第4章 一元一次方程（优质类型） 题型过关专练2025-2026学年七年级数学上册（苏科版2024）

第4章 一元一次方程思维导图 【类型覆盖】 类型一、一元一次方程的整数解 【解惑】若关于x的方程的解是正整数，且关于y的多项式是二次三项式，那么所有满足条件的整数a的值之和是（   ） A．1 B．3 C．5 D．7 【融会贯通】 1．已知关于的方程有整数解，则满足条件所有整数的和为（   ） A． B．2 C．7 D． 2．若关于的方程的解是整数，且关于的多项式是二次三项式，那么所有满足条件的整数的值之积是 ． 3．关于的一元一次方程有正整数解，则所有满足条件的整数的值之和为 类型二、一元一次方程的整体代入 【解惑】若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．已知关于x的方程的解为，则关于y的方程的解为（    ） A． B． C． D． 2．已知关于x的一元一次方程的解为，那么关于y的一元一次方程的解为 ． 3．已知关于的一元一次方程的解为，那么关于的一元一次方程的解为 ． 类型三、一元一次方程的新定义计算 【解惑】定义“※”运算为“”，如“”，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．用“※”定义一种新运算：对于任意有理数和，规定，如：，若（其中为有理数），则的值为（　　） A．1 B． C． D．2 2．定义运算“*”对于任意有理数a与b，满足，例如：，．若有理数x满足，则x的值为 ． 3．将4个数a、b、c、d排成两行两列，两边各加一条竖直线记成，定义，若，则 ． 类型四、一元一次方程的应用——销售问题 【解惑】小王看到两个超市的促销信息如图所示． 甲超市促销信息栏 乙超市促销信息栏 全场8.8折 不超过200元，不给予优惠 超过200元而不大于500元，打9折 超过500元，500元的部分优惠，超过500元的部分打8折 (1)当一次性购物标价总额是300元时，甲、乙超市实付款分别是多少？ (2)当标价总额是多少时，甲、乙超市实付款一样？ (3)小王两次到乙超市分别购物标价198元和466元，若他只去一次该超市购买同样多的商品，可以节省多少元？ 【融会贯通】 1．某体育用品店在“双十一”期间特别准备篮球和足球进行促销活动，其中每个篮球的进价比每个足球的进价多元，购进个篮球和个足球共需元． (1)篮球和足球的进价分别是多少元？ (2)该店购进了篮球和足球共个，篮球在进价的基础上加价进行标价，足球在进价的基础上加价元进行标价，若按标价售完全部篮球和足球共可获利元，求该店购进的篮球和足球分别是多少个？ (3)在（）的条件下，“双十一”期间，若篮球按标价折出售，足球按标价先卖出个，余下的部分按标价降价出售，若篮球和足球全部售出，该店可获得利润多少元？ 2．某商店批进衬衫500件，每件进价为30元，准备加价出售，预计可盈利多少元？当这批衬衫售出后，决定将余下的按八折继续出售，这样，这批衬衫全部售出实际盈利多少元？ 3．随着打印技术越来越成熟，家用打印机也逐步走进各家各户．某公司根据市场需求代理甲、乙两种型号的家用打印机，每台甲型打印机比每台乙型打印机进价高元． (1)设每台乙型打印机为元，则每台甲型打印机为 元(用x表示)． (2)若购买台甲型打印机和台乙型打印机共花费元，求每台甲型、乙型打印机的进价各是多少元？ 类型五、一元一次方程的应用——收费问题 【解惑】某市农电公司收电费标准是阶梯型收费，不超过度电，每度电收费元；超过度电，但不超过度电的部分收费是每度电收费元；超过度电的部分收费是每度电元，小明家本月用电度． (1)当时，求出小明家交电费多少元？当时，求出小明家交电费多少元？（用含的代数式表示） (2)若小明家本月平均每度电收费元，求的值． 【融会贯通】 1．节约用水．市政府决定对居民用水实行三级阶梯水价： 每户每月用水量 水费价格（单位：元/立方米） 不超过22立方米 2.3 超过22立方米且不超过30立方米的部分 a 超过30立方米的部分 4.6 (1)若小明家去年2月份用水量是26立方米，缴费64.4元，求出用水在22～30立方米的收费标准a？ (2)在（1）条件下，若小明家去年8月份用水量增大，共缴费87.4元，请求出他家8月份的用水量是多少立方米？ 2．我市某小区居民使用自来水2024年标准缴费如下（水费按月缴纳）： 用户月用水量 单价 不超过12立方米的部分 元/立方米 超过12立方米但不超过20立方米的部分 元/立方米 超过20立方米的部分 元/立方米 (1)某户4月份用了15立方米的水，求该户4月份应缴纳的水费；（用含的式子表示） (2)设某户月用水量为立方米，当时，若该用户缴纳水费110元，则该用户这个月的用水量是多少立方米（列方程求解）？ (3)当时，甲、乙两户一个月共用水32立方米，已知甲户缴纳的水费超过了24元，设甲户这个月用水立方米，试求甲，乙两户一个月共缴纳的水费（可用含的式子表示） 3．为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费．如表是该市“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息： 自来水销售价格 污水处理价格 每户每月用水量 单价：元/吨 单价：元/吨 17吨及以下 a 超过17吨但不超过30吨的部分 b 超过 30 吨的部分 （说明：①每户产生的污水量等于该户自来水用量；②水费=自来水费用+污水处理费） 已知小王家2024年7月用水15吨，交水费30元；8月份用水26吨，交水费61元． (1)求a，b的值． (2)如果小王家9月份上交水费108元，则小王家这个月用水多少吨？ (3)小王家10月份忘记去交水费，当他11月去交水费时发现两个月一共用水52吨（其中10月份用水超过30吨），一共交水费元（其中包含10月份的滞纳金，即10月份水费的），求小王家11月份用水多少吨．（滞纳金：因未能按期缴纳水费，逾期要缴纳的“罚款金额”） 类型六、一元一次方程的应用——几何动点问题 【解惑】如图，在长方形中，，点E是边上的一点，分别长，满足．动点P从B点出发，以的速度沿运动，最终到达点D．设运动时间为． (1)___________，__________． (2)把四边形的周长平分，求t的值？ (3)另有一点Q从点E出发，按照的路径运动，且速度为，若P、Q两点同时出发，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动．___________时，的面积等于． 【融会贯通】 1．如图，在长方形中，，，，点在边上，且，动点从点出发，以1个单位/秒的速度沿路径运动，同时动点从点出发，以2个单位/秒的速度沿路径运动，当其中一点停止时，另一个点也随之停止，设点、运动的时间为秒． (1)当秒时，线段______； (2)当点在边上运动时，若，求的值； (3)在点、运动过程中，是否存在某一时刻，使得四边形的面积为15？若存在，求出所有符合条件的的值；若不存在，请说明理由． 2．如图，在中，，，，，动点从点出发，以每秒1个单位的速度沿方向运动，到达点时停止运动，连接（或）．设点运动的时间为，的面积为． (1)请写出关于的关系式； (2)当的面积为4时，求点的运动时间． 3．如图，在中，，，，，点P从点A开始以的速度沿的方向移动，点Q从点C开始以的速度沿的方向移动．已知P、Q两点同时出发，设运动时间为t秒． (1)如图①，若点P在线段AB上运动，点Q在线段上运动，用含t的式子表示、，并求当时t的值； (2)如图②，若点Q在线段上运动，当t为何值时，的面积等于面积的； (3)当点P到达点C时，P、Q两点都停止运动，直接写出时t的值． 