4.1—4.2 等式与方程 一元一次方程及其解法 考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练-2025-2026学年七年级数学上册（苏科版2024）

4.1—4.2 等式与方程 一元一次方程及其解法 一、一元一次方程的概念： 只含有一个未知数，且未知数的次数都是1，等号两边都是整式的方程叫做一元一次方程。 一元一次方程的标准形式是ax+b=0（其中x是未知数，a、b是已知数，且a≠0）。 二、等式的性质： 等式两边同时加上（或减去）同一个整式，等式的值不变。 等式两边同时乘以一个数或除以同一个不为0的整式，等式的值不变。 三、解一元一次方程： 1.移项：从方程等号的一边移到等号另一边，这样的变形叫做移项。移项要变号，不移的项不变。移项的依据是等式的性质，即等式两边同时加上（或减去）同一个整式，等式的值不变。 2.去括号：在解一元一次方程时，如果方程中有括号，为了将方程转化为x=c（c为常数）的形式，一般需要先根据去括号法则去括号。去括号时，要注意括号前的符号，如果括号前是负号，去括号后，括号里的各项都要改变符号。 3.合并同类项：将方程中的同类项合并，即将含有相同未知数的项合并，合并的是它们的系数。 4.系数化为1：将方程两边同时乘以未知数的系数的倒数（或除以未知数的系数），使未知数的系数化为1，从而求出未知数的值。 四、解一元一次方程的一般步骤： （1）去分母（如果方程中有分母）。 （2）去括号。 （3）移项。 （4）合并同类项。 （5）系数化为1。 最后，需要检验所得解是否正确，即将求得的未知数的值代入原方程，看左右两边是否相等。如果相等，则所求得的解是正确的。 巩固课内例1:根据等量关系列等式 1．列等式表示：“的一半与10的和等于8”，下列正确的是（   ） A． B． C． D． 2．列等式表示“的倍与的和等于的倍与的差“为 ． 3．列等式表示： (1)x的2倍与的差是1； (2)y的相反数与x的一半的和是3． 巩固课内例2:利用等式的基本性质变为x=c的形式 1．如图，小红在学习完等式的基本性质后做了4道方程变形题，其中正确的有（   ） 下列方程变形为： （1），     （2）， （3），     （4）， A．（1）（2） B．（3）（4） C．（2）（4） D．（1）（4） 2．利用等式的基本性质可将等式变形为 ． 3．利用等式的基本性质将方程化为的形式． (1) (2) (3) (4) 巩固课内例3:列方程 1．设某数为x，“比某数的大1的数是4”，可列方程为（　　） A． B． C． D． 2．由“的3倍与5的和等于15”可列方程 ． 3．只列方程，不必求解： (1)已知某数的倍与的差等于．设某数为； (2)某班级有学生人，其中男生人数比女生人数的倍少．若设女生人数为人． 巩固课内例4:判断一元一次方程的解 1．下列方程中，解为的是（   ） A． B． C． D． 2． ．（填“是”或“不是”）方程的解． 3．是不是方程和的解？ 巩固课内例5:解下列方程——系数化1 1．下列方程中，解为的是（   ） A． B． C． D． 2．若方程的解是，则满足的条件是 ． 3．解方程： (1)； (2)． 巩固课内例6:解下列方程——移项 1．方程的解是（   ） A． B． C． D． 2．方程的解是 ． 3．解方程： 巩固课内例7:解下列方程——去括号 1．方程的解是（ ） A． B． C． D． 2．方程的解为 ． 3．解方程： 巩固课内例8:解下列方程——去分母 1．当x取何值时，代数式与的值互为相反数（ ） A． B． C．5 D．-5 2．若的值比的值小1，则k的值为 3．解方程： (1) (2) 类型一、(一元一次)方程的定义 1．下列各式中，属于方程的是（   ） A． B． C． D． 2．已知关于 的方程是一元一次方程，则 ． 3．下列等式中哪些是方程？哪些是一元一次方程？ (1)； (2)； (3)． 类型二、(一元一次)方程的解 1．下列方程中，解为的是（   ） A． B． C． D． 2．写出一个解为，且未知数的系数为的一元一次方程 3．，，分别是下列哪个方程的解？ （1）； （2）； （3）； （4）． 类型三、等式的基本性质 1．下列变形正确的是（  ） A．由 得 B．由 得 C．由 得 D．由得 2．根据等式的性质填空，并说明依据： （1）如，那么； （2）如果，那么 ； （3）如果，那么； （4）如果，那么． 3．仔细观察如图： (1)填一填． (2)说一说，你发现什么？ 类型一、写出每一步变形的依据 1．如图框图内表示解方程的过程，其中依据“等式性质”是（    ） 解： 去括号得：  ① 移项得：   ② 合并同类项得：     ③ 系数化为1得：      ④ A．①② B．②③ C．③④ D．②④ 2．小周学习《等式的性质》后，对等式进行变形，得出“”的错误结论，但他找不到错误的原因，聪明的你能帮助他找到原因吗？小周同学的具体解题过程如表所示： 将等式变形 得第①步 第②步 第③步 （1）步骤①的依据是 ； （2）小周出错的步骤是 ，错误的原因是 ． 3．在将等式变形时，小明的变形过程如下： 因为， 所以，（第一步） 所以．（第二步） (1)上述过程中，第一步的依据是什么？ (2)小明第二步的结论正确吗？请说明原因． 类型二、代数式的值相等构造方程 1．若代数式与的值互为相反数，则的值为（　　） A．4 B． C．-4 D．0 2．当 时，代数式与的值相等． 3．已知关于x的方程的解与的解互为相反数． (1)求a的值； (2)求代数式 的值． 类型三、变形错误 1．下列通过移项变形，错误的是（    ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 2．如图所示的框图表示淇淇解方程的流程． 出现错误的步骤是 （用流程中的序号表示）． 3．圆圆解方程的过程如下． 解：去分母，得，……① 去括号，得．……② 移项，得．……③ 合并同类项，得．……④ 系数化为1，得．……⑤ (1)请指出她解答过程中所有错误步骤的序号__________． (2)求出该方程正确的解． 类型一、整体求解 1．已知关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为（   ） A． B． C． D． 2．已知关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解是 ． 3．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”． (1)若关于的方程：与方程是“美好方程”，求的值． (2)若“美好方程”的两个解的差为8，其中一个方程的解为，求的值． (3)若关于的一元一次方程和是“美好方程”，求关于的一元一次方程的解． 类型二、新定义问题 1．定义运算“*”为，若，则（    ） A． B．1 C．3 D． 2．定义运算“”如下：当时，；当时， ，若，则m的值是 ． 3．用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定． 如：． (1)求的值； (2)若，求a的值； (3)若（其中x为有理数），试比较m，n的大小． 类型三、规律问题 1．如图，是按一定的规律搭出的图形，其中第1个图形中有6个正方形，第2个图形中有11个正方形，第3个图形中有16个正方形，…，若第n个图形中正方形的个数是2021，则n的值为（    ） A．404 B．405 C．406 D．407 2．如图，各图形都是由面积为1的小正方形按一定的规律组成的，其中，第1个图形中的小正方形有9个，第2个图形中的小正方形有14个，……，按此规律，若第个图形中的小正方形有2024个，则的值为 ． 3．下列图形是用棋子摆成的“上”字，如果按照此规律继续摆下去： (1)图4中的“上”字需要用________枚棋子．图5中的“上”字需要用________枚棋子； (2)图n中的“上”字需要用________枚棋子； (3)现有62名学生，把每一位学生当成一枚棋子，能否让这62枚“棋子”按照以上规律恰好站成一个“上”字？若能，请求出最下面一“横”的学生数，若不能，请说明理由． 类型四、绝对值问题 1．已知，且，则的值为（   ） A．或或6 B．或6 C．或6 D．或或6 2．对于整数，，定义一种新运算“”：当为偶数时，规定；当为奇数时，规定．请解答下列问题： （1）当，时， ； （2）若，则的值为 ． 3．先阅读下列解题过程，然后解答问题． 解方程：． 解：当时，原方程可化为，它的解是．当时，原方程可化，它的解是． 原方程的解为或． (1)依例题的解法，方程的解是___________． (2)解方程：． (3)解方程：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 4.1—4.2 等式与方程 一元一次方程及其解法 一、一元一次方程的概念： 只含有一个未知数，且未知数的次数都是1，等号两边都是整式的方程叫做一元一次方程。 一元一次方程的标准形式是ax+b=0（其中x是未知数，a、b是已知数，且a≠0）。 二、等式的性质： 等式两边同时加上（或减去）同一个整式，等式的值不变。 等式两边同时乘以一个数或除以同一个不为0的整式，等式的值不变。 三、解一元一次方程： 1.移项：从方程等号的一边移到等号另一边，这样的变形叫做移项。移项要变号，不移的项不变。移项的依据是等式的性质，即等式两边同时加上（或减去）同一个整式，等式的值不变。 2.去括号：在解一元一次方程时，如果方程中有括号，为了将方程转化为x=c（c为常数）的形式，一般需要先根据去括号法则去括号。去括号时，要注意括号前的符号，如果括号前是负号，去括号后，括号里的各项都要改变符号。 3.合并同类项：将方程中的同类项合并，即将含有相同未知数的项合并，合并的是它们的系数。 4.系数化为1：将方程两边同时乘以未知数的系数的倒数（或除以未知数的系数），使未知数的系数化为1，从而求出未知数的值。 四、解一元一次方程的一般步骤： （1）去分母（如果方程中有分母）。 （2）去括号。 （3）移项。 （4）合并同类项。 （5）系数化为1。 最后，需要检验所得解是否正确，即将求得的未知数的值代入原方程，看左右两边是否相等。如果相等，则所求得的解是正确的。 巩固课内例1:根据等量关系列等式 1．列等式表示：“的一半与10的和等于8”，下列正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查列方程，根据题意，列出方程即可． 