域为（   ） A． B． C． D． 跟踪训练3．已知函数的定义域是，则函数的定义域为 ． 考点六 求分式型、根式型函数值域 典例1．，，则的值域为 ． 典例2．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 典例3．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 跟踪训练1．函数的值域是（   ） A． B． C． D． 跟踪训练2．函数的值域为 ． 跟踪训练3．函数的最小值为（    ） A． B． C．7 D．3 考点七 求抽象函数、复合函数值域 典例1．（2025·北京·高考真题）已知函数的定义域为D，则“的值域为”是“对任意，存在，使得”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 典例2．已知函数的定义域和值域分别为和，则函数的定义域和值域分别为（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 跟踪训练1．（2025·黑龙江大庆·三模）已知是定义在上的奇函数，是定义在上的偶函数，若函数的值域为，则函数的最大值为（    ） A．2 B．3 C．6 D．9 跟踪训练2．定义在R上的函数对一切实数x、y都满足，且，已知在上的值域为，则在R上的值域是（    ） A．R B． C． D． 跟踪训练3．已知函数则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 考点八 判断函数相等 典例1．下列四组函数中，两个函数表示的是同一个函数的是（    ）. A．与 B．与 C．与 D．与 跟踪训练1．下列各组函数中，表示同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 跟踪训练2．下列各组函数是同一函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 考点九 函数的图象及其应用 典例1．（2025·河北·模拟预测）函数的部分图象大致为（    ） A． B． C． D． 跟踪训练1．（2025·陕西西安·二模）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 跟踪训练2．（2025·天津·二模）函数的大致图象可能是（   ） A． B． C． D． 考点十 求函数解析式 典例1．已知是一次函数，且满足，求 ． 典例2．若函数，则 ． 典例3．设，函数满足，函数的解析式为 . 典例4．（2025·重庆·模拟预测）设定义域为R的函数满足：，都有且（a为常数），则函数 ． 跟踪训练1．若，则函数 ． 跟踪训练2．已知，则（    ） A． B． C． D． 跟踪训练3．已知函数满足，则 . 跟踪训练4．已知是二次函数，且，，则 ． 考点十一 分段函数求值及参数值 典例1．（2025·浙江杭州·模拟预测）已知函数，则 . 典例2．（2025·广东深圳·二模）已知函数，若，则实数 ． 跟踪训练1．（2025·广西南宁·模拟预测）已知函数，则的值等于 ． 跟踪训练2．（2025·福建厦门·三模）已知函数若，则 ． 考点十二 分段函数的单调性问题 典例1．（2025·河南南阳·模拟预测）已知是增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 典例2．（2025·重庆·三模）已知函数在上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 跟踪训练1．（2025·甘肃甘南·模拟预测）若是上的单调递增函数，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 跟踪训练2．（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 考点十三 分段函数的值域问题 典例1．（2025·云南昆明·模拟预测）函数的值域为（   ） A． B． C． D． 典例2．（2025·四川成都·模拟预测）若函数的值域为，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 跟踪训练1．（2025·山东威海·三模）已知函数的值域为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 跟踪训练2．（2025·广东广州·三模）若函数有最大值，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 考点十四 解分段函数不等式 典例1．（2025·山东济南·一模）已知函数则的解集是（    ） A． B． C． D． 典例2．（2025·河南·二模）已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 跟踪训练1．（2025·辽宁·模拟预测）已知函数则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 跟踪训练2．（2025·江苏苏州·模拟预测）已知函数则不等式的解集为 . 一、单选题 1．（2025·四川·一模）函数，若．则（   ） A． B． C．0 D．3 2．（2025·福建福州·模拟预测）若函数的定义域和值域的交集为空集，则a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·黑龙江大庆·期末）已知函数，对任意的，且，都有，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 4．（2025·江西·模拟预测）对于任意的，函数满足，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 三、填空题 5．