河北正定中学2025-2026学年高三上学期开学考试数学试题

2025～2026学年高三开学摸底考试 数学试题 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上. 2．作答时，将答案写在答题卡上对应的答题区域内．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3．考试结束后，本试题卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 数据5.2，7.1，8.1，8.3，8.5，8.6，8.8，9.1的第75百分位数为（ ） A. 8.5 B. 8.6 C. 8.7 D. 8.8 2. 若复数在复平面内对应的点在第四象限，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 4. 设且，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 在中，若，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知A，B，F分别是椭圆的右顶点，上顶点和右焦点，若过A，B，F三点的圆恰与y轴相切，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 7. 设是等差数列的前n项和，是数列的前n项和.若，则等于（ ） A. 49 B. 50 C. 51 D. 52 8. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 数列为等差数列，为其前项和，已知，则（ ） A. B. C. D. 当或时，最大 10. 已知函数，则（ ） A. 在上单调递减 B. 是函数的极小值点 C. 只有最大值，无最小值 D. 当时，有三个零点 11. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，且，虚轴长为，过且斜率为k的直线l交双曲线C的右支于M，N两点（其中点M在第一象限内），则（ ） A. 双曲线C的方程为 B. 当时， C. 若，则的面积为 D. 当时，的内切圆半径为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，与共线，则_____________. 13. 若函数的最小值为2，则实数a的值是__________. 14. 在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形，PA＝AB＝2，点E，F分别为CD，CP的中点，点T为△PAB内的一个动点(包括边界)，若CT∥平面，则点T的轨迹的长度为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求的最小正周期和最大值；以及取最大值时相应的值； （2）讨论在上的单调性. 16. 已知椭圆的离心率为，且过点． （1）求的方程； （2）若斜率为的直线与轴交于点，与交于，两点，证明：为定值． 17. 如图，已知四棱锥，底面ABCD为梯形，，，，且平面平面ABCD，已知，． （1）证明：平面PBC； （2）若，，求直线AM与平面PAB所成角的正弦值． 18. 已知函数． （1）当时，求函数的单调区间； （2）当时，若函数有2个不同的零点，． （ⅰ）求a的取值范围； （ⅱ）证明：． 19. 在三维空间中，立方体的坐标可用三维坐标表示，其中．而在n维空间中，以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为n维坐标，其中．现有如下定义：在n维空间中两点间的曼哈顿距离为两点与坐标差的绝对值之和，即为．回答下列问题： （1）求出n维“立方体”的顶点数； （2）在n维“立方体”中任取两个不同顶点，记随机变量X为所取两点间的曼哈顿距离 ①求出X的分布列与期望； ②证明：在n足够大时，随机变量X的方差小于． 2025～2026学年高三开学摸底考试 数学试题 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上. 2．作答时，将答案写在答题卡上对应的答题区域内．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3．考试结束后，本试题卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】A 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 【9题答案】 【答案】AB 【10题答案】 【答案】AD 【11题答案】 【答案】BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】1 【14题答案】 【答案】 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 【15题答案】 【答案】（1），最大值为， （2）单调增区间为，单调减区间为 【16题答案】 【答案】（1） （2）证明：设，则直线l的方程为， 与联立，得， 则，且， 所以 ， 故为定值． 【17题答案】 【答案】（1）证明：取PC上的点N，使， 则， 所以四边形ABNM为平行四边形，所以， 又平面PBC，不在平面PBC内，所以平面PBC． （2） 【18题答案】 【答案】（1）单调递增区间为，无单调递减区间 （2）（ⅰ）； （ⅱ）证明：由（ⅰ）知：，， ∴，， ∴，则， 不妨设， 要证，则需证， ∵，∴，∴，则只需证， 令，则只需证时，恒成立， 令， ∴， ∴在上单调递增，∴， ∴当时，恒成立， ∴原不等式得证． 【19题答案】 【答案】（1） （2）① 1 2 … … ； ②当n足够大时，． 设正态分布，正态分布曲线为， 由定义知该正态分布期望为，方差为． 设题中分布列所形成的曲线为． 则当与均在处取最大值，若当时， 且，则可认为方差． I．：当时，有，即． II．，    ， 当n足够大时，有 当时，， 当时，，故． 综上所述，可以认为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $