第12讲　函数的图象讲义-2026届高三数学一轮复习

第12讲　函数的图象 一、知识梳理 1.利用描点法作函数图象的方法步骤 2、图象变换 常用结论 1.记住几个重要结论 (1)函数y=f(x)与y=f(2a-x)的图象关于直线x=a对称. (2)函数y=f(x)与y=2b-f(2a-x)的图象关于点(a,b)对称. (3)若函数y=f(x)对定义域内任意自变量x都满足:f(a+x)=f(a-x),则函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称. 2.图象的左、右平移仅仅是相对于x而言,如果x的系数不是1,常需把系数提出来,再进行变换. 3.图象的上、下平移仅仅是相对于y而言的,利用“上加下减”进行. 二、核心原则‌ ‌图象的表示方法‌ （1）‌描点法‌：适用于已知函数解析式，通过关键点（如零点、极值点）绘制图象。 （2）‌变换法‌：通过平移（左加右减、上加下减）、对称（关于x轴、y轴、原点）、伸缩（横向/纵向缩放）等变换，由基本函数（如一次、二次、指数、对数函数）图象生成目标图象。 ‌图象识别要点‌ （1）‌定义域与值域‌：确定图象的横向和纵向范围。 （2）‌单调性‌：上升/下降趋势反映函数的增减性。 （3）‌奇偶性‌：对称性（偶函数关于y轴对称，奇函数关于原点对称）。 （4）‌周期性‌：重复性特征（如三角函数）。 ‌解题核心思想‌ （1）‌数形结合‌：通过图象分析函数性质（单调性、极值、零点等）。 （2）‌动态变换‌：理解平移、对称、伸缩对解析式的影响。 （3）‌分段处理‌：对分段函数逐段作图并拼接。 三、常见题型分类与解题策略‌ ‌题型1：作函数图象‌ ‌解题策略‌：‌步骤‌：确定定义域→分析性质（奇偶性、单调性）→选取关键点→描点连线。 【例1】已知函数. (1)请画出函数的图象，并求的解集； (2)，，求的最大值. 【详解】（1）∵，∴. 函数图象如右所示： 由图可知的解集为. （2）由（1）知，的图象与轴交点的纵坐标为， 且各部分所在直线斜率的最小值为， 故当且仅当，时，恒成立， 此时有最大值. 即的最大值是. ‌题型2：函数图象识别‌ ‌解题策略‌：（1）‌排除法‌：根据定义域、奇偶性排除错误选项。 （2）‌特征点验证‌：如f(0)f(0)、f(1)f(1)等特殊值是否匹配。 【例2】函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【详解】由，且定义域为R，所以为奇函数，排除A、B； ，排除D. 故选：C. ‌题型3：根据图象选解析式‌ ‌解题策略‌：观察图象特征（如渐近线、周期性、对称性）反向匹配解析式。 【例2】已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（    ）． A． B． C． D． 【详解】对于A， 在处无意义，故A错误； 对于B：的定义域为，故B错误； 对于C：的定义域为， 且，则为偶函数，故C错误； 对于D，满足图中要求，故D正确. 故选：D. ‌题型4：图象变换‌ ‌解题策略‌：（1）‌平移‌：（2）‌伸缩‌： 【例3】函数的图象可看作是由函数的图象向左平移1个单位长度后得到的，则的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【详解】因为，所以，其定义域为， 且，所以为偶函数，故排除BC； 又时，， 当时，，故排除A， 故选：D. ‌题型5：实际问题的函数图象‌ ‌解题策略‌：建立变量关系式（如路程-时间、面积-边长），分段分析动态过程。 【例4】如图所示，动点在边长为1的正方形的边上沿运动，表示动点由A点出发所经过的路程，表示的面积，则函数的大致图像是（    ）． A． B． C． D． 详解】当时，，是一条过原点的线段； 当时，，是一段平行于轴的线段； 当时，，图象为一条线段. 故选：A． ‌题型6：利用图象研究性质‌ ‌解题策略‌：（1）‌单调性‌：观察上升/下降区间。（2）‌极值‌：图象的峰谷点对应极大/极小值。 【例5】函数的图象如图所示，其单调递增区间是（    ）    A． B． C． D． 【详解】由题图可知，函数的单调递增区间为. 故选：C. ‌题型7：图象解方程/不等式‌ ‌解题策略‌：（1）‌零点问题‌：图象与x轴交点的横坐标。（2）‌不等式‌：比较函数图象与直线的上下关系。 【例6】已知函数，则函数的零点个数为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【详解】由题意，令，解得或， 作出的图象，如图，    由图可知，直线与图象有3个交点， 直线与图象有4个交点， 所以原方程有7个解， 即函数有7个零点. 故选：C. ‌题型8：图象求参数范围‌ ‌解题策略‌：结合交点个数、切线条件等分析参数临界值。 【例7】已知函数，若函数恰有3个零点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【详解】若函数恰有3个零点， 即函数与的图象有3个交点， ， 当时，，当时，， 函数的图象如下， 结合图象可得. 故选：A. 四、典例欣赏 【例8】(多选题)如图所示,在平面直角坐标系xOy中放置着边长为2的正方形ABCD,该正方形沿x轴滚动(无滑动滚动),点D恰好经过坐标原点,设顶点B(x,y)的轨迹方程是y=f(x),则 ( AC ) A.方程f(x)=2在[-3,9]上有三个根 B.f(-x)=-f(x) C.f(x)在[6,8]上单调递增 D.对任意x∈R,都有f(x+4)=- 【详解】当-4≤x≤-2时,B的轨迹是以(-2,0)为圆心,2为半径的圆的; 当-2≤x≤2时,B的轨迹是以(0,0)为圆心,2为半径的圆的; 当2≤x≤4时,B的轨迹是以(2,0)为圆心,2为半径的圆的; 当4≤x≤6时,B的轨迹是以(6,0)为圆心,2为半径的圆的…… 作出函数f(x)的部分图象,如图所示. 由图知,函数y=f(x)的图象与直线y=2在[-3,9]上有三个交点, 即方程f(x)-2=0在[-3,9]上有三个根,故A正确; 函数y=f(x)的图象关于y轴对称,所以函数y=f(x)是偶函数,故B错误; 函数f(x)在[6,8]上单调递增,故C正确; 由图知,f(2)=2,f(-2)=2,f(2)≠-,故D错误.故选AC. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第12讲　函数的图象 一、知识梳理 1.利用描点法作函数图象的方法步骤 2、图象变换 常用结论 1.记住几个重要结论 (1)函数y=f(x)与y=f(2a-x)的图象关于直线x=a对称. (2)函数y=f(x)与y=2b-f(2a-x)的图象关于点(a,b)对称. (3)若函数y=f(x)对定义域内任意自变量x都满足:f(a+x)=f(a-x),则函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称. 2.图象的左、右平移仅仅是相对于x而言,如果x的系数不是1,常需把系数提出来,再进行变换. 3.图象的上、下平移仅仅是相对于y而言的,利用“上加下减”进行. 二、核心原则‌ ‌图象的表示方法‌ （1）‌描点法‌：适用于已知函数解析式，通过关键点（如零点、极值点）绘制图象。 （2）‌变换法‌：通过平移（左加右减、上加下减）、对称（关于x轴、y轴、原点）、伸缩（横向/纵向缩放）等变换，由基本函数（如一次、二次、指数、对数函数）图象生成目标图象。 ‌图象识别要点‌ （1）‌定义域与值域‌：确定图象的横向和纵向范围。 （2）‌单调性‌：上升/下降趋势反映函数的增减性。 （3）‌奇偶性‌：对称性（偶函数关于y轴对称，奇函数关于原点对称）。 （4）‌周期性‌：重复性特征（如三角函数）。 ‌解题核心思想‌ （1）‌数形结合‌：通过图象分析函数性质（单调性、极值、零点等）。 （2）‌动态变换‌：理解平移、对称、伸缩对解析式的影响。 （3）‌分段处理‌：对分段函数逐段作图并拼接。 三、常见题型分类与解题策略‌ ‌题型1：作函数图象‌ ‌解题策略‌：‌步骤‌：确定定义域→分析性质（奇偶性、单调性）→选取关键点→描点连线。 【例1】已知函数. (1)请画出函数的图象，并求的解集； (2)，，求的最大值. ‌题型2：函数图象识别‌ ‌解题策略‌：（1）‌排除法‌：根据定义域、奇偶性排除错误选项。 （2）‌特征点验证‌：如f(0)f(0)、f(1)f(1)等特殊值是否匹配。 【例2】函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． ‌题型3：根据图象选解析式‌ ‌解题策略‌：观察图象特征（如渐近线、周期性、对称性）反向匹配解析式。 【例2】已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（    ）． A． B． C． D． ‌题型4：图象变换‌ ‌解题策略‌：（1）‌平移‌：（2）‌伸缩‌： 【例3】函数的图象可看作是由函数的图象向左平移1个单位长度后得到的，则的图象大致为（    ） A． B． C． D． ‌题型5：实际问题的函数图象‌ ‌解题策略‌：建立变量关系式（如路程-时间、面积-边长），分段分析动态过程。 【例4】如图所示，动点在边长为1的正方形的边上沿运动，表示动点由A点出发所经过的路程，表示的面积，则函数的大致图像是（    ）． A． B． C． D． ‌题型6：利用图象研究性质‌ ‌解题策略‌：（1）‌单调性‌：观察上升/下降区间。（2）‌极值‌：图象的峰谷点对应极大/极小值。 【例5】函数的图象如图所示，其单调递增区间是（    ）    A． B． C． D． ‌题型7：图象解方程/不等式‌ ‌解题策略‌：（1）‌零点问题‌：图象与x轴交点的横坐标。（2）‌不等式‌：比较函数图象与直线的上下关系。 【例6】已知函数，则函数的零点个数为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 ‌题型8：图象求参数范围‌ ‌解题策略‌：结合交点个数、切线条件等分析参数临界值。 【例7】已知函数，若函数恰有3个零点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 四、典例欣赏 【例8】(多选题)如图所示,在平面直角坐标系xOy中放置着边长为2的正方形ABCD,该正方形沿x轴滚动(无滑动滚动),点D恰好经过坐标原点,设顶点B(x,y)的轨迹方程是y=f(x),则 ( AC ) A.方程f(x)=2在[-3,9]上有三个根 B.f(-x)=-f(x) C.f(x)在[6,8]上单调递增 D.对任意x∈R,都有f(x+4)=- 1 学科网（北京）股份有限公司 $$