（2025·上海·三模）函数的定义域为 . 6．（2025·贵州贵阳·模拟预测）已知则 ． 7．（2025·陕西宝鸡·二模）若一个函数的定义域为，值域为，则它的解析式可能为： ． 8．（2025·云南昆明·一模）已知函数满足，则实数 ． 9．（24-25高三下·浙江·开学考试）已知函数若，则m的取值范围是 ． 10．（2025·宁夏中卫·三模）已知函数，在上单调递增，则实数a的取值范围为 . 一、单选题 11．（2025·北京朝阳·二模）已知函数，则对任意实数x，有（    ） A． B． C． D． 12．（2025·福建泉州·模拟预测）已知定义在上的函数满足，且，则（    ） A． B．方程有解 C． D． 13．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知函数在上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 14．（2025·广东深圳·模拟预测）已知函数满足：，，，若，则（   ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 二、多选题 15．（2024·湖北黄冈·模拟预测）设函数的定义域为，且当时，，则（    ） A． B． C． D．可能为单调递增函数 16．（2025·全国·模拟预测）已知定义域为R的函数满足，且，，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 17．（16-17高一上·广东清远·阶段练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域是 . 18．（2025·广东深圳·模拟预测）下列函数的图象绕坐标原点沿逆时针旋转后得到的曲线仍为一个函数的图象的有 （写出对应编号）． ①；                                    ②； ③；                        ④． 19．（2025·安徽六安·模拟预测）已知函数则的解集是 ． 20．（2025·山东聊城·模拟预测）已知偶函数的定义域为，且，则的值域为 . 一、单选题 21．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数的定义域为R，，且当时，则下列结论中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 22．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 23．（2024·上海·高考真题）已知则 ． 24．（2023·北京·高考真题）已知函数，则 ． 25．（2023·上海·高考真题）已知，则的值域是 ； 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 函数的概念及其表示 目录 考情探究 2 知识梳理 2 探究核心考点 4 考点一 函数关系的判断 4 考点二 求函数值 6 考点三 己知函数值求参数 9 考点四 具体函数的定义域 10 考点五 抽象函数及复合函数的定义域 12 考点六 求分式型、根式型函数值域 15 考点七 求抽象函数、复合函数值域 18 考点八 判断函数相等 21 考点九 函数的图象及其应用 22 考点十 求函数解析式 25 考点十一 分段函数求值及参数值 28 考点十二 分段函数的单调性问题 29 考点十三 分段函数的值域问题 31 考点十四 解分段函数不等式 33 三阶突破训练 35 基础过关 35 能力提升 39 真题感知 45 一、5年真题考点分布 5年考情 考题示例 考点分析 关联考点 2025年全国一卷，第5题,5分 求函数值 函数的周期性 函数奇偶性的应用 2024年新I卷，第6题,5分 根据分段函数的单调性求参数 判断指数函数的单调性 判断对数函数的单调性 2024年新I卷，第8题,5分 求函数值 抽象函数的关系 比较函数值的大小关系 二、命题规律及备考策略 【命题规律】函数的概念及其表示是高中函数知识的基础，在新高考中常作为函数问题的开篇考查点，多与函数定义域、值域、解析式求解等结合，难度中等偏下。 【备考策略】1.深刻理解函数的定义，明确函数的三要素（定义域、值域、对应关系），掌握判断两个函数是否为同一函数的方法。 2.熟练掌握求函数定义域的常见类型，如分式、根式、对数式等函数定义域的求解规则。 3.学会函数解析式的常用求法，如待定系数法、换元法、配方法、消元法等。 4.理解函数值域的概念，掌握求函数值域的基本方法，如观察法、配方法、换元法、单调性法等。 【命题预测】本节内容常与后续函数性质、函数应用等知识结合考查，着重考查对函数基本概念的理解与运用能力，需扎实掌握基础内容。 知识点1 函数的概念 函数的定义 设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系，使对于集合中的 任意一个数 ，在集合中都有 唯一确定的数 和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数，记作 ． 知识点2 函数三要素 （1）一般地，对于函数，则称为函数的 定义域 ，称集合 为函数的值域. （2）函数的三要素指： 定义域 ， 对应法则 ， 值域 . （3）两个函数相同指两个函数的三要素全部相同. 知识点3 函数相等 一般地，如果两个函数表达式表示的函数 定义域 相同， 对应关系 也相同（即对自变量的每一个值，两个函数表达式得到的函数值都相等），则称这两个函数表达式表示的就是同一个函数 知识点4 具体函数的定义域问题 ①：分式函数：定义域是，分母不为0. ②：0次幂类型：定义域是，底数不为0. ③：根式类型： ④：对数函数：真数大于0 知识点5 函数的表示方法 【答案】解析式；列出表格 知识点6 分段函数 如果一个函数，在其定义域内，对于自变量的不同 取值区间 ，有不同的 对应方式 ，则称其为分段函数. 考点一 函数关系的判断 典例1．若函数 的定义域为 ，值域为 ，则函数的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的概念以及定义域与值域判断各个选项的图象即可. 【详解】解：函数的定义域为 ，值域为 ， 可知A图象定义域不满足条件； B图象不满足函数的值域； C图象满足题目要求； D图象，不是函数的图象； 故选：C． 典例2．（2025·浙江宁波·模拟预测）已知集合，是的函数，且满足，则这样的函数的个数为（     ） A．31 B．33 C．41 D．133 【答案】C 【分析】由知，且不能只，中至少还要有1个函数值等于1，然后进行分类列举即可. 【详解】因为，若，则，所以， 若仅，设，则， 所以函数不能仅有，在中至少还要有1个函数值等于1，具体分类如下： 1、若5个函数值都为1，此时共有1种情况； 2、若仅有4个函数值为1,又，4个中取3个函数值为1有种，另一个的取值有3种情况，此时共有种； 3、若仅有3个函数值为1，4个中取2个函数值为1有种，另外2个的取值有种，此时共有种； 4、若仅有2个函数值为1，4个中取1个函数值为1有种，另3个的取值有1种，此时有种情况； 综上共有， 故选：C. 跟踪训练1．设集合，则下列图象能表示集合到集合Q的函数关系的有（　　） A．       B．   C．   D． 【答案】B 【分析】根据函数的定义分别检验各选项即可判断． 【详解】对于A：由图象可知定义域不是，不满足； 对于B：定义域为，值域为的子集，故符合函数的定义，满足； 对于C：集合中有的元素在集合中对应两个值，不符合函数定义，不满足； 对于D： 时，有两个值与之对应，由函数定义可知D不满足． 故选：B． 跟踪训练2．下列可以作为集合A到集合B的一个函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】观察所给的四个选项是否符合函数的概念，自变量到因变量对应关系允许“一对一”、“多对一”不允许“一对多”；自变量元素不允许“剩余”即可判断. 【详解】A选项：当x为负数时，B中没有元素与之对应，故A选项不正确； B选项：当x为零时，B中没有元素与之对应，故B选项不正确； C选项：一个自变量对应两个因变量，不符合函数定义，故C选项不正确； D选项：多个自变量对应一个函数值，符合函数定义，故D选项正确． 故选：D 考点二 求函数值 典例1．（2025·山西·模拟预测）已知函数，则（   ） A． B．5 C．9 D．10 【答案】C 【分析】用代换得，即可求目标函数值. 【详解】由题设，故. 故选：C 典例2．（2025·江苏盐城·模拟预测）定义在上的函数满足，且当时，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用赋值法得到，，，根据，得，从而可得.再由当时，，可求出，从而可求解. 【详解】在中，令，可得, 即， 所以. 又，所以, 所以. 因为，所以， 所以. 因为，当时，， 所以， 所以， 所以. 故选:B. 跟踪训练1．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）已知定义在上函数满足，若，则（    ） A．1 B．16 C．128 D．256 【答案】D 【分析】由题设可得或，结合已知排除，再由得，结合即可得. 【详解】由题设，则或， 若，令，则对于任意有，而，不符； 所以，则，故， 由. 故选：D 跟踪训练2．（2025·江西萍乡·三模）已知定义在上的函数满足对于任意实数x，y均有，且，则（    ） A．675 B．1350 C．2025 D．4050 【答案】D 【分析】根据赋值法，用x替换y，y替换x得到，故是常函数，设，再结合可解即可求. 【详解】用x替换y，y替换x可得，当，时，，故可知是常函数，于是知当时，，其中c为常数，故，解得，于是. 故选：D. 跟踪训练3．（2025·湖北·三模）已知定义在正整数集上的函数满足，且有，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据新定义函数，直接赋值即可求解. 【详解】取，得， 又，故． 取，得，即． 对正整数x，， 累加，得，, 故选：D． 考点三 己知函数值求参数 典例1．已知函数，若，则 ． 【答案】-7 【详解】分析：首先利用题的条件，将其代入解析式，得到，从而得到，从而求得，得到答案. 详解：根据题意有，可得，所以，故答案是. 点睛：该题考查的是有关已知某个自变量对应函数值的大小，来确定有关参数值的问题，在求解的过程中，需要将自变量代入函数解析式，求解即可得结果，属于基础题目. 典例2．（2025·山东泰安·二模）已知是定义域为的单调递增函数，且存在函数，使，若分别为方程和的根，则（   ） A．8 B．4 C． D． 【答案】B 【分析】根据所给条件可得，当时可推出，由函数单调性可得，即可得解. 【详解】由题意，， 又， 所以， 若， 则， 所以 由是定义域为的单调递增函数，可知有且只有成立， 所以， 故选：B 跟踪训练1．已知函数，，则实数（   ） A．1 B． C． D．0或1 【答案】A 【分析】根据给定条件，求出函数，再由给定函数值求出. 【详解】令，则，由，得， 于是， 由，得，，所以. 故选：A 跟踪训练2．设，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可得，代入结合对数运算求解. 【详解】因为， 因为，可得， 解得． 故选：C. 考点四 具体函数的定义域 典例1．（2025·广东·一模）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的解析式，列出使函数解析式有意义的不等式组，求出解集即可. 【详解】要使函数有意义， 则，解得且， 故函数的定义域为． 故选：B． 典例2．（2025·广东·一模）已知全集为：的定义域为集合．的解集为集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出的定义域确定出，求出已知不等式的解集确定出，找出与补集的交集即可． 【详解】由，得到，即，即， ， 不等式，变形得：， 解得：或，即， ， 则， 故选：C． 跟踪训练1．（2025·北京朝阳·一模）函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】根据函数解析式有意义可得出关于的不等式组，即可解得函数的定义域. 【详解】对于函数，有，解得， 故函数的定义域为. 故答案为：. 跟踪训练2．（2025·北京·二模）函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】根据函数的解析式有意义，得到不等式组，进而求得函数的定义域，得到答案. 【详解】由函数有意义，则满足，解得且， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 跟踪训练3．（2025·四川成都·三模）若集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式不等式及二次不等式、二次函数的性质化简集合A，B，根据交集运算即可得解. 【详解】因为且， ， 所以. 故选：C 考点五 抽象函数及复合函数的定义域 典例1．已知函数的定义域是，则的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据具体函数和抽象函数的定义域列不等式组即可求解. 【详解】因为函数的定义域是，所以， 所以的定义域为，又因为，即，所以， 所以函数的定义域为. 故选：A. 典例2．已知函数，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由根式和复合函数的定义域求解即可. 【详解】由题可知的定义域为， 则为使有意义必须且只需， 解得， 所以的定义域为. 故选：D 典例3．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由已知的定义域求得的定义域，结合根式内部的代数式大于等于0求得答案． 【详解】解：函数的定义域为， 由，解得． 由，解得． 函数的定义域为． 故选：． 跟踪训练1．已知函数的定义域为 ，则函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】根据的定义域为，得到的定义域为，再由求解. 【详解】解：因为的定义域为， 则，即， 所以的定义域为， 又， 所以函数的定义域为. 故答案为： 跟踪训练2．已知函数的定义域为，则的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出函数的定义域，对于，可得出关于实数的不等式组，即可解得函数的定义域. 【详解】对于函数，有，则， 所以，函数的定义域为， 对于函数，则有，解得， 因此，函数的定义域为. 故选：A. 跟踪训练3．已知函数的定义域是，则函数的定义域为 ． 【答案】. 【分析】由条件求出函数解析式中的范围，列出使得有意义的不等式，解不等式可得结论. 【详解】因为函数的定义域是， 所以，故， 因为有意义， 所以，所以， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 考点六 求分式型、根式型函数值域 典例1．，，则的值域为 ． 【答案】 【分析】化简函数解析式可得，令，通过换元法结合函数单调性可求函数值域. 【详解】由题意得，． 令，则，则可化为． ∵函数，在上均为增函数， ∴在上为增函数， ∵时，，时，， ∴的值域为． 故答案为：. 典例2．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解方程，用表示，解得的范围，即为值域. 【详解】设，则， 两边同时平方得，即， 当时，不成立，所以，所以， 所以即整理得，即， 解得或， 故选：B． 典例3．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用换元法令，把函数变形为，结合基本不等式求解即可； 【详解】令，则，则原函数可化为， 因为，所以，当且仅当即时取等号， 所以当时，；当时，， 所以函数的值域为； 故选：C. 跟踪训练1．函数的值域是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对函数分离常数，借助基本不等式，分三种情况讨论即可. 【详解】结合题意：， 当时，； 当时，， 当且仅当，即，原式取得最小值； 另一方面，因为，，所以，即； 当时，， 当且仅当，即，原式取得最大值； 另一方面因为，令，则，所以， 所以，所以，即； 综上所述：函数的值域是. 故选：A. 跟踪训练2．函数的值域为 ． 【答案】 【分析】解法1：利用换元法，转化为二次函数，利用二次函数的性质求解即可；解法2：利用函数的单调性求解. 【详解】解法1：设（），则， 原函数转化为（）， 因为二次函数图象的对称轴为，且抛物线开口向上， 所以在上单调递增， 所以， 所以函数的值域为． 解法2：函数的定义域为， 因为和在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 所以， 所以函数的值域为． 故答案为：. 跟踪训练3．函数的最小值为（    ） A． B． C．7 D．3 【答案】B 【分析】根据题意，令进行三角换元化简，根据正弦型函数的值域求解即可. 【详解】原函数可得. 由， 令，， 可得. 因为，所以， 即， 所以函数的最小值为. 故选：B. 考点七 求抽象函数、复合函数值域 典例1．