类型七、一元一次方程的应用——绝对值 【解惑】【阅读材料】 由绝对值的定义可知．若，则或；若，则．我们可以根据上面的定义，解一些简单的绝对值方程 例如，解方程 解法一：当时，原方程化为，解得； 当时．原方程化为，解得， 所以原方程的解为或 解法二：移项得，合并同类项得，根据绝对值的意义知． 所以原方程的解为或． 【解决问题】 请你用两种方法解方程． 【融会贯通】 1．阅读下列信息，方程的解法如下： （I）当时，，解得：． （II）当时，，解得：． 请你解决下列问题： (1)，则______； (2)求方程的解． 2．解方程：． 解：①当时，解得；②当时，解得． 所以原方程的解是或． (1)解方程：； (2)解方程：； (3)探究：当b分别为何值时？方程， ①无解；    ②只有一个解；    ③有两个解． 3．阅读下列解题过程，并解答类似的题目． 解方程：． 解：由，得． 若，得；若，得， 所以原方程的解是或． (1)解方程：． (2)若方程的解也是方程的解，求m的值． 类型八、一元一次方程的应用——规律问题 【解惑】如图，会展中心将深色和浅色两种花卉摆成如图所示的排列图案，第1个图案需要5盆花卉，第2个图案需要13盆花卉，第3个图案需要25盆花卉，第4个图案需要41盆花卉，以此类推．按照以上规律，解决下列问题： (1)第5个图案需要花卉____________盆； (2)第n个图案需要花卉____________盆（用含n的代数式表示）； (3)已知花卉市场国庆期间所摆的花卉图案中深色花卉比浅色花卉多81盆，求该花卉图案中深色花卉的盆数． 【融会贯通】 1．【观察思考】 如图，春节期间在某广场上摆放多盆红梅花（黑色圆点）和黄梅花（白色圆点），组成“中国结”系列图案 【发现规律】 根据上述图案的摆放规律填空： （1）第5个图案中黄梅花的盆数为________； （2）第1个图案中红梅花的盆数可表示为，第2个图案中红梅花的盆数可表示为，第3个图案中红梅花的盆数可表示为，第4个图案中红梅花的盆数可表示为，…，第个图案中红梅花的盆数可表示为_________； 【解决问题】 （3）若按照上述规律摆放的第个“中国结”图案中，红梅花的盆数比黄梅花的盆数的倍少5盆，求的值． 2．用同样大小的圆形棋子按如图所示的规律摆放：第1个图形中有6个棋子，第2个图形中有9个棋子，第3个图形中有12个棋子，第4个图形中有15个棋子，以此类推． (1)按照上述规律第n个图形棋子数s，用含n的代数式表示s ． (2)现有2025个圆形棋子，若将这些棋子按照题中的规律一次性摆放一个图形，且棋子全部用完，则可摆放出第几个图形，请说明理由． 3．如图是一组有规律的图案．第1个图案中有7个六边形，第2个图案中有13个六边形，第3个图案中有19个六边形，…，按此规律， (1)则第5个图案中有______个六边形； (2)用含n的代数式表示第n个图案中六边形的个数； (3)若第n个图案中有601个六边形，求n的值． 类型九、一元一次方程的新定义应用 【解惑】定义：如果两个一元一次方程的解之和为2，我们就称这两个方程为“成双方程”．例如：方程和为“成双方程”． (1)请判断方程与方程是否为“成双方程”； (2)若关于x的方程与方程互为“成双方程”，求的值． 【融会贯通】 1．新定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，就称这两个方程为“友好方程”，如：方程和为“友好方程”． (1)若关于的方程与方程是“友好方程”，求的值； (2)若关于的方程与方程是“友好方程”，求的值； (3)若某“友好方程”的两个解的差为6，其中一个方程的解为，求的值． 2．定义：关于的方程与方程（均为不等于0的常数）称互为“反对方程”，例如：方程与方程互为“反对方程”． (1)若关于的方程与方程互为“反对方程”，则___________． (2)若关于的方程与方程互为“反对方程”，求的值． (3)若关于的方程与其“反对方程”的解都是整数，求整数的值． 3．定义：若关于x的一个方程为（a为常数），关于y的一个方程的解为（b为常数），且a，b满足（m为正数），则称这两个方程是“m差解友好方程”， 例如：方程的解是，方程的解是，因为，所以方程与方程是“1差解友好方程”． (1)请通过计算判断关于x的方程与关于y的方程是不是“4差解友好方程”； (2)如果关于x的方程与关于y的方程（k为常数）是“1差解友好方程”，求k的值； (3)关于x，y的两个方程与方程（t，n为常数），若对于任何有理数t，都使得它们是“2差解友好方程”，求n的值． 类型十、一元一次方程的数轴动点求t 【解惑】数轴上点A表示数a，点 B 表示数b，且a、b满足．点 M为数轴上一动点，其对应的数为 m． (1)点A表示的数为 ；若点M为线段的中点，则点M对应的数为 ； (2)点M在移动的过程中，当点M到点A、点B的距离之和为10时，求点M对应的数m； (3)对于数轴上的三点，给出如下定义：若当其中一个点与其他两个点的距离恰好满足2倍关系时，则称该点是其他两个点的“2倍点”．例如：在数轴上点C表示的数为，点D表示的数为2，原点O到点C，点D 的距离分别为，，则，即原点O是点C，D的“2倍点”．点A、点B分别以每秒4个单位长度和每秒1个单位长度的速度同时向右运动，同时点M以每秒3个单位长度的速度从表示数5的点向左运动．设三个点的运动时间为t秒． ①当点M恰好是点A，B的“2倍点”时，求t的值； ②当点A恰好是点M，B的“2倍点”时，直接写出t的值． 【融会贯通】 1．如图，已知数轴上A、B两点对应的数分别为a、b，且a、b满足，点C对应的数为14，点D对应的数为．点P从点A出发，沿数轴正方向以每秒2个单位长度的速度运动，点Q从点B出发，沿数轴负方向以每秒1个单位长度的速度运动．P、Q两点同时出发，设运动时间为（秒）． (1)求a、b的值； (2)当点P到原点O的距离和点Q到原点O的距离相等时，求t的值； (3)当之间的距离为8时，求t的值． 2．【知识背景】在数学中，可以用一条直线上的点表示数，我们把这条直线叫做数轴；数轴要满足以下要求： （1）在直线上任取一点表示0，这个点叫做原点； （2）通常情况下，从原点向右为正方向，从原点向左为负方向； （3）选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示为1，2，3…； 例如点表示的数为4，是从原点向右移动4个单位长度得到的；点表示的数为7，是由表示的数为9的点向左移动2个单位长度得到的． 【知识应用】若点表示的数是10，向右移动8个单位长度得到的数是_________；同时，点也可以看成是12向_________（“左”或“右”）移动_________个单位得到的． 【拓展提升】如图，从原点出发，以每秒4个单位的速度向右匀速运动，点表示的数是8，在出发的同时，以每秒2个单位的速度向右匀速运动． ①几秒后和重合？ ②出发秒后与相距4个单位长度，请直接写出此时的值． 3．数轴上点与点的距离为个单位长度，点在原点的左侧，到原点的距离为个单位长度，点在点的右侧，点表示的数与点表示的数互为相反数，动点从出发，以每秒个单位的速度向终点移动，设移动时间为秒． (1)点表示的数为____________，点表示的数为____________，点表示的数为____________； (2)用含的代数式表示到点和点的距离：____________，____________； (3)当点运动到点时，点从点出发，以每秒个单位的速度向点运动，点到达点后，再立即以同样的速度返回，运动到终点． ①在点向点运动过程中，能否追上点？若能，求出点运动几秒追上点；若不能，请说明理由； ②在点开始运动后，两点之间的距离能否为个单位？ 