专题13.3 分式的加减（高效培优讲义）数学沪教版五四制2024七年级上册

专题13.3 分式的加减 教学目标 1. 寻找分式的最简公分母，并学会通分; 2. 掌握同分母分式的加减法; 3. 会进行异分母分式的加减法; 4. 知道分式的加减乘除混合运算。 教学重难点 1.重点 （1）分式的加减运算； （2）根据分式加减运算进行化简、求值等； （3）分式加减运算的实际应用。 2.难点 （1）分式的加减有关化简、变形、求值问题等； （2）分式混合运算的综合应用。 知识点1 同分母分式的加减 同分母分式的加减： 同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减； 上述法则可用式子表为： . 要点： （1）“把分子相加减”是把各分式的分子的整体相加减，即各个分子都应用括号，当分子是单项式时，括号可以省略；当分子是多项式时，特别是分子相减时，括号不能省，不然，容易导致符号上的错误. （2）分式的加减法运算的结果必须化成最简分式或整式. 【即学即练】 1．计算 的结果等于（　　） A．2 B．x C．x+1 D． 2．计算的结果等于（   ） A．2 B． C． D． 3．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 知识点2 异分母分式的加减 一、分式的通分 异分母分数相加减，先将它们转化为分母相同的分数，再利用同分母分数的加减法法则进行计算.异分母分式的加减与之类似.将几个异分母分式分别化为与原来分式的值相等的同分母分式的过程叫作通分.. 要点： （1）通分的关键是确定各分式的最简公分母：一般取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母. （2）如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数与相同字母的最高次幂的乘积；如果各分母都是多项式，就要先把它们分解因式，然后再找最简公分母. （3）约分和通分恰好是相反的两种变形，约分是对一个分式而言，而通分则是针对多个分式而言. 二、异分母分式的加减 异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减. 上述法则可用式子表为： . 要点：（1）异分母的分式相加减，先通分是关键.通分后，异分母的分式加减法变成同分母分式的加减法. （2）异分母分式加减法的一般步骤：①通分，②进行同分母分式的加减运算，③把结果化成最简分式. 【即学即练】 1．分式和的最简公分母为（    ） A． B． C． D． 2．的最简公分母是 ，通分的结果为 ． 3．计算的结果是（   ） A．2 B． C． D． 4．计算： (1) (2) 知识点3 分式的混合运算 分式的混合运算： 与分数的加、减乘、除混合运算一样，分式的加、减乘、除混合运算，也是先算乘、除，后算加、减；遇到括号，先算括号内的，按先小括号，再中括号，最后大括号的顺序计算. 分式运算结果必须达到最简，能约分的要约分，保证结果是最简分式或整式. 要点：（1）正确运用运算法则：分式的乘除（包括乘方）、加减、符号变化法则是正确进行分式运算的基础，要牢牢掌握.. （2）运算顺序：先算乘方，再算乘、除，最后算加、减，遇有括号，先算括号内的. （3）运算律：运算律包括加法和乘法的交换律、结合律，乘法对加法的分配律.能灵活运用运算律，将大大提高运算速度. 【即学即练】 1．化简 (1) (2) 2．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型01 最简公分母 【典例1】．分式和的最简公分母为（    ） A． B． C． D． 【变式1】．分式与的最简公分母是（   ） A． B． C． D． 【变式2】．分式与分式的最简公分母是（   ） A． B． C． D． 题型02 通分 【典例1】．通分： (1)，． (2)，． 【变式1】．通分： (1)与 (2)与． 【变式2】．与通分的结果是 ． 题型03 同分母分式的加减 【典例1】．化简结果正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】．计算的结果是（   ） A． B． C．1 D． 【变式2】．设，则m，n的关系是（　　） A． B． C． D． 题型04 异分母分式的加减 【典例1】．计算：（    ） A． B． C． D． 【变式1】．计算的结果为（   ） A． B． C． D． 【变式2】．化简的结果是（   ） A． B． C．1 D． 题型05 整式与分式的加减 【典例1】．化简的结果为（   ） A． B． C． D． 【变式1】．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【变式2】．若，则式子的值是（  ） A．-2 B．0 C．1 D．2 题型06 分式加减的实际应用 【典例1】．某工程队要修路米，原计划平均每天修米．因天气原因，平均每天少修米（）．因此，实际完成工程的时间比原计划推迟的天数为（    ） A． B． C． D． 【变式1】．绿化队原来用浸灌方式浇绿地，a天用水m吨，现在改用喷灌方式，可使这些水多用3天，那么现在比原来每天节约用水的吨数为（   ） A． B． C． D． 【变式2】．甲乙两个码头相距s千米，某船在静水中的速度为a千米/时，水流速度为b千米/时，则船一次往返两个码头所需的时间为（    ）小时 A． B． C． D． 题型07 分式的混合运算 【典例1】．化简： 【变式1】．化简：． 【变式2】．计算： (1) (2) 【变式3】．计算： (1)； (2)． 题型08 分式混合运算的化简求值 【典例1】．先化简再求值：，其中． 【变式1】．（1）先化简，再求值：，其中． （2）先化简，再求值：，请从、0、3中选取合适的x的值代入． 题型09 根据分式恒等式求分子 【典例1】．若，则A、B的值为（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式1】．已知，求，的值． 【变式2】．已知（是常数），求的值． 题型10 新定义题 【典例1】．一个代数式只含有字母，，把替换成，把替换成，得到一个新的代数式．若不论，如何取值，新代数式的值与原代数式的值始终相等，则称其为对称式．例如：代数式，新代数式为，因为，所以是对称式；而代数式，新代数式为，因为当，时，代数式值为，新代数式值为，两者不相等，所以不是对称式． (1)请判断和是不是对称式？模仿上面的格式说明理由； (2)关于字母，的代数式（为常数）是对称式，求的值． 【变式1】．定义：若分式与分式的差等于它们的积．即，则称分式是分式的“友好分式”．如与．因为，．所以是的“友好分式”． (1)填空：分式______分式的“友好分式”．（填“是”或“不是”） (2)已知分式是分式A的“友好分式”． ①求分式A的表达式； ②若整数x使得分式A的值是正整数，求分式A的值． 【变式2】．如果分式与分式的差为常数，且为正整数，则称为的“差整分式”，常数称为“差整值”．如分式，，，故为的“差整分式”，“差整值”． (1)以下各组分式中，为的“差整分式”的是______（填序号）； ①，    ②，    ③； (2)已知分式为的“差整分式”，且“差整值”为2，求所代表的代数式； 一、单选题 1．计算的结果为（    ） A． B． C． D． 2．化简的结果是（　　） A． B． C． D． 3．化简的结果为（    ） A． B． C． D． 4．化简的结果是（    ） A．1 B． C． D． 5．下列各选项中，所求的最简公分母错误的是（    ） A．与的最简公分母是 B．与的最简公分母是 C．与的最简公分母是 D．与的最简公分母是 6．等于（    ） A． B． C． D．1 7．某校举办了“学习二十大精神，争做五育标兵”系列活动，其中一项数学活动是计算接力赛，规则是：每一个人只能看到前一个人给的式子，然后只计算一步，再把结果传给下一个人，最后完成计算，某组同学计算过程如下，出现错误的是（    ） A．只有甲 B．乙和丁 C．丙和丁 D．甲和丙 8．已知，则的值是（    ） A． B． C． D． 9．如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为米的正方形去掉一个边长为1米的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为米的正方形，两块试验田的小麦都收获了200千克，那么“丰收1号”小麦和“丰收2号”小麦的单位面积产量相比，（    ） A．“丰收1号”高 B．“丰收2号”高 C．一样高 D．无法确定哪个高 10．一组代数式，，，，满足下面关系：，，，以此类推，若，则为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 11．计算：－= . 12．分式，，的最简公分母是 ． 13．分式与通分后的结果是 ． 14．若，则 ． 15．化简的结果为 ． 16．在计算时，把运算符号“”看成了“”，得到的计算结果是，则表示的数是 ． 17．王老师驾车出行，在加油站加了升汽油，经估算可行驶天，由于行程调整，比计划多使用了2天，则王老师实际比计划平均每天少用汽油 升．（写出化简后的结果） 18．设有理数a，b，c都不为零，且，则的值为 ． 三、解答题 19．通分： (1)与； (2)与． 20．通分： (1)，； (2)，； (3)，，． 21．计算： (1) (2) (3) (4) (5)． 22．先化简，再求值：，其中． 23．老师所留的作业中有这样一个分式的计算题：，甲、乙两位同学完成的过程分别如下： 甲同学：               第一步 第二步     第三步      乙同学： 第一步 第二步 第三步 老师发现这两位同学的解答都有错误：甲同学的解答从第_____ 步开始出现错误；乙同学的解答从第_____ 步开始出现错误；请重新写出完成此题的正确解答过程． 24．甲、乙两人同时在同一个超市分两次购买同一种水果，甲每次都买了20千克水果，乙每次都用20元去买水果，两次水果的价格分别为a元/千克和b元/千克（a、b为正整数且），谁的购买方式更合算？请说明理由． 25．【阅读理解】“作差法”是解决某些数学问题常用的方法之一：比较代数式M，N的大小，作差，若，则；若，则；若，则． 【方法尝试】 （1）试比较大小，______填“>”、“<”或“=”； （2）若，试比较与的大小； 【解决问题】 （3）原有糖水a克，其中含糖b克，则原糖水的“甜度”可用表示，现向糖水中加入n克糖，糖水的“甜度”可用表示，请你用数学知识解释为什么“在一定质量的糖水中，加入一定质量的糖，糖水会变得更甜呢”？ 2 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题13.3 分式的加减 教学目标 1. 寻找分式的最简公分母，并学会通分; 2. 掌握同分母分式的加减法; 3. 会进行异分母分式的加减法; 4. 知道分式的加减乘除混合运算。 教学重难点 1.重点 （1）分式的加减运算； （2）根据分式加减运算进行化简、求值等； （3）分式加减运算的实际应用。 2.难点 （1）分式的加减有关化简、变形、求值问题等； （2）分式混合运算的综合应用。 知识点1 同分母分式的加减 同分母分式的加减： 同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减； 上述法则可用式子表为： . 要点： （1）“把分子相加减”是把各分式的分子的整体相加减，即各个分子都应用括号，当分子是单项式时，括号可以省略；当分子是多项式时，特别是分子相减时，括号不能省，不然，容易导致符号上的错误. （2）分式的加减法运算的结果必须化成最简分式或整式. 【即学即练】 1．计算 的结果等于（　　） A．2 B．x C．x+1 D． 【答案】A 【分析】本题考查了同分母分式的加法．利用分母不变，把分子相加，计算即可． 【详解】解： ， 故选：A． 2．计算的结果等于（   ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式的减法运算熟练掌握分式的减法法则，是解题的关键． 由于两个分式分母相同，直接合并分子后约分即可得出结果． 【详解】． 应选项A． 3．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用通分，约分计算即可． 本题考查了同分母分式的加减法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， 故选：A． 知识点2 异分母分式的加减 一、分式的通分 异分母分数相加减，先将它们转化为分母相同的分数，再利用同分母分数的加减法法则进行计算.异分母分式的加减与之类似.将几个异分母分式分别化为与原来分式的值相等的同分母分式的过程叫作通分.. 要点： （1）通分的关键是确定各分式的最简公分母：一般取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母. （2）如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数与相同字母的最高次幂的乘积；如果各分母都是多项式，就要先把它们分解因式，然后再找最简公分母. （3）约分和通分恰好是相反的两种变形，约分是对一个分式而言，而通分则是针对多个分式而言. 二、异分母分式的加减 异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减. 上述法则可用式子表为： . 要点：（1）异分母的分式相加减，先通分是关键.通分后，异分母的分式加减法变成同分母分式的加减法. （2）异分母分式加减法的一般步骤：①通分，②进行同分母分式的加减运算，③把结果化成最简分式. 【即学即练】 1．分式和的最简公分母为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了最简公分母，掌握确定最简公分母的方法是解题的关键． 根据确定最简公分母的方法：（1）取各分母系数的最小公倍数；（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母．据此求解即可． 【详解】解：分式和的最简公分母为． 故选：C． 2．的最简公分母是 ，通分的结果为 ． 【答案】 【分析】此题考查分式的通分和最简公分母，根据最简公分母的定义和通分的法则进行解答即可． 【详解】解：的最简公分母是，通分的结果是， 故答案为：， 3．计算的结果是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式加减运算，根据异分母分式加减运算法则，进行计算即可． 【详解】解：． 故选：D． 4．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的加减运算，正确掌握分式的运算法则是解题的关键． （1）先通分，再运算分式的减法，即可作答； （2）先通分，再运算分式的加法，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 知识点3 分式的混合运算 分式的混合运算： 与分数的加、减乘、除混合运算一样，分式的加、减乘、除混合运算，也是先算乘、除，后算加、减；遇到括号，先算括号内的，按先小括号，再中括号，最后大括号的顺序计算. 分式运算结果必须达到最简，能约分的要约分，保证结果是最简分式或整式. 要点：（1）正确运用运算法则：分式的乘除（包括乘方）、加减、符号变化法则是正确进行分式运算的基础，要牢牢掌握.. （2）运算顺序：先算乘方，再算乘、除，最后算加、减，遇有括号，先算括号内的. （3）运算律：运算律包括加法和乘法的交换律、结合律，乘法对加法的分配律.能灵活运用运算律，将大大提高运算速度. 【即学即练】 1．化简 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用分式的基本性质变形后用同分母分式加法则计算即可； （2）先计算括号内的加减法，再计算除法即可． 【详解】（1） （2） 【点睛】此题考查了分式的加减运算和四则混合运算，熟练掌握分式的运算法是解题的关键． 2．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)2 (3) (4) 【分析】（1）按照同分母分式的加减运算法则进行计算即可； （2）先化为同分母分式，再计算即可； （3）先通分化为同分母分式，再计算即可； （4）先通分化为同分母分式，再计算即可； 【详解】（1）解：原式． （2）原式． （3） ． （4） ． 【点睛】本题考查的是分式的加减运算，掌握分式的加减运算的运算法则是解本题的关键． 题型01 最简公分母 【典例1】．分式和的最简公分母为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了最简公分母，掌握确定最简公分母的方法是解题的关键． 根据确定最简公分母的方法：（1）取各分母系数的最小公倍数；（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母．据此求解即可． 【详解】解：分式和的最简公分母为． 故选：C． 【变式1】．分式与的最简公分母是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了最简公分母，关键是掌握如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂，所有不同字母都写在积里．利用最简公分母的确定方法可得答案． 【详解】解：分式与的最简公分母是， 故选：B． 【变式2】．分式与分式的最简公分母是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了最简公分母，关键是掌握如果各分母都是多项式，就可以将各个分母因式分解，取各分母数字系数的最小公倍数，凡出现的字母（或含字母的整式）为底数的幂的因式都要取最高次幂．首先把分母分解因式，然后再确定最简公分母即可． 【详解】解：， 分式与分式的最简公分母是， 故选：C． 题型02 通分 【典例1】．通分： (1)，． (2)，． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查通分，掌握通分的方法是解决问题的关键． （1）找到最简公分母，然后进行通分即可； （2）找到最简公分母，然后进行通分即可． 【详解】（1）解：最简公分母是， ，； （2）最简公分母是， ，． 【变式1】．通分： (1)与 (2)与． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查通分，通分是将两个或多个分数的分母化为相同的数，这个相同的数就是它们的最简公分母．然后根据分式的基本性质，将分式化为以最简公分母为分母的分式． （1）先找出最简公分母，然后根据分式的基本性质进行通分即可； （2）先找出最简公分母，然后根据分式的基本性质进行通分即可． 【详解】（1）解：最简公分母是， ，． （2）解：最简公分母是， ，． 【点睛】 【变式2】．与通分的结果是 ． 【答案】 【分析】找到最简公分母，根据分式的结伴行知进行通分即可； 【详解】，， 最简公分母为， 通分后分别为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了分式的通分，准确计算是解题的关键． 题型03 同分母分式的加减 【典例1】．化简结果正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了同分母分式加减，根据同分母分式相加减时，分母不变，分子相加减，进行计算即可． 【详解】解：． 故选：A． 【变式1】．计算的结果是（   ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的减法运算：同分母相减，分母不变，分子相减，据此进行计算，即可作答． 【详解】解：， 故选：C． 【变式2】．设，则m，n的关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式的运算法则，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型． 根据分式的加减运算法则即可求出答案． 【详解】解： 故选：D 题型04 异分母分式的加减 【典例1】．计算：（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式的加法计算，先把两个分式通分，再把分子合并同类项，最后约分即可得到答案． 【详解】解： ， 故选：C． 【变式1】．计算的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查的是分式的加法运算，准确掌握分式的加法法则是解决此题的关键． 根据分式的加法法则计算即可． 【详解】解：， 故选：A． 【变式2】．