（2025·北京·高考真题）已知函数的定义域为D，则“的值域为”是“对任意，存在，使得”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由函数值域的概念结合特例，再根据充分条件、必要条件的概念即可求解. 【详解】若函数的值域为，则对任意，一定存在，使得， 取，则，充分性成立； 取，，则对任意，一定存在，使得， 取，则，但此时函数的值域为，必要性不成立； 所以“的值域为”是“对任意，存在，使得”的充分不必要条件. 故选：A. 典例2．已知函数的定义域和值域分别为和，则函数的定义域和值域分别为（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【分析】令，求得，得到的定义域为，再结合函数图象变换，得到与函数的值域相同，即可得到答案. 【详解】由函数的定义域和值域分别为和，可得和， 令，解得，所以函数的定义域为， 又由函数的图象向左平移个单位，得到的图象， 所以函数与函数的值域相同，即. 故选：D. 跟踪训练1．（2025·黑龙江大庆·三模）已知是定义在上的奇函数，是定义在上的偶函数，若函数的值域为，则函数的最大值为（    ） A．2 B．3 C．6 D．9 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用奇偶函数的性质，结合函数值域的意义求出最大值. 【详解】由函数的值域为，得， 由是定义在上的奇函数，得，由是定义在上的偶函数，得， 则，则，而函数与的值域相同， 所以函数的最大值为3. 故选：B 跟踪训练2．定义在R上的函数对一切实数x、y都满足，且，已知在上的值域为，则在R上的值域是（    ） A．R B． C． D． 【答案】C 【分析】令，可得，再令，可得，得到在上的值域为，即得解. 【详解】因为定义在R上的函数对一切实数x、y都满足，且， 令，可得， 再令，可得， 又在上的值域为，因此在上的值域为 则在R上的值域是. 故选：C 【点睛】本题考查了抽象函数的值域问题，考查了学生综合分析，转化与划归，数学运算的能力，属于较难题. 跟踪训练3．已知函数则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知求得函数的定义域，换元后利用配方法求函数的值域． 【详解】， 由，解得. . 令， 函数. 当时，； 当时，， 函数的值域为. 故选：D. 【点睛】本题考查函数的定义域、值域及其求法，训练了利用换元法与配方法求函数的值域，是中档题． 考点八 判断函数相等 典例1．下列四组函数中，两个函数表示的是同一个函数的是（    ）. A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】对两函数的定义域、值域、对应关系分别进行逐一判断即可得出结论. 【详解】对于A，易知的定义域为，而的定义域为， 两函数定义域不同，可知A错误； 对于B，显然的定义域为， 而函数的定义域为，两函数定义域不同，可知B错误； 对于C，两函数定义域均为，但的值域为， 而的值域为，两函数值域不同，即C错误； 对于D，易知与的定义域、值域、对应关系均相同，即D正确. 故选：D 跟踪训练1．下列各组函数中，表示同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【分析】根据同一函数的定义，比较两个函数的定义域和对应法则是否相同逐一判断即可. 【详解】A中，的定义域为，的定义域为，故A错误； B中，，B正确； C中，的定义域为，的定义域为，故C错误； D中，的定义域为，由可得的定义域为，D错误． 故选：B. 跟踪训练2．下列各组函数是同一函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】AC选项，两函数定义域不同；B选项，两函数对应法则不同；D选项，两函数定义域与对应关系都相同. 【详解】对于A，的定义域为，的定义域为， 则与不是同一函数，故A错误； 对于B，的定义域为，， 则与不是同一函数，故B错误； 对于C，令，解得，故的定义域为， ，解得或，故的定义域为， 则与不是同一函数，故C错误； 对于D，与的定义域与对应关系都相同， 则与是同一函数，故D正确. 故选：D 考点九 函数的图象及其应用 典例1．（2025·河北·模拟预测）函数的部分图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由余弦函数性质、函数在上单调递增排除BD，再由可得答案. 【详解】因为，由余弦函数性质可知， 又，且函数在上单调递增，得. 所以当时，，BD错误. 又时，，得，A错误. 故选：C. 跟踪训练1．（2025·陕西西安·二模）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用函数的奇偶性，结合特值点处的函数值判断即可. 【详解】函数的定义域为R，， 函数是奇函数，其图象关于原点对称，排除C； ， 当时，， 且， 而，即，故， 所以在的单调递增区间上，AD不满足，B满足. 故选：B 跟踪训练2．（2025·天津·二模）函数的大致图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用定义法证明为偶函数，根据，结合排除法即可求解. 【详解】的定义域为R， 则， 所以为偶函数，图象关于y轴对称，故排除C，D选项； 又因为，故排除B选项. 故选：A． 考点十 求函数解析式 典例1．已知是一次函数，且满足，求 ． 【答案】 【分析】设，根据已知条件列方程，由对应系数相等求出和的值即可求解. 【详解】因为是一次函数，设， 因为， 所以， 整理可得， 所以，可得， 所以， 故答案为：. 典例2．若函数，则 ． 【答案】 【分析】由换元法，即可求解. 【详解】利用换元法即可得到答案． 令，则， ， ∴函数的解析式为． 故答案为：． 典例3．设，函数满足，函数的解析式为 . 【答案】 【分析】利用已知条件重新构造一个方程联立方程组解出即可. 【详解】由，，① 将换成得：，② ①②得：， 即， 故答案为：. 