如果能，请求出此时点表示的数；如果不能，请说明理由． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第4章 一元一次方程思维导图 【类型覆盖】 类型一、一元一次方程的整数解 【解惑】若关于x的方程的解是正整数，且关于y的多项式是二次三项式，那么所有满足条件的整数a的值之和是（   ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】C 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，多项式次数和项的定义，先解方程得到，根据解为正整数确定的可能值；再结合多项式为二次三项式的条件排除不符合的，最终求和符合条件的整数的值． 【详解】解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， ∵关于x的方程的解是正整数， ∴是整数，且 ∴或2或4， ∵是二次三项式， ∴， ∴且， ∴所有满足条件的整数a的值为1，4， ∴所有满足条件的整数a的值之和是， 故选：C． 【融会贯通】 1．已知关于的方程有整数解，则满足条件所有整数的和为（   ） A． B．2 C．7 D． 【答案】D 【分析】本题考查了解一元一次方程，先根据一元一次方程的解法求出，然后根据一元一次方程有整数解求解即可． 【详解】解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 当，即时，方程的解是， 关于的方程有整数解，为整数， 或或或或或或或， 或或或或或或1或6， 满足条件所有整数的和为， 故选：D． 2．若关于的方程的解是整数，且关于的多项式是二次三项式，那么所有满足条件的整数的值之积是 ． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次方程，多项式次数和项的定义，先解方程得到，根据方程的解为整数推出或或或或或，再根据多项式次数和项的定义得到且，最后利用有理数乘法法则计算，即可解题． 【详解】解：， ， ， 关于的方程的解是整数， 或或， 解得或或或或或， 关于的多项式是二次三项式， 且， 解得且， 或或或， 那么所有满足条件的整数的值之积是； 故答案为：． 3．关于的一元一次方程有正整数解，则所有满足条件的整数的值之和为 【答案】16 【分析】本题考查一元一次方程的解，先解方程，得到，再根据有正整数解，求出m的值，相加即可得到答案． 【详解】解：， ， 当时，， ∵是正整数， ∴整数， 所以，它们的和为； 故答案为：16． 类型二、一元一次方程的整体代入 【解惑】若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义和解法，观察两个方程，利用换元法是解题关键．设，利用“整体换元”的方法根据题中方程的解确定出y的值即可． 【详解】解：设， 则方程，可化为， 的解为， ， 解得， 关于的一元一次方程的解为． 故选：B． 【融会贯通】 1．已知关于x的方程的解为，则关于y的方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了换元法解一元一次方程；先对关于的一元一次方程进行变形为，再根据关于x的方程的解为，得出，然后求解即可． 【详解】解：把方程变形为： ， ∵关于x的方程的解为， ∴， ∴， 故选：D． 2．已知关于x的一元一次方程的解为，那么关于y的一元一次方程的解为 ． 【答案】2023 【分析】本题考查了一元一次方程的解，利用整体思想，可得出，进而可求出y的值． 【详解】解：∵关于x的一元一次方程的解为， ∴关于的一元一次方程的解为， ∴． 故答案为：2023． 3．已知关于的一元一次方程的解为，那么关于的一元一次方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的解，掌握一元一次方程的解法是解题的关键．将化为，根据关于x的一元一次方程的解可知关于的一元一次方程的解，从而求出关于y的一元一次方程：的解即可． 【详解】解：可化为， ∵关于x的一元一次方程， ∴， ∴． 故答案为：． 类型三、一元一次方程的新定义计算 【解惑】定义“※”运算为“”，如“”，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了新定义的运算，一元一次方程，解题的关键是掌握新定义的运算法则．由新定义的运算法则可得，即可求解． 【详解】解： ， 故选：C． 【融会贯通】 1．用“※”定义一种新运算：对于任意有理数和，规定，如：，若（其中为有理数），则的值为（　　） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查了新定义运算，解一元一次方程，根据题意得出方程，解方程即可得出答案，理解题意，正确得出方程是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 解得：． 故选：B． 2．定义运算“*”对于任意有理数a与b，满足，例如：，．若有理数x满足，则x的值为 ． 【答案】11或3.5 【分析】本题主要考查了新定义运算，根据题意分为两种情况，①当时，，②当时，，再解一元一次方程，符合题意的值即为所求． 【详解】解： 若， ①当时，， 解得：， ②当时，， 解得：． 故答案为：或． 3．将4个数a、b、c、d排成两行两列，两边各加一条竖直线记成，定义，若，则 ． 【答案】8 【分析】本题考查了整式的混合运算，有理数的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．按照定义的新运算进行计算，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 解得 故答案为：8． 类型四、一元一次方程的应用——销售问题 【解惑】小王看到两个超市的促销信息如图所示． 甲超市促销信息栏 乙超市促销信息栏 全场8.8折 不超过200元，不给予优惠 超过200元而不大于500元，打9折 超过500元，500元的部分优惠，超过500元的部分打8折 (1)当一次性购物标价总额是300元时，甲、乙超市实付款分别是多少？ (2)当标价总额是多少时，甲、乙超市实付款一样？ (3)小王两次到乙超市分别购物标价198元和466元，若他只去一次该超市购买同样多的商品，可以节省多少元？ 【答案】(1)甲超市付款264元，乙超市付款270元 (2)元 (3)元 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程． （1）根据图中的信息，可以分别计算出在两家超市需要付款的金额； （2）根据题意和图中的信息，可以列出相应的方程，然后求解即可； （3）根据题意可以计算两种情况下的实际付款金额，然后作差即可． 【详解】（1）解：由题意可得， 当一次性购物标价总额是元时， 在甲超市需付款：（元）， 在乙超市需付款：（元）， 答：甲超市付款元，乙超市付款元； （2）由图中的信息可知，只有当购物标价总额超过元时，两家超市才可能付款总金额相等， 设当标价总额是元时，甲、乙超市实付款一样， 由题意可得：， 解得， 答：当标价总额是元时，甲、乙超市实付款一样； （3）由题意可得， 小王两次到乙超市分别购物标价198元和466元时， 需要付款：（元）， 小王一次性到乙超市购物标价元的商品， 需要付款：（元）， （元）， 答：可以节省元． 【融会贯通】 1．