精品解析：2025年四川省成都市武侯区西川实验学校中考数学三诊试卷

2025年四川省成都市武侯区西川实验学校中考数学三诊试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 的绝对值是（ ） A. B. C. D. 2025 2. 如图是由6个完全相同的小正方体组成的几何体，其俯视图为（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知点与点B关于原点对称，则点B的坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 一次空气污染指数抽查中，收集到一周的数据如下：70，70，63，82，91，91，75．该组数据的中位数是（ ） A. 63 B. 82 C. 91 D. 75 6. 如图，在矩形中，对角线与相交于点，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 我国古代数学名著《张邱建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗．今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？”意思是：现在一斗清酒价值斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子．现在拿斗谷子，共换了5斗酒，问清酒、醑酒各几斗？如果设清酒斗，醑酒斗，那么可列方程组为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平行四边形中，对角线和交于点O，以点B为圆心，一定长度为半径画弧，分别交于点E和点F，再分别以点E，F为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点G，射线恰好经过顶点D．则下列结论中不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 9. 若，为实数，且满足，则的值是________． 10. 若代数式有意义，则实数x的取值范围为______． 11. 若长度为的圆弧所在圆的半径为3，则该圆弧所对的圆心角的度数为______． 12. 盒中有a枚黑棋和b枚白棋，这些棋除颜色外无其他差别，从盒中随机取出1枚棋子，如果它是黑棋的概率是，则的值为______． 13. 如图，在平面直角坐标系中，直线l是一、三象限的角平分线，点P是直线l上的一个动点，，是x轴上的两个点，则的最小值为______． 14. 当时，则代数式的值为______． 15. 已知关于x的一元二次方程有实数根．若该方程的两个实数根分别为，且，求m的值____________ 16. 如图，在菱形中，对角线、交于点E，，，以点E为圆心作圆E，圆E与菱形的四条边相切，现随机向菱形内掷一枚小针，则针尖落在圆E的概率为______． 17. 如图，在平行四边形中，，，将绕点A逆时针旋转角α（）得到，连接，．当为直角三角形时，旋转角的度数为______． 18. 在平面直角坐标系中，已知点和点是二次函数图象上的两点．若对于，都有，则a的取值范围是______；若对于，，都有，则a的取值范围是______． 三、解答题：本题共8小题，共64分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. （1）计算：； （2）解不等式组： 20. 2024年“中国网络文明大会”在成都举办，大会以“弘扬时代精神，共建网络文明”为主题，包括开幕式及主论坛、11场分论坛和网络互动引导活动，分论坛围绕11个方面的主题展开．加强网络文明建设是加快适应信息技术迅猛发展新形势的必然要求，应从学生抓起．某学校为了解学生感兴趣的主题，现随机选取部分学生对选出的5个主题（A．网络正能量；B．网络文明培育；C．未成年人网络保护；D．网络辟谣；E．人工智能）进行调查，并根据调查结果绘制成如下不完整的统计表和统计图． 主题 人数 A 18 B 9 C a D 36 E b 请根据上述信息，解答下列问题： （1）______； （2）求扇形统计图中A所对应的扇形的圆心角度数； （3）若该学校共有学生3000人，请你估计该校对“人工智能”感兴趣的学生人数． 21. 圭表（如图1）是中国古代的一种天文仪器，由直立的标杆（表）和南北方向水平放置的与标杆垂直的长尺（圭）组成，用于测定正午的日影长度，进而推算节气等．当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，将圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图2是一个根据某市地理位置设计的圭表平面示意图，表垂直于圭，已知该市冬至正午太阳高度角（即）为，夏至正午太阳高度角（即）为，表的长为4.75米，求圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即的长）．（结果精确到0.1米，参考数据： ，，，） 22. 如图，内接于，AB是的直径，点E在圆上，且，过点C作，垂足为点D，与的延长线相交于点． （1）求证：是的切线； （2）若BF=2，，求的半径和线段的长． 23. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，点C为第一象限反比例函数图象上一点，连接，BO． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）若时，求点C的坐标； （3）定义：我们把对角线与一边垂直的平行四边形叫做“铅垂平行四边形”，若点D在x轴上方，当以A，B，C，D为顶点的四边形是“铅垂平行四边形”时，求点D的坐标． 24. 云南作为“水果之乡”，盛产多种特色水果．某昆明水果批发商到当地水果产地采购沃柑和芒果．已知沃柑每千克进价10元，芒果每千克进价15元． （1）批发商第一次采购沃柑和芒果共300千克，总进价为3800元，请问批发商采购的沃柑和芒果分别是多少千克？ （2）批发商计划第二次采购这两种水果，共1000千克，且采购芒果的重量不超过沃柑重量的3倍．设采购芒果千克，总采购费用为元，当为何值时，所需费用最高？最高费用为多少？ 25. 如图1，抛物线与x轴交于点A、B两点，与y轴交于点C，直线的解析式为． （1）求出抛物线的解析式； （2）P是直线上方抛物线上一点，连接交于点E，当最大时，求点P的坐标，并求出这个最大值； （3）如图2，过线段的中点H作直线交抛物线于M、N两点（点M在点N左侧），直线与直线交于点G，求的最小值． 26. 如图，在矩形中，，，E是边上的一个动点，F是边上的一个动点，连接，将矩形沿折叠，点A、B的对应点分别为点M，． （1）当点N在射线上时． ①如图1，连接，若点N与点D重合，求的长； ②如图2，连接交边于点P，交线段于点Q．当时，求的长． （2）若，连接，，求面积的最大值与最小值之和． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年四川省成都市武侯区西川实验学校中考数学三诊试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 的绝对值是（ ） A. B. C. D. 2025 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了绝对值的定义，根据绝对值的定义进行求解即可． 【详解】解：的绝对值是， 故选：A． 2. 如图是由6个完全相同的小正方体组成的几何体，其俯视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查判断几何体的三视图，根据俯视图是从上往下看，得到的图形，进行判断即可． 【详解】解：由图可知，俯视图为： 故选：B． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据运算法则逐一计算判断即可本题考查了积的乘方，平方差公式，完全平方公式，合并同类项，熟练掌握公式和运算的法则是解题的关键． 【详解】解：∵， 故A不合题意． ∵不是同类项，无法计算， ∴B不合题意． ∵， ∴C不合题意． ∵， ∴D合题意． 故选：D． 4. 已知点与点B关于原点对称，则点B的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据关于原点对称点的坐标变化特征直接判断即可． 【详解】点A(2,4)与点B关于原点对称，则点B的坐标为(−2,−4)， 故选：D． 【点睛】本题考查了关于原点对称点的坐标，解题关键是明确关于原点对称的两个点横纵坐标都互为相反数． 5. 一次空气污染指数抽查中，收集到一周的数据如下：70，70，63，82，91，91，75．该组数据的中位数是（ ） A. 63 B. 82 C. 91 D. 75 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中位数的含义．注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数，根据定义求解即可． 【详解】解：将这组数据重新排序为：63，70，70，75，82， 91，91， 则其中位数为75， 故选：D． 6. 如图，在矩形中，对角线与相交于点，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，根据矩形的性质逐项判断即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，，则， ∴选项A中不一定正确，故不符合题意； 选项B中不一定正确，故不符合题意； 选项C中一定正确，故符合题意； 选项D中不一定正确，故不符合题意， 故选：C． 7. 我国古代数学名著《张邱建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗．今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？”意思是：现在一斗清酒价值斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子．现在拿斗谷子，共换了5斗酒，问清酒、醑酒各几斗？如果设清酒斗，醑酒斗，那么可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，根据5斗酒和斗谷子列方程组即可得到答案； 【详解】解：设清酒斗，醑酒斗， 由题意可得，， 故选：A． 8. 如图，在平行四边形中，对角线和交于点O，以点B为圆心，一定长度为半径画弧，分别交于点E和点F，再分别以点E，F为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点G，射线恰好经过顶点D．则下列结论中不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由作法知，是的平分线，则有，从而由平行四边形的性质易得，即四边形为菱形，也得，但不一定成立，从而可确定结果． 【详解】解：由作法知，是的平分线， ∴； ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴，即四边形为菱形， ∴， 但不一定成立， 即选项A、B、C正确， 故选：D． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定与性质，等腰三角形的判定，尺规作图作角平分线等知识． 二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 9. 若，为实数，且满足，则的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】本考查了代数式求值，算术平方根和绝对值的非负性，利用非负性求出、的值，再代入求值即可． 【详解】， ，， ，， ， 故答案为：． 10. 若代数式有意义，则实数x的取值范围为______． 【答案】且 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，分别列出不等式，求解即可得到实数的取值范围． 【详解】解：由题意可得 ，二次根式被开方数为非负数，得 分式分母不为零，得 解不等式，得 解不等式，得 因此实数的取值范围为． 11. 若长度为的圆弧所在圆的半径为3，则该圆弧所对的圆心角的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是弧长的计算，熟记弧长公式：弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为是解题的关键． 设该圆弧所对的圆心角的度数为n，根据弧长公式计算即可． 【详解】解：设该圆弧所对的圆心角的度数为n， 由题意得：， 解得：， 故答案为： 12. 盒中有a枚黑棋和b枚白棋，这些棋除颜色外无其他差别，从盒中随机取出1枚棋子，如果它是黑棋的概率是，则的值为______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了概率公式以及分式的值，熟练掌握概率公式是解题的关键．由概率公式得，整理得，再代入所求分式计算即可． 【详解】解：从盒中随机取出1枚棋子，它是黑棋的概率是， ， ， 故答案为： 13. 如图，在平面直角坐标系中，直线l是一、三象限的角平分线，点P是直线l上的一个动点，，是x轴上的两个点，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查的是最短线路问题，勾股定理，根据图形特点作辅助线，将问题转化为两点之间线段最短是解答此题的关键．首先作出点A关于直线l的对称点，从而得到，故此，由两点之间线段最短可知即为所求． 【详解】解：取在y轴上点使，连接， ∴点的坐标为． ∴点与点A关于直线l对称． ∴． ∴． 由两点之间线段最短可知：当点、P、B在一条直线上时，有最小值， 在中，， 故答案为：． 14. 当时，则代数式的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，先算括号里面的，再算除法，最后把x的值代入进行计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式 故答案为：． 15. 已知关于x的一元二次方程有实数根．若该方程的两个实数根分别为，且，求m的值____________ 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程有实数根得到，确定，利用一元二次方程根与系数的关系得到，即可得到答案． 【详解】解：∵一元二次方程有实数根， ∴， ∴， ∵该方程的两个实数根分别为， ∴， ∴， ∴ 解得， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与系数的关系，完全平方公式变形计算，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 16. 如图，在菱形中，对角线、交于点E，，，以点E为圆心作圆E，圆E与菱形的四条边相切，现随机向菱形内掷一枚小针，则针尖落在圆E的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形性质，圆的性质，切线性质，几何概率等知识点，涉及面较广，主要在于通过圆的面积与菱形面积之比求得概率的大小． 首先根据菱形性质，得到菱形对角形互相垂直且平分，从而得到菱形的面积，已知条件中圆与菱形各边相切，结合直角三角形性质，求得圆的半径，从而得到圆的面积，再利用圆的面积与菱形的面积之比，得到针尖落在圆中概率的大小． 【详解】解：如图，设圆与相切于点，连接，则， ∵菱形，，， ∴，，， ∴， ∴中，， ∵， ∴， ∴， ∴随机向菱形投一根针，针尖落在圆的概率为． 故答案为：． 17. 如图，在平行四边形中，，，将绕点A逆时针旋转角α（）得到，连接，．当为直角三角形时，旋转角的度数为______． 【答案】或 【解析】 【分析】连接，取的中点，连接，证明是等边三角形，得到，，然后得到，进而分类讨论即可求解． 【详解】解：连接，取的中点，连接，如图所示， ∵在中，， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴ ∴， ∴ ∴， 如图所示，当点在上时，此时，则旋转角的度数为， 当在的延长线上时，则旋转角的度数为，如图所示， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵ ∴四边形是矩形， ∴ 即是直角三角形， 综上所述，旋转角的度数为或或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，矩形的性质与判定，旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 18. 在平面直角坐标系中，已知点和点是二次函数图象上的两点．若对于，都有，则a的取值范围是______；若对于，，都有，则a的取值范围是______． 【答案】 ①. ②. 或 【解析】 【分析】本题考查的初中数学知识点包括二次函数的图象与性质，不等式的求解．分类讨论思想的应用是解题的关键．先确定二次函数的对称轴，再根据 “对于特定自变量取值范围内的任意x或任意，函数值满足特定大小关系” 这一条件，结合二次函数开口方向对函数增减性的影响，分情况列出不等式，进而求解出参数a的取值范围，过程中需精准运用二次函数性质建立函数值与自变量、参数的关联，同时通过分类讨论覆盖不同开口方向下的可能性． 【详解】解：二次函数的对称轴为直线， 令，则或a， 存在， ， ， ， 恒成立， 即； ， ， ，在时恒成立， 当时，或， ， 当时，且， ， 综上所述，或 故答案为：，或 三、解答题：本题共8小题，共64分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. （1）计算：； （2）解不等式组： 【答案】 （） （）  【解析】 【分析】()需先依据零指数幂、特殊角三角函数值、立方根、绝对值的各自规则，分别将式子中的每一项转化为常规实数；再按照实数的加减运算法则计算最终结果，避免因某一项化简错误导致整体结果出错；零指数幂法则为任何非零数的次方都等于；特殊角的余弦值；立方根表示求的立方根；绝对值需要根据绝对值的代数意义化简，最后将各项化简结果进行计算； ()解不等式组需要分别求解每个不等式，然后取它们解集的交集，即为不等式组的解集；解单个不等式时，需严格遵循去分母、去括号、移项等步骤（尤其注意系数化为时，若系数为负数需反转不等号方向）；最后通过对比两个不等式的解集，找出它们的公共部分，即为不等式组的解集； 【详解】解：原式 ； 解不等式①： 去括号得：， 移项、合并同类项得： 系数化得：； 解不等式②：， 去分母得：， 移项、合并同类项得：， 系数化得：； 则不等式组的解集为． 【点睛】本题主要考查实数的混合运算及一元一次不等式组的解法；混合运算关键是正确化简各项特殊运算并进行合并计算；解不等式组关键是先分别解出两个一元一次不等式，再确定不等式组的公共解集． 20. 2024年“中国网络文明大会”在成都举办，大会以“弘扬时代精神，共建网络文明”为主题，包括开幕式及主论坛、11场分论坛和网络互动引导活动，分论坛围绕11个方面的主题展开．加强网络文明建设是加快适应信息技术迅猛发展新形势的必然要求，应从学生抓起．某学校为了解学生感兴趣的主题，现随机选取部分学生对选出的5个主题（A．网络正能量；B．网络文明培育；C．未成年人网络保护；D．网络辟谣；E．人工智能）进行调查，并根据调查结果绘制成如下不完整的统计表和统计图． 主题 人数 A 18 B 9 C a D 36 E b 请根据上述信息，解答下列问题： （1）______； （2）求扇形统计图中A所对应的扇形的圆心角度数； （3）若该学校共有学生3000人，请你估计该校对“人工智能”感兴趣的学生人数． 【答案】（1）36 （2） （3）1350人 【解析】 【分析】本题考查的是从频数分布表与扇形图中获取信息，利用样本估计总体； （1）由D组人数除以其频率可得总人数，再根据扇形图求解B，C总人数，从而可得的值； （2）由乘以A的占比即可得到圆心角； （3）利用样本估计总体的思想求解即可． 【小问1详解】 解：抽查的总人数人， B、C的总人数为：人， ； 故答案为：36； 【小问2详解】 解：， 答：扇形统计图中A所对应的扇形的圆心角度数为； 【小问3详解】 解：， 人， 答：估计该校对“人工智能”感兴趣的学生人数是1350人． 21. 圭表（如图1）是中国古代的一种天文仪器，由直立的标杆（表）和南北方向水平放置的与标杆垂直的长尺（圭）组成，用于测定正午的日影长度，进而推算节气等．当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，将圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图2是一个根据某市地理位置设计的圭表平面示意图，表垂直于圭，已知该市冬至正午太阳高度角（即）为，夏至正午太阳高度角（即）为，表的长为4.75米，求圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即的长）．（结果精确到0.1米，参考数据： ，，，） 【答案】5.1米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，平行投影，根据题意可得：，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】解：由题意得：， 在中，，米，， ∴（米）， 在中，，， ∴（米）， ∴（米）， ∴圭面上冬至线与夏至线之间的长约为5.1米． 22. 如图，内接于，AB是的直径，点E在圆上，且，过点C作，垂足为点D，与的延长线相交于点． （1）求证：是的切线； （2）若BF=2，，求的半径和线段的长． 【答案】（1） 证明：连接， ， ， ， ， ， ， ， 是的切线； （2）3， 【解析】 【分析】该题考查了圆周角定理，相似三角形的性质和判定，解直角三角形，等腰三角形的性质，切线的判定，解题的关键是掌握以上知识点． （1）连接，根据圆周角定理得出，根据等腰三角形的性质，得出，证出，根据平行线的性质得出，即可证明； （2）先证明，得出，求出圆的半径，证明， ，根据对应边成比例解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由题意可得：， ， ， ， ， ， ，，，， ， ， ， 23. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，点C为第一象限反比例函数图象上一点，连接，BO． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）若时，求点C的坐标； （3）定义：我们把对角线与一边垂直的平行四边形叫做“铅垂平行四边形”，若点D在x轴上方，当以A，B，C，D为顶点的四边形是“铅垂平行四边形”时，求点D的坐标． 【答案】（1）， （2）或 （3）或或 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数表达式的求解、三角形面积的坐标计算以及新定义“铅垂平行四边形”的综合应用；解题的关键是利用函数图象上点的坐标特征求解析式，结合坐标表示面积建立等量关系，以及分类讨论平行四边形中对角线与边的垂直关系． （1）由点B在反比例函数上求出反比例函数解析式，进而确定点A的坐标，再将A、B坐标代入一次函数求出其表达式； （2）设点C的坐标，通过坐标表示出三角形的高（即点C与直线的纵向距离），结合面积关系列方程求解点C的坐标； （3）按“铅垂平行四边形”的垂直条件分三类：①为对角线且，通过构造相似三角形求得直线解析式，联立反比例函数得，再用平移求；②为对角线且，构造相似直角三角形，用相似比列方程求，再求；③为对角线且，同理求C后用平移求D． 【小问1详解】 解：反比例函数经过点， ， ， 反比例函数的表达式为， 点在反比例函数的图象上， ， 解得：， ， 把，代入，得：， 解得：， 一次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：设，过点C作y轴的平行线交直线于E，如图1，设直线交y轴于点F，则，， ，， ， ， 即， 整理得：或， 或或， 点C在第一象限， 或， 或； 【小问3详解】 解：分三类讨论： ①当为对角线，时，如图2， 直线的表达式为，设与x轴、y轴的交点为M、L， 当时，，当时，， ∴点，且， 所以，，， 设直线与与x轴交于点N， ∵， ∴， ∴，即，得， ∴，即， 设直线的解析式为，将点B与点N坐标代入得： ， 解得：， 直线的表达式为， 联立方程组得：， 解得：舍去，， ， 四边形是平行四边形，，， ，， 由平移规律得：，， ； ②当为对角线，时，如图3，设，过点C作轴，过点A、B分别作y轴的平行线交于E、F， 则，，，，， ， ， ∽， ，即， 解得：（舍去）或舍去或， ， 四边形是平行四边形， ，， 由平移规律得：，， ； ③当为对角线，时，如图4， 同理可得：， 四边形是平行四边形， ，， 由平移规律得：，， ； 综上所述，点D的坐标为或或 24. 云南作为“水果之乡”，盛产多种特色水果．某昆明水果批发商到当地水果产地采购沃柑和芒果．已知沃柑每千克进价10元，芒果每千克进价15元． （1）批发商第一次采购沃柑和芒果共300千克，总进价为3800元，请问批发商采购的沃柑和芒果分别是多少千克？ （2）批发商计划第二次采购这两种水果，共1000千克，且采购芒果的重量不超过沃柑重量的3倍．设采购芒果千克，总采购费用为元，当为何值时，所需费用最高？最高费用为多少？ 【答案】（1）采购的沃柑有140千克，采购的芒果有160千克 （2）当为750时，所需费用最高，最高费用为13750元 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，一元一次不等式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先设采购的沃柑有千克，采购的芒果有千克，根据题意列出二元一次方程组，再解得，即可作答． （2）先由题意得，解得，故，运用一次函数的性质进行作答即可． 【小问1详解】 解：设采购的沃柑有千克，采购的芒果有千克， ． ∴ 答：采购的沃柑有140千克，采购的芒果有160千克． 【小问2详解】 解：第二次购进千克芒果，则购进千克沃柑， 由题意可知，， ， 则． ， 随的增大而增大． 当时，所需费用最高为：（元）． 答：当为750时，所需费用最高；最高费用为13750元． 25. 如图1，抛物线与x轴交于点A、B两点，与y轴交于点C，直线的解析式为． （1）求出抛物线的解析式； （2）P是直线上方抛物线上一点，连接交于点E，当最大时，求点P的坐标，并求出这个最大值； （3）如图2，过线段的中点H作直线交抛物线于M、N两点（点M在点N左侧），直线与直线交于点G，求的最小值． 【答案】（1） （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）先求出，，再代入，由待定系数法即可求解； （2）作轴，交直线于点，交轴于点，过作交于点，作于点，交于点，设交轴于点，作于，由平行线分线段成比例得，进而可得最大时，最大满足题意，设，则，得，即可求得，进而可求； （3）设，，求出直线表达式为，代入点得：，求直线，直线，联立直线、表达式，得即，求出经过点的直线为，设，利用两点间的距离公式及二次函数的性质即可求出的最小值． 【小问1详解】 解：直线的解析式为． 时，；时，， ， ，， 将，代入 得， 解得， ∴； 【小问2详解】 解：如图，作轴，交直线于点，交轴于点，过作交于点，作于点，交于点，设交轴于点，作于， ， ， 当时，， ，， ， 设直线为， 将代入得，， ， ， ，， ， ， ， 轴， ， ， ， ， ， ， 若最大，则最大， ， 最大时，最大， 而， 最大时，最大满足题意， 设，则， ， 时，，， ， ， ； 【小问3详解】 解： ，， 的中点为， 设，， 直线表达式为， 将代入得：， 解得：， 直线表达式为， 代入点得：， 同理可求直线：， 直线：， 联立直线、表达式得：， 解得， 即， 设经过点的直线为， 代入， 得： 比较系数得：， 解得：， 当，无论为何值，该式子恒成立，点在直线上运动， 设， ， ， 时，． 【点睛】本题主要考查了二次函数与坐标轴交点坐标，相似三角形的判定和性质、解直角三角形，二次函数与一次函数综合问题等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 26. 如图，在矩形中，，，E是边上的一个动点，F是边上的一个动点，连接，将矩形沿折叠，点A、B的对应点分别为点M，． （1）当点N在射线上时． ①如图1，连接，若点N与点D重合，求的长； ②如图2，连接交边于点P，交线段于点Q．当时，求的长． （2）若，连接，，求面积的最大值与最小值之和． 【答案】（1）①；② （2） 【解析】 【分析】（1）①连接，设，则，利用轴对称的性质和勾股定理解答即可； ②连接，利用①的方法求得，利用勾股定理和轴对称的性质求得，利用相似三角形的判定与性质求得，则结论可求； （2）作点关于的对称点，连接，，，，，，作点关于的对称点，连接，利用轴对称的性质得到，则；利用点的轨迹的知识求得的面积的最小值与最大值，则结论可得． 【小问1详解】 ①连接，如图， 由题意得：，， 四边形为矩形， ，， 设，则 ， ， ， ， ； ②连接，如图， 由题意得：，，， 四边形为矩形， ，，， ， ， ， 点B与点N关于对称， ，， 设，则 ， ， ， ， ，， ∽， ， ， ， ； 【小问2详解】 作点D关于的对称点，连接，，，，，，作点D关于的对称点，连接，如图， 将矩形沿折叠，点A，B的对应点分别为点M，N， ≌， 点D关于的对称点为，点D关于的对称点， 垂直平分，AF垂直平分， ， ， 在以F为圆心，为半径的劣弧上运动． 当点在边上时，的面积取得最小值，当点与点D重合时，的面积取得最大值， 的面积的最小值， 的面积的最大值， 面积的最大值与最小值之和 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，折叠的性质，轴对称，直角三角形的性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质，相似三角形的判定与性质，圆的有关性质，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． 第1页/共1页 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