典例4．（2025·重庆·模拟预测）设定义域为R的函数满足：，都有且（a为常数），则函数 ． 【答案】 【分析】运用赋值法可求解. 【详解】由①， 在①中，令可得②， 在②中，令，则③， 由②可得，④， 由①可得，⑤， 由②可得，⑥， 则由③④⑤⑥可得，，即， 因，则. 故答案为： 跟踪训练1．若，则函数 ． 【答案】 【分析】利用配凑法求解函数的解析式即可. 【详解】函数，又的值域为. 所以， 故答案为：. 跟踪训练2．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用换元法求解即可. 【详解】令，则， 所以， 所以. 故选：A. 跟踪训练3．已知函数满足，则 . 【答案】 【分析】通过两次赋值将替换成和将替换成，构造方程组求解即可； 【详解】由，① 将替换成，可得：，② 再将①中替换成：，可得：，③ ①②相减可得：，④ ③④相加可得：， 所以， 故答案为： 跟踪训练4．已知是二次函数，且，，则 ． 【答案】 【分析】根据题意，利用待定系数，设，准确运算，即可求解. 【详解】设， 因为，可得， 又因为，可得， 即，所以, 解得，所以． 故答案为：. 考点十一 分段函数求值及参数值 典例1．（2025·浙江杭州·模拟预测）已知函数，则 . 【答案】 【分析】由分段函数解析式可得答案. 【详解】由题，，则. 故答案为： 典例2．（2025·广东深圳·二模）已知函数，若，则实数 ． 【答案】 【分析】易知当时无解；当时，利用导数研究函数的性质可得在上有且仅有唯一的零点，进而根据求解即可. 【详解】， 当时，，解得，不符合题意； 当时，，则， 令， 所以在上单调递减，在上单调递增，且， 当时，，则， 当时，，且时，；时，； 所以在上有且仅有唯一的零点. 所以当时，，则，解得. 综上，. 故答案为：e 跟踪训练1．（2025·广西南宁·模拟预测）已知函数，则的值等于 ． 【答案】1 【分析】根据分段函数，代入求值即可. 【详解】， 所以. 故答案为：1. 跟踪训练2．（2025·福建厦门·三模）已知函数若，则 ． 【答案】8 【分析】求出，再判断的范围，即可利用求解. 【详解】， 所以， 因为时，， 所以，，解得， 故答案为： 考点十二 分段函数的单调性问题 典例1．（2025·河南南阳·模拟预测）已知是增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用分段函数单调性，结合二次函数单调性列式求解. 【详解】函数是增函数，则，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：D 典例2．（2025·重庆·三模）已知函数在上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用指数函数、二次函数单调性及分段函数单调性列式求解. 【详解】依题意，函数在上单调递减，则，解得， 又函数在上单调递减，则， 所以的取值范围是. 故选：B 跟踪训练1．（2025·甘肃甘南·模拟预测）若是上的单调递增函数，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数在各段上单调递增且断点左侧的函数值不大于右侧的函数值得到不等式组，解得即可. 【详解】若为上的增函数，则，解得， 故的取值范围是． 故选：A． 跟踪训练2．（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分段函数的单调性，可知每段函数的单调性，以及分界点处的函数的大小关系，即可列式求解. 【详解】因为时，单调递减， 又在上单调递减， 所以时，单调递减，则只需满足解得. 故选：B. 考点十三 分段函数的值域问题 典例1．（2025·云南昆明·模拟预测）函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用函数在、上的值域，取并集即可得出函数的值域. 【详解】当时，，因为函数在上单调递增， 所以，此时； 当时，因为函数在上为减函数，在上为增函数， 故，即在上的值域为. 综上所述，函数的值域为. 故选：A. 典例2．（2025·四川成都·模拟预测）若函数的值域为，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别讨论在不同取值时得单调性；当时，，不合题意；当时，讨论的最小值即可；当时，由分析可知要求的最小值为0，先确定的范围，再根据的范围确定时函数的单调性，从而求得其最小值即为符合题意. 【详解】当．则， 此时在，单调递增，在单调递减. 当时，若，当，，不合题意； 当时，，，则值域为符合题意； 当时，要使的值域是，则要求的最小值为． 则必定先有，得，即， 此时在上单调性为上单调递减，单调递增， 有最小值符合题意．故 故选：A. 跟踪训练1．（2025·山东威海·三模）已知函数的值域为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由函数的单调性可得，当时，，然后结合其值域为，即可得到的值域，列出不等式，代入计算，即可得到结果. 【详解】因为在单调递增，在单调递增， 所以当时，单调递增，则， 又函数的值域为， 所以时，函数的值域要取到的所有实数， 所以， 当时，即时，函数单调递增， 时，， 当时，，即， 所以，即的取值范围是. 故选：C 跟踪训练2．（2025·广东广州·三模）若函数有最大值，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】考虑，函数的值域，结合时，若，不合要求，若，在上单调递减，进而得到不等式，及时代入判断即可. 【详解】当时， ， 当时，， 若，在上单调递增，此时没有最大值， 若，在上单调递减， 要想函数有最大值，则，解得； 若，，函数有最大值1，符合题意； 故实数的取值范围为. 故选：A. 考点十四 解分段函数不等式 典例1．