某体育用品店在“双十一”期间特别准备篮球和足球进行促销活动，其中每个篮球的进价比每个足球的进价多元，购进个篮球和个足球共需元． (1)篮球和足球的进价分别是多少元？ (2)该店购进了篮球和足球共个，篮球在进价的基础上加价进行标价，足球在进价的基础上加价元进行标价，若按标价售完全部篮球和足球共可获利元，求该店购进的篮球和足球分别是多少个？ (3)在（）的条件下，“双十一”期间，若篮球按标价折出售，足球按标价先卖出个，余下的部分按标价降价出售，若篮球和足球全部售出，该店可获得利润多少元？ 【答案】(1)篮球的进价为元，足球的进价为元 (2)购进篮球个，购进足球个 (3)元 【分析】（）设足球的价格为元，则篮球的价格为元，根据题意列出方程即可求解； （）设购进篮球个，则购进足球个，根据题意求出单个篮球和足球的利润，进而列出方程解答即可求解； （）分别求出活动后单个篮球和足球的利润，进而根据题意列出算式计算即可； 本题考查了一元一次方程的应用，有理数混合运算的实际应用，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】（1）解：设足球的价格为元，则篮球的价格为元， 根据题意得，， 解得， ∴， 答：篮球的进价为元，足球的进价为元； （2）解：设购进篮球个，则购进足球个， 由题意得，篮球的标价为元，足球的标价为元， ∴单个篮球的利润为元，单个足球的利润为元， ∴， 解得， ∴， 答：购进篮球个，购进足球个； （3）解：由题意得，篮球售价为元，单个利润为元，足球剩下部分售价为元，单个利润为元， ∴利润为：元， 答：该店可获得利润元． 2．某商店批进衬衫500件，每件进价为30元，准备加价出售，预计可盈利多少元？当这批衬衫售出后，决定将余下的按八折继续出售，这样，这批衬衫全部售出实际盈利多少元？ 【答案】加价出售，预计可盈利4500元；这批衬衫全部售出实际盈利4110元． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，先求出每件衬衫的售价为元，设加价出售，预计可盈利x元，依题意列出方程，解此方程求出x即可得出答案；当这批衬衫售出后，还余下件，设这批衬衫全部售出实际盈利y元，依题意列出方程，解此方程求出y即可得出答案； 【详解】解：每件衬衫进价为30元，加价出售， 则每件衬衫的售价为：（元） 设加价出售，预计可盈利x元， 依题意得：， 解得：， 答：加价出售，预计可盈利4500元． 当这批衬衫售出后，还余下（件）， 设这批衬衫全部售出实际盈利y元， 依题意得：， 解得：， 答：这批衬衫全部售出实际盈利4110元． 3．随着打印技术越来越成熟，家用打印机也逐步走进各家各户．某公司根据市场需求代理甲、乙两种型号的家用打印机，每台甲型打印机比每台乙型打印机进价高元． (1)设每台乙型打印机为元，则每台甲型打印机为 元(用x表示)． (2)若购买台甲型打印机和台乙型打印机共花费元，求每台甲型、乙型打印机的进价各是多少元？ 【答案】(1) (2)每台甲型、乙型打印机的进价各是元，元 【分析】本题考查一元一次方程的应用、列代数式，写出每台甲型打印机的进价、掌握一元一次方程的解法是解题的关键． （1）根据“每台甲型打印机比每台乙型打印机进价高元”计算即可； （2）根据题意，列关于的一元一次方程并求解即可． 【详解】（1）解：每台甲型打印机为元． 故答案为：． （2）根据题意，得， 解得， 元． 答：每台甲型打印机的进价为元，每台乙型打印机的进价为元． 类型五、一元一次方程的应用——收费问题 【解惑】某市农电公司收电费标准是阶梯型收费，不超过度电，每度电收费元；超过度电，但不超过度电的部分收费是每度电收费元；超过度电的部分收费是每度电元，小明家本月用电度． (1)当时，求出小明家交电费多少元？当时，求出小明家交电费多少元？（用含的代数式表示） (2)若小明家本月平均每度电收费元，求的值． 【答案】(1)当时，小明家应交电费元；当时，小明家应交电费元 (2)的值为 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及列代数式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，用含的代数式表示出小明家应交电费金额；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程． （1）利用总价单价数量，结合收费标准，即可用含的代数式表示出小明家应交电费金额； （2）分及两种情况考虑，根据小明家本月平均每度电收费元，可列出关于的一元一次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】（1）根据题意得：当时， 小明家应交电费元； 当时， 小明家应交电费元； （2）当时，， 解得：不符合题意，舍去； 当时，， 解得：． 答：的值为． 【融会贯通】 1．节约用水．市政府决定对居民用水实行三级阶梯水价： 每户每月用水量 水费价格（单位：元/立方米） 不超过22立方米 2.3 超过22立方米且不超过30立方米的部分 a 超过30立方米的部分 4.6 (1)若小明家去年2月份用水量是26立方米，缴费64.4元，求出用水在22～30立方米的收费标准a？ (2)在（1）条件下，若小明家去年8月份用水量增大，共缴费87.4元，请求出他家8月份的用水量是多少立方米？ 【答案】(1)用水在立方米之间的收费标准元/立方米 (2)他家8月份的用水量是32立方米 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，理解三级阶梯水价收费标准是重点，根据等量关系列方程求解是关键． （1）因为26立方米超过22立方米且不超过30立方米，所以，根据方程即可求出a的值； （2）先根据第（1）问中得出的结果计算30立方米的费用，从而确定属于第几个阶梯，再列方程解决． 【详解】（1）解：根据题意，得， 解得． 答：用水在立方米之间的收费标准元/立方米； （2）当用水量为30立方米时，缴费元， 小明家去年8月份用水量增大，共缴费87.4元， 小明家去年8月份用水量超过30立方米， 设他家8月份的用水量是x立方米． 由题意得：， 解得． 答：他家8月份的用水量是32立方米． 2．我市某小区居民使用自来水2024年标准缴费如下（水费按月缴纳）： 用户月用水量 单价 不超过12立方米的部分 元/立方米 超过12立方米但不超过20立方米的部分 元/立方米 超过20立方米的部分 元/立方米 (1)某户4月份用了15立方米的水，求该户4月份应缴纳的水费；（用含的式子表示） (2)设某户月用水量为立方米，当时，若该用户缴纳水费110元，则该用户这个月的用水量是多少立方米（列方程求解）？ (3)当时，甲、乙两户一个月共用水32立方米，已知甲户缴纳的水费超过了24元，设甲户这个月用水立方米，试求甲，乙两户一个月共缴纳的水费（可用含的式子表示） 【答案】(1)元； (2)30立方米 (3)当时，甲乙共缴纳72元；当时，甲乙共缴纳元 【分析】本题考查了整式加减的应用，一元一次方程的生活实际应用，正确理解分段的界点是解题的关键． （1）根据缴费标准解答即可求解； （2）设该用户这个月的用水量是m立方米，根据题意可得，然后列出方程，即可求解； （3）分两种情况：当时，当时，根据题意，列出代数式，即可求解． 【详解】（1）解：元， 即该户4月份应缴纳的水费为元； （2）解：设该用户这个月的用水量是m立方米， ∵，且， ∴， 根据题意得：， 解得：， 答：该用户这个月的用水量是30立方米； （3）解：当时，且元， 根据题意，得甲户缴纳的水费超过了24元， 设甲户这个月用水立方米，则， 当时，甲户用水量超过但不超过，乙户用水量不少于但少于， 所以甲、乙两用户一个月共缴纳的水费为： 元； 当时，甲的用水量超过，乙的用水量不超过， 所以甲、乙两用户一个月共缴纳的水费为： 元， 综上所述，当时，甲乙共缴纳72元；当时，甲乙共缴纳元． 3．为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费．如表是该市“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息： 自来水销售价格 污水处理价格 每户每月用水量 单价：元/吨 单价：元/吨 17吨及以下 a 超过17吨但不超过30吨的部分 b 超过 30 吨的部分 （说明：①每户产生的污水量等于该户自来水用量；②水费=自来水费用+污水处理费） 已知小王家2024年7月用水15吨，交水费30元；8月份用水26吨，交水费61元． (1)求a，b的值． (2)如果小王家9月份上交水费108元，则小王家这个月用水多少吨？ (3)小王家10月份忘记去交水费，当他11月去交水费时发现两个月一共用水52吨（其中10月份用水超过30吨），一共交水费元（其中包含10月份的滞纳金，即10月份水费的），求小王家11月份用水多少吨．（滞纳金：因未能按期缴纳水费，逾期要缴纳的“罚款金额”） 【答案】(1)， (2)小王家这个月用水40吨 (3)小王家11月份用水13吨 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，读懂题意、正确的列出方程是解题的关键： （1）根据收费方法，列出方程进行求解即可； （2）设小王家这个月用水x吨，然后根据题意、列出方程进行求解即可； （3）设11月份用水m吨，则10月份用水吨，分和两种情况，分别列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得，解得：， ∴，解得：． （2）解：由题意可知，元，元，元； 设小王家这个月用水x吨， 由题意，得，解得：． 答：小王家这个月用水40吨． （3）解：设11月份用水m吨，则10月份用水吨． ①当，由题意可得： ，解得：． ②当，由题意可得： ， 解得 (不符合题意 舍去)． 综上，小王家11月份用水13吨． 类型六、一元一次方程的应用——几何动点问题 【解惑】如图，在长方形中，，点E是边上的一点，分别长，满足．动点P从B点出发，以的速度沿运动，最终到达点D．设运动时间为． (1)___________，__________． (2)把四边形的周长平分，求t的值？ (3)另有一点Q从点E出发，按照的路径运动，且速度为，若P、Q两点同时出发，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动．___________时，的面积等于． 【答案】(1)6；6 (2) (3)3或或10 【分析】本题主要考查了矩形的性质、三角形的面积和绝对值与偶次方的非负性，解题关键是利用分类讨论的数学思想解决问题． （1）根据偶次方和绝对值的非负性，列出关于a，b的方程，解方程求出a，b即可； （2）先根据已知条件求出，，再根据把四边形的周长平分列出关于t的方程，解方程求出t即可； （3）分三种情况讨论：①点P在上时，②相遇前，点P在上，③相遇后，点P与点D重合，Q都在上，分别画出图形，再根据面积公式进行解答即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， 解得：，； （2）解：∵，， ∴，， ∵运动时间为， ∴，， ∵把四边形的周长平分， ∴， ， 解得：； （3）解：分三种情况讨论： ①点P在上时，如图所示： ∵的面积， ， 解得：； ②相遇前，点P在上， 由题意得：，， ∴ ， ∴的面积， ， 解得：； ③相遇后，点P与点D重合，P，Q都在上，如图所示： 由题意得：，， ∴， ∴， ∴的面积， ， 解得：， ∴或或10， 故答案为：3或或10． 【融会贯通】 1．如图，在长方形中，，，，点在边上，且，动点从点出发，以1个单位/秒的速度沿路径运动，同时动点从点出发，以2个单位/秒的速度沿路径运动，当其中一点停止时，另一个点也随之停止，设点、运动的时间为秒． (1)当秒时，线段______； (2)当点在边上运动时，若，求的值； (3)在点、运动过程中，是否存在某一时刻，使得四边形的面积为15？若存在，求出所有符合条件的的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)2 (2) (3)或 【分析】本题考查了长方形内的动点问题，涉及到的知识点包括路程、速度与时间的关系，以及三角形和四边形的面积计算．解题的关键在于能够准确地根据题目条件建立数学模型，特别是正确地表示出动点P和Q的位置随时间变化的关系，并能够分情况讨论点Q在不同位置时四边形面积的计算方法．通过设立方程或不等式解决问题，体现了方程思想和分类讨论的思想方法． （1）根据点Q的运动速度和路径，先求出，再用得到； （2）根据点Q在上时的运动情况表示出，点P在上时表示出，再根据列方程求解； （3）分点Q在上和点Q在上两种情况，分别根据四边形面积公式列方程求解． 【详解】解：（1）当秒，， ， ，即． 故答案为：2．　　 （2）点Q在边上运动， ，则； 点P在边上运动，，， ， ， ， 解得， （3）存在，理由如下： 当点Q在上（） ，，， ， 令，解得，，符合题意； 当点Q在上（）， ，，，，，，， ， 令，解得，，不合题意，舍去； 当点Q在上（） ，，，， , ， 令， 解得，，符合题意． 综上，存在某一时刻，使得四边形的面积是15，此时或． 2．如图，在中，，，，，动点从点出发，以每秒1个单位的速度沿方向运动，到达点时停止运动，连接（或）．设点运动的时间为，的面积为． (1)请写出关于的关系式； (2)当的面积为4时，求点的运动时间． 【答案】(1) (2)秒或6秒． 【分析】本题考查三角形的面积，掌握三角形面积计算公式是解题的关键． （1）根据三角形面积公式，分别计算当点P在上、在上时S关于t的关系式即可； （2）当时，求出对应t的值即可． 【详解】（1）解：如图，过点C作于点D． ∵， ∴， 当时，， 当时，， ∴S关于t的关系式为． （2）解：当时， 解得， 当时， 解得， ∴当的面积为4时，点P的运动时间t为秒或6秒． 3．如图，在中，，，，，点P从点A开始以的速度沿的方向移动，点Q从点C开始以的速度沿的方向移动．已知P、Q两点同时出发，设运动时间为t秒． (1)如图①，若点P在线段AB上运动，点Q在线段上运动，用含t的式子表示、，并求当时t的值； (2)如图②，若点Q在线段上运动，当t为何值时，的面积等于面积的； (3)当点P到达点C时，P、Q两点都停止运动，直接写出时t的值． 【答案】(1)，，秒时， (2) (3)t为4或 【分析】本题属于三角形综合题，考查了三角形面积、一元一次方程以及分类讨论等知识解题的关键是理解题意，学会用方程的思想思考问题． （1）当在线段上运动，在线段上运动时，，，则，由，可得方程，解方程即可． （2）当在线段上时，，则，根据三角形的面积等于三角形面积的，列出方程即可解决问题． （3）分三种情形讨论即可①当时，在线段上运动，在线段上运动．②当时，在线段上运动，在线段上运动．③当时，在线段上运动，在线段上运动时，分别列出方程求解即可． 【详解】（1）解：点P从点A开始以的速度沿的方向移动，点Q从点C开始以的速度沿的方向移动． ∴，， ∵ ∴， ， ， ． 即秒时，； （2）解：当在线段上时，， 则， 三角形的面积等于三角形面积的， ， ， 解得：． 