化简的结果是（   ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查分式的加减法，原式通分后，根据同分母分式减法法则进行计算即可． 【详解】解： ， 故选：D． 题型05 整式与分式的加减 【典例1】．化简的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式化简．先由平方差公式因式分解，再约分，最后由整式减法运算求解即可得到答案． 【详解】解： ， 故选：B． 【变式1】．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查整式与分式的加减法，先通分化为同分母分式加减法计算即可 ． 【详解】原式 故答案为：A． 【变式2】．若，则式子的值是（  ） A．-2 B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】根据代数式的值可得，代入将化简后的分式，即可求解． 【详解】解：∵， ∴ 故选A 【点睛】本题考查了分式的减法运算，求分式的值，整体代入是解题的关键． 题型06 分式加减的实际应用 【典例1】．某工程队要修路米，原计划平均每天修米．因天气原因，平均每天少修米（）．因此，实际完成工程的时间比原计划推迟的天数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了分式的加减运算的应用， 根据原计划和实际的工作效率，分别求出完成时间，再计算两者的差值即为推迟天数． 【详解】原计划时间为：总路程为米，原计划每天修米，故原计划完成时间为天． 实际时间为：实际每天修米，故实际完成时间为天． ∴推迟天数为实际时间减去原计划时间， ∴ ． 故选：B． 【变式1】．绿化队原来用浸灌方式浇绿地，a天用水m吨，现在改用喷灌方式，可使这些水多用3天，那么现在比原来每天节约用水的吨数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查列代数式，首先求得原来每天的用水量为吨，现在每天的用水量为吨，用原来的减去现在的列出算式，进一步计算得出答案即可． 【详解】解：（吨）． 故选：D． 【变式2】．甲乙两个码头相距s千米，某船在静水中的速度为a千米/时，水流速度为b千米/时，则船一次往返两个码头所需的时间为（    ）小时 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了分式的运用，列代数式，找到所求量的等量关系是解决问题的关键．船只往返两个码头一次，会有一次顺流、一次逆流，顺流速度静水速度水流速度，逆流速度静水速度水流速度，据此可以列出关系式． 【详解】解：船一次往返两个码头所需的时间为小时， 故选：D． 题型07 分式的混合运算 【典例1】．化简： 【答案】 【分析】本题考查了分式的混合运算．解题的关键在于熟练掌握乘法公式和异分母分式的加减运算．先计算括号内分式的加减运算，再计算除法运算即可. 【详解】解： ； 【变式1】．化简：． 【答案】 【分析】本题考查分式的混合运算，先通分括号内的式子，同时将括号外的除法转化为乘法，再约分即可． 【详解】解： ． 【变式2】．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的加减乘除法运算，熟记分式的运算法则是解题关键． （1）先计算括号内的分式加法，再计算分式的乘法即可； （2）先计算括号内的分式减法，再计算分式的除法即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【变式3】．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． (1)先计算分式的乘方，再计算乘除，然后进行减法计算； (2)先进行括号内分式的减法运算，再将除法化为乘法计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型08 分式混合运算的化简求值 【典例1】．先化简再求值：，其中． 【答案】，． 【分析】本题考查了分式的化简求值，先算括号内的分式减法，再算括号外的分式除法，再把代入化简后的式子计算即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， 当时， 原式 ． 【变式1】．（1）先化简，再求值：，其中． （2）先化简，再求值：，请从、0、3中选取合适的x的值代入． 【答案】（1）2；（2） 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，分式有意义的条件，掌握分式的混合运算法则是解题的关键． （1）根据分式的加减运算以及乘除法运算法则进行化简，然后将x的值代入即可求出原式答案． （2）先根据分式的混合运算法则将原式进行化简，再结合原式中各个分式有意义的条件找出x的值，代入化简以后的式子中求值即可． 【详解】解：（1） ， 当时，原式； （2） ， ∵，， ∴， ∴从、0、3中选取作为x的值， ∴原式． 题型09 根据分式恒等式求分子 【典例1】．若，则A、B的值为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查分式的基本性质，二元一次方程组的解法，利用通分将右边化成左边的相同形式，并让所得分子的对应系数相等是解题的关键． 右边较为复杂，可以从右边到左边，因此先将右边通分，使前后形式一致，然后让对应的系数相等，即可求出A，B． 【详解】解： ． ∵， ∴， ∴， 得：， ∴． 将代入①中，解得：， ∴方程组的解为：． 故选B． 【变式1】．已知，求，的值． 【答案】A的值为，的值2． 【分析】此题主要考查了异分母分式加减法的运算法则，要熟练掌握，解答此题的关键是熟练掌握通分的方法，把异分母分式的加减法转化为同分母分式的加减法．此题还考查了二元一次方程组的求解方法，要熟练掌握． 首先根据通分的方法，把异分母分式的加减法转化为同分母分式的加减法，然后根据等号左右两边分式的分子相同，列出关于A、B的二元一次方程组，再解方程组，求出A、B的值是多少即可． 【详解】解： ， ∵ ∴， ∴， 解得． 答：A的值为，的值2． 【变式2】．已知（是常数），求的值． 【答案】 【分析】本题考查分式运算，涉及解三元一次方程组，熟练掌握分式混合运算方法步骤及三元一次方程组的解法是解决问题的关键．先通分将化为，再由分式相等得到方程组，利用消元法解三元一次方程组即可得到答案． 【详解】解： ， ， 解得． 题型10 新定义题 【典例1】．一个代数式只含有字母，，把替换成，把替换成，得到一个新的代数式．若不论，如何取值，新代数式的值与原代数式的值始终相等，则称其为对称式．例如：代数式，新代数式为，因为，所以是对称式；而代数式，新代数式为，因为当，时，代数式值为，新代数式值为，两者不相等，所以不是对称式． (1)请判断和是不是对称式？模仿上面的格式说明理由； (2)关于字母，的代数式（为常数）是对称式，求的值． 【答案】(1)是对称式，不是对称式 (2) 【分析】本题考查了整式的化简与整式恒成立求参数，正确理解新定义的含义是解题的关键． （1）根据对称式的定义对各式进行判断即可； （2）根据对称式的定义，交换的位置，得到，由题意得，得到，化简求解即可． 【详解】（1）解：代数式，交换字母后的代数式为：， ∵， ∴是对称式； 代数式，交换字母后的代数式为：， 当，时， ，， ∴， ∴不是对称式； （2）代数式交换，的位置得到， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵对称式是不论如何取值，新代数式的值与原代数式的值始终相等， ∴不论如何取值均成立， ∴． 【变式1】．定义：若分式与分式的差等于它们的积．即，则称分式是分式的“友好分式”．如与．因为，．所以是的“友好分式”． (1)填空：分式______分式的“友好分式”．（填“是”或“不是”） (2)已知分式是分式A的“友好分式”． ①求分式A的表达式； ②若整数x使得分式A的值是正整数，求分式A的值． 【答案】(1)是 (2)①；② 1​, 3​ 或 4​ 【分析】分析 ​​（1）计算 和 ​，判断是否相等． ​​（2）​​​①​ 设分式A，由定义 ，解方程求A． ​②​ 令A为正整数，求整数x，再得A的值． 【详解】（1）解：设． ， ， 故​ 是的“友好分式”， 故答案为： ​是； （2）​​​①​分式是分式A的“友好分式”， 设分式． 则 移项，得， ， ， ， 分式A为 ​​． ​②​，要求A为正整数，x为整数且 ． 令（k正整数），则：， ， ， ， x整数，故 k−2 整除2，即： 当时， 当时，， 当时， 当时（舍去，非正整数） A的值为 1​, 3​ 或 4​． 【点睛】本题考查了分式运算（减法、乘法）、分式有意义的条件，解方程、整数解问题．解题的​关键​是理解新定义“友好分式”（差等于积），并转化为方程求解． 【变式2】．如果分式与分式的差为常数，且为正整数，则称为的“差整分式”，常数称为“差整值”．如分式，，，故为的“差整分式”，“差整值”． (1)以下各组分式中，为的“差整分式”的是______（填序号）； ①，    ②，    ③； (2)已知分式为的“差整分式”，且“差整值”为2，求所代表的代数式； 【答案】(1)② (2) 【分析】本题考查的是新定义运算的理解，分式的加减运算，理解题意是解本题的关键． （1）分别计算出，然后根据“差整分式”定义判断即可； （2）根据“差整分式”定义列出关于G的方程，然后求解即可． 【详解】（1）解：， A不是B的“差整分式”， ②， ； A是B的“差整分式”， ③ ； A不是B的“差整分式”， 故答案为：② （2）分式 ， ，C为D的“差整分式”，且“差整值”为， ， ∴， 解得：． 一、单选题 1．计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了异分母的分式加法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先通分为同分母的分式加法，再利用同分母的分式加法运算法则计算即可． 【详解】解：， 故选：D． 2．化简的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 ． 故选：． 3．化简的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了异分母分式加法计算，先把两个分式通分，然后约分化简即可得到答案． 【详解】解： ， 故选：C． 4．化简的结果是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分式的加减混合运算法则即可求出答案． 【详解】解： ． 故选D． 【点睛】本题考查了分式的化简，解题的关键在于熟练掌握分式加减混合运算法则． 5．下列各选项中，所求的最简公分母错误的是（    ） A．与的最简公分母是 B．与的最简公分母是 C．与的最简公分母是 D．与的最简公分母是 【答案】B 【分析】本题考查最简公分母，根据找数字的最小公倍数，字母找最高指数即可得到答案； 【详解】解：与的最简公分母是，故A正确，不符合题意， 与的最简公分母是，故B错误，符合题意， 与的最简公分母是，故C正确，不符合题意， 与的最简公分母是，故D正确，不符合题意， 故选：B． 6．等于（    ） A． B． C． D．1 【答案】D 【分析】根据通分，可化成同分母分式，根据同分母分式的加减，可得答案． 【详解】， 故选：D 【点睛】本题考查了分式加减运算的法则，熟记法则是解题的关键． 7．某校举办了“学习二十大精神，争做五育标兵”系列活动，其中一项数学活动是计算接力赛，规则是：每一个人只能看到前一个人给的式子，然后只计算一步，再把结果传给下一个人，最后完成计算，某组同学计算过程如下，出现错误的是（    ） A．只有甲 B．乙和丁 C．丙和丁 D．甲和丙 【答案】D 【分析】根据分式的加减进行计算即可求解． 【详解】解： ， ∴甲和丙出现错误， 故选：D． 【点睛】本题考查了分式与整式的加减运算，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 8．已知，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对进行等价变形得到，再整体代入待求的代数式中计算即可． 【详解】解：∵， ∴． ∴． ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，正确进行变形是解题关键． 9．如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为米的正方形去掉一个边长为1米的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为米的正方形，两块试验田的小麦都收获了200千克，那么“丰收1号”小麦和“丰收2号”小麦的单位面积产量相比，（    ） A．“丰收1号”高 B．“丰收2号”高 C．一样高 D．无法确定哪个高 【答案】B 【分析】先求出两块试验田的面积，再根据“单位面积产量=总产量面积”得到两块试验田的单位面积产量，最后用“丰收2号”的单位面积产量除以“丰收1号”的单位面积产量，再比较结果与1的大小关系即可. 本题考查了分式的实际应用，依题意求出两块试验田的单位面积产量是解题关键. 【详解】由题意得：“丰收1号”的面积为；“丰收2号”的面积为 则“丰收1号”的单位面积产量为；“丰收2号”的单位面积产量为 则， ∵， ∴， ∴ 即， ∴“丰收1号”小麦和“丰收2号”小麦的单位面积产量相比“丰收2号”高， 故选：B 10．一组代数式，，，，满足下面关系：，，，以此类推，若，则为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查数字类规律探究，分式的减法运算，熟练掌握分式的加减运算法则是解题的关键．求出前几个数值，找到规律，进行判断即可． 【详解】解：，则： ， ， ， ∴的值，以，，，三个为一组，进行循环， ∵， ∴的值为，即：； 故选：A． 二、填空题 11．计算：－= . 【答案】 【分析】根据同分母分式相减，分母不变，分子相加可直接得出答案. 【详解】解：原式=. 故填. 【点睛】本题考查同分母分式相加减，掌握同分母分式的减法法则是解答本题的关键. 12．分式，，的最简公分母是 ． 【答案】 【分析】本题考查了最简公分母，解题的关键是掌握求最简公分母的方法． 先整理得，，然后再确定最简公分母． 【详解】解：依题意， ∴，，的最简公分母是； 故答案为：． 13．分式与通分后的结果是 ． 【答案】， 【分析】根据分式通分的方法求解即可． 【详解】解：∵，， ∴分式， 分式． 故答案为，． 【点睛】此题考查了分式的通分，解题的关键是熟练掌握分式通分的方法． 14．若，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查分式的加减运算，解二元一次方程组，对等式的右边进行通分相加，然后根据等式左右两边的分母相同，得到分子相同．根据两个多项式相等，则其同类项的系数应当相等，得到关于的方程，再解方程组即可． 【详解】解：∵ ， 而， ∴， ∴ ， 解得：， 故答案为： 15．化简的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的混合运算，平方差公式的运用，先将括号里的式子通分，再将除法变为乘法约分即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 16．在计算时，把运算符号“”看成了“”，得到的计算结果是，则表示的数是 ． 【答案】1 【分析】本题考查分式的加减运算，熟练掌握分式的加减运算的运算法则是解题的关键．根据题意可得，求出即可． 【详解】解：由题意可得：， ∴， ∴ ∴， 故答案为：． 17．王老师驾车出行，在加油站加了升汽油，经估算可行驶天，由于行程调整，比计划多使用了2天，则王老师实际比计划平均每天少用汽油 升．（写出化简后的结果） 【答案】 【分析】本题考查了分式加减的应用，正确列出算式是关键； 根据题意可得：王老师原计划每天用汽油升，实际每天用汽油升，然后列出算式计算即可． 【详解】解：王老师原计划每天用汽油升，实际每天用汽油升， 所以王老师实际比计划平均每天少用汽油升． 故答案为：． 18．设有理数a，b，c都不为零，且，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的化简求值，关键是把分别变形为的形式．由，则，然后代入化简即可得出答案． 【详解】解：由， ∴ ∴ ∴ 同理可得， ∴ ． 故答案为：． 三、解答题 19．通分： (1)与； (2)与． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）最简公分母是，通分即可； （2）先把每个分母因式分解，最简公分母是，通分即可． 【详解】（1）解：最简公分母是， ， ； （2）解：最简公分母是， ， ． 【点睛】本题考查了分式的通分，解题关键是找准最简公分母． 20．通分： (1)，； (2)，； (3)，，． 【答案】(1)， (2)， (3)，， 【分析】本题考查了通分，找出最简公分母是解此题的关键． （1）先找出所有分式的最简公分母，再利用分式的性质把所有分式化为同分母的分式即可； （2）先找出所有分式的最简公分母，再利用分式的性质把所有分式化为同分母的分式即可； （3）先找出所有分式的最简公分母，再利用分式的性质把所有分式化为同分母的分式即可． 【详解】（1）解：（1）最简公分母是， ， ； （2）解：最简公分母是， ， ； （3）解：最简公分母是， ， ， ． 21．计算： (1) (2) (3) (4) (5)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】（1）直接根据同分母的分式加减法法则进行计算：分母不变，分子相加减； （2）把第二项的分母提取负号，化成同分母分式； （3）通分，最简公分母为； （4）把看成是一项，为，再通分； （5）前两项先通分，再依次计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ； （5）解：原式 ． 【点睛】本题考查了平方差公式，因式分解，分式的加减混合运算，熟练掌握分式的加减混合运算法则及因式分解是解题的关键． 22．先化简，再求值：，其中． 【答案】，6 【分析】本题考查了分式的化简求值，先去括号，再计算加减即可化简，最后代入计算即可得出答案，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：， 当时，原式． 23．老师所留的作业中有这样一个分式的计算题：，甲、乙两位同学完成的过程分别如下： 甲同学：               第一步 第二步     第三步      乙同学： 第一步 第二步 第三步 老师发现这两位同学的解答都有错误：甲同学的解答从第_____ 步开始出现错误；乙同学的解答从第_____ 步开始出现错误；请重新写出完成此题的正确解答过程． 【答案】见解析 【分析】甲第二步通分错误；乙第二步分母丢掉，所以错误；再根据分式的混合运算顺序和运算法则化简可得． 【详解】解：甲同学的解答从第二步开始出现错误；乙同学的解答从第二步开始出现错误； 正确解答过程： 原式 ． 【点睛】本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则． 24．甲、乙两人同时在同一个超市分两次购买同一种水果，甲每次都买了20千克水果，乙每次都用20元去买水果，两次水果的价格分别为a元/千克和b元/千克（a、b为正整数且），谁的购买方式更合算？请说明理由． 【答案】乙的购买方式更合算．理由见解析 【分析】本题主要考查分式的实际应用，熟练分式相关的知识是解题的关键；把甲乙平均价格用代数式表示，再作差既可判断． 【详解】解：乙的购买方式更合算．理由： 甲的平均价格为； 乙的平均价格为； ； ∵， ∴； ∴甲的平均价格乙的平均价格， ∴乙的购买方式更合算． 25．【阅读理解】“作差法”是解决某些数学问题常用的方法之一：比较代数式M，N的大小，作差，若，则；若，则；若，则． 【方法尝试】 （1）试比较大小，______填“>”、“<”或“=”； （2）若，试比较与的大小； 【解决问题】 （3）原有糖水a克，其中含糖b克，则原糖水的“甜度”可用表示，现向糖水中加入n克糖，糖水的“甜度”可用表示，请你用数学知识解释为什么“在一定质量的糖水中，加入一定质量的糖，糖水会变得更甜呢”？ 【答案】（1）；（2）；（3）见解析． 【分析】（1）作差计算即可； （2） “作差”计算出结果，再根据结果的符号判断即可； （3）比较与的大小即可． 本题考查有理数的大小比较，分式的加减，理解“作差法”是正确解答的关键． 【详解】解：（1）， ， 故答案为：<； （2）， ； （3），即， ， ， 即后来的糖水的“甜度”较大，也更甜． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$