第13讲　函数的零点与方程的解讲义-2026届高三数学一轮复习

第13讲　函数的零点与方程的解 一、知识梳理 1.函数的零点 (1)函数零点的定义:对于一般函数y=f(x),我们把使f(x)=0的　　　　　叫作函数y=f(x)的零点.  (2)等价关系：方程f(x)=0有实数解⇔函数y=f(x)的图象与　　　有交点⇔函数y=f(x)有　　　　.  (3)函数零点存在定理：如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,且有　　　　　　　,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内　　　　　　零点,即存在c∈(a,b),使得　　　　　,这个c也就是方程f(x)=0的解.  (4)二分法:对于在区间[a,b]上图象连续不断且　　　　　　　　的函数y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间　　　　　　,使所得区间的两个端点逐步逼近　　　　,进而得到零点近似值的方法叫作二分法.  2.二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与零点的关系 二、核心原则‌ ‌零点存在性定理‌ ‌关键点‌：需验证函数连续性和区间端点符号。 ‌零点个数与函数性质‌ （1）‌单调函数‌：至多一个零点（若f(a)⋅f(b)<0f(a)⋅f(b)<0则唯一）。 （2）‌非单调函数‌：结合极值、周期性等分析零点分布。 ‌解题思想‌ （1）‌数形结合‌：通过函数图象分析零点个数及分布。 （2）‌转化与化归‌：将复杂方程转化为简单函数交点问题。 （3）‌分类讨论‌：针对参数范围分段讨论零点情况。 三、常见题型分类与解题策略‌ ‌题型1：判断零点所在区间‌ ‌策略‌：（1）计算区间端点函数值。（2）结合函数单调性确定唯一性。 【例1】函数的零点所在区间是（   ） A． B． C． D．. 【详解】由指数函数、幂函数的单调性可知：在上单调递减，在单调递增， 所以在定义域上单调递减， 显然， 所以根据零点存在性定理可知的零点位于. 故选：B. ‌题型2：求零点个数‌ ‌策略‌：‌直接法‌；‌图象法‌：‌导数法‌：分析极值点与函数趋势。 【例2】设定义域为的函数，则关于的函数的零点的个数为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7. 【详解】方程的解为或，作出的图象，由图象可知零点的个数为6． 故选：C. ‌题型3：根据零点个数求参数‌ ‌策略‌：（1）‌分离参数‌： （2）‌数形结合‌：画函数与水平线交点，确定参数范围。 【例3】若函数与直线恰有三个交点，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【详解】画出的图象， 由图象可知a的范围是. 故选：D. ‌题型4：嵌套函数零点问题‌ ‌策略‌：（1）‌换元法‌：设中间变量t=g(x)t=g(x)，分解为内外层函数求解。 （2）‌图象法‌：分析复合函数交点。 【例4】已知函数，则函数的零点为（    ） A．1 B．0 C．e D． 【详解】由可得， 由可得，，解得. 故选：C. ‌题型5：二分法求近似解‌ ‌策略‌：（1）确定初始区间。（2）迭代取中点，缩小区间至满足精度。 【例5】用二分法求函数在内的零点近似值，若精确度要求为，则需重复相同步骤的次数至少为（    ） A． B． C． D． 【详解】解：原始区间长度为， 第一次，区间长度减半，为， 第二次，区间长度减半，为， 第三次，区间长度减半，为， 第四次，区间长度减半，为， 故至少需要重复四次. 故选：B. ‌题型6：零点分布与参数范围‌ ‌策略‌：（1）‌区间分析法‌：结合端点值、极值点列不等式。 （2）‌二次函数判别式‌：适用于含参二次方程。 【例6】函数在区间内有零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【详解】当时，由可得， 令， 因为函数、在上均为增函数， 故函数在上为增函数， 因为函数在区间内有零点，则函数在区间内有零点， 所以，，解得， 因此，实数的取值范围是. 故选：D. ‌题型7：零点之和/积问题‌ ‌策略‌：（1）‌对称性‌：利用函数对称轴或反函数性质求和。（2）‌韦达定理‌：适用于多项式函数零点。 【例7】函数的所有零点之和为（    ） A．0 B．-1 C． D．2 【详解】由零点定义可知，函数的零点，就是方程的实数根，令， 则，显然，所以， 构造函数与函数，则方程的根， 可转化为两个函数图象的交点问题，根据图象可知，两个函数图象相交于两点， 所以此方程有两个实数根，即函数有两个零点， 设为，所以，， 即， 另外发现，将代入，可得， 所以也是函数的零点，说明，即. 故选:A. 四典例欣赏 【例8】已知函数f(x)=|ex-3|,关于x的方程[f(x)]2+2mf(x)+m2-1=0恰有3个不同的实数解,则实数m的取值范围是{m|m=-1或-4<m≤-2}. 【详解】作出f(x)=|ex-3|的图象,如图所示. 因为[f(x)]2+2mf(x)+m2-1=0,所以[f(x)+(m+1)][f(x)+(m-1)]=0, 解得f(x)=-m+1或f(x)=-m-1, 由题意知,f(x)与y=-m+1和y=-m-1的图象共3个公共点, 由图可知需满足-m-1=0或 可得m=-1或-4<m≤-2, 所以m的取值范围为{m|m=-1或-4<m≤-2}. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第13讲　函数的零点与方程的解 一、知识梳理 1.函数的零点 (1)函数零点的定义:对于一般函数y=f(x),我们把使f(x)=0的　　　　　叫作函数y=f(x)的零点.  (2)等价关系：方程f(x)=0有实数解⇔函数y=f(x)的图象与　　　有交点⇔函数y=f(x)有　　　　.  (3)函数零点存在定理：如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,且有　　　　　　　,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内　　　　　　零点,即存在c∈(a,b),使得　　　　　,这个c也就是方程f(x)=0的解.  (4)二分法:对于在区间[a,b]上图象连续不断且　　　　　　　　的函数y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间　　　　　　,使所得区间的两个端点逐步逼近　　　　,进而得到零点近似值的方法叫作二分法.  2.二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与零点的关系 二、核心原则‌ ‌零点存在性定理‌ ‌关键点‌：需验证函数连续性和区间端点符号。 ‌零点个数与函数性质‌ （1）‌单调函数‌：至多一个零点（若f(a)⋅f(b)<0f(a)⋅f(b)<0则唯一）。 （2）‌非单调函数‌：结合极值、周期性等分析零点分布。 ‌解题思想‌ （1）‌数形结合‌：通过函数图象分析零点个数及分布。 （2）‌转化与化归‌：将复杂方程转化为简单函数交点问题。 （3）‌分类讨论‌：针对参数范围分段讨论零点情况。 三、常见题型分类与解题策略‌ ‌题型1：判断零点所在区间‌ ‌策略‌：（1）计算区间端点函数值。（2）结合函数单调性确定唯一性。 【例1】函数的零点所在区间是（   ） A． B． C． D．. ‌题型2：求零点个数‌ ‌策略‌：‌直接法‌；‌图象法‌：‌导数法‌：分析极值点与函数趋势。 【例2】设定义域为的函数，则关于的函数的零点的个数为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7. ‌题型3：根据零点个数求参数‌ ‌策略‌：（1）‌分离参数‌： （2）‌数形结合‌：画函数与水平线交点，确定参数范围。 【例3】若函数与直线恰有三个交点，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． ‌题型4：嵌套函数零点问题‌ ‌策略‌：（1）‌换元法‌：设中间变量t=g(x)t=g(x)，分解为内外层函数求解。 （2）‌图象法‌：分析复合函数交点。 【例4】已知函数，则函数的零点为（    ） A．1 B．0 C．e D． ‌题型5：二分法求近似解‌ ‌策略‌：（1）确定初始区间。（2）迭代取中点，缩小区间至满足精度。 【例5】用二分法求函数在内的零点近似值，若精确度要求为，则需重复相同步骤的次数至少为（    ） A． B． C． D． ‌题型6：零点分布与参数范围‌ ‌策略‌：（1）‌区间分析法‌：结合端点值、极值点列不等式。 （2）‌二次函数判别式‌：适用于含参二次方程。 【例6】函数在区间内有零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． ‌题型7：零点之和/积问题‌ ‌策略‌：（1）‌对称性‌：利用函数对称轴或反函数性质求和。（2）‌韦达定理‌：适用于多项式函数零点。 【例7】函数的所有零点之和为（    ） A．0 B．-1 C． D．2 四、典例欣赏 【例8】已知函数f(x)=|ex-3|,关于x的方程[f(x)]2+2mf(x)+m2-1=0恰有3个不同的实数解,则实数m的取值范围是_____________ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$