【详解】解：由题意，可列方程为：； 故选B． 2．列等式表示“的倍与的和等于的倍与的差“为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了列一元一次方程，的倍与的和可表示为，的倍与的差可表示为，据此建立方程即可． 【详解】解：由题意得，列等式为：， 故答案为：． 3．列等式表示： (1)x的2倍与的差是1； (2)y的相反数与x的一半的和是3． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了列一元一次方程，解题的关键是； （1）x的2倍与与的差可表示为，据此建立等式即可； （2）y的相反数与x的一半的和可表示为，据此建立等式即可． 【详解】（1）解：根据题意，得； （2）解：根据题意，得． 巩固课内例2:利用等式的基本性质变为x=c的形式 1．如图，小红在学习完等式的基本性质后做了4道方程变形题，其中正确的有（   ） 下列方程变形为： （1），     （2）， （3），     （4）， A．（1）（2） B．（3）（4） C．（2）（4） D．（1）（4） 【答案】D 【分析】本题考查了等式性质的应用．根据等式的性质，逐项判断即可求解． 【详解】解：（1）， 变形为，正确； （2）， 变形为，原说法错误； （3）， 变形为，原说法错误； （4）， 变形为，原说法正确； 故选：D 2．利用等式的基本性质可将等式变形为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等式的性质，等式两边同时减去2，即可求解． 【详解】解： 等式两边同时减去2，得 故答案为：． 3．利用等式的基本性质将方程化为的形式． (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查的是方程的解法，等式的基本性质的应用； （1）先化简方程，再根据等式的性质，方程两边同时减去7，再同时减去，最后同时除以2即可； （2）先按照比例的基本性质变为，再化简方程，最后根据等式的性质，方程两边同时乘以3，再同时减去2即可； （3）运用乘法分配律化为，然后根据等式的性质，在方程两边同时减去60，再在方程两边同时减去，最后在方程两边同时除以即可； （4）根据等式的性质，在方程两边同时乘6，再在方程两边同时加12，再在方程两边同时减去x，最后在方程两边同时除以5即可． 【详解】（1）解：， 化简，得， 两边同时减去7，得， 即， 两边同时减去，得， 即， 两边同时除以2，得， 即； （2）解：， ∴， 即， 两边同时乘3，得， 即， 两边同时减去2，得， 即； （3）解： 化简，得， 两边同时减去60，得， 即， 两边同时减去，得 即， 两边同时除以，得， 即； （4）解：， 两边同时乘以6，得， 化简，得， 两边同时加上12，得， 两边同时减去x，得， 两边同时除以5，得． 巩固课内例3:列方程 1．设某数为x，“比某数的大1的数是4”，可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了列一元一次方程，某数的为，则根据题意可得． 【详解】解：由题意得，， 故选：A． 2．由“的3倍与5的和等于15”可列方程 ． 【答案】 【分析】本题考查了列一元一次方程，根据题意列方程即可． 【详解】解：由题可得：， 故答案为：． 3．只列方程，不必求解： (1)已知某数的倍与的差等于．设某数为； (2)某班级有学生人，其中男生人数比女生人数的倍少．若设女生人数为人． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查列方程解应用题．根据题意，将文字描述转化为代数方程；需要找到表示某数的变量，并根据条件建立等式． 【详解】（1）解：已知某数的倍与的差等于，设某数为， 可列出方程：， 故答案为：； （2）设女生人数为， ∵班级有学生人，其中男生人数比女生人数的倍少， ∴方程为：， 故答案为：． 巩固课内例4:判断一元一次方程的解 1．下列方程中，解为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了解一元一次方程的知识，解题的关键在于熟练掌握解方程的方法． 把代入方程判断左右是否相等，即可得答案． 【详解】解：A、把代入，左边为，右边为，，所以不是该方程的解，故该选项不符合题意； B、把代入，左边为，右边为，，所以不是该方程的解，故该选项不符合题意； C、把代入，左边为，右边为，，所以不是该方程的解，故该选项不符合题意； D、把代入，左边为，右边为，左边等于右边，所以是该方程的解，故该选项符合题意； 故选D． 2． ．（填“是”或“不是”）方程的解． 【答案】是 【分析】本题考查方程的解，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 把代入方程的左边，判断等式是否仍然成立即可． 【详解】解：把代入方程 左边， 右边 左边=右边 所以是方程的解 故答案为：是 3．是不是方程和的解？ 