13.3分式方程　讲义　2025-2026学年沪教版（五四制）（2024）数学七年级上册

该初中数学单元复习教案系统梳理了分式方程的定义、解法、无解问题及实际应用，通过知识框架图将概念理解、解题步骤与现实情境紧密关联，清晰呈现从基础运算到建模分析的逻辑脉络，帮助学生建立结构化认知体系。 其亮点在于融合数学眼光、数学思维与数学语言三大核心素养，设计“辨析定义—规范解法—探究无解—列式建模”四阶递进活动，如在工程问题中引导学生抽象效率关系，用符号表达工作总量，再结合行程问题强化单位统一意识，体现分层教学与个性化指导。这种策略既夯实基础又提升思维深度，助力学生精准掌握易错点，也为教师提供可操作的复习路径和学情诊断依据。

沪教版七年级上册数学讲义：13.3 分式方程 分式方程内容概览 本讲义涵盖以下内容： 1. 分式方程的定义：分母中含有未知数的方程。 1. 根据分式方程解得情况求值：通过解的性质（如解为正数、负数等）求参数。 1. 分式方程无解问题：包括无解（增根或化简后方程无解）的求参问题。 1. 解分式方程（化为一元一次）：基本解法（去分母、解整式方程、检验）。 1. 列分式方程：根据实际问题抽象出分式方程。 1. 分式方程的行程问题：涉及速度、时间、路程的关系。 1. 分式方程的工程问题：涉及工作效率、工作时间、工作总量。 1. 分式方程的经济问题：涉及成本、利润、折扣等。 1. 分式方程的其他实际问题：如浓度、比例等问题。 一、分式方程的定义 定义：分母中含有未知数的方程称为分式方程。 示例： 方程 是分式方程（分母含未知数 ）。 方程 不是分式方程（分母不含未知数）。 二、解分式方程（化为一元一次） 步骤： 1. 去分母（两边同乘最简公分母）； 1. 解整式方程； 1. 检验（使公分母为0的根是增根，需舍去）。 示例：解方程 。 变式：解方程 。 三、分式方程无解问题 无解的两种情况： 1. 去分母后的整式方程无解； 1. 整式方程的解是增根（使公分母为0）。 示例：若方程 无解，求 。 易错点：忽略整式方程无解的情况或增根情况。 四、根据分式方程解得情况求值 示例：若方程 的解为正数，求 的取值范围。 五、列分式方程解实际问题 1. 行程问题 示例：A、B两地相距60km，甲骑自行车从A到B，比乙步行从A到B早到1小时。已知甲速度是乙的3倍，求乙的速度。 2. 工程问题 示例：一项工程，甲单独做需10天完成，乙单独做需15天完成。若两人合作，需几天完成？ 3. 经济问题 示例：某商品进价100元，按标价8折出售后利润率为20%，求标价。 4. 其他实际问题 示例：某容器装满纯酒精，第一次倒出若干升后用水加满，第二次又倒出同样升数的混合液，此时容器内酒精浓度为36%。求每次倒出的升数（容器容积为10升）。 六、综合练习题 1. 解方程：。 1. 若方程 无解，求 。 1. 某工厂计划生产1200个零件，实际每天比原计划多生产20个，提前2天完成。求原计划每天生产多少个零件。 1. 一艘轮船在静水中的速度为20km/h，顺流航行60km所用时间与逆流航行40km所用时间相同。求水流速度。 1. 某商店以每件20元购进一批商品，按每件30元出售时每天可售出100件。调查发现，每降价1元，每天多售出10件。若每天盈利2160元，每件应降价多少元？ 学科网（北京）股份有限公司 $ 沪教版七年级上册数学讲义：13.3 分式方程 分式方程内容概览 本讲义涵盖以下内容： 1. 分式方程的定义：分母中含有未知数的方程。 1. 根据分式方程解得情况求值：通过解的性质（如解为正数、负数等）求参数。 1. 分式方程无解问题：包括无解（增根或化简后方程无解）的求参问题。 1. 解分式方程（化为一元一次）：基本解法（去分母、解整式方程、检验）。 1. 列分式方程：根据实际问题抽象出分式方程。 1. 分式方程的行程问题：涉及速度、时间、路程的关系。 1. 分式方程的工程问题：涉及工作效率、工作时间、工作总量。 1. 分式方程的经济问题：涉及成本、利润、折扣等。 1. 分式方程的其他实际问题：如浓度、比例等问题。 一、分式方程的定义 定义：分母中含有未知数的方程称为分式方程。 示例： 方程 是分式方程（分母含未知数 ）。 方程 不是分式方程（分母不含未知数）。 二、解分式方程（化为一元一次） 步骤： 1. 去分母（两边同乘最简公分母）； 1. 解整式方程； 1. 检验（使公分母为0的根是增根，需舍去）。 示例：解方程 。 解： 去分母： 整理： 解得： 检验：当 时，公分母 ，∴ 是原方程的解。 变式：解方程 。 解： 去分母： 整理： 解得：，即 检验：当 时，分母 ，∴ 是增根，原方程无解。 三、分式方程无解问题 无解的两种情况： 1. 去分母后的整式方程无解； 1. 整式方程的解是增根（使公分母为0）。 示例：若方程 无解，求 。 解： 去分母： 整理：，即 情况1：整式方程无解 ⇒ 且 ⇒ ； 情况2：解为增根 ⇒ 或 。 若 ，代入整式方程： ⇒ 恒成立，此时 为任意值，但需检验是否使分母为0：当 时，公分母为0，方程无意义； 若 ，代入： ⇒ 。 综上， 时方程无解。 易错点：忽略整式方程无解的情况或增根情况。 四、根据分式方程解得情况求值 示例：若方程 的解为正数，求 的取值范围。 解： 去分母： ⇒ ⇒ 由解为正数： ⇒ ； 检验增根： ⇒ ⇒ 。 ∴ 且 。 五、列分式方程解实际问题 1. 行程问题 示例：A、B两地相距60km，甲骑自行车从A到B，比乙步行从A到B早到1小时。已知甲速度是乙的3倍，求乙的速度。 解：设乙的速度为 km/h，则甲的速度为 km/h。 列方程： 解得： ⇒ ⇒ 检验： 符合实际。 答：乙的速度为40km/h。 2. 工程问题 示例：一项工程，甲单独做需10天完成，乙单独做需15天完成。若两人合作，需几天完成？ 解：设合作需 天，则甲效率 ，乙效率 。 列方程： 解得： ⇒ 答：合作需6天。 3. 经济问题 示例：某商品进价100元，按标价8折出售后利润率为20%，求标价。 解：设标价为 元，则售价为 元。 列方程： ⇒ 解得： ⇒ 答：标价为150元。 4. 其他实际问题 示例：某容器装满纯酒精，第一次倒出若干升后用水加满，第二次又倒出同样升数的混合液，此时容器内酒精浓度为36%。求每次倒出的升数（容器容积为10升）。 解：设每次倒出 升。 第一次倒出后剩余酒精：，浓度 ； 第二次倒出酒精：，剩余酒精： 方程： 解得： 或 （舍去） 答：每次倒出4升。 六、综合练习题 1. 解方程：。 1. 若方程 无解，求 。 1. 某工厂计划生产1200个零件，实际每天比原计划多生产20个，提前2天完成。求原计划每天生产多少个零件。 1. 一艘轮船在静水中的速度为20km/h，顺流航行60km所用时间与逆流航行40km所用时间相同。求水流速度。 1. 某商店以每件20元购进一批商品，按每件30元出售时每天可售出100件。调查发现，每降价1元，每天多售出10件。若每天盈利2160元，每件应降价多少元？ 答案解析 1. 解： · 去分母： · 整理： ⇒ ⇒ · 检验： 时公分母 ，∴原方程无解。 1. 解： · 去分母： · 整理： ⇒ · 情况1： 且 ⇒ ； · 情况2：解为增根 或 。 · 若 ：代入得 ⇒ ⇒ 无解； · 若 ：代入得 ⇒ 。 · ∴ 或 。 1. 解：设原计划每天生产 个。 · 列方程： · 解得：（经检验符合题意）。 · 答：原计划每天生产100个。 1. 解：设水流速度为 km/h。 · 列方程： · 解得：（经检验符合题意）。 · 答：水流速度为4km/h。 1. 解：设每件降价 元。 · 列方程： · 化简： ⇒ 或 · 答：每件应降价2元或8元。 注意：所有解均需检验实际意义及增根情况！ 学科网（北京）股份有限公司 $