第3章勾股定理训练2025—2026学年苏科版（2024）数学八年级上册

第3章 勾股定理 训练 一、单选题 1．下列各组数中，属于勾股数的是（   ） A．3，4，6 B．9，12，15 C．，1 D．，， 2．下列各组数据分别为三角形的三边长，不能组成直角三角形的是（   ）． A．3、4、5 B．3、5、7 C．9、12、15 D．8、15、17 3．一个三级台阶如图所示，A和B是这个台阶两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁想到点B处去吃可口的食物．若这个台阶的每一级的长、宽和高分别为8，3和2，则这只蚂蚁沿着台阶面爬行的最短路程为（   ） A．23 B．17 C．15 D．13 4．如图，在中，，将折叠，使点B恰好落在边上，与点重合，为折痕，则的长为（　　） A．3 B． C． D．1 5．如图，在中，，，D是线段上的动点（不含端点B，C），则满足线段的长为正整数的点D的个数为（    ） A．4 B．5 C．3 D．2 6．下列说法中正确的是（ ） A．已知，，分别是直角三角形的三边长，则必有 B．直角三角形中，两条边的平方和等于第三边的平方 C．在中，若，边、、的长分别是，，，则 D．在中，若，，，分别是，，的对边，则 7．如图，数轴上一点A，表示，过点A作数轴的垂线，并在垂线上截取，连结，以点O为圆心，为半径作弧交x轴的负半轴于点D，则点D表示的数为（　　） A． B． C． D． 8．如图，梯子斜靠在墙面上，，，当梯子的顶端 A 沿方向下滑时，梯足 B 沿方向滑动，则x 与y的大小关系是（   ） A． B． C． D．不确定 9．直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将按如图所示方式折叠，使点A与点B重合，折痕为，则的值是（    ） A． B． C． D． 10．如图，在中，，分别以、为边作正方形．若，则正方形和正方形的面积和为（   ） A．16 B．24 C．32 D．64 二、填空题 11．若一个直角三角形两边的长分别为6和8，则第三边的长为 ． 12．如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是 ． 13．如图，正方形的边长为6，线段在边上左右滑动，若，则的最小值为 ． 14．如图，在中，，，，点为上一点，将线段绕点顺时针旋转得线段，点在射线上，当的垂直平分线经过一边中点时，的长为 ． 15．如图，中，为边上的一点，连接并延长，过点作，垂足为，若，，，；记的面积为，的面积为，则的值为 ． 三、解答题 16．如下图，在四边形中，，连接交于点． (1)若，试说明：． (2)若，，，求的面积． 17．折叠如图所示的直角三角形纸片，使点C落在上的点处，折痕为 (点D在边上)． (1)用直尺和圆规画出折痕；(不写作法，保留画图痕迹) (2)若，求折痕的长． 18．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，常在周围几百千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点向点移动，已知点为一海港，且点与，两点之间的距离，分别为，，，以台风中心为圆心周围以内（包括）为受影响区域． (1)海港受台风影响吗？为什么？ (2)若海港受台风影响，且台风中心移动的速度为，台风影响海港持续的时间有多长？（若海港不受台风影响，则忽略此问） 19．推理能力  如图，在中，．若，如图①，根据勾股定理，得；若不是直角三角形，而是如图②、图③所示的锐角三角形和钝角三角形． (1)请你类比勾股定理，猜想与的关系：图②中，______；图③中，______． (2)说明你在（1）中猜想结论的正确性． (3)在图②中，若，请你求出的面积． 20．如图，在中，，动点P从点C出发，按的路径，以每秒的速度运动，设运动时间为t秒． (1)当时，求的面积． (2)t为何值时，线段是的平分线？ (3)请利用备用图2继续探索：当t为何值时，是以为腰的等腰三角形？（直接写出结论） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第3章 勾股定理 训练2025—2026学年苏科版（2024）数学八年级上册》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B B A C D C B C D 1．B 【分析】本题考查的是勾股数，根据勾股数的定义，勾股数是满足勾股定理且均为正整数的三个数，需逐一验证各选项是否同时满足这两个条件． 【详解】A、，不满足勾股定理，故本选项不符合题意； B、，满足勾股定理且均为正整数，故本选项符合题意； C、，1，含小数，非正整数，故本选项不符合题意； D、，，，含分数，非正整数，故本选项不符合题意； 故选：B． 2．B 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，求出较小两边平方的和，将其与最大边的平方比较后即可得出结论． 【详解】解：A、，长为3，4，5的三条边，能组成直角三角形，选项A不符合题意； B、，长为3，5，7的三条边，不能组成直角三角形，选项B符合题意； C、 ，长为9、12、15的三条边，能组成直角三角形，选项C不符合题意； D、，长为8，15，17的三条边，能组成直角三角形，选项D不符合题意． 故选：B． 3．B 【分析】本题考查了平面展开最短路径问题．用到台阶的平面展开图，只要根据题意判断出长方形的长和宽即可解答． 【详解】解：如图， 三级台阶平面展开图为长方形，长为，宽为8， 则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长， 即． 故选：B 4．A 【分析】根据折叠性质，勾股定理，解答即可． 本题考查了折叠性质，勾股定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 【详解】解：根据折叠可得，， 设，则， 在中，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， 解得， 故选：A． 5．C 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质和勾股定理，解题的关键是正确利用勾股定理计算出的最小值，然后求出的取值范围． 首先过作，当与重合时，最短，首先利用等腰三角形的性质可得，进而可得的长，利用勾股定理计算出长，然后可得的取值范围，进而可得答案． 【详解】解：过作， ， ， ， ∵是线段上的动点（不含端点、）． ， 或4， ∵线段长为正整数， ∴可以有三条，长为4，3，4， ∴点的个数共有 3 个， 故选：C． 6．D 【分析】本题考查了勾股定理的运用，勾股定理的内容：在直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方，在运用的时候一定要分清楚直角边和斜边，掌握勾股定理的运用是解本题的关键．根据勾股定理逐项求解判断即可． 【详解】解：A、无法确定、、哪条是斜边，故无法确定，此说法错误； B、直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方，此说法错误； C、由，故是斜边，则，此说法错误； D、由，可得是斜边，故，此说法正确． 故选：D． 7．C 【分析】本题主要考查了实数和数轴，勾股定理，正确记忆勾股定理的公式解题关键． 先根据题意确定，再根据勾股定理求出，可得答案． 【详解】解：由题意可知， 根据勾股定理，得， ， 因为点在x轴负半轴， 所以点对应的实数为． 故选：C． 8．B 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么．设，利用梯子下滑过程中的长度保持不变，建立a，x，y的等式，然后进行判断即可． 【详解】解：设， 由勾股定理得： ， ∴， 化简得：， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 9．C 【分析】本题主要考查折叠的性质、勾股定理，熟练掌握折叠的性质、勾股定理是解题的关键．由题意易得，由折叠的性质可得，设，则，然后根据勾股定理可进行求解． 【详解】解：由题意，得， 由翻折的性质得， 设，则， 在直角三角形中，， 即， 解得， ∴， ∴． 故选：C． 10．D 【分析】本题主要考查了勾股定理，根据直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方求解即可． 【详解】解：正方形的面积为：，正方形的面积为：； 在中，， 又 ∵， ∴， 故选：D． 11．10或 【分析】本题考查了勾股定理在直角三角形中的应用以及分类讨论思想，解题的关键是分情况讨论已知的两边是直角边还是其中一边为斜边，再利用勾股定理计算第三边的长度． 分两种情况计算：当6和8为直角边时，第三边为斜边，由勾股定理得第三边长为；当8为斜边、6为直角边时，第三边为另一条直角边，由勾股定理得第三边长为． 【详解】解：本题可分两种情况讨论： 情况一：若6和8均为直角边，根据勾股定理，第三边（斜边）的长为； 情况二：若8为斜边，6为直角边，根据勾股定理，第三边（另一条直角边）的长为． 故第三边的长为10或． 故答案为：10或． 12．25 【分析】本题主要考查几何体的展开图及勾股定理，熟练掌握几何体的展开图及勾股定理是解题的关键．把长方体按照正面和右侧进行展开，或沿长方体的右侧和上面进行展开，分别计算长度进行比较即可得到答案． 【详解】由题意得： ①当把长方体按照正面和右侧进行展开时，如图所示： ∴，， ∴在中，； 则； ②当沿长方体的右侧和上面进行展开时，如图所示： ∴，， ∴在中，； ∵， ∴一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是， 由长方体的特征可得其他路径必定比①②两种更远，故不作考虑； 故答案为：25． 13．14 【分析】本题考查了利用轴对称求最短路径问题、勾股定理、平移的性质等，熟练掌握以上知识点是解题的关键．作A关于的对称点，将线段沿射线平移的长度，得到，连接、、、，根据轴对称的性质和平移的性质可推出，再由两点之间线段最短可知当、、三点共线时，取得最小值，最小值为，最后利用勾股定理得到即可解答． 【详解】解：如图，作A关于的对称点，连接、，则，， ∵正方形的边长为6， ∴，，， ∴点、、三点共线，即， ∵，， ∴将线段沿射线平移的长度，得到，连接、， 此时，， ∴， ∵，， ∴当、、三点共线时，取得最小值， 此时，取得最小值，最小值为， 在中，，， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：14． 14．或或 【分析】本题分三种情况讨论，当的垂直平分线分别经过的、边中点时，利用含角的直角三角形性质、线段垂直平分线性质、等边三角形判定与性质以及勾股定理来求解的长度． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∵的垂直平分线经过一边中点， 可分为以下三种情况： 经过的中点；经过的中点；经过的中点； 第一种：当经过的中点时，交于点， 如图：， ∵绕点顺时针旋转得线段， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ； 第二种：当经过的中点时，交于点， 如图：， ∵，垂直， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵点在上， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， 由勾股定理得：； 第三种：当经过的中点时，交于点， 如图：， 同理可证：， 在中，，， ∴， 综上：的长为：或或． 故答案为：或或． 【点睛】本题目综合考查了直角三角形的性质、旋转的性质、垂直平分线的性质、中点的性质以及几何计算与证明等知识点；通过分类讨论，逐步推导出的可能长度． 15．66 【分析】此题考查了勾股定理及其逆定理，直角三角形的面积． 根据勾股定理求出，进而推出，再根据题意推出，根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：66． 16．(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查勾股定理以及三角形面积公式，掌握这些定理和公式是解题关键． （1）通过勾股定理和代数变形证明等式即可； （2）过点A作，垂足为F，利用勾股定理求出、长度，再通过三角形面积公式计算的面积． 【详解】（1）解：， ． ， ， ． （2）（2）如图，过点A作，垂足为F． ， ， ． ， ， ， ， ， ． 17．(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了作图—基本作图、折叠的性质、勾股定理等知识点，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． （1）由折叠的性质可知，用直尺和圆规作出的平分线即可； （2）根据勾股定理求出，由折叠的性质可得、．设，则，再运用勾股定理列方程求得，即．最后再运用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：如图：即为所求． （2）解：在中，， ∴， ∵是由沿翻折得到的， ∴， ∴． 设，则 在中，， ∴，即，解得：，即． 在中，． 18．(1)受台风影响，理由见解析； (2)台风影响海港持续的时间为． 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理、直角三角形的面积公式以及点到直线的距离在实际问题中的应用，解题的关键是通过计算海港到台风移动路径的最短距离判断是否受影响，再结合勾股定理求出台风影响的路径长度，进而计算持续时间． （1）通过勾股定理逆定理判断为直角三角形，利用面积法求出C到的距离，比较与的大小，确定海港是否受影响； （2）以C为圆心、为半径作圆，交于E、F，利用勾股定理求出的长度，得到的距离，再根据速度公式计算台风影响的持续时间． 【详解】（1）解：海港受台风影响． 理由：如图，过点作于点， 因为，，，, 所以是直角三角形．, 由三角形面积相等可得：， 即， 所以． 因为以台风中心为圆心周围以内(包括)为受影响区域，所以海港受台风影响． （2）如图，设台风中心移动到点，处时刚好影响海港，连接，，则， 所以，因， 所以． 因为台风中心移动的速度为， ， 所以台风影响海港持续的时间为． 19．(1)， (2)见解析 (3) 【分析】本题考查勾股定理及应用； （1）根据题目猜想结论即可； （2）作边上的高，垂足为，利用勾股定理解答即可； （3）设，则，利用勾股定理求出x的值，然后求出三角形的高长，再根据三角形的面积公式计算解答即可． 【详解】（1）解：图②中，；图③中，， 故答案为：，； （2）解：如图①，作边上的高，垂足为． 设，则在和中，由勾股定理，得，整理，得． 因为，所以． 如图②，作边上的高，垂足为． 设，则在和中， 由勾股定理，得， 整理，得． 因为，所以． （3）解：如图①，设，则． 同（2）可得， 因为， 所以，解得， 所以，所以， 所以的面积为． 20．(1) (2) (3)或或6 【分析】本题考查了等腰三角形的定义与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，角平分线的性质，分类讨论是解题的关键． （1）把代入得出，利用三角形的面积进行解答即可； （2）过作，设，根据角平分线的性质和勾股定理进行解答即可； （3）分三种情况讨论，当点P在上时，时，；当点P在上时，时，过作于，由面积法得到，求出，再由勾股定理结合三线合一求解；当时，则，故． 【详解】（1）解：当时，则， 所以的面积； （2）解：过作，如图1： ∵， ， ∵， ∴， ∵为的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴，， 在中，， ， 解得：； （3）解：如图： 因为是以为腰的等腰三角形， 当点P在上时，时，； 当点P在上时，时，过作于， ， 即， 解得：， ，， ， ， ； 当时， ， 故答案为：或或． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$