微专题20 勾股定理中常见的几何模型（垂美四边形模型）-2025-2026学年北师大版数学八年级上册

微专题20 勾股定理中常见的几何模型 垂美四边形模型 勾股定理是初中阶段最重要的几何知识，与垂径定理并称几何双宝，在整个初中几何中有着承上启下的作用；而勾股定理中的一些典型模型问题则是解决实际问题的重要方法，学会将勾股定理的相关问题转化为简单的模型问题，这样就可以快速体会模型中其各种变式和联系以达到解决问题的效果。本微专题主要讲解“垂美四边形”模型． 模型来源 垂美四边形是指两条对角线互相垂直的四边形，是初中几何中的重要知识点，属于常考易考的几何模型，其核心是对角线互相垂直，并由此衍生出面积公式和边长关系。它是几何中一类特殊的四边形，与菱形、正方形、筝形等有密切联系。是数学教育工作和研究者为了解决特定几何问题而创造的，这些模型在数学教育中被广泛使用，特别是在中学几何教学中，帮助学生在解决复杂几何问题时提供直观的思路和工具。 垂美四边形模型 一、例题讲模型 例.小新学习了特殊的四边形一平行四边形后，对特殊四边形的探究产生了兴趣，发现另外一类特殊四边形，如图1，我们把两条对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． (1)概念理解：在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，一定是垂美四边形的是______． (2)性质探究：通过探究，直接写出垂美四边形的面积S与两对角线，之间的数量关系：______． (3)问题解决：如图2，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接已知，． ①求证：四边形为垂美四边形； ②直接写出四边形的面积． 分析：（1）由平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质即可得出结论； （2）四边形的面积=的面积+的面积； （3）①连接，证出，由证明，得出，，再由角的互余关系和三角形内角和定理求出，得出即可；②根据垂美四边形的性质、勾股定理、结合（2）的结论计算即可． 解：（1）∵在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，两条对角线互相垂直的四边形是菱形、正方形， ∴菱形和正方形一定是垂美四边形； 故答案为：菱形、正方形； （2）如图1所示： ∵四边形的面积=的面积+的面积 =； 故答案为：； （3）①证明：连接交于N，交于M，如图2所示： ∵四边形和四边形是正方形， ∴，，， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴，， 又∵，， ∴， ∴， ∴四边形为垂美四边形； ②∵ ∴ ∴， 在中， ∴， ∵四边形为垂美四边形， ∴四边形的面积 技巧与方法：垂美四边形的核心特征是对角线垂直，并由此衍生出面积公式和边长关系如下： 1. 垂美四边形的面积等于两条对角线长度乘积的一半； 2. 四条边长a,b,c,d 满足： a 2 +c 2 =b 2 +d 2 ,即两组对边的平方和相等. 二、提炼模型 1．如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． （1）概念理解：如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由． （2）性质探究：试探索垂美四边形ABCD两组对边AB2，CD2与BC2，AD2之间的数量关系 ． （3）问题解决：如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG，GE，已知AC=4，AB=5，求GE长． 2．如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． （1）概念理解：在下列四边形中，①正方形；②矩形；③菱形；④平行四边形．是垂美四边形的是：　 　（填写序号）； （2）性质探究：如图1，垂美四边形ABCD中，AC⊥BD，垂足为O，试猜想：两组对边AB，CD与BC，AD之间的数量关系，并说明理由； （3）问题解决：如图2，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG，GE，已知BC=6，AB=10，求GE长． 模型运用 1．定义：有一组邻边垂直且对角线相等的四边形为垂等四边形． (1)在①平行四边形②矩形③菱形中，是垂等四边形的是______．（填序号） (2)如图1，在方格纸中，A，B，C在格点上，请画出两个符合条件的不全等的垂等四边形，使、是对角线，点D在格点上． (3)如图2，在正方形中，点E、F、G分别在上，且，求证：四边形是垂等四边形． (4)如图3，已知，，，，以为腰且在的右上方作等腰三角形，使四边形是垂等四边形，请直接写出四边形的面积． 2．(1)【知识感知】如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形，在我们学过的：①平行四边形②矩形③菱形④正方形中，能称为垂美四边形是_____；（只填序号）              (2)【概念理解】如图2，在四边形中，，，问四边形是垂美四边形吗？请说明理由． (3)【性质探究】如图1，垂美四边形的两对角线交于点，试探究，，，之间有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给出证明； (4)【性质应用】如图3，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，，，已知，，求长． 3．如图，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．（如图1） （1）概念理解：在平行四边形，矩形，菱形，正方形中，一定是垂美四边形的是　　； （2）性质证明：如图1，四边形ABCD是垂美四边形，直接写出其两组对边AB，CD与BC，AD之间的数量关系 _________________________； （3）问题解决：如图2，分别以Rt△ABC的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG，GE，已知AC＝4，AB＝5，求GE的长．       4．