即秒时，三角形的面积等于三角形面积的； （3）解：由题意可知，在线段上运动的时间为12秒，在线段上运动时间为8秒， ①当时，在线段上运动，在线段上运动，，， 则，， ， ， 解得； ②当时，在线段上运动，在线段上运动，， 则，， ， ， 解得； ③当时，在线段上运动，在线段上运动时， 则，， ， ， 解得，不合题意舍去 综上所述，为4或时，． 类型七、一元一次方程的应用——绝对值 【解惑】【阅读材料】 由绝对值的定义可知．若，则或；若，则．我们可以根据上面的定义，解一些简单的绝对值方程 例如，解方程 解法一：当时，原方程化为，解得； 当时．原方程化为，解得， 所以原方程的解为或 解法二：移项得，合并同类项得，根据绝对值的意义知． 所以原方程的解为或． 【解决问题】 请你用两种方法解方程． 【答案】或，见解析 【分析】本题考查绝对值的意义，熟练掌握一元一次方程的解法，理解绝对值的意义和进行分类讨论思想的应用是解题的关键． 方法一：首先根据得，于是原方程可化为，由此可解出，再根据得，是原方程可化为，由此可解出，综上所述可得原方程得解； 方法二：首先移项、合并同类项得，再将的系数化1为得，然后利用绝对值的意义可得出的值，进而得原方程得解． 【详解】解：解法一：当时，原方程化为，解得， 当时，原方程化为，解得， 所以，原方程的解为或； 解法二：移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得        根据绝对值的意义可得 所以，原方程的解为或． 【融会贯通】 1．阅读下列信息，方程的解法如下： （I）当时，，解得：． （II）当时，，解得：． 请你解决下列问题： (1)，则______； (2)求方程的解． 【答案】(1)3或 (2)或 【分析】本题考查了含绝对值符号的一元一次方程，利用绝对值的性质化简方程是解题关键，要分类讨论，以防遗漏． （1）根据绝对值的性质化简方程，解方程可得答案； （2）根据绝对值的性质化简方程，解方程可得答案． 【详解】（1）∵ ∴（I）当时，，解得：； （II）当时，，解得：． 综上所述，或； （2）∵ ∴ ∴ ∴（I）当时，，解得：； （II）当时，，解得：． 综上所述，或． 2．解方程：． 解：①当时，解得；②当时，解得． 所以原方程的解是或． (1)解方程：； (2)解方程：； (3)探究：当b分别为何值时？方程， ①无解；    ②只有一个解；    ③有两个解． 【答案】(1)或 (2)或 (3)当时，方程无解；当时，方程只有一个解；当时，方程有两个解 【分析】本题考查了含绝对值符号的一元一次方程：解含绝对值符号的一元一次方程要根据绝对值的性质和绝对值符号内代数式的值分情况讨论，即去掉绝对值符号得到一般形式的一元一次方程，再求解． （1）先移项得到，利用绝对值的意义得到或，然后分别解两个一次方程； （2）先利用绝对值的意义得到或，然后分别解两个一次方程； （3）利用绝对值的意义讨论：当或或时确定方程的解的个数即可． 【详解】（1）解：， ， 或， 解得或； （2）解：， 或， 解方程，得， 解方程，得， ∴原方程的解为或； （3）解：∵， ∴当时，方程无解； 当时，方程只有一个解； 当时，方程有两个解． 3．阅读下列解题过程，并解答类似的题目． 解方程：． 解：由，得． 若，得；若，得， 所以原方程的解是或． (1)解方程：． (2)若方程的解也是方程的解，求m的值． 【答案】(1)或 (2)2或 【分析】本题主要考查了解绝对值方程，解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解一元一次的方法和绝对值的意义． （1）根据绝对值的意义得出，然后再解一元一次方程即可； （2）先解绝对值方程，得出或，再把或，分别代入，求出m的值即可． 【详解】（1）解：∵ ∴， ∴， 若，解得， 若，解得， ∴原方程的解是或． （2）解：由，得． 若，解得； 若，解得， ∴的解是或． 当时，方程化为， 解得：； 当时，化为， 解得：， ∴的值是2或． 类型八、一元一次方程的应用——规律问题 【解惑】如图，会展中心将深色和浅色两种花卉摆成如图所示的排列图案，第1个图案需要5盆花卉，第2个图案需要13盆花卉，第3个图案需要25盆花卉，第4个图案需要41盆花卉，以此类推．按照以上规律，解决下列问题： (1)第5个图案需要花卉____________盆； (2)第n个图案需要花卉____________盆（用含n的代数式表示）； (3)已知花卉市场国庆期间所摆的花卉图案中深色花卉比浅色花卉多81盆，求该花卉图案中深色花卉的盆数． 【答案】(1)61 (2) (3)1681 【分析】本题考查了图形规律的探索，一元一次方程的应用等知识，找到规律是解题的关键． （1）分别求出第1个到第5个图案需要的花卉的盆数，即可求解； （2）根据（1）所求得到规律，即可求解； （3）设第x个花卉图案中深色花卉比浅色花卉多81盆，此时深色花卉盆数为，浅色花卉盆数为，根据等量关系：深色花卉比浅色花卉多81盆，列出方程并求解即可． 【详解】（1）解：第1个图案需要花卉的盆数为， 第2个图案需要花卉的盆数为， 第3个图案需要花卉的盆数为， 第4个图案需要花卉的盆数为， 第5个图案需要花卉的盆数为． 故答案为：61； （2）解：由（1）可得，第n个图案需要花卉的盆数为． 故答案为：； （3）解：设第x个花卉图案中深色花卉比浅色花卉多81盆， 由题意得， 解得， 则． 答：该花卉图案中深色花卉的盆数为1681． 【融会贯通】 1．【观察思考】 如图，春节期间在某广场上摆放多盆红梅花（黑色圆点）和黄梅花（白色圆点），组成“中国结”系列图案 【发现规律】 根据上述图案的摆放规律填空： （1）第5个图案中黄梅花的盆数为________； （2）第1个图案中红梅花的盆数可表示为，第2个图案中红梅花的盆数可表示为，第3个图案中红梅花的盆数可表示为，第4个图案中红梅花的盆数可表示为，…，第个图案中红梅花的盆数可表示为_________； 【解决问题】 （3）若按照上述规律摆放的第个“中国结”图案中，红梅花的盆数比黄梅花的盆数的倍少5盆，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【分析】本题考查了图形类规律，解一元一次方程； （1）根据前几个图案的规律，即可求解； （2）根据题意，结合图形规律，即可求解． （3）根据题意，列出一元一次方程，解方程即可求解． 【详解】解：（1）第1个图案中黄梅花的盆数可表示为， 第2个图案中黄梅花的盆数可表示为， 第3个图案中黄梅花的盆数可表示为， 第4个图案中黄梅花的盆数可表示为， …； 第n个图案中黄梅花的盆数可表示为； 第5个图案中黄梅花的盆数可表示为， 故答案为：； （2）第1个图案中红梅花的盆数可表示为， 第2个图案中红梅花的盆数可表示为， 第3个图案中红梅花的盆数可表示为， 第4个图案中红梅花的盆数可表示为， …； 第n个图案中红梅花的盆数可表示为； 故答案为：； （3）根据题意得， 整理得， 解得． 2．用同样大小的圆形棋子按如图所示的规律摆放：第1个图形中有6个棋子，第2个图形中有9个棋子，第3个图形中有12个棋子，第4个图形中有15个棋子，以此类推． (1)按照上述规律第n个图形棋子数s，用含n的代数式表示s ． (2)现有2025个圆形棋子，若将这些棋子按照题中的规律一次性摆放一个图形，且棋子全部用完，则可摆放出第几个图形，请说明理由． 【答案】(1) (2)可摆放出第个图形，理由见解析 【分析】考查了图形类规律探索，一元一次方程的应用，理解题意，正确得出规律是解此题的关键． （1）根据题干给出的图形得出规律即可； （2）根据题意列出一元一次方程，解方程即可得解． 【详解】（1）解：由图形可得： 第1个图形中棋子数为， 第2个图形中棋子数为， 第3个图形中棋子数为， 第4个图形中棋子数为， …， 故按照上述规律第n个图形棋子数s，； （2）解：可摆放出第个图形，理由如下： 由题意可得：， 解得：， ∴可摆放出第个图形． 3．如图是一组有规律的图案．第1个图案中有7个六边形，第2个图案中有13个六边形，第3个图案中有19个六边形，…，按此规律， (1)则第5个图案中有______个六边形； (2)用含n的代数式表示第n个图案中六边形的个数； (3)若第n个图案中有601个六边形，求n的值． 【答案】(1)31 (2)第n个图案中六边形的个数为； (3)n的值为100． 【分析】本题考查了图形规律探究和一元一次方程的应用，结合题意确定图形变化规律是解题关键． （1）根据题意数出前几个图案的数量； （2）根据规律得出第个图案的基本图形数量； （3）根据题意列出方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：第1个图案中六边形的个数为， 第2个图案中六边形的个数为， 第3个图案中六边形的个数为， …… 第5个图案中六边形的个数为， 故第5个图案中有31个六边形； 故答案为：31； （2）解：由题意可得：第1个图案中六边形的个数为； 第2个图案中六边形的个数为； 第3个图案中六边形的个数为； …… 所以第n个图案中六边形的个数为； （3）解：由（2）可知， 解得， 所以n的值为100． 类型九、一元一次方程的新定义应用 【解惑】定义：如果两个一元一次方程的解之和为2，我们就称这两个方程为“成双方程”．例如：方程和为“成双方程”． (1)请判断方程与方程是否为“成双方程”； (2)若关于x的方程与方程互为“成双方程”，求的值． 【答案】(1)方程与方程不是互为“成双方程” (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程和应用一元一次方程的根求参数的值，理解新定义是解题的关键． （1）根据题意，分别解一元一次方程，根据“成双方程”的定义验证即可求解； （2）分别解一元一次方程，根据“成双方程”的定义列出关于的方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：方程与方程不是互为“成双方程”，理由如下： 解，得， 解，得， ， 方程与方程不是互为“成双方程”． （2）解，得， 解，得， 关于x的方程与方程互为“成双方程”， ， ． 【融会贯通】 1．新定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，就称这两个方程为“友好方程”，如：方程和为“友好方程”． (1)若关于的方程与方程是“友好方程”，求的值； (2)若关于的方程与方程是“友好方程”，求的值； (3)若某“友好方程”的两个解的差为6，其中一个方程的解为，求的值． 【答案】(1) (2) (3)3或 【分析】本题考查一元一次方程的解，解一元一次方程，理解“友好方程”的定义是解题的关键． （1）先求出方程的解，根据“友好方程”的定义得出的解，代入得到关于m的方程，解方程即可； （2）先解和，根据得出两个解互为相反数，列式计算即可； （3）设该“友好方程”的一个解为n，则另一个解为，分和两种情况，分别解方程即可． 【详解】（1）解：解方程，得：， 则的解为， 将代入，得：， 解得； （2）解：解，得：， 解，得：， 则， 解得； （3）解：设该“友好方程”的一个解为n，则另一个解为， 当时，解得， 当时，解得， 综上可知，的值为3或． 2．定义：关于的方程与方程（均为不等于0的常数）称互为“反对方程”，例如：方程与方程互为“反对方程”． (1)若关于的方程与方程互为“反对方程”，则___________． (2)若关于的方程与方程互为“反对方程”，求的值． (3)若关于的方程与其“反对方程”的解都是整数，求整数的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查的是一元一次方程的应用，能够正确理解“反对方程”的概念是解决此题关键． （1）根据“反对方程”的定义直接可得答案； （2）将“反对方程”组成方程组求解可得答案； （3）根据“反对方程”与的解均为整数，可得与都为整数，由此可得答案． 【详解】（1）解：∵与方程互为“反对方程”， ∴， 故答案为：-5． （2）∵关于的方程与方程互为“反对方程”， 即与互为“反对方程”， （3）的“反对方程”为， 由得，， 由，得， 由条件可知与都为整数，也为整数， 当时，，都为整数， 当时，，都为整数， 的值为． 3．定义：若关于x的一个方程为（a为常数），关于y的一个方程的解为（b为常数），且a，b满足（m为正数），则称这两个方程是“m差解友好方程”， 例如：方程的解是，方程的解是，因为，所以方程与方程是“1差解友好方程”． (1)请通过计算判断关于x的方程与关于y的方程是不是“4差解友好方程”； (2)如果关于x的方程与关于y的方程（k为常数）是“1差解友好方程”，求k的值； (3)关于x，y的两个方程与方程（t，n为常数），若对于任何有理数t，都使得它们是“2差解友好方程”，求n的值． 【答案】(1)是，理由见解析 (2)或 (3) 【分析】本题考查的是新定义的含义，一元一次方程的解法，绝对值方程的应用； （1）由方程的解是，方程的解是，再利用新定义的含义计算并判断即可； （2）分别解方程，，再结合新定义可得：，即，进一步求解即可； （3）分别解方程，，可得，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：方程的解是； 方程的解是． 根据题意可得， ∴这两个方程是“4差解友好方程”； （2）解：∵， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∵关于x的方程与关于y的方程（k为常数）是“1差解友好方程” ∴，即， ∴或， 解得：或； （3）解：∵， ∴， ∴， 解得：， ∵， ∴， 解得：， ∵关于x，y的两个方程与方程（t，n为常数），对于任何有理数t，都使得它们是“2差解友好方程”， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：． 类型十、一元一次方程的数轴动点求t 【解惑】数轴上点A表示数a，点 B 表示数b，且a、b满足．点 M为数轴上一动点，其对应的数为 m． (1)点A表示的数为 ；若点M为线段的中点，则点M对应的数为 ； (2)点M在移动的过程中，当点M到点A、点B的距离之和为10时，求点M对应的数m； (3)对于数轴上的三点，给出如下定义：若当其中一个点与其他两个点的距离恰好满足2倍关系时，则称该点是其他两个点的“2倍点”．例如：在数轴上点C表示的数为，点D表示的数为2，原点O到点C，点D 的距离分别为，，则，即原点O是点C，D的“2倍点”．点A、点B分别以每秒4个单位长度和每秒1个单位长度的速度同时向右运动，同时点M以每秒3个单位长度的速度从表示数5的点向左运动．设三个点的运动时间为t秒． ①当点M恰好是点A，B的“2倍点”时，求t的值； ②当点A恰好是点M，B的“2倍点”时，直接写出t的值． 【答案】(1)，1 (2)此时点M对应的数是或6； (3)①的值为或或；②或或 【分析】本题考查数轴定义与性质，涉及数轴表示数、非负式和为零的条件、两点之间距离、数轴上中点表示方法、数轴动点问题等，根据题意，准确找到各个点表示的数，数形结合列式求解即可得到答案． （1）根据数轴的定义，由非负式和为零的条件得方程求解即可得到点、点表示的数，再由数轴上中点表示方法代值求解即可得到点M对应的数； （2）根据题意，数形结合，分三种情况讨论，列方程求解即可得到答案； （3）①根据题意，理解“2倍点”概念，数形结合，分情况讨论，列方程求解即可得到答案；②根据题意，理解“2倍点”概念，数形结合，分情况讨论，列方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：数轴上点表示数，点表示数，且满足， ，且，解得， 点表示的数为；点表示的数为； 点M为线段的中点， 点M对应的数为， 故答案为：，1； （2）解：根据题意，分三种情况讨论： 当时，，则，解得； 当时，，不存在这样的； 当时，，则，解得； 综上所述，此时点M对应的数是或6； （3）解：①设出发后，表示的数是、表示的数是、M表示的数是，根据题意，分情况讨论： 当位置如图所示： 则、， 由点M是点的“2倍点”，数形结合得，即， 解得（负值，不合题意，舍去）； 当位置如图所示： 则、， 由点M是点的“2倍点”，数形结合，分两种情况： 若，即，解得； 若，即，解得； 当位置如图所示： 则、， 由点M是点的“2倍点”，数形结合得，即，解得； 当位置如图所示： 则、， 由点M是点的“2倍点”，数形结合得，即， 解得（负值，不合题意，舍去）； 综上所述，的值为或或； ②设出发后，表示的数是、表示的数是、M表示的数是，根据题意，分情况讨论： 当位置如图所示： 则、， 由点A是点M，B的“2倍点”，数形结合得，即， 解得（负值，不合题意，舍去）； 当位置如图所示： 则、， 由点A是点M，B的“2倍点”，数形结合，分两种情况： 若，即，解得； 当位置如图所示： 则、， 由点A是点M，B的“2倍点”，数形结合，分两种情况： 若，即，解得； 若，即，解得； 当位置如图所示： 则、， 由点A是点M，B的“2倍点”，数形结合得，即， 解得（负值，不合题意，舍去）； 综上所述，的值为或或． 【融会贯通】 1．如图，已知数轴上A、B两点对应的数分别为a、b，且a、b满足，点C对应的数为14，点D对应的数为．点P从点A出发，沿数轴正方向以每秒2个单位长度的速度运动，点Q从点B出发，沿数轴负方向以每秒1个单位长度的速度运动．P、Q两点同时出发，设运动时间为（秒）． (1)求a、b的值； (2)当点P到原点O的距离和点Q到原点O的距离相等时，求t的值； (3)当之间的距离为8时，求t的值． 【答案】(1)；10 (2)4或 (3)或 【分析】本题重点考查非负数的性质、数轴、一元一次方程的应用等知识，正确地用代数式表示运动过程中的点所对应的数是解题的关键； （1）由非负数的性质得，，求得，； （2）动点对应的数为，动点对应的数是，进行分类讨论求解即可； （3）分、、三种情况进行讨论，列出相应一元一次方程进行求解即可． 【详解】（1）解：，，且， ，， 解得，， ，的值分别为，10； （2）解：点，沿数轴同时出发相向匀速运动，点的速度为2个单位秒，点的速度为1个单位秒， 当时，， 解得：， 当时，， 解得：， 当时，， 解得：，不满足， 故t的值为或； （3）当之间的距离为8时， 当时，当之间的距离为8时， 则， 解得：， 当时，之间的距离最大为2，故不满足； 当时，当之间的距离为8时， 则 解得：， 故t的值为或． 2．【知识背景】在数学中，可以用一条直线上的点表示数，我们把这条直线叫做数轴；数轴要满足以下要求： （1）在直线上任取一点表示0，这个点叫做原点； （2）通常情况下，从原点向右为正方向，从原点向左为负方向； （3）选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示为1，2，3…； 例如点表示的数为4，是从原点向右移动4个单位长度得到的；点表示的数为7，是由表示的数为9的点向左移动2个单位长度得到的． 【知识应用】若点表示的数是10，向右移动8个单位长度得到的数是_________；同时，点也可以看成是12向_________（“左”或“右”）移动_________个单位得到的． 【拓展提升】如图，从原点出发，以每秒4个单位的速度向右匀速运动，点表示的数是8，在出发的同时，以每秒2个单位的速度向右匀速运动． ①几秒后和重合？ ②出发秒后与相距4个单位长度，请直接写出此时的值． 【答案】18，左，2；①4，②6或2 【分析】本题主要考查数轴上两点之间的距离，实际问题与一元一次方程 ； 根据数轴上点的移动规律：向右移动，数值增大；向左移动，数值减小，来求解即可． ①分别表示出E，F的位置，列式，计算求解即可； ②根据题意列出距离方程：，分两种情况解方程即可． 【详解】解：∵点F表示的数是10，向右移动8个单位长度， ∴； 点F可看作由12移动得到， 12到10的距离为：； 因数值减小，方向为向左，移动2个单位． 故答案为：18，左，2； 【拓展提升】①E的位置：从原点出发，速度4单位/秒，时间为t秒，位置为． F的位置：从数8出发，速度2单位/秒，位置为； 重合条件：， 解得：秒； 答：4秒后和重合． ②距离方程：， 化简得 分情况解方程： ， ； ， ； 答：t的值为6或2． 3．数轴上点与点的距离为个单位长度，点在原点的左侧，到原点的距离为个单位长度，点在点的右侧，点表示的数与点表示的数互为相反数，动点从出发，以每秒个单位的速度向终点移动，设移动时间为秒． (1)点表示的数为____________，点表示的数为____________，点表示的数为____________； (2)用含的代数式表示到点和点的距离：____________，____________； (3)当点运动到点时，点从点出发，以每秒个单位的速度向点运动，点到达点后，再立即以同样的速度返回，运动到终点． ①在点向点运动过程中，能否追上点？若能，求出点运动几秒追上点；若不能，请说明理由； ②在点开始运动后，两点之间的距离能否为个单位？ 如果能，请求出此时点表示的数；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)， (3)①能，秒；②能，点表示的数分别是，，， 【分析】（）根据点的位置可确定点表示的数，根据相反数的定义可确定点表示的数； （）根据两点间的距离公式解答即可； （）①在点向点运动过程中，设点运动秒追上点，根据点追上点时，点运动的路程点运动的路程，列出方程即可求解；②设点运动秒后，两点之间的距离为个单位，分两种情况：点从点向点运动时，又分点在点的左边与点在点的右边；点从点返回到点时，又分点在点的右边与点在点的左边，分别列出方程解答即可求解； 本题考查了一元一次方程的应用，数轴与有理数，相反数的定义，理解题意并运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】（1）解：∵点在原点的左侧，到原点的距离为个单位长度， ∴点表示的数为， ∵点与点的距离为个单位长度，点在点的右侧， ∴点表示的数为， ∵点表示的数与点表示的数互为相反数， ∴点表示的数为， ∴答案为：，，； （2）解：由题意得，，， ∴答案为：，； （3）解：①能，理由如下： 在点向点运动过程中，设点运动秒追上点， 根据题意，得， 解得， 答：在点向点运动过程中，能追上点，点运动秒追上； ②点从点运动到点需秒， 设点运动秒后，两点之间的距离为个单位， 分两种情况： 点从点向点运动时： 如果点在点的左边，那么， 解得， 此时点表示的数是； 如果点在点的右边，那么， 解得， 此时点表示的数是； 点从点返回到点时： 如果点在点的右边，那么， 解得， 此时点表示的数是； 如果点在点的左边，那么， 解得， 此时点表示的数是； 综上所述，在点开始运动后，、两点之间的距离能为个单位，此时点表示的数分别是，，，． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$