（2025·山东济南·一模）已知函数则的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先判断函数为奇函数，再根据函数单调性解抽象不等式即可. 【详解】当时，，，； 当时，，，； 且当时，， 所以为奇函数， 易知为上的递减函数， 则， 所以原不等式的解集为. 故选：A 典例2．（2025·河南·二模）已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分类讨论解不等式, 再构造函数求导判断函数的单调性求解． 【详解】当时，，得，解得或（舍去）； 当时，令，则， 所以当时，，在上单调递增； 当时，， 在上单调递减， 所以，即当时，恒成立， 所以当时，不等式无解. 综上，所求不等式的解集为. 故选：A. 跟踪训练1．（2025·辽宁·模拟预测）已知函数则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分和两种情况，解不等式，得到不等式解集. 【详解】由题意可知当时，,故，满足题意； 当时，令，即，解得，所以. 综上，. 故选：C 跟踪训练2．（2025·江苏苏州·模拟预测）已知函数则不等式的解集为 . 【答案】 【分析】根据题意，分，和，三种情况讨论，结合对数函数的图象与性质，即可求解. 【详解】由函数， 当时，可得且，则 此时不等式，即为， 即， 令，可得函数在上为单调递增函数， 且，所以，所以的解集为； 当时，不等式，即为，此时不等式不成立，舍去； 当时，可得且，则 此时不等式，可得， 令，可得函数在上为单调递减函数， 且，所以，所以的解集为， 综上可得，不等式的解集为. 故答案为：. 一、单选题 1．（2025·四川·一模）函数，若．则（   ） A． B． C．0 D．3 【答案】D 【分析】应用已知结合奇偶性计算求值. 【详解】函数， 若，则， 则. 故选：D. 2．（2025·福建福州·模拟预测）若函数的定义域和值域的交集为空集，则a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合分段函数的性质先求出定义域，再结合指数函数的及二次函数的性质求出值域，即可求解. 【详解】由题意可得函数的定义域为， 当时，， 要使得定义域和值域的交集为空集，则， 又时，， 若，则，此时显然不满足题意， 若，则在上单调递减，， 故， 所以，解得. 故选：B. 3．（24-25高二下·黑龙江大庆·期末）已知函数，对任意的，且，都有，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先根据条件判断函数在上为增函数，在保证每一段函数单调递增的情况下，注意分界点处的值的大小关系，列不等式组求解即可． 【详解】根据题意，函数对任意的，且，都有， 所以在上为增函数， 又， 所以有， 即，解得， 故选：D． 二、多选题 4．（2025·江西·模拟预测）对于任意的，函数满足，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】利用赋值法求得，，判断ABD，题干等式转化为，再赋值求解判断C. 【详解】根据题意可知，函数满足， 令，得，解得，故A错误； 令，得，即， 因为，所以，故B正确； 因为，则， 令，则，故C正确； 又， 则，故D错误. 故选：BC. 三、填空题 5．（2025·上海·三模）函数的定义域为 . 【答案】 【分析】根据被开根数非负及分母不为零列不等式组求解. 【详解】，解得， 所以函数的定义域为. 故答案为： 6．（2025·贵州贵阳·模拟预测）已知则 ． 【答案】 【分析】先计算，再算即可. 【详解】. 故答案为： 7．（2025·陕西宝鸡·二模）若一个函数的定义域为，值域为，则它的解析式可能为： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据所给性质选择满足条件的函数作答. 【详解】函数的定义域为，值域为， 所以. 故答案为： 8．（2025·云南昆明·一模）已知函数满足，则实数 ． 【答案】1 【分析】根据推导出，即可得到，解得即可. 【详解】因为函数满足， 则，即，所以， 所以，解得，经检验符合题意. 故答案为： 9．（24-25高三下·浙江·开学考试）已知函数若，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】讨论的取值范围，解不等式可得结果. 【详解】当，即时，由得，解得， 当，即时，由得，无解， ∴m的取值范围是. 故答案为：. 10．（2025·宁夏中卫·三模）已知函数，在上单调递增，则实数a的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据函数为增函数可知在各段上为增函数，列出不等式组求解，即可得解. 【详解】由函数在上单调递增， 可得，即，解得， 故答案为： 一、单选题 11．（2025·北京朝阳·二模）已知函数，则对任意实数x，有（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】写出分段函数，作出图象，由图象得出对称性判断AB，取特殊值判断CD. 【详解】因为， 作出函数图象，如图， 由图象可知，函数图象关于点中心对称，故A正确； 图象不关于点对称，故B错误； 当时，，故C错误； 令，则，故D错误. 故选：A 12．（2025·福建泉州·模拟预测）已知定义在上的函数满足，且，则（    ） A． B．方程有解 C． D． 【答案】C 【分析】根据抽象函数式，一般考虑赋值法，利用函数的单调性，奇偶性，累加法、累乘法推理计算即可. 【详解】因和， 对于A，令，则，即，故A错误； 对于B，令，则，可得， 令，当时，则， 即，，，， 则 ， 其中也符合，因，故方程无实数解，即B错误； 对于C，令，则，得到， 由，则C正确； 对于D，与不能恒相等，故D错误. 故选：C. 13．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知函数在上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用导数研究单调性，结合在上单调递减，得，解出即可. 【详解】由题意有：当时，，所以， 所以，当时，，所以，所以， 又在上单调递减，所以，解得，所以， 故选：C. 14．（2025·广东深圳·模拟预测）已知函数满足：，，，若，则（   ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【答案】C 【分析】根据已知条件结合赋值法计算得出，再赋值法结合应用不等关系计算求解即可. 【详解】依题意，因为，则， 令，则，因为，所以， 又因为，则，即， 令，则，即， 令，则，所以，故得， 又； 又， 所以，即． 故选：C． 二、多选题 15．（2024·湖北黄冈·模拟预测）设函数的定义域为，且当时，，则（    ） A． B． C． D．可能为单调递增函数 【答案】AD 【分析】通过赋值得到即可判断A，BCD则通过举例的方法说明. 【详解】因为，又，所以，即，故A正确； 取满足题意，故B､C均错误； 取函数满足题意，且为上的增函数，故D正确． 故选：AD 16．（2025·全国·模拟预测）已知定义域为R的函数满足，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】利用赋值法，对选项逐一判断即可求解. 【详解】由题意， 得：. 令， 则. 令，， 可得：， 由，得，故选项B错误； 令，替换为， 可得， 因为，， 所以，即， 故选项A正确； 令，替换为， 可得：，即， 所以， 所以，，…，， 故，故选项C错误； 令， 可得：， 所以， 故选项D正确. 故选：AD. 三、填空题 17．（16-17高一上·广东清远·阶段练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域是 . 【答案】 【分析】根据题意，得到函数满足，即可求解. 【详解】由题意，函数的定义域为， 则函数满足，即，解得， 即函数的定义域为. 故答案为：. 【点睛】本题主要考查了抽象函数的定义域的求解，其中解答中熟记抽象函数的定义域的求解方法是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题. 18．（2025·广东深圳·模拟预测）下列函数的图象绕坐标原点沿逆时针旋转后得到的曲线仍为一个函数的图象的有 （写出对应编号）． ①；                                    ②； ③；                        ④． 【答案】①③④ 【分析】函数的图象绕坐标原点逆时针方向旋转，可以看作坐标轴绕坐标原点顺时针方向旋转，再根据函数的定义，即可求解. 【详解】利用运动是相对的，函数的图象绕坐标原点逆时针方向旋转，可以看作坐标轴绕坐标原点顺时针方向旋转，根据函数的定义，对于定义域内的每一个自变量，都有唯一确定的与之对应，逆时针旋转后得到的曲线，如果仍为一个函数的图象，则曲线与任意一条垂直于轴的直线最多只有一个交点，所以函数的图象与任一斜率为1的直线都最多只有一个交点， 结合函数图象可知， 对于①，的图象与直线都只有一个交点，故①正确； 对于②，的图象与直线有两个交点，，故②错误； 对于③，，，，所以的图象在点处的切线方程为，的图象与直线都最多只有一个交点，故③正确； 对于④，的图象与直线都只有一个交点，故④正确． 故答案为：①③④. 19．（2025·安徽六安·模拟预测）已知函数则的解集是 ． 【答案】 【分析】根据给定的分段函数，探讨其奇偶性和单调性，再利用性质求解不等式. 【详解】当时，，，； 当时，，，；当时，， 因此函数为奇函数，函数在上单调递减，在上单调递减， 则函数在上单调递减，则， 于是，解得， 所以原不等式的解集为. 故答案为： 20．（2025·山东聊城·模拟预测）已知偶函数的定义域为，且，则的值域为 . 【答案】 【分析】令可得出，令结合偶函数的性质可求得函数的解析式，由此可得出函数的值域. 【详解】对，令，则，解得； 对，令，则， 又为偶函数，，故，解得。 又，故其值域为. 故答案为：. 一、单选题 21．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数的定义域为R，，且当时，则下列结论中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】代入得到，再利用函数性质和不等式的性质，逐渐递推即可判断. 【详解】因为当时，所以， 又因为， 则， ， ， ， ，则依次下去可知，则B正确； 且无证据表明ACD一定正确. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用，再利用题目所给的函数性质，代入函数值再结合不等式同向可加性，不断递推即可. 22．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组，解出即可. 【详解】因为在上单调递增，且时，单调递增， 则需满足，解得， 即a的范围是. 故选：B. 二、填空题 23．（2024·上海·高考真题）已知则 ． 【答案】 【分析】利用分段函数的形式可求. 【详解】因为故， 故答案为：. 24．（2023·北京·高考真题）已知函数，则 ． 【答案】1 【分析】根据给定条件，把代入，利用指数、对数运算计算作答. 【详解】函数，所以. 故答案为：1 25．（2023·上海·高考真题）已知，则的值域是 ； 【答案】 【分析】分段讨论的范围即可. 【详解】当 时, 根据指数函数的图象与性质知， 当 时, . 综上: 的值域为 . 故答案为：. 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $$