第一章勾股定理训练2025—2026学年北师大版（2024）数学八年级上册

第一章 勾股定理 训练 一、单选题 1．下列长度的四组线段中，不能组成直角三角形的一组是（   ） A．8，15，17 B．10,24,26 C．，1 D．6，7，8 2．如图，在中，，，D是线段上的动点（不含端点B，C），则满足线段的长为正整数的点D的个数为（    ） A．4 B．5 C．3 D．2 3．如图，中，，是的平分线，交于点D，若，则的长为（　　） A． B．8 C．10 D．12 4．如图，中，，，，将折叠，使点与的中点重合，折痕为，那么折痕与线段的交点与点的距离为(    ) A． B． C． D． 5．如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若，，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（   ） A．52 B．48 C．72 D．76 6．定义：如图，点M，N把线段分割成和三条线段，若以线段为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段的勾股分割点．已知点M，N是线段的勾股分割点，若，，则（　　） A．5 B．12 C．13 D．5或13 7．晨光微洒，湖边钓者静心垂钓，如图，已知鱼线没入水中的长度为1.5米，在距离鱼线1.2米（米）的水下1米处（米）有一条鱼发现了鱼饵，于是以0.2米／秒的速度向鱼饵游去，则这条鱼到达鱼饵处至少需要（   ） A．6秒 B．6.5秒 C．13秒 D．26秒 8．如图，在中，，现将进行折叠，使顶点重合，则折痕的长为（   ） A． B． C． D．5cm 9．如图，将一根长为的吸管置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，设吸管露在杯子外的长为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 10．有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形（如图①），其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，生出了4个正方形（如图②），如果按此规律继续“生长”下去，那么它将变得“枝繁叶茂”．在“生长”了2022次后形成的图形中所有正方形的面积和是（    ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 二、填空题 11．若一个直角三角形两边的长分别为6和8，则第三边的长为 ． 12．如图，和都是等腰直角三角形，，点D在边上，且，，则的长等于 ． 13．如图，正方体的棱长为，已知点B与点C之间的距离为，一只蚂蚁沿着正方体的表面从点A爬到点C，需要爬行的最短路程为 cm． 14．如图，2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标其原型是我国古代数学家赵爽的《勾股弦图》，它是由四个全等的直角三角形拼接而成，如果大正方形的面积是18，直角三角形的直角边长分别为，且，那么小正方形的面积为 ． 15．如图，在中，，是边上一点，连接，在的左侧作，且，连接．若，，则四边形的面积为 ． 三、解答题 16．如图，在中，，若，． (1)求的长； (2)求的周长和面积． 17．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，A，B，C是网格中的三个格点（即小正方形的顶点）． (1)线段的长为 ， 线段的长为 ； (2)判断线段 与线段 之间的位置关系． 18．新考法定义：过直角三角形一直角边上的中点，向斜边引垂线，则称此垂线为直角三角形这一直角边上的直中斜垂线，直中斜垂线将斜边分为长度不相等的两条线段，其中较短的称为斜勾，较长的称为斜股． 性质：在直角三角形中，斜股与斜勾的平方差等于另一直角边的平方． (1)如图①，在中，是的中点，于点，则即为中直角边上的直中斜垂线，为斜勾，为斜股，求证：； (2)如图（2），在中，分别是中直角边的直中斜垂线，垂足分别为点，若，，求线段的长度． 19．如图，在长方形中，． (1)如图①，将长方形沿翻折，使点与点重合，点落在点处，求的长； (2)如图②，将沿翻折，若交于点，求的长； (3)如图③，为边上的一点，将沿翻折得到分别交边于点，且，求的长． 20．如图，在中，，，若点是延长线上一点，连接，以为腰作等腰直角，且，，连接． (1)求证：≌； (2)试说明：； (3)如图，当点是延长线上一点改成点是直线上一点，其它条件不变，连接，若，，请直接写出的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第一章 勾股定理?训练2025—2026学年北师大版（2024）数学八年级上册》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C A C D D B C B A 1．