若一个四边形的两条对角线互相垂直，则称这个四边形为垂美四边形． （1）概念理解：如图1，在四边形中，，，判断四边形是否为垂美四边形，并说明理由； （2）性质探究：如图2，试在垂美四边形中探究、、、之间的数量关系； （3）解决问题：如图3，分别以Rt△ABC的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE、BG、GE、CE交BG于点N，交AB于点M．若AB=3，AC=2，求线段GE的长． 5．如图，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． （1）概念理解：如图，在四边形中，，，问四边形是垂美四边形吗？请说明理由． （2）性质探究：试探究垂美四边形两组对边，与，之间的数量关系，写出证明过程（先画出图形） （3）问题解决：如图，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，，已知，，求的长． 6．问题情景：如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”，按照此定义，我们学过的平行四边形中的菱形、正方形等都是“垂美四边形”，“菱形”也是“垂美四边形”． 概念理解： （1）如图2，已知等腰梯形是“垂美四边形”，，，求 的长． 性质探究： （2）如图3，已知四边形是“垂美四边形”，试探究其两组对边，与， 之间的数量关系，并写出证明过程． 问题解决： （3）如图4，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形 与正方形，连接，， ， 与交于点，已知， ，求 的中线的长． 7．定义：有一组邻边垂直且对角线相等的四边形称为垂等四边形． （1）写出一个已学的特殊平行四边形中是垂等四边形的是_________； （2）如图1，在方格纸中，A，B，C在格点上，请画出两个符合条件的不全等的垂等四边形，使，是对角线，点D在格点上． （3）如图2，在正方形中，点E，F，G分别在，，上，四边形是垂等四边形，且． ①求证：； ②若，求n的值； 8．若一个四边形的两条对角线互相垂直，则称这个四边形为垂美四边形． （1）概念理解：如图1，在四边形ABCD中，，判断四边形ABCD是否为垂美四边形，并说明理由； （2）性质探究：如图2，试在垂美四边形ABCD中探究、、、之间的数量关系； （3）解决问题：如图3，分别以Rt△ABC的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFD和正方形ABGE，连接BD、CE、DE，CE分别交AB、BD于点M、N，若AB＝2，AC＝，求线段DE的长． 9．我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．如图1，四边形中对角线于点．所以四边形是垂美四边形． （1）概念理解：如图2，在四边形中，若，，试判断四边形是垂美四边形吗？请说明理由； （2）性质探究：在图1中，我们发现垂美四边形的两组对边满足：；请你证明这个结论． （3）性质应用：如图3，请你用“（2）性质探究”中的结论解决下面问题：分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连结、、．若，，求的长． 10．概念理解：对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形 （1）性质探究：如图1，四边形ABCD是垂美四边形，直接写出AB2、CD2、AD2、BC2的数量关系：　 　． （2）解决问题：如图2，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连结CE、BG、GE．若AC＝4，AB＝5，求GE的长（可直接利用（1）中性质） 11．我们定义：对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． （1）如图1，垂美四边形ABCD的对角线AC，BD交于O．求证：AB2+CD2＝AD2+BC2； （2）如图2，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连结BE，CG，GE． ①求证：四边形BCGE是垂美四边形； ②若AC＝4，AB＝5，求GE的长． 12．阅读理解：如图1，若一个四边形的两条对角线互相垂直，则称这个四边形为垂美四边形． （1）概念理解：如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由； （2）性质探究：如图1，试在垂美四边形ABCD中探究AB2，CD2，AD2，BC2之间的关系，并说明理由； （3）解决问题：如图3，分别以Rt△ABC的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连结CE、BG、GE、CE交BG于点N，交AB于点M．已知AC＝，AB＝2，求GE的长． 13．连接四边形不相邻两个顶点的线段叫做四边形的对角线，如图1，四边形ABCD中线段AC、线段BD就是四边形ABCD 的对角线.把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． （1）概念理解：如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由． （2）性质探究：试探索垂美四边形ABCD两组对边AB，CD的平方和与BC，AD的平方和之间的数量关系． 猜想结论：（要求用文字语言叙述） 写出证明过程（先画出图形，写出已知、求证）． （3）问题解决：如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG，GE，已知AC=4，AB=5，求GE长． 14．定义，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． 概念理解：如图①，在四边形ABCD中，如果AB=AD，CB=CD，那么四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由． 性质探究：如图②，垂美四边形ABCD两组对边AB、CD与BC、AD之间有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给出证明． 问题解决：如图③，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG 和正方形ABDE，连结CE、BG、GE．若AC=2，AB=5，则①求证：△AGB≌△ACE； ②GE= ． 15．阅读理解：如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．垂美四边形有如下性质： 垂美四边形的两组对边的平方和相等． 已知：如图1，四边形ABCD是垂美四边形，对角线AC、BD相交于点E． 求证：AD2+BC2=AB2+CD2 证明：∵四边形ABCD是垂美四边形 ∴AC⊥BD， ∴∠AED=∠AEB=∠BEC=∠CED=90°， 由勾股定理得，AD2+BC2=AE2+DE2+BE2+CE2， AB2+CD2=AE2+BE2+CE2+DE2， ∴AD2+BC2=AB2+CD2． 拓展探究： （1）如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由． （2）如图3，在Rt△ABC中，点F为斜边BC的中点，分别以AB，AC为底边，在Rt△ABC外部作等腰三角形ABD和等腰三角形ACE，连接FD，FE，分别交AB，AC于点M，N．试猜想四边形FMAN的形状，并说明理由； 问题解决： 如图4，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG，GE，已知AC=4，AB=5．求GE长． 16．我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形. (1)【概念理解】在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，一定是垂美四边形的是 . (2)【性质探究】如图2，试探索垂美四边形ABCD的两组对边AB,CD与BC ，AD之间的数量关系，写出证明过程． (3)【问题解决】如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE,BG,GE, 已知AC=,BC=1 求GE的长. 真题再现 【2021·四川雅安】对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，则 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 微专题20 勾股定理中常见的几何模型 垂美四边形模型 勾股定理是初中阶段最重要的几何知识，与垂径定理并称几何双宝，在整个初中几何中有着承上启下的作用；而勾股定理中的一些典型模型问题则是解决实际问题的重要方法，学会将勾股定理的相关问题转化为简单的模型问题，这样就可以快速体会模型中其各种变式和联系以达到解决问题的效果。本微专题主要讲解“垂美四边形”模型． 模型来源 垂美四边形是指两条对角线互相垂直的四边形，是初中几何中的重要知识点，属于常考易考的几何模型，其核心是对角线互相垂直，并由此衍生出面积公式和边长关系。它是几何中一类特殊的四边形，与菱形、正方形、筝形等有密切联系。是数学教育工作和研究者为了解决特定几何问题而创造的，这些模型在数学教育中被广泛使用，特别是在中学几何教学中，帮助学生在解决复杂几何问题时提供直观的思路和工具。 垂美四边形模型 一、例题讲模型 例.小新学习了特殊的四边形一平行四边形后，对特殊四边形的探究产生了兴趣，发现另外一类特殊四边形，如图1，我们把两条对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． (1)概念理解：在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，一定是垂美四边形的是______． (2)性质探究：通过探究，直接写出垂美四边形的面积S与两对角线，之间的数量关系：______． (3)问题解决：如图2，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接已知，． ①求证：四边形为垂美四边形； ②直接写出四边形的面积． 分析：（1）由平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质即可得出结论； （2）四边形的面积=的面积+的面积； （3）①连接，证出，由证明，得出，，再由角的互余关系和三角形内角和定理求出，得出即可；②根据垂美四边形的性质、勾股定理、结合（2）的结论计算即可． 解：（1）∵在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，两条对角线互相垂直的四边形是菱形、正方形， ∴菱形和正方形一定是垂美四边形； 故答案为：菱形、正方形； （2）如图1所示： ∵四边形的面积=的面积+的面积 =； 故答案为：； （3）①证明：连接交于N，交于M，如图2所示： ∵四边形和四边形是正方形， ∴，，， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴，， 又∵，， ∴， ∴， ∴四边形为垂美四边形； ②∵ ∴ ∴， 在中， ∴， ∵四边形为垂美四边形， ∴四边形的面积 技巧与方法：垂美四边形的核心特征是对角线垂直，并由此衍生出面积公式和边长关系如下： 1. 垂美四边形的面积等于两条对角线长度乘积的一半； 2. 四条边长a,b,c,d 满足： a 2 +c 2 =b 2 +d 2 ,即两组对边的平方和相等. 二、提炼模型 1．如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． （1）概念理解：如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由． （2）性质探究：试探索垂美四边形ABCD两组对边AB2，CD2与BC2，AD2之间的数量关系 ． （3）问题解决：如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG，GE，已知AC=4，AB=5，求GE长． 【答案】（1）垂美四边形，证明见解析；（2）；（3） 【解析】解：（1）四边形ABCD是垂美四边形． 证明：∵AB=AD， ∴点A在线段BD的垂直平分线上， ∵CB=CD， ∴点C在线段BD的垂直平分线上， ∴直线AC是线段BD的垂直平分线， ∴AC⊥BD，即四边形ABCD是垂美四边形； （2）猜想结论：垂美四边形的两组对边的平方和相等． 如图2，已知四边形ABCD中，AC⊥BD，垂足为E， 求证：AD2+BC2=AB2+CD2． 证明：∵AC⊥BD， ∴∠AED=∠AEB=∠BEC=∠CED=90°， 由勾股定理得，AD2+BC2=AE2+DE2+BE2+CE2， AB2+CD2=AE2+BE2+CE2+DE2， ∴AD2+BC2=AB2+CD2； 故答案为：AD2+BC2=AB2+CD2． （3）连接CG、BE， ∵∠CAG=∠BAE=90°， ∴∠CAG+∠BAC=∠BAE+∠BAC，即∠GAB=∠CAE， 在△GAB和△CAE中， ， ∴△GAB≌△CAE， ∴∠ABG=∠AEC，又∠AEC+∠AME=90°， ∴∠ABG+∠AME=90°， ∴∠ABG+∠BMN=90°， ∴∠BNM=90°，即CE⊥BG， ∴四边形CGEB是垂美四边形， 由（2）得，CG2+BE2=CB2+GE2， ∵AC=4，AB=5， ∴BC==3，CG=4，BE=5， ∴GE2=CG2+BE2-CB2=73， ∴GE=． 2．如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． （1）概念理解：在下列四边形中，①正方形；②矩形；③菱形；④平行四边形．是垂美四边形的是：　 　（填写序号）； （2）性质探究：如图1，垂美四边形ABCD中，AC⊥BD，垂足为O，试猜想：两组对边AB，CD与BC，AD之间的数量关系，并说明理由； （3）问题解决：如图2，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG，GE，已知BC=6，AB=10，求GE长． 【答案】（1）①③；（2）结论：AD2+BC2=AB2+CD2．证明见解析；（3） 【解析】解：（1）∵正方形，菱形的对角线互相垂直， ∴正方形，菱形是垂美四边形， 故答案为：①③． （2）结论：AD2+BC2=AB2+CD2． 理由：∵四边形ABCD是垂美四边形， ∴AC⊥BD， ∴∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠COD=90°， 由勾股定理得，AD2+BC2=AO2+DO2+BO2+CO2， AB2+CD2=AO2+BO2+CO2+DO2， ∴AD2+BC2=AB2+CD2． （3）连接CG、BE， ∵∠CAG=∠BAE=90°， ∴∠CAG+∠BAC=∠BAE+∠BAC，即∠GAB=∠CAE， ∵AG=AC，∠GAB=∠CAE，AB=AE， ∴△GAB≌△CAE（SAS）， ∴∠ABG=∠AEC， 又∠AEC+∠AME=90°， ∴∠ABG+∠AME=90°，即CE⊥BG， ∴四边形CGEB是垂美四边形， ∴CG2+BE2=CB2+GE2， ∵BC=6，AB=10，∠ACB=90°， ∴AC==8， ∴CG=，BE=， ∴GE2=CG2+BE2-CB2=292， ∴GE=． 模型运用 1．定义：有一组邻边垂直且对角线相等的四边形为垂等四边形． (1)在①平行四边形②矩形③菱形中，是垂等四边形的是______．（填序号） (2)如图1，在方格纸中，A，B，C在格点上，请画出两个符合条件的不全等的垂等四边形，使、是对角线，点D在格点上． (3)如图2，在正方形中，点E、F、G分别在上，且，求证：四边形是垂等四边形． (4)如图3，已知，，，，以为腰且在的右上方作等腰三角形，使四边形是垂等四边形，请直接写出四边形的面积． 【答案】(1)② (2)见解析 (3)见解析 (4)或或 【解析】（1）解：矩形是垂等四边形． 故答案为：②． （2）如图，四边形即为所求． （3）在正方形中， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是垂等四边形． （4）①如图中，当时，连接，过点D作于． ∵，，， ∴，， ∵四边形是垂等四边形， ∴， ∴，， ∴， ∴． ②如图中，当时，连接，过点D作交的延长线于H，于T． 同法可得，． ③如图中，当时，取的中点H，连接，过点D作交的延长线于T． 设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， 在中， ∵， ∴， 解得（负值舍去）， ∴． 综上所述，的面积为或或． 2．(1)【知识感知】如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形，在我们学过的：①平行四边形②矩形③菱形④正方形中，能称为垂美四边形是_____；（只填序号）              (2)【概念理解】如图2，在四边形中，，，问四边形是垂美四边形吗？请说明理由． (3)【性质探究】如图1，垂美四边形的两对角线交于点，试探究，，，之间有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给出证明； (4)【性质应用】如图3，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，，，已知，，求长． 【答案】(1)③④ (2)四边形ABCD是垂美四边形；理由见解析 (3)；理由见解析 (4) 【解析】（1）解：∵在①平行四边形，②矩形，③菱形，④正方形中，两条对角线互相垂直的四边形是③菱形，④正方形， ∴③菱形，④正方形一定是垂美四边形， 故答案为：③④； （2）解：四边形ABCD是垂美四边形， 理由如下：如图2，∵AB＝AD， ∴点A在线段BD的垂直平分线上， ∵CB＝CD， ∴点C在线段BD的垂直平分线上， ∴直线AC是线段BD的垂直平分线， ∴AC⊥BD，即四边形ABCD是垂美四边形； （3）解：， 证明如下：如图①，∵AC⊥BD， ∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°， 由勾股定理得，， ， ∴； （4）解：如图3，连接BE、CG，设AB与CE交于点M， ∵∠CAG＝∠BAE＝90°， ∴∠CAG+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠GAB＝∠CAE， 在△GAB和△CAE中， ， ∴△GAB≌△CAE（SAS）， ∴∠ABG＝∠AEC， ∵∠AEC+∠AME＝90°， ∴∠ABG+∠BMC＝90°，即CE⊥BG， ∴四边形CGEB是垂美四边形， ∴， ∵AB＝10，AC＝8， ∴，，， ∴， 则GE＝． 3．如图，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．（如图1） （1）概念理解：在平行四边形，矩形，菱形，正方形中，一定是垂美四边形的是　　； （2）性质证明：如图1，四边形ABCD是垂美四边形，直接写出其两组对边AB，CD与BC，AD之间的数量关系 _________________________； （3）问题解决：如图2，分别以Rt△ABC的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG，GE，已知AC＝4，AB＝5，求GE的长．    【答案】（1）菱形，正方形；（2）AD2+BC2＝AB2+CD2；（3） 【解析】解：（1）∵在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，两条对角线互相垂直的四边形是菱形、正方形， ∴菱形和正方形一定是垂美四边形， 故答案为：菱形、正方形； （2）如图1，∵AC⊥BD， ∴∠AED＝∠AEB＝∠BEC＝∠CED＝90°， 由勾股定理得，AD2+BC2＝AE2+DE2+BE2+CE2， AB2+CD2＝AE2+BE2+CE2+DE2， ∴AD2+BC2＝AB2+CD2； 故答案为：AD2+BC2＝AB2+CD2， （3）如图2，设AB与CE相交于点M，连接CG、BE， ∵∠CAG＝∠BAE＝90°， ∴∠CAG+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠GAB＝∠CAE， 在△GAB和△CAE中， ， ∴， ∴∠ABG＝∠AEC，又∠AEC+∠AME＝90°， ∴∠ABG+∠AME＝90°，即CE⊥BG， ∴四边形CGEB是垂美四边形， 由（2）得，CG2+BE2＝CB2+GE2， ∵AC＝4，AB＝5， ∴BC＝3，CG＝4，BE＝5， ∴GE2＝CG2+BE2﹣CB2＝73， ∴GE＝．      4．若一个四边形的两条对角线互相垂直，则称这个四边形为垂美四边形． （1）概念理解：如图1，在四边形中，，，判断四边形是否为垂美四边形，并说明理由； （2）性质探究：如图2，试在垂美四边形中探究、、、之间的数量关系； （3）解决问题：如图3，分别以Rt△ABC的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE、BG、GE、CE交BG于点N，交AB于点M．若AB=3，AC=2，求线段GE的长． 【答案】（1）四边形ABCD是垂美四边形，理由见解析；（2）AB2+CD2=AD2+BC2，证明见解析；（3）EG=． 【解析】解：（1）如图，四边形ABCD是垂美四边形； 理由如下： 连接AC、BD交于点E， ∵AB=AD， ∴点A在线段BD的垂直平分线上， ∵CB=CD， ∴点C在线段BD的垂直平分线上， ∴直线AC是线段BD的垂直平分线， ∴AC⊥BD，即四边形ABCD是垂美四边形； （2）猜想结论：AB2+CD2=AD2+BC2， 证明：在四边形ABCD中， ∵AC⊥BD， ∴∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠COD=90°， 由勾股定理得：AB2+CD2=AO2+BO2+OD2+OC2AD2+BC2=AO2+BO2+OD2+OC2， ∴AB2+CD2=AD2+BC2； （3）如图3，连接CG，BE， ∵∠CAG=∠BAE=90°， ∴∠CAG+∠BAC=∠BAE+∠BAC，即∠GAB=∠CAE， 在△GAB和△CAE中， ， ∴△GAB≌△CAE（SAS）， ∴∠ABG=∠AEC， ∵∠AEC+∠AME=90°， ∴∠ABG+∠BMN=90°， ∴∠BNC=90°，即BG⊥CE， ∴四边形CGEB是垂美四边形， 由（2）得：EG2+BC2=CG2+BE2， ∵AC=2，AB=3， ∴BC=，CG=2，BE=3， ∴EG2=CG2+BE2-BC2=8+18-5=21， ∴EG=． 5．如图，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． （1）概念理解：如图，在四边形中，，，问四边形是垂美四边形吗？请说明理由． （2）性质探究：试探究垂美四边形两组对边，与，之间的数量关系，写出证明过程（先画出图形） （3）问题解决：如图，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，，已知，，求的长． 【答案】（1）是，理由见解析；（2）垂美四边形的两组对边的平方和相等，证明见解析；（3） 【解析】解：（1）四边形是垂美四边形． 证明：连接AC、BD交于点E ， ∵， ∴点在线段的垂直平分线上， ∵， ∴点在线段的垂直平分线上， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴，即四边形是垂美四边形； （2）猜想结论：垂美四边形的两组对边的平方和相等． 如图2，已知四边形中，，垂足为， 求证： 证明：∵， ∴， 由勾股定理得，， ， ∴； （3）连接、， ∵， ∴，即， ∵ ∴， ∴，又， ∴，即， ∴四边形是垂美四边形， 由（2）得，， ∵，， ∴，， ∴， ∴ 6．问题情景：如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”，按照此定义，我们学过的平行四边形中的菱形、正方形等都是“垂美四边形”，“菱形”也是“垂美四边形”． 概念理解： （1）如图2，已知等腰梯形是“垂美四边形”，，，求 的长． 性质探究： （2）如图3，已知四边形是“垂美四边形”，试探究其两组对边，与， 之间的数量关系，并写出证明过程． 问题解决： （3）如图4，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形 与正方形，连接，， ， 与交于点，已知， ，求 的中线的长． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）． 【解析】解：（1）由题意知，， ∴和都是等腰直角三角形， ∴， ． ∴． （2）由题意可知，，， ∴，① ，， ∴，② ∴由①②可知，“垂美四边形”的两组对边之间的数量关系是 （3）连接，． ∵， ，， ∴． ∴可视为绕点逆时针旋转 后得到的． 由旋转的性质知，． ∴四边形为“垂美四边形”． ∴由（2）知，． 又，， ∴，，． ∴， ∴， ∴ 又为直角三角形，为其斜边上的中线， ∴ 7．定义：有一组邻边垂直且对角线相等的四边形称为垂等四边形． （1）写出一个已学的特殊平行四边形中是垂等四边形的是_________； （2）如图1，在方格纸中，A，B，C在格点上，请画出两个符合条件的不全等的垂等四边形，使，是对角线，点D在格点上． （3）如图2，在正方形中，点E，F，G分别在，，上，四边形是垂等四边形，且． ①求证：； ②若，求n的值； 【答案】（1）矩形（答案不唯一）；（2）见解析；（3）①见解析；② 【解析】解：（1）∵矩形的邻边垂直且对角线相等， ∴矩形是垂等四边形， 故答案为：矩形； （2）由垂等四边形的定义画出两个符合条件的不全等的垂等四边形，如图1所示： ∵∠ABC=90°，BD=AC=， ∴四边形ABCD是垂等四边形； （3）①证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AD=CD，∠A=∠C=90°， 在△ADF和△CDG中， ， ∴△ADF≌△CDG（SAS）， ∴DF=DG， ∵四边形DEFG是垂等四边形， ∴EG=DF， ∴EG=DG； ②过点G作GH⊥AD于H，如图2所示： 则四边形CDHG为矩形， ∴CG=DH， 由①得：EG=DG， ∵GH⊥DE， ∴DH=EH， ∴CG=DH=EH， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠A=∠B=90°，AB=BC=CD=AD， ∵AF=CG， ∴AB-AF=BC-CG， 即BF=BG， ∴△BFG为等腰直角三角形， ∴∠GFB=45°， ∵∠EFG=90°， ∴∠EFA=180°-90°-45°=45°， ∴△AEF为等腰直角三角形， ∴AE=AF=CG， ∴AE=EH=DH， ∴BC=3AE，BG=2AE， ∵BC=nBG， ∴n=． 8．若一个四边形的两条对角线互相垂直，则称这个四边形为垂美四边形． （1）概念理解：如图1，在四边形ABCD中，，判断四边形ABCD是否为垂美四边形，并说明理由； （2）性质探究：如图2，试在垂美四边形ABCD中探究、、、之间的数量关系； （3）解决问题：如图3，分别以Rt△ABC的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFD和正方形ABGE，连接BD、CE、DE，CE分别交AB、BD于点M、N，若AB＝2，AC＝，求线段DE的长． 【答案】（1）是，见解析；（2）；（3） 【解析】解：（1）如图1，四边形ABCD是垂美四边形． 理由如下： 证法一： ∵，AC＝AC， ∴△ABC≌△ADC． ∴∠BAC＝∠DAC． ∴AC是等腰三角形ABD顶角∠BAD的平分线． ∴． ∴四边形ABCD是垂美四边形． 证法二： 连结AC、BD交于点E． ∵， ∴点A在线段BD的垂直平分线上． ∵， ∴点C在线段BD的垂直平分线上． ∴直线AC是线段BD的垂直平分线． ∴． ∴四边形ABCD是垂美四边形． （2）如图2，在垂美四边形ABCD中， ∵于点O， ∴∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝∠AOD＝90°． ∴． ． ． ． ∴． ． ∴． （3）分别连结CD、BE， 如图3，∵∠CAD＝∠BAE＝90°， ∴． 即． 在和中， ， ∴． ∴． ∵∠BAE＝90°， ∴． ∴． ∴，即． ∴四边形CDEB是垂美四边形． 由（2）得：． ∵AB＝AE＝2，AC＝AD＝， ∴． ． ． ∴． ∴． 9．我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．如图1，四边形中对角线于点．所以四边形是垂美四边形． （1）概念理解：如图2，在四边形中，若，，试判断四边形是垂美四边形吗？请说明理由； （2）性质探究：在图1中，我们发现垂美四边形的两组对边满足：；请你证明这个结论． （3）性质应用：如图3，请你用“（2）性质探究”中的结论解决下面问题：分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连结、、．若，，求的长． 【答案】（1）四边形是垂美四边形，见解析；（2）见解析；（3） 【解析】解：（1）四边形是垂美四边形. 理由如下： ∵，∴点在线段的垂直平分线上， ∵，∴点在线段的垂直平分线上， ∴直线是线段的垂直平分线上， ∴，即四边形是垂美四边形 （2）如图1，∵，∴， 由勾股定理得，在中， 在中， ∴ ∴ （3）连接、 ∵，∴， 即， 在和中，， ∴， ∴， 又， ∴， 即， ∴四边形是垂美四边形， 由（2）得，， ∵，，∴，，， ∴， ∴. 10．概念理解：对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形 （1）性质探究：如图1，四边形ABCD是垂美四边形，直接写出AB2、CD2、AD2、BC2的数量关系：　 　． （2）解决问题：如图2，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连结CE、BG、GE．若AC＝4，AB＝5，求GE的长（可直接利用（1）中性质） 【答案】（1）AD2+BC2＝AB2+CD2；（2）GE＝． 【解析】(1)结论：AD2+BC2=AB2+CD2， 如图1中，设BD交AC于E． ∵AC⊥BD， ∴∠AED=∠AEB=∠BEC=∠CED=90°， 由勾股定理得，AD2+BC2=AE2+DE2+BE2+CE2， AB2+CD2=AE2+BE2+CE2+DE2， ∴AD2+BC2=AB2+CD2； 故答案为：AD2+BC2=AB2+CD2． (2)连接CG、BE， ∵∠CAG=∠BAE=90°， ∴∠CAG+∠BAC=∠BAE+∠BAC，即∠GAB=∠CAE， 在△GAB和△CAE中， ， ∴△GAB≌△CAE(SAS)， ∴∠ABG=∠AEC， 又∠AEC+∠AME=90°， ∴∠ABG+∠AME=90°，即CE⊥BG， ∴四边形CGEB是垂美四边形， 由(2)得，CG2+BE2=CB2+GE2， ∵AC=4，AB=5， ∴BC=3，CG=4，BE=5， ∴GE2=CG2+BE2﹣CB2=73， ∴GE=． 11．我们定义：对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． （1）如图1，垂美四边形ABCD的对角线AC，BD交于O．求证：AB2+CD2＝AD2+BC2； （2）如图2，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连结BE，CG，GE． ①求证：四边形BCGE是垂美四边形； ②若AC＝4，AB＝5，求GE的长． 【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②GE＝ 【解析】（1）证明：∵垂美四边形ABCD的对角线AC，BD交于O， ∴AC⊥BD， ∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°， 由勾股定理得：AD2+BC2＝AO2+DO2+BO2+CO2， AB2+CD2＝AO2+BO2+CO2+DO2， ∴AD2+BC2＝AB2+CD2； （2）①证明：连接BG、CE相交于点N，CE交AB于点M，如图2所示： ∵正方形ACFG和正方形ABDE， ∴AG＝AC，AB＝AE，∠CAG＝∠BAE＝90°， ∴∠CAG+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠GAB＝∠CAE， 在△GAB和△CAE中，， ∴△GAB≌△CAE（SAS）， ∴∠ABG＝∠AEC， ∵∠AEC+∠AME＝90°， ∴∠ABG+∠AME＝90°， ∴∠ABG+∠BMN＝90°，即CE⊥BG， ∴四边形BCGE是垂美四边形； ②解：∵四边形BCGE是垂美四边形， ∴由（1）得：CG2+BE2＝CB2+GE2， ∵AC＝4，AB＝5， ∴BC＝＝＝3， ∵正方形ACFG和正方形ABDE， ∴CG＝AC＝4，BE＝AB＝5， ∴GE2＝CG2+BE2﹣CB2＝（4）2+（5）2﹣32＝73， ∴GE＝． 12．阅读理解：如图1，若一个四边形的两条对角线互相垂直，则称这个四边形为垂美四边形． （1）概念理解：如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由； （2）性质探究：如图1，试在垂美四边形ABCD中探究AB2，CD2，AD2，BC2之间的关系，并说明理由； （3）解决问题：如图3，分别以Rt△ABC的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连结CE、BG、GE、CE交BG于点N，交AB于点M．已知AC＝，AB＝2，求GE的长． 【答案】（1）四边形ABCD是垂直四边形，理由见解析；（2）AB2+CD2＝AD2+BC2，见解析；（3） 【解析】解：（1）如图2，四边形ABCD是垂直四边形； 理由如下： 连接AC、BD交于点E， ∵AB＝AD， ∴点A在线段BD的垂直平分线上， ∵CB＝CD， ∴点C在线段BD的垂直平分线上， ∴直线AC是线段BD的垂直平分线， ∴AC⊥BD，即四边形ABCD是垂美四边形； （2）猜想结论：AB2+CD2＝AD2+BC2， 证明：如图1，在四边形ABCD中， ∵AC⊥BD， ∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°， 由勾股定理得：AB2+CD2＝AO2+BO2+OD2+OC2AD2+BC2＝AO2+BO2+OD2+OC2 ∴AB2+CD2＝AD2+BC2， （3）如图3，连接CG，BE， ∵∠CAG＝∠BAE＝90°， ∴∠CAG+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠GAB＝∠CAE， 在△GAB和△CAE中， ∴△GAB≌△CAE（SSS）， ∴∠ABG＝∠AEC， ∵∠AEC+∠AME＝90°， ∴∠ABG+∠BMN＝90°， ∴∠BNC＝90°，即BG⊥CE， ∴四边形CGEB是垂美四边形， 由（2）得：EG2+BC2＝CG2+BE2 ∵，AB＝2， ∴BC＝1，，， ∴EG2＝CG2+BE2﹣BC2＝6+8﹣2＝13， ∴． 13．连接四边形不相邻两个顶点的线段叫做四边形的对角线，如图1，四边形ABCD中线段AC、线段BD就是四边形ABCD 的对角线.把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． （1）概念理解：如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由． （2）性质探究：试探索垂美四边形ABCD两组对边AB，CD的平方和与BC，AD的平方和之间的数量关系． 猜想结论：（要求用文字语言叙述） 写出证明过程（先画出图形，写出已知、求证）． （3）问题解决：如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG，GE，已知AC=4，AB=5，求GE长． 【答案】（1）是，理由见解析；（2）垂美四边形的两组对边的平方和相等；（3） 【解析】（1）四边形ABCD是垂美四边形. 理由：如图，连接AC，BD， ∵AB=AD， ∴点A在线段BD的垂直平分线上, ∵CB=CD， ∴点C在线段BD的垂直平分线上， ∴直线AC是线段BD的垂直平分线， ∴AC⊥BD，即四边形ABCD是垂美四边形； （2）猜想结论：垂美四边形的两组对边的平方和相等， 如图， 已知四边形ABCD中，AC⊥BD，垂足为E， 求证：AD2+BC2=AB2+CD2 证明：∵AC⊥BD, ∴∠AED=∠AEB=∠BEC=∠CED=90º， 由勾股定理得,AD2+BC2=AE2+DE2+BE2+CE2， AB2+CD2=AE2+BE2+CE2+DE2， ∴AD2+BC2=AB2+CD2； （3）如图，连接CG、BE， ∵∠CAG=∠BAE=90º， ∴∠CAG+∠BAC=∠BAE+∠BAC，即∠GAB=∠CAE， 在△GAB和△CAE中， AG=AC∠GAB=∠CAEAB=AE， ∴△GAB≌△CAE， ∴∠ABG=∠AEC,又∠AEC+∠AME=90º， ∴∠ABG+∠AME=90º，即CE⊥BG， ∴四边形CGEB是垂美四边形， 由(2)得,CG2+BE2=CB2+GE2， ∵AC=4，AB=5， ∴BC=3,CG=4,BE=5， ∴GE2=CG2+BE2 –CB2=73， ∴GE=. 14．定义，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． 概念理解：如图①，在四边形ABCD中，如果AB=AD，CB=CD，那么四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由． 性质探究：如图②，垂美四边形ABCD两组对边AB、CD与BC、AD之间有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给出证明． 问题解决：如图③，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG 和正方形ABDE，连结CE、BG、GE．若AC=2，AB=5，则①求证：△AGB≌△ACE； ②GE= ． 【答案】（1）是；（2）AB2+CD2=BC2+AD2；（3）①证明见解析；② ． 【解析】概念理解：四边形ABCD是垂美四边形．理由如下： ∵AB=AD，∴点A在线段BD的垂直平分线上． ∵CB=CD，∴点C在线段BD的垂直平分线上，∴直线AC是线段BD的垂直平分线，∴AC⊥BD，即四边形ABCD是垂美四边形； 性质探究：AD2+BC2=AB2+CD2．理由如下： 如图2，已知四边形ABCD中，AC⊥BD，垂足为E． ∵AC⊥BD，∴∠AED=∠AEB=∠BEC=∠CED=90°，由勾股定理得：AD2+BC2=AE2+DE2+BE2+CE2，AB2+CD2=AE2+BE2+CE2+DE2，∴AD2+BC2=AB2+CD2； 问题解决：①连接CG、BE，如图3所示： ∵∠CAG=∠BAE=90°，∴∠CAG+∠BAC=∠BAE+∠BAC，即∠GAB=∠CAE． 在△GAB和△CAE中，∵AG=AC，∠GAB=∠CAE，AB=AE，∴△AGB≌△ACE（SAS）； ②∵△AGB≌△ACE，∴∠ABG=∠AEC． 又∵∠AEC+∠AME=90°，∴∠ABG+∠AME=90°，即CE⊥BG，∴四边形CGEB是垂美四边形，由（2）得：CG2+BE2=CB2+GE2． ∵AC=2，AB=5，∴BC=，CG=2，BE=5，∴GE2=CG2+BE2﹣CB2=37，∴GE=． 故答案为． 15．阅读理解：如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．垂美四边形有如下性质： 垂美四边形的两组对边的平方和相等． 已知：如图1，四边形ABCD是垂美四边形，对角线AC、BD相交于点E． 求证：AD2+BC2=AB2+CD2 证明：∵四边形ABCD是垂美四边形 ∴AC⊥BD， ∴∠AED=∠AEB=∠BEC=∠CED=90°， 由勾股定理得，AD2+BC2=AE2+DE2+BE2+CE2， AB2+CD2=AE2+BE2+CE2+DE2， ∴AD2+BC2=AB2+CD2． 拓展探究： （1）如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由． （2）如图3，在Rt△ABC中，点F为斜边BC的中点，分别以AB，AC为底边，在Rt△ABC外部作等腰三角形ABD和等腰三角形ACE，连接FD，FE，分别交AB，AC于点M，N．试猜想四边形FMAN的形状，并说明理由； 问题解决： 如图4，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG，GE，已知AC=4，AB=5．求GE长． 【答案】拓展探究：（1）四边形ABCD是垂美四边形，理由详见解析；（2）四边形FMAN是矩形，理由详见解析；问题解决：. 【解析】拓展探究：（1）四边形ABCD是垂美四边形， 理由如下： ∵AB=AD， ∴点A在线段BD的垂直平分线上， ∵CB=CD， ∴点C在线段BD的垂直平分线上， ∴直线AC是线段BD的垂直平分线， ∴AC⊥BD，即四边形ABCD是垂美四边形． （2）四边形FMAN是矩形， 理由：如图3，连接AF， ∵Rt△ABC中，点F为斜边BC的中点， ∴AF=CF=BF， 又∵等腰三角形ABD和等腰三角形ACE， ∴AD=DB、AE=CE， ∴由（1）可得，DF⊥AB，EF⊥AC， 又∵∠BAC=90°， ∴∠AMF=∠MAN=∠ANF=90°， ∴四边形AMFN是矩形； 问题解决： 连接CG、BE， ∵∠CAG=∠BAE=90°， ∴∠CAG+∠BAC=∠BAE+∠BAC，即∠GAB=∠CAE， ∵在△GAB和△CAE中，AG=AC，∠GAB=∠CAE，AB=AE， ∴△GAB≌△CAE， ∴∠ABG=∠AEC， 又∠AEC+∠AME=90°， ∴∠ABG+∠AME=90°，即CE⊥BG， ∴四边形CGEB是垂美四边形， ∴CG2+BE2=CB2+GE2， ∵AC=4，AB=5， ∴BC=3，CG=，BE=， ∴GE2=CG2+BE2﹣CB2=73， ∴GE= 16．我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形. (1)【概念理解】在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，一定是垂美四边形的是 . (2)【性质探究】如图2，试探索垂美四边形ABCD的两组对边AB,CD与BC ，AD之间的数量关系，写出证明过程． (3)【问题解决】如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE,BG,GE, 已知AC=,BC=1 求GE的长. 【答案】菱形、正方形 【解析】（1）菱形的对角线互相垂直，符合垂美四边形的定义， 正方形的对角线互相垂直，符合垂美四边形的定义， 而平行四边形、矩形的对角线不一定垂直，不符合垂美四边形的定义， 故答案为菱形、正方形； （2）猜想结论：AD2+BC2=AB2+CD2，证明如下： 如图2，连接AC、BD，交点为E，则有AC⊥BD， ∵AC⊥BD， ∴∠AED=∠AEB=∠BEC=∠CED=90°， 由勾股定理得，AD2+BC2=AE2+DE2+BE2+CE2， AB2+CD2=AE2+BE2+CE2+DE2， ∴AD2+BC2=AB2+CD2； （3）连接CG、BE，设AB与CE的交点为M ∵∠CAG=∠BAE=90°， ∴∠CAG+∠BAC=∠BAE+∠BAC，即∠GAB=∠CAE， 又∵AG=AC,AB=AE， ∴△GAB≌△CAE(SAS)， ∴∠ABG=∠AEC， 又∠AEC+∠AME=90°，∠AME=∠BMC， ∴∠ABG+∠BMC=90°，即CE⊥BG， ∴四边形CGEB是垂美四边形， 由（2）得，CG2+BE2=CB2+GE2， ∵AC=,BC=1 ∴AB=2, ∴ , ∴ , ∴ , GE的长是. 真题再现 【2021·四川雅安】对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，则 ． 【答案】20 【解析】∵四边形ABCD是垂美四边形， ∴AC⊥BD， ∴∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠COD=90°， 由勾股定理得，AD2+BC2=AO2+DO2+BO2+CO2， AB2+CD2=AO2+BO2+CO2+DO2， ∴AD2+BC2=AB2+CD2， ∵AD=2，BC=4， ∴AD2+BC2=22+42=20， 故答案为：20. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$