【答案】是方程和的解 【分析】本题考查了一元一次方程的解，掌握能使方程左右两边相等的未知数的值是方程的解是解题的关键； 根据题意，把分别代入和，看是否使方程左右两边相等，然后即可求解； 【详解】解：把分别代入方程，左边，右边， ∴左边右边， ∴是方程的解； 把分别代入方程，左边，右边， ∴左边右边， ∴是方程的解； 综上所述：是方程和的解； 巩固课内例5:解下列方程——系数化1 1．下列方程中，解为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了解一元一次方程的知识，解题的关键在于熟练掌握解方程的方法． 分别解出各方程，即可得答案． 【详解】解：A、的解为，故A不符合题意； B、的解为，故B不符合题意； C、的解为，故C符合题意； D、的解为，故D不符合题意； 故选C． 2．若方程的解是，则满足的条件是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程， 根据系数化为1，两边都除以，可知，求出答案即可． 【详解】因为方程的解是， 所以， 即． 故答案为：． 3．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了运用等式的性质解方程，即等式两边同加上或同减去、同乘上或同除以一个数（除外），两边仍相等． （1）根据等式的性质，将等式两边同时乘以，即可求解； （2）先计算等式的左边，然后根据等式的性质，将等式两边同时乘以，即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 巩固课内例6:解下列方程——移项 1．方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的求解，根据移项并合并同类项，系数化为1的过程进行求解即可． 【详解】解：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：， 故选：B． 2．方程的解是 ． 【答案】x＝﹣ 【分析】本题主要考查的知识点是一元一次方程的解法，关键掌握解一元一次方程的基本步骤，即移项、合并同类项和系数化为来求解方程．；移项：把方程中的某一项改变符号后，从方程的一边移到另一边，使含未知数的项和常数项分别在等号两侧；合并同类项：将等号同侧同类项（如含x的项）的系数相加，化简方程形式；系数化为：在方程两边同时除以未知数的系数，最终求出未知数的值． 【详解】解： 移项及合并同类项，得 系数化为，得， 故答案为：． 3．解方程： 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程．根据移项合并同类项，化系数为1的步骤解一元一次方程，即可求解． 【详解】解：， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为1得，． 巩固课内例7:解下列方程——去括号 1．方程的解是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了解一元一次方程．通过去括号、移项、合并同类项等步骤求解即可． 【详解】解： 去括号得：， 移项合并同类项得：， 解得：． 故选：A． 2．方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，按照去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可． 【详解】解： 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， ∴原方程的解为， 故答案为：． 3．解方程： 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程的方法，掌握解一元一次方程的一般步骤“去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1”是解题的关键． 按照“去括号、移项、合并同类项、系数化为1”的步骤求解即可． 【详解】解：， ， ， ， ． 巩固课内例8:解下列方程——去分母 1．当x取何值时，代数式与的值互为相反数（ ） A． B． C．5 D．-5 【答案】A 【分析】本题考查相反数的定义以及解方程，根据相反数的定义，两个代数式之和为0．列出方程后，通过去分母、移项、合并同类项等步骤求解． 【详解】解：代数式与互为相反数， ，解得． 故选：A． 2．若的值比的值小1，则k的值为 【答案】 【分析】本题考查了根据题干给出的条件列出一元一次方程并解方程． 先根据的值比的值小1列出方程，然后去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可． 【详解】解：根据题意得， 去分母得， 去括号得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得，． 故答案为：． 3．解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的基本步骤，先去分母，再去括号，然后移项合并同类项，最后未知数系数化为1． （1）先去括号，然后移项并合并同类项，最后未知数系数化为1即可； （2）先去分母，再去括号，然后移项并合并同类项，最后未知数系数化为1． 【详解】（1）解：， 去括号得：， 移项、合并同类项，得， 方程两边同时除以，得 ； （2）解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：． 类型一、(一元一次)方程的定义 1．下列各式中，属于方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查方程的定义，熟练掌握其定义是解题的关键． 含有未知数的等式叫方程，据此进行判断即可． 【详解】解：中不含未知数，则A不符合题意， 不是等式，则B不符合题意， 不是等式，则C不符合题意， 符合方程的定义，则D符合题意， 故选：D． 2．已知关于 的方程是一元一次方程，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是一元一次方程的定义，解题关键是熟练掌握一元一次方程的定义． 根据一元一次方程的定义即可得解． 【详解】解：是一元一次方程， ， ． 故答案为：． 3．下列等式中哪些是方程？哪些是一元一次方程？ (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)不是方程，也不是一元一次方程； (2)是方程，也是一元一次方程； (3)是方程，不是一元一次方程． 【分析】本题考查方程，一元一次方程，解题的关键是熟练掌握相关的定义． （1）根据方程和一元一次方程的定义判断即可； （2）根据方程和一元一次方程的定义判断即可； （3）根据方程和一元一次方程的定义判断即可 【详解】（1）解：∵是等式，但不含未知数， ∴不是方程，不是一元一次方程； （2）解：∵是含有未知数的等式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数为， ∴是方程，也是一元一次方程； （3）解：∵是含有未知数的等式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数不为， ∴是方程，不是一元一次方程． 类型二、(一元一次)方程的解 1．下列方程中，解为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的解，将代入各选项方程，验证等式是否成立。 【详解】A：代入，左边，右边，等式不成立。 B：代入，左边，右边，等式不成立。 C：代入，左边=，右边，等式成立。 D：代入，左边=，右边，，等式不成立。 综上，只有选项C的解为。 故选：C 2．写出一个解为，且未知数的系数为的一元一次方程 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，一元一次方程指只含有一个未知数、未知数的最高次数为1且两边都为整式的等式，结合题干给出的条件写出方程即可． 【详解】解：依题意，一个解为，且未知数的系数为的一元一次方程 ∴满足题意， 故答案为：（答案不唯一） 3．，，分别是下列哪个方程的解？ （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】是方程的解；是方程的解；是方程的解． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解的定义，一元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把，，分别代入四个方程中，看方程左右两边是否相等即可得到结论． 【详解】解：把代入方程中，方程左边，方程右边，此时方程左右两边不相等，故不是方程的解； 把代入方程中，方程左边，方程右边，此时方程左右两边不相等，故不是方程的解； 把代入方程中，方程左边，方程右边，此时方程左右两边相等，故是方程的解； 把代入方程中，方程左边，方程右边，此时方程左右两边不相等，故不是方程的解； 把代入方程中，方程左边，方程右边，此时方程左右两边相等，故是方程的解； 把代入方程中，方程左边，方程右边，此时方程左右两边不相等，故不是方程的解； 把代入方程中，方程左边，方程右边，此时方程左右两边不相等，故不是方程的解； 把代入方程中，方程左边，方程右边，此时方程左右两边不相等，故不是方程的解； 把代入方程中，方程左边，方程右边，此时方程左右两边不相等，故不是方程的解； 把代入方程中，方程左边，方程右边，此时方程左右两边相等，故是方程的解； 把代入方程中，方程左边，方程右边，此时方程左右两边不相等，故不是方程的解； 把代入方程中，方程左边，方程右边，此时方程左右两边不相等，故不是方程的解； 综上所述，是方程的解；是方程的解；是方程的解． 类型三、等式的基本性质 1．下列变形正确的是（  ） A．由 得 B．由 得 C．由 得 D．由得 【答案】C 【分析】此题考查了等式的性质，熟练掌握等式的性质是解本题的关键．各项中方程利用等式的性质变形得到结果，即可做出判断． 【详解】解：A. 由 得，故该选项不正确，不符合题意；     B. 由 得 ，故该选项不正确，不符合题意； C. 由 得，故该选项正确，符合题意；     D. 由得 ，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 2．根据等式的性质填空，并说明依据： （1）如，那么； （2）如果，那么 ； （3）如果，那么； （4）如果，那么． 【答案】（1），根据等式的性质1，等式两边加，结果仍相等 ； （2）5，根据等式的性质1．等式两边减，结果仍相等； （3），根据等式的性质2，等式两边乘，结果仍相等； （4）2，根据等式的性质2，等式两边除以2，结果仍相等； 【分析】本题考查了等式的性质，熟知等式的性质是解决本题的关键． （1）根据等式的性质1，即可解答； （2）根据等式的性质1，即可解答； （3）根据等式的性质2，即可解答； （4）根据等式的性质2，即可解答． 【详解】解：（1）如果，那么，根据等式的性质1，等式两边加，结果仍相等； （2）如果，那么，根据等式的性质1．等式两边减，结果仍相等； （3）如果，那么，根据等式的性质2，等式两边乘，结果仍相等； （4）如果，那么，根据等式的性质2，等式两边除以2，结果仍相等． 3．仔细观察如图： (1)填一填． (2)说一说，你发现什么？ 【答案】(1)=；2；=；=；3； (2)我发现：等式两边同时乘或除以一个不为0的数，等式不变． 【分析】本题主要考查了等式的性质，正确理解题意是解题的关键。 （1）根据天平左右两边相等即可得到答案． （2）通过观察发现，等式两边同时乘或除以一个不为0的数，等式不变． 【详解】（1）解：∵天平平衡时，天平左右两边的质量相等， ∴，，， 填写如下： （2）解：我发现：等式两边同时乘或除以一个不为0的数，等式不变． 类型一、写出每一步变形的依据 1．如图框图内表示解方程的过程，其中依据“等式性质”是（    ） 解： 去括号得：  ① 移项得：   ② 合并同类项得：     ③ 系数化为1得：      ④ A．①② B．②③ C．③④ D．②④ 【答案】D 【分析】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握等式的性质是解本题的关键． 利用等式的性质1“等式两边同时加上或减去同一个数（或代数式），所得结果仍然是等式”；等式的性质2：“等式两边同时乘或除以同一个不是零的数（或代数式），所得结果仍然是等式”判断即可． 【详解】根据题意得：②在方程的两侧同时加上，根据的是等式的性质1； ④在方程的两边同时除以，根据的是等式的性质2， 故解方程的流程，其中依据“等式性质”是②④， 故选：D 2．小周学习《等式的性质》后，对等式进行变形，得出“”的错误结论，但他找不到错误的原因，聪明的你能帮助他找到原因吗？小周同学的具体解题过程如表所示： 将等式变形 得第①步 第②步 第③步 （1）步骤①的依据是 ； （2）小周出错的步骤是 ，错误的原因是 ． 【答案】 等式两边都加上（或都减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式（或等式的基本性质1） ③ 等式两边同时除以一个可能等于0的，所得等式不成立 【分析】本题考查了等式的基本性质，根据等式的性质是解决本题的关键． （1）根据等式的基本性质1可得答案； （2）根据等式的基本性质2可得答案； 【详解】解：（1）由题意得：步骤①的依据是： 等式两边都加上（或都减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式（或等式的基本性质1） 故答案为：等式两边都加上（或都减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式（或等式的基本性质1） （2）小周出错的步骤是③； 错误的原因是：等式两边同时除以一个可能等于0的，所得等式不成立； 故答案为：③；等式两边同时除以一个可能等于0的，所得等式不成立 3．在将等式变形时，小明的变形过程如下： 因为， 所以，（第一步） 所以．（第二步） (1)上述过程中，第一步的依据是什么？ (2)小明第二步的结论正确吗？请说明原因． 【答案】(1)第一步的依据是：等式的性质1 (2)小明第二步的结论不正确，理由见解析 【分析】此题考查了等式性质的应用能力． （1）运用等式的性质1进行求解； （2）根据等式的性质2进行解答． 【详解】（1）解：∵， ∴根据等式的性质1，两边都加上， 得， ∴第一步的依据是：等式的性质1； （2）解：小明第二步的结论不正确，理由如下： ∵根据等式的性质2，等式两边同时除以不为0的两个数，等式仍然成立， ∴当时，等式的两边都除以x，等式不成立， ∴小明第二步的结论不正确． 类型二、代数式的值相等构造方程 1．若代数式与的值互为相反数，则的值为（　　） A．4 B． C．-4 D．0 【答案】A 【分析】本题考查了相反数的性质，解一元一次方程．利用相反数的性质列出方程，求出方程的解即可得到x的值． 【详解】解：根据题意可得：， ∴， ∴， 解得：， 故选：A． 2．当 时，代数式与的值相等． 【答案】 【分析】本题主要考查一元一次方程的解法，根据题意列出方程并解方程是解决本题的关键．根据题意列方程求解即可． 【详解】解：由题意得： 去括号得： 移项得： 合并得： 解得： 故答案为：6． 3．已知关于x的方程的解与的解互为相反数． (1)求a的值； (2)求代数式 的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程和一元一次方程的解． （1）先求出第二个方程的解，得出第一个方程的解是，把代入第一个方程，再求出a即可； （2）将（1）中所得a的值代入所求式子计算即可． 【详解】（1）解：解方程得：， ∵两个方程的解互为相反数， ∴另一个方程的解为， 把代入方程得： ， 解得：； （2）解：∵， ∴． 类型三、变形错误 1．下列通过移项变形，错误的是（    ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 【答案】D 【分析】此题考查移项，将等式中的某一项由一侧移到另一侧需要变号，据此判断各选项． 【详解】解：A.由，得，故该项正确； B.由，得，故该项正确； C.由，得，故该项正确； D.由，得，故该项错误； 故选：D． 2．如图所示的框图表示淇淇解方程的流程． 出现错误的步骤是 （用流程中的序号表示）． 【答案】④ 【分析】本题考查了解一元一次方程，其步骤是：移项，合并同类项，未知数的系数化为. 根据解一元一次方程的步骤判断即可 【详解】解： ， 出现错误的步骤是④， 故答案为：④. 3．圆圆解方程的过程如下． 解：去分母，得，……① 去括号，得．……② 移项，得．……③ 合并同类项，得．……④ 系数化为1，得．……⑤ (1)请指出她解答过程中所有错误步骤的序号__________． (2)求出该方程正确的解． 【答案】(1)①② (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，解题的关键是∶ （1）根据等式的性质、去括号法则等逐步判断即可； （2）根据去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解即可． 【详解】（1）解：第①步去分母时，等式右边漏乘6，故错误， 第②步去括号时，第二个去括号时1漏乘，故错误， 故错误步骤的序号是①②， 故答案为：①②； （2）解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 类型一、整体求解 1．已知关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查根据已知一元一次方程，求另一个一元一次方程的解，掌握一元一次方程的解的定义是解此题的关键． 已知关于的方程的解为，观察关于的方程的结构，可发现其与原方程形式相同，只需将原方程中的替换为．因此，原方程的解对应新方程中，直接求解即可． 【详解】解：因为原方程的解为． 所以方程满足， 解得， 故选：A． 2．已知关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解是 ． 【答案】2029 【分析】本题考查换元法求方程的解，将方程转化为，根据的解为，得到，进行求解即可． 【详解】解：方程可化为． ∵方程的解为， ∴ 的解为， ． 故答案为：2029． 3．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”． (1)若关于的方程：与方程是“美好方程”，求的值． (2)若“美好方程”的两个解的差为8，其中一个方程的解为，求的值． (3)若关于的一元一次方程和是“美好方程”，求关于的一元一次方程的解． 【答案】(1) (2)或 (3)2025 【分析】本题考查了一元一次方程的解，利用“美好方程”的定义找到方程解的关系是解题的关键． （1）先表示两个方程的解，再求解； （2）根据条件建立关于n的方程，再求解； （3）由关于x的一元一次方程和是“美好方程”，可求出的解为，再将变形为，则，从而求解． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∵ ∴ ∵关于x的方程与方程是“美好方程” ∴ ∴． （2）解：∵“美好方程”的两个解和为1 ∴另一个方程的解是 ∵两个解的差是8 ∴或 ∴或； （3）解：∵ ∴ ∵关于x的一元一次方程和是“美好方程” ∴关于x的一元一次方程的解为， ∴关于y的一元一次方程可化为 ∴ ∴． 类型二、新定义问题 1．定义运算“*”为，若，则（    ） A． B．1 C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查新定义运算、解一元一次方程．根据定义将变形为一元一次方程，再解方程即可． 【详解】解：根据题中的新定义得：， 移项合并得：， 解得：， 故选：B． 2．定义运算“”如下：当时，；当时， ，若，则m的值是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了解一元一次方程，根据新定义列出方程是解题的关键． 按照定义的新运算列出方程，即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， 解得：． 故答案为： 3．用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定． 如：． (1)求的值； (2)若，求a的值； (3)若（其中x为有理数），试比较m，n的大小． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，有理数的混合运算，整式的加减运算，熟练掌握相关运算法则是解本题的关键． （1）根据新运算列出算式计算即可； （2）根据新运算列出方程，解一元一次方程即可； （3）根据新运算列出算式，合并同类项，把化为最简的式子，求出它们的差，进而大小可得． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵， ∴， 即， 解得：； （3）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 类型三、规律问题 1．如图，是按一定的规律搭出的图形，其中第1个图形中有6个正方形，第2个图形中有11个正方形，第3个图形中有16个正方形，…，若第n个图形中正方形的个数是2021，则n的值为（    ） A．404 B．405 C．406 D．407 【答案】A 【分析】先根据图形及含有正方形的个数找到计算规律，再列方程求解即可． 【详解】解：第1个图形中有 个正方形， 第2个图形中有个正方形， 第3个图形中有个正方形，…… 第n个图形中有个正方形， ∴， 解得， 故选：A． 【点睛】本题考查了图形的变化类，一元一次方程的应用，找到变化规律是解题的关键． 2．如图，各图形都是由面积为1的小正方形按一定的规律组成的，其中，第1个图形中的小正方形有9个，第2个图形中的小正方形有14个，……，按此规律，若第个图形中的小正方形有2024个，则的值为 ． 【答案】404 【分析】本题考查图形类规律探索，解题关键是找出图形与数字之间的运算规律，利用规律解决问题． 分析前几个图形，得到第n个图形面积为1的小正方形有个，进而即可求解． 【详解】解：第1个图形面积为1的小正方形有9个， 第2个图形面积为1的小正方形有个， 第3个图形面积为1的小正方形有个， … 第n个图形面积为1的小正方形有个， 当时，． 故答案为：404 3．下列图形是用棋子摆成的“上”字，如果按照此规律继续摆下去： (1)图4中的“上”字需要用________枚棋子．图5中的“上”字需要用________枚棋子； (2)图n中的“上”字需要用________枚棋子； (3)现有62名学生，把每一位学生当成一枚棋子，能否让这62枚“棋子”按照以上规律恰好站成一个“上”字？若能，请求出最下面一“横”的学生数，若不能，请说明理由． 【答案】(1)18；22 (2) (3)能，31人 【分析】本题考查图形数字类规律探索，代数式表示数字规律，一元一次方程实际应用等． （1）根据题意先分别列出图①—③中棋子个数规律，继而得到本题答案； （2）通过（1）中规律用代数式表示即可； （3）通过（2）中代数式列方程求解即可得到本题答案． 【详解】（1）解：∵图①中棋子共有个，图②中棋子有个，图③中棋子有个， ∴图④中棋子有18个，图⑤中棋子有22个， 故答案为：18，22； （2）解：∵根据（1）中规律可得： 图n中的“上”字需要用枚棋子， 故答案为：； （3）解：∵， ∴， ∵为整数，即能让这62枚“棋子”按照以上规律恰好站成一个“上”字， ∵上边所有棋子点数为， ∴， ∴最下面一“横”的学生数为：． 类型四、绝对值问题 1．已知，且，则的值为（   ） A．或或6 B．或6 C．或6 D．或或6 【答案】A 【分析】本题考查了求代数式的值，绝对值方程，绝对值的性质等；由绝对值及数的平方得或，，由绝对值的性质得，判断取值，代值计算，即可求解；能熟练利用绝对值的性质进行求解是解题的关键． 【详解】解：， ， 解得：或， ， ， ， ， ， 当或时，，， 当时，，， 或或， 故选：A． 2．对于整数，，定义一种新运算“”：当为偶数时，规定；当为奇数时，规定．请解答下列问题： （1）当，时， ； （2）若，则的值为 ． 【答案】 或 【分析】本题主要考查新定义下的运算，有理数混合运算，绝对值的性质，解一元一次方程，解题的关键是掌握知识点的应用以及分类讨论思想． （）根据新定义即可求解； （）分当为偶数时，则为奇数和当为奇数时，则为偶数两种情况分析，然后根据新定义列出方程，再进行分类讨论即可求解． 【详解】解：（）当，时，为偶数， ∴ ， 故答案为：； （）当为偶数时，则为奇数，， 当时，，解得：（舍） 当时，，解得：（舍）， 当时，，解得：（舍）； 当为奇数时，则为偶数，， 当时，，解得：（舍）； 当时，，解得：； 当时，，解得：； ∴或， 故答案为：或． 3．先阅读下列解题过程，然后解答问题． 解方程：． 解：当时，原方程可化为，它的解是．当时，原方程可化，它的解是． 原方程的解为或． (1)依例题的解法，方程的解是___________． (2)解方程：． (3)解方程：． 【答案】(1)或； (2)或； (3)或． 【分析】本题考查了含绝对值符号的一元一次方程的应用，解题的关键是能去掉绝对值符号，用了分类讨论思想． （）仿照题例即可求解； （）由，得，然后分当时和当时，即可求解； （）分当时和当时，即可求解． 【详解】（1）解：当时，原方程可化为，它的解是， 当时，原方程可化为，它的解是， ∴原方程的解为或 故答案为：或； （2）解：由，得， 当时，原方程可化为，它的解是， 当时，原方程可化为，它的解是， ∴原方程的解为或； （3）解：当时，原方程可化为，它的解是， 当时，原方程可化为，它的解是， ∴原方程的解为或． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$