D 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题关键．直接利用勾股定理的逆定理逐项判断即可得． 【详解】解：A、，能组成直角三角形，则此项不符合题意； B、，能组成直角三角形，则此项不符合题意； C、，能组成直角三角形，则此项不符合题意； D、，不能组成直角三角形，则此项符合题意； 故选：D． 2．C 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质和勾股定理，解题的关键是正确利用勾股定理计算出的最小值，然后求出的取值范围． 首先过作，当与重合时，最短，首先利用等腰三角形的性质可得，进而可得的长，利用勾股定理计算出长，然后可得的取值范围，进而可得答案． 【详解】解：过作， ， ， ， ∵是线段上的动点（不含端点、）． ， 或4， ∵线段长为正整数， ∴可以有三条，长为4，3，4， ∴点的个数共有 3 个， 故选：C． 3．A 【分析】本题考查了角平分线的性质,全等三角形的判定与性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键； 过点D作于点E，先求出 ，则，证明，得到，即，根据勾股定理，得到，求出，即可解答． 【详解】解：过点D作于点E，如图 ∴， ∵是的平分线，， ∴，， ∴，，， ∴，即， ∵， ∴ 解得． 故选A． 4．C 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，设，则由折叠的性质可得，根据中点的定义可得，在中，根据勾股定理可得关于的方程，解方程即可求解． 【详解】解：设，由折叠的性质可得， 是的中点，， ， 在中，， 解得． 即． 故选：C． 5．D 【分析】本题主要考查勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键．先根据勾股定理求出的长度， 然后利用外围周长即可求解． 【详解】解：由题意可知：， ∴， ∵， ∴ ， ∴风车的外围周长是； 故选：D． 6．D 【分析】本题考查勾股定理，分两种情况：为最大线段，为最大线段，根据勾股定理分别计算即可． 【详解】分两种情况：①当为最大线段时，因为点M，N是线段的勾股分割点， 所以； ②当为最大线段时，因为点M，N是线段的勾股分割点， 所以 综上所述，的值为5或13． 故选D． 7．B 【分析】过C点作于点，连接，根据勾股定理求出的长，再除以鱼的速度即可得解． 本题主要考查了勾股定理，作辅助线构造直角三角形是解题的关键． 【详解】解：如图所示：过C点作于点，连接， 由题意可得：米，米， ∴米， ∴米， 秒． ∴这条鱼至少6.5秒后才能到达鱼饵处． 故选：B． 8．C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，折叠性质，先根据勾股定理求出的长，再由折叠性质得到，，设，则，，再根据勾股定理列式计算即可． 【详解】解：，，， ， ． 由折叠的性质可得，． 设，则，． 在中，， ，解得， 即， ， ． 故选C． 9．B 【分析】本题考查了圆柱的性质，勾股定理的实际应用，解题关键是掌握勾股定理． 根据图形分析出最长、最短时的位置，分别求出的长，从而可得出的取值范围． 【详解】解：当吸管与圆柱母线平行时，最长， 此时()； 当吸管与圆柱的轴截面的对角线重合时，最短， ∴，解得：或（舍去）， ∴的取值范围是， 故选：B． 10．A 【分析】本题考查勾股定理的应用以及规律型等知识，熟练掌握勾股定理，得出规律是解题的关键．由勾股定理得，再由图1可知，“生长”1次后，所有正方形的面积和为，由图2可知，“生长”2次后，所有正方形的面积和为，得出规律，即可解决问题． 【详解】解：设直角三角形的两条直角边为：a、b，斜边为c， ∴， ∵正方形的边长为1， ∴， 由图1可知，“生长”1次后，以直角三角形两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积， ∴此时，所有正方形的面积和为：， 由图2可知，“生长”2次后，所有正方形的面积和为：， …… ∴在“生长”了2022次后形成的图形中所有正方形的面积和是：． 故选：A． 11．10或 【分析】本题考查了勾股定理在直角三角形中的应用以及分类讨论思想，解题的关键是分情况讨论已知的两边是直角边还是其中一边为斜边，再利用勾股定理计算第三边的长度． 分两种情况计算：当6和8为直角边时，第三边为斜边，由勾股定理得第三边长为；当8为斜边、6为直角边时，第三边为另一条直角边，由勾股定理得第三边长为． 【详解】解：本题可分两种情况讨论： 情况一：若6和8均为直角边，根据勾股定理，第三边（斜边）的长为； 情况二：若8为斜边，6为直角边，根据勾股定理，第三边（另一条直角边）的长为． 故第三边的长为10或． 故答案为：10或． 12．14 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定以及勾股定理．先根据题意证明得到，，得到，利用勾股定理求出的长，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵和都是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：14． 13．15 【分析】本题考查平面展开—最短路线问题，涉及到勾股定理，将正方体侧面展开，利用两点之间线段最短是解题的关键． 要求正方体中两点之间的最短距离，最直接的作法，就是将正方体展开，然后利用两点之间线段最短解答即可． 【详解】解：按照正面和右面展开，如下： ∴，， ∴； 按照正面和下面展开，如下： ∴，， ∴， 按照上面和右面展开，如下： ∴，， ∴， ∴需要爬行的最短距离为． 故答案为：15． 14．2 【分析】本题考查了勾股定理的证明、正方形的性质以及完全平方公式等知识，求出是解题的关键．由正方形的性质和勾股定理得，再由，得，则，即可解决问题． 【详解】解：设大正方形的边长为c， ∵大正方形的面积是18， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴小正方形的面积， 故答案为：2． 15．48 【分析】过点A作于点M，过点C作于点N，过点B作于点H，利用平行线间的距离处处相等，等腰三角形的性质，勾股定理解答即可． 本题考查了平行线间的距离处处相等，等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 【详解】解：过点A作于点M，过点C作于点N，过点B作于点H， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：48． 16．(1)的长为6 (2)的周长等于24；的面积等于24 【分析】本题考查了勾股定理，三角形的周长和面积，熟练掌握相关知识点是解题的关键； （1）利用勾股定理求解； （2）利用三角形的周长和面积公式求解． 【详解】（1），，， ， 的长为6． （2）的周长等于， 的面积等于． 17．(1) (2) 【分析】此题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解本题的关键． （1）利用网格及勾股定理求解即可； （2）连接，利用勾股定理逆定理得出，即可求解． 【详解】（1）解：由网格得：， 故答案为：； （2）如图：连接，则， ∴， ∴， ∴ ∴． 18．(1)见解析； (2)线段的长度为5． 【分析】本题考查的是勾股定理的应用； （1）连接，证明，利用勾股定理证明即可； （2）求解，利用，，再进一步求解即可． 【详解】（1）证明：连接， D是的中点， ， 在中，根据勾股定理有． 同理可得，， ， ． （2）解：在中，， ． 根据直角三角形直中斜垂线性质有． 设，则， ， 解得， ． 同理可得：， ∴， 解得：， ， 线段的长度为5． 19．(1) (2) (3) 【分析】设，在中，根据，构建方程即可解决问题； 首先证明，设，在中，利用勾股定理构建方程即可解决问题； 设，首先证明，推出，，由，推出，，，在中，可得，解方程即可解决问题； 【详解】（1）解：根据折叠的性质，得． 因为四边形是长方形， 所以． 设，则， 在Rt中，因为， 所以，解得， 所以． （2）因为四边形是长方形， 所以． 根据折叠的性质，得． 又因为， 所以． 因为交于点， 所以， 所以， 所以． 设，则． 在Rt中，因为， 所以，解得， 所以． （3）因为四边形是长方形， 所以． 根据折叠的性质，得， 所以． 又因为， 所以，所以， 所以． 又因为， 设，则， 所以． 在Rt中，，解得， 所以． 【点睛】此题考查勾股定理，全等三角形的判定和性质，正确理解题意确定三角形的三边由勾股定理建立方程是解题的关键． 20．(1)见解析； (2)见解析； (3)或． 【分析】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理以及分类讨论等知识，熟练掌握等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键． （1）证，即可得出结论； （2）由等腰直角三角形的性质，，则，再由全等三角形的性质得，，则，然后由勾股定理即可解决问题； （3）分两种情况，①点在延长线上时，过点作于点，由等腰三角形的性质得，再由（2）可知，，，再由勾股定理求出的长即可； ②点在延长线上时，过点作于点，由等腰直角三角形的性质得，同（2）得，则；即可得出结论． 【详解】（1）证明：，， ， ， 即， 是等腰直角三角形，且， ， 在和中， ， ； （2）解：，，是等腰直角三角形，且， ，， ， 由（1）可知，≌， ，， ， ， ， ； （3）解：和是等腰直角三角形，，， ，， ，，， 分两种情况： ①如图，点在延长线上时，过点作于点， ， ， ， ， ， 由（2）可知，，， ； ②如图，点在延长线上时，过点作于点， ， ， ， ， ， ， 同（2）得：， ； 综上所述，的值为或． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$