甘肃省兰州市第三十五中学2024-2025学年八年级下学期期中数学试卷

2024-2025学年甘肃省兰州三十五中八年级（下）期中数学试卷 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.剪纸文化是中国古老的民间艺术之一，下列剪纸图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    ) A. B. C. D. 2.下列命题是真命题的是(    ) A. 有一个角是的三角形是等边三角形 B. 若，则 C. 在角的内部，到角的两边距离相等的点一定在这个角的平分线上 D. 用反证法证明：“已知，，求证：”第一步应先假设 3.如图，在中，若，，则BC的长为(    ) A. B. 5 C. 6 D. 4.已知不等式的解是，则一次函数的图象大致是(    ) A. B. C. D. 5.下列多项式中，不能用公式法因式分解的是(    ) A. B. C. D. 6.如图，在中，，点O是、的平分线的交点，且，，则点O到边AB的距离为(    ) A. 2cm B. 3cm C. 4cm D. 5cm 7.如图，是“俄罗斯方块”游戏的示意图.若使上方的“T”型方块组阴影部分落下后刚好填满下方两层的空格，则可以将上方的方块组(    ) A. 先绕点P逆时针旋转，再向下平移4格 B. 先绕点P顺时针旋转，再向下平移4格 C. 先绕点P逆时针旋转，再向下平移5格 D. 先绕点P顺时针旋转，再向下平移5格 8.如图，中，，，AD是的中线，点E在AC上，，则等于(    ) A. B. C. D. 9.某品牌运动鞋的进价为每双200元，售价为每双300元，该商店准备举行打折促销活动，要求利润率不低于，如果将这种品牌的运动鞋打x折销售，则能正确表示该商店的促销方式的不等式是(    ) A. B. C. D. 10.如图，在中，，，，，则AB的长为(    ) A. 3 B. C. 2 D. 11.若关于x的不等式组的解集为，则的值为(    ) A. B. 5 C. 6 D. 12.如图，中，的平分线BD和AC边的垂直平分线DE交于点D，的延长线于点M，于点若，，则AB的长为(    ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 13.已知是关于x的一元一次不等式，则______. 14.______. 15.若，则的值是______. 16.如图，将一块三角板ABC沿一条直角边CB所在的直线向右平移m个单位得到位置，下列结论： ①且； ②； ③若，，则AB边扫过的图形的面积为5； ④若四边形的周长为a，三角形ABC的周长为b，则其中正确的结论是______. 三、解答题：本题共11小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题4分 解不等式组，并把解集在数轴上表示出来： 18.本小题6分 因式分解： ； 19.本小题5分 已知关于x，y的方程组的解满足不等式组求满足条件的m的整数值. 20.本小题4分 如图所示的正方形网格中，的顶点均在格点上，在所给直角坐标系中解答下列问题： 作出关于坐标原点O成中心对称的； 将绕点C逆时针旋转，画出旋转后的 21.本小题6分 如图，在中，，AD平分，于E，点F在边AC上，连接 若，，求DE的长； 若，直接写出线段AB，AF，EB的数量关系. 22.本小题8分 我校即将进行秋季实践活动，计划租用A、B两种型号的大巴车，已知租用1辆A型大巴车和2辆台B型大巴车，共需费用1100元；4辆台A型大巴车比5辆B型大巴车的费用多500元. 求A型大巴车和B型大巴车每辆各需多少元. 若计划租用A、B两种型号大巴车共30辆，且A型大巴车的辆数不少于B型大巴车的一半，两种型号大巴车的租用采购总费用不超过11500元，共有哪几种采购方案？ 在的条件下，直接写出采用哪一种租用方案可使总费用最低，最低费用是多少元？ 23.本小题6分 如图，已知函数和的图象交于点，这两个函数的图象与x轴分别交于点A、 分别求出这两个函数的解析式； 求的面积； 根据图象直接写出不等式的解集． 24.本小题6分 【阅读材料】：将四项及四项以上的多项式进行因式分解，我们一般使用分组分解法，对于四项多项式的分组分解法有两种分法：一是“”分组，二是“”分组.两种分组的主要区别在于多项式中是否存在三项可以构成完全平方，若可以构成完全平方，则采用“”分组；若无法构成，则采用“2，2”分组. 例如： 像这种将一个多项式适当分组后，再分解因式的方法叫做分组分解法. 【学以致用】：因式分解： 【拓展延伸】：已知a，b，c为等腰的三边长，且满足，求等腰的面积. 25.本小题8分 如图，已知OA、OC分别是的外角和的平分线，连接 求证：BO平分； 若，且与的面积分别是12和18，求的周长. 26.本小题9分 新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“关联方程”. 在方程①；②；③中，不等式组的“关联方程”是______填序号； 关于x的方程是不等式组的“关联方程”，求k的取值范围； 若关于x的方程是关于x的不等式组的“关联方程”，且此时不等式组有3个整数解，试求m的取值范围. 27.本小题10分 阅读下面材料，并解决问题： 如图，1，等边内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为1，，2，求的度数. 为了解决本题，我们可以以AP为一边在AP右侧作等边三角形，连接，此时可证≌，这样就可以将三条线段PA、PB、PC转化到一个三角形中，从而求出的度数.请你写出完整的解题过程； 请你利用第题的解答思想方法，解答下面问题. 基本运用 如图2，点P为等边外一点，，，，求PC长. 能力提升 如图3，在中，，，，点P为内一点，连接AP，BP，CP，则的最小值是______. 答案和解析 1.【答案】C  【解析】解：选项图形是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； B.选项图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C.选项图形是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意； D.选项图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意． 故选： 根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合． 本题考查了中心对称图形，轴对称图形，掌握中心对称图形，轴对称图形的概念是关键． 2.【答案】C  【解析】解：A、有一个角是的三角形是等边三角形，是假命题，例如三个角分别为、、的三角形不是等边三角形，故本选项说法错误； B、若，则，是假命题，例如，而，故本选项说法错误； C、在角的内部，到角的两边距离相等的点一定在这个角的平分线上，本选项说法正确； D、用反证法证明：“已知，，求证：”第一步应先假设，故本选项说法错误； 故选： 分别根据等边三角形的判定、有理数的乘方、角平分线的判定、反证法进行分析判断． 本题主要考查真假命题，掌握等边三角形的判定、有理数的乘方、角平分线的判定、反证法的应用是解题的关键． 3.【答案】A  【解析】解：过点C作于点H，则， ， ， ， ， ， 故选： 过点C作于点H，则，根据含角直角三角形的性质得到，由勾股定理得到，则，由勾股定理即可得到 此题考查了解直角三角形的性质和勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解题的关键． 4.【答案】B  【解析】解：不等式的解是， 对于一次函数，当时，， 即当时，一次函数的图象上x的上方． 故选： 把不等式的解集理解为当时，一次函数的函数值大于0，即函数图象上x的上方，从而可对各选项进行判断． 本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数图象的角度看，通过比较两函数图象的高低，即比较两个函数值的大小得到对应的自变量的范围，从而确定不等式的解集．也考查了一次函数图象． 5.【答案】D  【解析】解：A、，故此选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，故此选项不符合题意； D、，不能用公式法分解因式，故此选项符合题意； 故选： 根据平方差公式、完全平方公式的结构特征判断即可． 本题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握平方差公式、完全平方公式是解题的关键． 6.【答案】A  【解析】解：如图，连接OB，过点O作于D，于E，于F， 在中，，，， 由勾股定理得：， 点O是、的平分线的交点，，，， ，， ， ， ，即， 解得：， 则点O到边AB的距离为2cm， 故选： 连接OB，过点O作于D，于E，于F，根据勾股定理求出AB，根据角平分线的性质得到，再根据三角形面积公式计算即可． 本题考查的是角平分线的性质，熟记角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 7.【答案】B  【解析】解：将上方的方块组先绕点P顺时针旋转，再向下平移4格，上方的“T”型方块组阴影部分落下后刚好填满下方两层的空格． 故选： 根据图形结合平移与旋转的特点，进行判断即可． 本题主要考查了几何变换的类型，熟知图形旋转和平移的特点是解题的关键． 8.【答案】D  【解析】解：，，AD是的中线， ， ， ， ， 故选： 先根据等腰三角形的性质求出的度数，再根据等腰三角形的性质得，可求答案． 本题主要考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 9.【答案】B  【解析】解：如果将这种运动鞋打x折销售，根据题意得， 故选： 根据题意，列出不等式即可． 本题考查了一元一次不等式的应用，根据利润=售价-进价，可列不等式求解． 10.【答案】C  【解析】解：如图，延长AD到点E，使，连接CE， 则， ， ， ，， ≌， ，， 在中，由勾股定理得：， ， 故选： 延长AD到点E，使，连接CE，证明≌，得，，然后在中，根据勾股定理求出CE的长，即可得出结论． 本题考查了全勾股定理以及等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握勾股定理，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 11.【答案】D  【解析】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 不等式组的解集为：， 关于x的不等式组的解集为， ， 解得：， 故选： 根据不等式的解集，求出a，b，即可． 本题考查一元一次不等式组的知识，解题的关键是掌握解一元一次不等式组的方法，求出不等式中的参数． 12.【答案】C  【解析】解：连接AD、CD， 的平分线BD和AC边的垂直平分线DE交于点D， ， 交BA的延长线于点M，于点N， ，， 在和中， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 故选： 连接AD、CD，由线段的垂直平分线的性质得，由角平分线的性质得，即可根据“HL”证明，则，因为，所以，由根据“HL”证明，则，所以，求得，于是得到问题的答案． 此题重点考查角平分线的性质、线段的垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 13.【答案】  【解析】解：由题意得：且， 解得：且， ， 故答案为： 根据一元一次不等式的定义可得：且，然后进行计算即可解答． 本题考查了一元一次不等式的定义，准确熟练地进行计算是解题的关键． 14.【答案】  【解析】解： ， 则原式 故答案为： 先变形，再利用平方差公式进行计算即可． 本题主要考查平方差公式，灵活运用平方差公式是解题的关键． 15.【答案】2026  【解析】解：， ， ， 故答案为： 先根据已知条件求出的值，然后利用拆项法和提取公因式法，把所求代数式写成含有的形式，再整体代入进行计算即可． 本题主要考查了分解因式及其应用，解题关键是熟练掌握几种常见的分解因式的方法． 16.【答案】①②④  【解析】解：将一块三角板ABC沿一条直角边CB所在的直线向右平移m个单位得到位置， 且，故①符合题意； ， ， ，故②符合题意； 当，，则AB边扫过的图形的面积为：，故③不符合题意； 四边形的周长为， 的周长为， 由平移可知，， ， ，即，故④符合题意， 综上，符合题意的有①②④， 故答案为：①②④． 根据平移的性质，平行四边形的面积公式即可求解． 本题考查了平移的性质，熟知把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等是解题的关键． 17.【答案】解：解不等式得， 解不等式得， 不等式组的解集为 其解集在数轴上表示为：如图所示．   【解析】分别解出两不等式的解集，再求其公共解． 求不等式组的解集须遵循以下原则：同大取较大，同小取较小．小大大小中间找，大大小小解不了． 18.【答案】；     【解析】； 利用提公因式法分解因式即可； 先变形，再提公因式，然后利用完全平方公式分解因式即可． 本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握这两种因式分解的方法是解题的关键． 19.【答案】m的整数值为或  【解析】解：， ①，得，③ ②-③，得， 所以， 把代入①，得， 所以 将代入不等式组， 得， 即， 解得， 则m的整数值为或 解关于x、y的方程组，得，将代入不等式组，得到关于m的不等式组，解得m的取值范围，再求出m的整数值，即可完成解答． 本题考查解一元一次不等式组，二元一次方程组等知识，解题的关键是理解题意，用转化的思想思考问题． 20.【答案】解：如图，即为所求； 如图，即为所求．   【解析】利用中心对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点，，即可； 利用旋转变换的性质分别作出A，B，C的对应点，，即可． 本题考查作图-旋转变换，中心对称变换等知识，解题的关键是掌握旋转变换中心对称变换的性质，属于中考常考题型． 21.【答案】DE的长为     【解析】，，， ， 平分，于E，， ， ， ， 解得， 的长为 ， 理由：于E，， ， 平分，于E，， ， 在和中， ， ， ， ， ， 由，，，求得，由角平分线的性质得，由，求得 由于E，，得，由，，根据“HL”证明，得，则，而，所以，则 此题重点考查角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，证明是解题的关键． 22.【答案】租用1辆A型大巴车需500元，租用1辆B型大巴车需300元；   共有3种租车方案， 方案1：租用10辆A型大巴车，20辆B型大巴车； 方案2：租用11辆A型大巴车，19辆B型大巴车； 方案3：租用12辆A型大巴车，18辆B型大巴车；   采用方案1可使总费用最低，最低费用是11000元．  【解析】设租用1辆A型大巴车需x元，租用1辆B型大巴车需y元， 根据题意得：， 解得： 答：租用1辆A型大巴车需500元，租用1辆B型大巴车需300元； 设租用m辆A型大巴车，则租用辆B型大巴车， 根据题意得：， 解得：， 又为正整数， 可以为10，11，12， 共有3种租车方案， 方案1：租用10辆A型大巴车，20辆B型大巴车； 方案2：租用11辆A型大巴车，19辆B型大巴车； 方案3：租用12辆A型大巴车，18辆B型大巴车； 选择方案1所需总费用为元； 选择方案2所需总费用为元； 选择方案3所需总费用为元， ， 采用方案1可使总费用最低，最低费用是11000元． 设租用1辆A型大巴车需x元，租用1辆B型大巴车需y元，根据“租用1辆A型大巴车和2辆台B型大巴车，共需费用1100元；4辆台A型大巴车比5辆B型大巴车的费用多500元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； 设租用m辆A型大巴车，则租用辆B型大巴车，根据“租用A型大巴车的辆数不少于B型大巴车的一半，两种型号大巴车的租用采购总费用不超过11500元”，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，结合m为正整数，即可得出各租车方案； 求出各租车方案所需总费用，比较后，即可得出结论． 本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；根据各数量之间的关系，求出各租车方案所需总费用， 23.【答案】解：将点P 代入， 得， 解得， 将点P 代入， 得， 解得， 这两个函数的解析式分别为和； 在中，令，得， 在中，令，得， 由函数图象可知，当时，  【解析】本题考查的是一次函数与一元一次不等式，能利用函数图象直接得出不等式的解集是解答此题的关键. 把点分别代入函数和，求出a、b的值即可； 根据中两个函数的解析式得出A、B两点的坐标，再由三角形的面积公式即可得出结论； 直接根据两函数图象的交点坐标即可得出结论. 24.【答案】   48或  【解析】 ； 因为， 所以， 即， 所以，， 因为a，b，c为等腰的三边长， 所以或， 时，底边上的高是：， 面积是：， 时，底边上的高是：， 面积是： 答：等腰的面积是48或 将式子分成“”两组，然后后面的3项运用完全平方公式，式子整体运用平方差公式分解因式； 利用完全平方公式将式子分解因式，求出，，因为三角形为等腰三角形，求出或，然后求出底边上的高，求出三角形的面积即可． 本题考查了因式分解的应用，解决本题的关键是运用示例的分组分解法将式子分解因式． 25.【答案】如图，过点O分别作，，，垂足分别为点F、G、H， 平分，CO平分， ，， 等量代换， ，， 点O在的角平分线上， 即BO平分；     【解析】证明：如图，过点O分别作，，，垂足分别为点F、G、H， 平分，CO平分， ，， 等量代换， ，， 点O在的角平分线上， 即BO平分； 解：的面积为12， ， ， ， ， ， ， ， 即， 整理得， ， 的周长为 如图，过点O分别作，，，由角平分线的性质可得，，进而得，再根据角平分线的判定即可求证； 由的面积为12可得，再根据可得，进而即可求解． 本题考查了角平分线的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 26.【答案】①③；   ；    【解析】①去分母得，， 移项合并同类项得，， 系数化为1得，； ②， 去括号得，， 移项合并同类项得，； ③， 移项得，， 系数化为1得，； ， 解不等式①得，， 解不等式②得，， 不等式组的解集为， 和在的范围内，所以方程①和③是不等式组的“关联方程”． 故答案为：①③． ， 解得， 解不等式①得，， 解不等式②得，， 不等式组的解集为， 解得； 原方程去分母得，， 移项合并同类项得，； ， 解不等式①得，， 解不等式②得，， 不等式组的解集为， ， 解得， 不等式组有3个整数解， ， 解得， 解方程和不等式组后，根据定义进行判断即可； 解方程和不等式组后，再解关于k的不等式组即可； 解方程和不等式组后，再解关于m的不等式组，由不等式组有3个整数解得到新的不等式组，解新不等式组后，取两个不等式组解集的公共部分即可． 此题考查了一元一次方程的解法和一元一次不等式组的解法，读懂题意，正确解一元一次方程和一元一次不等式组是解题的关键． 27.【答案】；   2；    【解析】解：和都是等边三角形， ，，， ， ≌， ，， ，， ， ， ， ； 如图②，将绕点C顺时针旋转60度，得到，连接PE，AE， ，，， 是等边三角形， ，， ， ， ， ； 在中，，，， ， ， 绕B点瞬时针方向旋转， 如图3所示， ， ，，， ， 绕点B顺时针方向旋转，得到， ，，， 是等边三角形， ，， ， ， 当C、P、、四点共线，的值最小， 在中，， 故答案为： 由“SAS”可证≌，可得，，由勾股定理的逆定理可求，即可求解； 由旋转的性质可得，，，可求，由勾股定理可求解； 根据旋转的性质可以得到等边三角形，再根据等边三角形的性质即可求出当四点共线的时候的值最大，最后根据勾股定理即可得到值． 本题是三角形的综合题，考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形，勾股定理，利用旋转构造全等三角形和等边三角形以及直角三角形是解题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$