精品解析：广东省韶关市浈江区行之实验学校2024-2025 学年下学期九年级中考二模数学学科试卷

行之实验学校 2024-2025 学年度第二学期九年级校二模数学学科试卷 本试卷共4页，23小题，满分120分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的准考证号、姓名、考场号和座位号填写在答题卡上．用2B铅笔在“考场号”和“座位号”栏相应位置填涂自己的考场号和座位号．将条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案：不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1. 中国人很早开始使用负数，中国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数.如果收入100元记作+100元.那么﹣80元表示（　　） A. 支出20元 B. 收入20元 C. 支出80元 D. 收入80元 2. 下列常见的化学仪器中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 为了高质量推动国家公园建设，2022年国家林草局、财政部、自然资源部、生态环境部近日联合印发《国家公园空间布局方案》，遴选出49个国家公园候选区，总面积约万平方公里．“万”用科学记数法表示为( ) A. B. C. D. 4. 如图，足球的黑色图形是一个正五边形，正五边形每个内角的度数为( ) A. B. C. D. 5. 若在实数范围内有意义，则的取值范围在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 中国象棋文化历史久远，在图中所示的部分棋盘中，“馬”的位置在“”（图中虚线）的下方，“馬”移动一次能够到达的所有位置已用“●”标记，则“馬”随机移动一次，到达的位置在“”上方的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB//CF，∠F=∠ACB=90°，则∠DBC的度数为( ) A. 10° B. 15° C. 18° D. 30° 8. 在平面直角坐标系中，点坐标为，以点为圆心，以的长为半径画弧，交轴的负半轴于点，则点的横坐标为（ ） A. B. C. D. 9. 直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将如图那样折叠，使点与点重合，折痕为，则的值是（　　） A. B. C. D. 10. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，现给出以下结论：①；②③；④（为实数）；⑤．其中错误的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、 填空题（本大题共计5小题 ，每题3分，共计15分） 11. 写出一个可以用完全平方公式进行因式分解且只含有和的多项式___________． 12. 已知实数、满足，若关于的一元二次方程的两个实数根分别为、，则＋－的值为_____________． 13. 抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一．如示意图，分别与相切于点C，D，延长交于点P．若，的半径为，则图中的长为________．（结果保留） 14. 如图，在中，，分别以点A、B为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧分别交于点M、N，作直线交点D；以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于点E、F，再分别以点E、F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线，此时射线恰好经过点D，则_____度． 15. 如图，在中，，点P是平面内一个动点，且，Q为的中点，在P点运动过程中，设线段的长度为m，则m的取值范围是__________． 三、解答题（一）（本大题共计3小题，每题 8分，共计24分） 16. 先化简，再求值：，其中． 17. 如图，在中，，点是的中点，点在上，求证：是等腰三角形． 18. 为了响应国家“双减”政策，某校对九年级部分学生周一至周五完成课后作业时间的情况进行了抽样调查．现根据调查结果绘制了如下不完整的频数分布表： 类型 频数 频率 完成作业的时间 请根据以上图表信息解答下列问题： （1）统计表中的_________，______． （2）请根据频数分布表写出本次抽查的中位数和众数在哪个范围内？ （3）若该校九年级共有名学生，请你估计九年级约有多少名学生完成作业的时间不少于2小时． 四、 解答题（二）（本大题共计3小题，每题9分，共计27分） 19. RtABC在直角坐标系内的位置如图所示，反比例函数y＝（k≠0）在第一象限内的图象与BC边交于点D(4，1)，与AB边交于点E(2，n)． （1）求反比例函数的解析式和n值； （2）当时，求直线AB的解析式． 20. 习近平总书记指出：“植树造林是实现天蓝地绿、水净的重要途径，是最普惠的民生工程．”据林业专家分析，树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的一些悬浮颗粒物，具有滞尘净化空气的作用，已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶 一年的平均滞尘量的倍少毫克． （1）若一年滞尘毫克所需的银杏树叶的片数与一年滞尘毫克所需的国槐树叶的片数相同，分别求一片国槐树叶和一片银杏树叶一年的平均滞尘量． （2）某公园打算种一批国槐树和银杏树共棵，据估计这批树中，一棵国槐树约有片树叶，一棵银杏树约有片树叶，如果想让这批树一年的滞尘总量至少为千克，那么最多种植多少棵国槐树？千克毫克 21. 如图，已知中，D是的中点，过点D作交于点E，过点A作交于点F，连接、． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求的长． 五、 解答题（三）（本大题共计2小题，每题12分，共计24分） 22. 如图，在⊙O中，AB为直径，OC⊥AB，弦CD与OB交于点F，在AB的延长线上有一点E，且EF=ED． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若tanA=，探究线段AB和BE之间的数量关系，并证明； （3）在（2）的条件下，若OF=1，求⊙O的半径和CD的长． 23. 如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线是常数交于、两点，点在轴上，点在轴上．设抛物线与轴的另一个交点为点． （1）求该抛物线的解析式； （2）是抛物线上一动点不与点、重合， ①如图，若点在直线上方，连接交于点，求的最大值； ②如图，若点在轴的上方，连接，以为边作正方形，随着点的运动，正方形的大小、位置也随之改变．当顶点或恰好落在轴上，直接写出对应的点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 行之实验学校 2024-2025 学年度第二学期九年级校二模数学学科试卷 本试卷共4页，23小题，满分120分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的准考证号、姓名、考场号和座位号填写在答题卡上．用2B铅笔在“考场号”和“座位号”栏相应位置填涂自己的考场号和座位号．将条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案：不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1. 中国人很早开始使用负数，中国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数.如果收入100元记作+100元.那么﹣80元表示（　　） A. 支出20元 B. 收入20元 C. 支出80元 D. 收入80元 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵根据题意可得：“+”表示收入，“-”表示支出， ∴-80元表示支出80元． 故选C． 2. 下列常见的化学仪器中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：B，C，D选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形， A选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 故选：A． 3. 为了高质量推动国家公园建设，2022年国家林草局、财政部、自然资源部、生态环境部近日联合印发《国家公园空间布局方案》，遴选出49个国家公园候选区，总面积约万平方公里．“万”用科学记数法表示为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值等于小数点移动的位数． 【详解】解：万， 故选：C． 4. 如图，足球的黑色图形是一个正五边形，正五边形每个内角的度数为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查正多边形内角的计算，熟练掌握多边形的内角和计算公式及正多边形关于内角的性质是解题的关键．先求出正五边形的内角和，再根据正五边形的每个内角都相等求解即可． 【详解】解：正五边形的内角和为：， 每一内角的度数为：． 故选：B． 5. 若在实数范围内有意义，则的取值范围在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，解题的关键是熟练地掌握二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数可得，再解不等式，进而在数轴上表示不等式的解集，即可求解． 【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义， ∴， 解得： 在数轴上表示为： 故选：D． 6. 中国象棋文化历史久远，在图中所示的部分棋盘中，“馬”的位置在“”（图中虚线）的下方，“馬”移动一次能够到达的所有位置已用“●”标记，则“馬”随机移动一次，到达的位置在“”上方的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查概率的求法与运用，一般方法：如果一个事件有 n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种结果，那么事件的概率． 用“”（图中虚线）的上方的黑点个数除以所有黑点的个数即可求得答案． 【详解】解：观察“馬”移动一次能够到达的所有位置，即用“●”标记的有 8 处，位于“”（图中虚线）的上方的有 2 处， 所以“馬”随机移动一次，到达的位置在“”上方的概率是， 故选：B． 7. 一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB//CF，∠F=∠ACB=90°，则∠DBC的度数为( ) A. 10° B. 15° C. 18° D. 30° 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用三角板的特点，结合平行线的性质得出∠ABD=45°，进而得出答案． 【详解】解：由题意可得：∠EDF=45°，∠ABC=30°， ∵AB∥CF， ∴∠ABD=∠EDF=45°， ∴∠DBC=45°﹣30°=15°． 故选：B． 【点睛】本题考查的是平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质． 8. 在平面直角坐标系中，点坐标为，以点为圆心，以的长为半径画弧，交轴的负半轴于点，则点的横坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、坐标与图形，熟练掌握勾股定理是解题关键．先利用勾股定理可得，再根据点所在的位置即可得． 【详解】解：点坐标为， ， 以点为圆心，以的长为半径画弧，交轴的负半轴于点， ， 又点位于轴的负半轴， 点的横坐标为， 故选：D． 9. 直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将如图那样折叠，使点与点重合，折痕为，则的值是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了折叠的性质、勾股定理及正切的定义，求出相关线段的长度并能根据定义准确计算是正确解答此题的关键． 由折叠可得，设，则，根据勾股定理建立方程求出的长度，进而根据正切即可求解． 【详解】解： 根据题意得，，设，则． 在中，根据勾股定理得：， 即， 解得， 故， 故选C． 10. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，现给出以下结论：①；②③；④（为实数）；⑤．其中错误的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查图象与二次函数系数之间的关系；由抛物线的开口方向判断与的关系，由抛物线与y轴的交点判断与的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行一一分析判断． 【详解】解：①由抛物线开口向上，，抛物线与轴交点在轴下方，， 对称轴为：直线， ， ，故①正确； ②由对称轴可知：， ， 时，， ， ，故②正确； ③关于直线的对称点为， 时，，故③正确； ④当时，的最小值为， 时，， ， 即，故④错误； ⑤抛物线与轴有两个交点， ， 即， ，故⑤正确； 错误的个数只有个， 故选：A． 二、 填空题（本大题共计5小题 ，每题3分，共计15分） 11. 写出一个可以用完全平方公式进行因式分解且只含有和的多项式___________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，完全平方公式，根据完全平方公式写出一个多项式，即可求解． 【详解】解：依题意， 故答案为：（答案不唯一）． 12. 已知实数、满足，若关于的一元二次方程的两个实数根分别为、，则＋－的值为_____________． 【答案】5 【解析】 【分析】根据非负数的性质得出a=2，b=3，根据根与系数的关系可得x1+x2=2，x1•x2=3，整体代入即可求得． 【详解】解：∵实数a、b满足， ∴a=2，b=-3， ∵关于x的一元二次方程x2-ax+b=0的两个实数根分别为x1、x2， ∴x1+x2=a=2，x1•x2=b=-3， ∴， 故答案为：5． 【点睛】本题考查了非负数的性质以及一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系，解决本题的关键是熟练掌握一元二次方程根与系数的关系． 13. 抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一．如示意图，分别与相切于点C，D，延长交于点P．若，的半径为，则图中的长为________．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】连接OC、OD，利用切线的性质得到，根据四边形的内角和求得，再利用弧长公式求得答案． 【详解】连接OC、OD， ∵分别与相切于点C，D， ∴， ∵，， ∴， ∴的长=（cm）， 故答案为：． 【点睛】此题考查圆的切线的性质定理，四边形的内角和，弧长的计算公式，熟记圆的切线的性质定理及弧长的计算公式是解题的关键． 14. 如图，在中，，分别以点A、B为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧分别交于点M、N，作直线交点D；以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于点E、F，再分别以点E、F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线，此时射线恰好经过点D，则_____度． 【答案】32 【解析】 【分析】由作图可得MN是线段AB的垂直平分线，BD是∠ABC的平分线，根据它们的性质可得，再根据三角形内角和定理即可得解． 【详解】由作图可得，MN是线段AB的垂直平分线，BD是∠ABC的平分线， ∴AD=BD， ∴ ∴ ∵，且， ∴，即， ∴． 故答案为：32． 【点睛】本题考查了作图-复杂作图，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线的作法和角平分线的作法． 15. 如图，在中，，点P是平面内一个动点，且，Q为的中点，在P点运动过程中，设线段的长度为m，则m的取值范围是__________． 【答案】≤m≤ 【解析】 【分析】作AB的中点M，连接CM、QM，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及三角形的中位线定理求得QM和CM的长，然后在△CQM中根据三边关系即可求解． 【详解】解：作AB的中点M，连接CM、QM． 在以为圆心，为半径的圆上运动， 在直角△ABC中，AB＝， ∵M是直角△ABC斜边AB上的中点， ∴CM＝AB＝5． ∵Q是BP的中点，M是AB的中点， ∴MQ＝AP＝． ∴在△CMQ中，5−≤CQ≤＋5，即≤m≤． 故答案是：≤m≤． 【点睛】本题考查了三角形的中位线的性质，三角形三边长关系，勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，作圆，作AB的中点M，连接CM、QM，构造三角形，是解题的关键． 三、解答题（一）（本大题共计3小题，每题 8分，共计24分） 16. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式化简求值，负整数指数幂，零指数幂，解题关键是熟练运用分式运算法则进行求解．先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，最后根据负整数指数幂，零指数幂求得代入求值即可． 【详解】 ； 当，即时， 原式． 17. 如图，在中，，点是的中点，点在上，求证：是等腰三角形． 【答案】 证明：∵，是的中点， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和全等三角形的判定，解答本题的关键是证明，利用三线合一的性质进行证明．根据等腰三角形的三线合一，从而得出，根据证明，再得出，即可得证． 【详解】略 18. 为了响应国家“双减”政策，某校对九年级部分学生周一至周五完成课后作业时间的情况进行了抽样调查．现根据调查结果绘制了如下不完整的频数分布表： 类型 频数 频率 完成作业的时间 请根据以上图表信息解答下列问题： （1）统计表中的_________，______． （2）请根据频数分布表写出本次抽查的中位数和众数在哪个范围内？ （3）若该校九年级共有名学生，请你估计九年级约有多少名学生完成作业的时间不少于2小时． 【答案】（1）； （2）中位数“”范围内；众数在“”范围内 （3）名 【解析】 【分析】本题考查了频数分布表，中位数和众数的定义，样本估计总体； （1）根据类型的频数与频率求得总数，进而求得，的值； （2）根据中位数和众数的定义，结合频数分布表，即可求解； （3）根据样本估计总体，用乘以完成作业的时间不少于2小时的频率，即可求解． 【小问1详解】 解：总人数为： ∴， 故答案为：，． 【小问2详解】 解：由频数分布表可得： 第和第个数据在“”范围内； ∴中位数“”范围内； 类型的频数最大，为，即众数在“”范围内； 【小问3详解】 (人) 答：九年级约有名学生完成作业的时间不少于小时 四、 解答题（二）（本大题共计3小题，每题9分，共计27分） 19. RtABC在直角坐标系内的位置如图所示，反比例函数y＝（k≠0）在第一象限内的图象与BC边交于点D(4，1)，与AB边交于点E(2，n)． （1）求反比例函数的解析式和n值； （2）当时，求直线AB的解析式． 【答案】（1）反比例函数的解析式为y=，n=2； （2）直线AB的函数解析式为y=x+1． 【解析】 【分析】（1）将D（4，1）、E（2，n）代入反比例函数y=解析式，进而得出n的值； （2）根据题意进而得出D，E，B的坐标，利用待定系数法求出一次函数与反比例函数关系式即可． 【小问1详解】 解：∵D（4，1）、E（2，n）在反比例函数y=的图象上， ∴4=k，2n=k， ∴k=4，n=2， ∴反比例函数的解析式为y=； 【小问2详解】 解：如图1，过点E作EH⊥BC，垂足为H． 在Rt△BEH中，tan∠BEH=tan∠A=， ∵D（4，1），E（2，2）， EH=4-2=2， ∴BH=1． ∴B（4，3）． 设直线AB的解析式为y=kx+b，代入B（4，3）、E（2，2）， 得，解得：， 因此直线AB的函数解析式为y=x+1． 【点睛】本题主要考查的是反比例函数的性质，待定系数法求出一次函数解析式，解直角三角形等知识，根据待定系数法求出一次函数解析式是解题关键． 20. 习近平总书记指出：“植树造林是实现天蓝地绿、水净的重要途径，是最普惠的民生工程．”据林业专家分析，树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的一些悬浮颗粒物，具有滞尘净化空气的作用，已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶 一年的平均滞尘量的倍少毫克． （1）若一年滞尘毫克所需的银杏树叶的片数与一年滞尘毫克所需的国槐树叶的片数相同，分别求一片国槐树叶和一片银杏树叶一年的平均滞尘量． （2）某公园打算种一批国槐树和银杏树共棵，据估计这批树中，一棵国槐树约有片树叶，一棵银杏树约有片树叶，如果想让这批树一年的滞尘总量至少为千克，那么最多种植多少棵国槐树？千克毫克 【答案】（1）一片国槐树叶和一片银杏树叶一年的平均滞尘量分别为22毫克和40毫克 （2）最多种植棵国槐树 【解析】 【分析】本题考查了分式方程、一元一次不等式的应用，正确列出方程和不等式是解题的关键． （1）设一片国槐树叶一年的平均滞尘量为毫克，则一片银杏树叶一年的平均滞尘量为毫克，根据题意列出方程，解方程即可求解； （2）设种植棵国槐树，则种植银杏树棵，根据题意列出一元一次不等式，求得最大正整数解，即可求解． 【小问1详解】 解：设一片国槐树叶一年的平均滞尘量为毫克，则一片银杏树叶一年的平均滞尘量为毫克． 由题意，得 解得： 经检验，是该分式方程的解，且符合题意 ∴(毫克) 答：一片国槐树叶和一片银杏树叶一年的平均滞尘量分别为毫克和毫克 【小问2详解】 毫克千克，毫克千克 设种植棵国槐树，则种植银杏树棵 由题意，得 解得 ∵为正整数， ∴最大取． 答：最多种植棵国槐树． 21. 如图，已知中，D是的中点，过点D作交于点E，过点A作交于点F，连接、． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求的长． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∵D是的中点，， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形AECF是平行四边形， ∵， ∴平行四边形AECF是菱形； （2） 【解析】 【分析】（1）通过证明得到，即四边形AECF是平行四边形，再根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可得证； （2）点A作，通过解直角三角形即可求解． 【详解】（1）略 （2）∵AECF是菱形， ∴， ∴， ∴， 过点A作， ∴， ∴． 【点睛】本题考查菱形的判定与性质、解直角三角形等内容，作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 五、 解答题（三）（本大题共计2小题，每题12分，共计24分） 22. 如图，在⊙O中，AB为直径，OC⊥AB，弦CD与OB交于点F，在AB的延长线上有一点E，且EF=ED． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若tanA=，探究线段AB和BE之间的数量关系，并证明； （3）在（2）的条件下，若OF=1，求⊙O的半径和CD的长． 【答案】（1）证明：如图，连接， OC⊥AB， ，即， 是的半径 是的切线 （2）， 理由如下：如图，连接， 是的直径 ，即 是的切线 ，即 在中， 设， （3）⊙O的半径为3， 【解析】 【分析】（1）根据等边对等角可得，，根据OC⊥AB，可得，进而根据等量代换可得，根据切线的判定定理即可证明DE是⊙O的切线； （2）证明，在中，，可得，设，分别表示出即可得到； （3）过点作于点，设，则，，在中，根据，求得，进而求得，过点作，根据，解直角三角形即可求得的长，进而求得的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 如图，过点作于点， ， 是等腰直角三角形， 设，则， 在中， 即 解得 过点作， 在中，， 在中， 23. 如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线是常数交于、两点，点在轴上，点在轴上．设抛物线与轴的另一个交点为点． （1）求该抛物线的解析式； （2）是抛物线上一动点不与点、重合， ①如图，若点在直线上方，连接交于点，求的最大值； ②如图，若点在轴的上方，连接，以为边作正方形，随着点的运动，正方形的大小、位置也随之改变．当顶点或恰好落在轴上，直接写出对应的点的坐标． 【答案】（1） （2）①；②点坐标为，， 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的综合应用，全等三角形的判定与性质以及待定系数法求二次函数解析式，正方形的性质的应用，解题的关键是正确进行分类讨论． （1）利用直线解析式求出点、的坐标，再利用待定系数法求二次函数解析式即可； （2）①作交于点，证，得比例线段，则取最大值时，求得的最大值； ②点在轴上时，过点作轴于，根据正方形的性质可证明，根据全等三角形对应边相等可得，然后利用二次函数解析式求解即可；点在轴上时，作轴于，作轴于，同理可证得，可得，则点的横纵坐标互为相反数，可求出点坐标；点在轴上时，作轴于，作轴于，同理可证得，可得，则点的横纵坐标相等，可求出点坐标． 【小问1详解】 解：直线与坐标轴交于、两点， 当时，，时，， ，， 把，两点的坐标代入解析式得，， 解得，， 抛物线的解析式为 ； 【小问2详解】 ①如图，作交于点， ， ， 为定值， 当取最大值时，有最大值， 设，其中，则， ， 且对称轴是直线， 当时，有最大值， 此时，； ②点， ， （i）如图2，点在轴上时，过点作轴于， 在正方形中，，， ，， ， 在和中， ， ， ， 点的纵坐标为， ， 解得，， ∴，， （ii）如图，点在轴上时，作轴于，作轴于， 同理可证得， ， 点的横纵坐标互为相反数， ∴， 解得：(舍去)，， ∴， 如图，点在轴上时，作轴于，作轴于， 同理可证得 ， 点的横纵坐标相等， ， 解得，舍去， ， 综合以上可得点坐标为，，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $