精品解析：广东梅州市 平远县仁居中学2026-2027学年九年级上学期第一次段考数学试卷（10月）

九年级第一次段考数学试卷 一、单选题：本题共10小题，每题3分，共30分． 1. 计算的结果为（ ） A. 3 B. C. 13 D. 【答案】B 【解析】 【分析】绝对值不等的异号加减，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值，据此计算即可． 【详解】解： 故选：B． 【点睛】本题考查有理数的加法运算，解题的关键是熟练运用有理数的加法运算法则，本题属于基础题型． 2. 月球距离地球的距离约为，将用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【详解】将384000用科学记数法表示为：3.84000×105． 故选：A． 【点睛】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 3. 下列关于的方程，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程． 【详解】解：A选项方程为，含两个未知数，不符合题意； B选项方程为，只含一个未知数，最高次数为2，是整式方程，符合题意； C选项方程为，不是整式方程，不符合题意； D选项方程为，最高次数为1，不符合题意． 4. 若是方程的一个根，则实数m的值为（ ） A. B. C. 1 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】把代入方程，然后解关于m的方程即可． 【详解】解：把代入方程，得， 解得：． 5. 用配方法解方程配方后可得（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：方程， 移项得， 配方得，即． 6. 根据如图平行四边形中所标注的角的度数、边的长度，一定能判定其为菱形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据菱形的判定定理逐项判断即可． 【详解】解：A、如图， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴无法判断是菱形．故本选项不合题意． B、如图， ∵，， ∴，即， ∴， ∴无法判断是菱形，故本选项不合题意． C、如图， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∴， ∴是直角三角形，， ∴， ∴是菱形．故本选项符合题意． D、如图， ∵，， ∴， ∴与不垂直， ∴无法判断是菱形，故本选项不合题意． 7. 如图，小明能用一根绳子检查一个平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直，只需要用绳子分别测量书架的两条对角线长就可以判断了，他的依据是（ ） A. 有一个角是直角的四边形是矩形 B. 对角线垂直的平行四边形是矩形 C. 对角线相等的平行四边形是矩形 D. 有三个角是直角的四边形是矩形 【答案】C 【解析】 【详解】解：检查一个平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直，只需要用绳子分别测量书架的两条对角线长就可以判断了，依据是对角线相等的平行四边形是矩形． 8. 下列命题中为假命题的是（ ） A. 有三个角都是直角的四边形是矩形 B. 对角线相等的平行四边形是矩形 C. 对角线互相平分且相等的四边形是矩形 D. 对角线互相垂直的平行四边形是矩形 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形、菱形、矩形的判定定理，逐项判断命题的真假即可得出答案． 【详解】解：A．三个角是直角的四边形是矩形，符合矩形的判定定理，是真命题，不符合题意； B．对角线相等的平行四边形是矩形，是矩形的判定定理，是真命题，不符合题意； C．对角线互相平分的四边形是平行四边形，结合对角线相等，可判定该四边形是矩形，是真命题，不符合题意； D． 对角线互相垂直的平行四边形是菱形，不一定是矩形，是假命题，符合题意． 9. 以红色和金色的丝线精心编织的菱形中国结装饰，不仅展现了中国传统手工艺的精细与复杂，也蕴含着深厚的文化意义和美好的祝福．如图1是一个中国结，图2是其菱形示意图，若菱形的对角线，则它的边长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据菱形的对角线互相垂直且平分的性质，计算菱形的边长即可． 【详解】解：∵菱形的两条对角线，， ∴， ∴菱形的边长为． 10. 如图，是矩形的边上（端点除外）的动点，连接，，作平行四边形，连接，分别交于点，．下列四个结论：①；②；③；④若点是的中点，则为菱形．以上结论正确的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】先分别证明，，进而可判断结论①正确；设矩形的边长为，则，结合平行四边形的性质可判断结论②不正确；过点作于点，证明和，进而可判断结论③正确；证明，得出，进而可判断结论④正确． 【详解】解：四边形是矩形， ，， ， 四边形是平行四边形， ， ， ，故结论①正确； 设矩形的边长为，则， 又的底为，高为， ， ， ，故结论②不正确； 过点作于点， ， ， ， 在和中， ， ， 同理， ， ，故结论③正确； 若点是的中点，则， 在和中， ， ， 又四边形是平行四边形， 为菱形，故结论④正确； 综上所述，正确的结论是①③④． 二、填空题：本题共6小题，每题3分，共18分． 11. 要使式子有意义，则的取值范围是__________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件可得关于x的不等式，解不等式即可得． 【详解】由题意得： 2-x≥0， 解得：x≤2 故答案为x≤2． 12. 如图，在中，，是边上的中线，若，，则的长是_______________． 【答案】 【解析】 【分析】利用直角三角形斜边中线定理求出斜边长度，再利用勾股定理进行求解． 【详解】解：∵在中，是斜边上的中线，且， ∴， 由勾股定理得． 13. 如图，菱形的面积为，，点在边上，连结，点是直线上的动点，连结，分别取、的中点、，连结，则的最小值是__________． 【答案】2 【解析】 【分析】连接，证明是的中位线，则，当时，取得最小值，此时取得最小值，根据菱形的面积求出，即可得到答案． 【详解】解：连接， ∵、的中点分别、， ∴是的中位线， ∴， 当时，取得最小值，此时取得最小值， ∵菱形的面积为，， ∴当时， ∴， 此时， 即的最小值是． 14. 如图，在直角坐标系中，菱形的顶点A的坐标为，B的坐标为，点D在y轴上，则点C的坐标为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据、两点坐标求出菱形边长，利用勾股定理在中求出长从而确定点坐标，最后根据菱形对边平行且相等的性质求出点坐标． 【详解】解：∵，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∵点在轴上，且由图可知在轴正半轴， 在中，，  ∴， ∴， ∵，在轴上，轴， ∴点的纵坐标与点相同，为，  ∵在的左侧，， ∴点的横坐标为， ∴点的坐标为． 15. 已知关于x的方程有两个实数根，则实数a的取值范围是_____． 【答案】a≤1． 【解析】 【详解】试题分析：∵方程有两个实数根，∴△=4﹣4a≥0，解得：a≤1，故答案为a≤1． 考点：根的判别式． 16. 如图，在矩形中，，，点在上，且，连接，将沿折叠得到，若点的对应点Q落在矩形的边上，则___________． 【答案】8或 【解析】 【分析】分两种情况：①当Q点在上时，根据矩形的性质和折叠的性质，可得，根据，即可求出a的值；②当Q点在边上时，根据折叠的性质可得，，进而可得．设，则，在中，根据勾股定理可得，在中, 根据勾股定理可得． 本题主要考查了矩形的性质和勾股定理，注意分类讨论是解题的关键． 【详解】解：①如图1，当Q点在上时 ∵四边形是矩形， ∴， ∵将沿折叠得到， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； ②如图2，当Q点在边上时， ∵四边形是矩形， ∴，且，， ∵， ∴， ∵将沿折叠得到， ∴，， 设，则， 在中，， ∴， 解得． 在中，， ∴， ∴， 解得（舍去），． 综上，或． 三、解答题（一）：本题共9小题，共72分． 17. 解方程组：． 【答案】 【解析】 【详解】解：   得：   解得 把代入①得：  解得  所以原方程组的解为． 18. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）利用因式分解法即可解答； （2）利用公式法即可解答； 【小问1详解】 解：因式分解得， 或， 解得，； 【小问2详解】 解：，，， ， ∴ 解得，． 19. 已知：如图，在菱形中，为对角线上的两点，且．求证：． 【答案】， ， ， ， ． 【解析】 【详解】证明： 略 20. 在中，，D是的中点，过点A作，且，连接． （1）证明：四边形是菱形； （2）若，求菱形的面积． 【答案】（1） 证明：∵，D是的中点，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴平行四边形是菱形． （2）24 【解析】 【分析】本题主要考查直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、菱形的判定与性质等知识点，掌握菱形的判定定理是解题的关键． （1）先证是四边形是平行四边形，再根据邻边相等的平行四边形是菱形即可证明结论； （2）由菱形的性质得，再证，可证明,然后代入数据即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵平行四边形是菱形， ∴， ∵D是的中点， ∴， ∴． 21. 如图，在矩形中，点E，F在边上，连接，． （1）求证：． （2）当，时，求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）根据矩形得到，再结合已知条件由即可证明全等； （2）根据全等三角形得到，再由勾股定理即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵，， ∴． 22. 如图，在中，是的一条角平分线，为的外角的平分线，，垂足为E．连接，交于点F． （1）试判断四边形的形状，并证明你的结论． （2）线段与有怎样的关系？请证明你的结论． 【答案】（1）解：四边形为平行四边形， 证明：平分，平分， ，， ， 在中，，平分， ， ， ， ． ， 四边形为矩形； ∴， ∴四边形是平行四边形； （2） 解：，，证明如下： ∵四边形是平行四边形， ∴，，即， ∵四边形为矩形， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）由在中，，是的一条角平分线，可得，，又由为的外角的平分线，可得，又由，即可证得：四边形为矩形，再由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证明； （2）根据矩形和平行四边形的性质即可证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. 如图，在中，为锐角，点D为射线上一动点，连接，以为一边且在的右侧作正方形．解答下列问题： （1）如果 ①当点D在线段上时，（与点B不重合），如图1，线段之间的位置关系为_________，数量关系为_________． ②当点D在线段的延长线上时，如图2，①中的结论是否成立，为什么？（要求写出证明过程．） （2）如果，点D在线段上运动，且时， ①请你判断线段之间的位置关系，并直接写出结论． ②若，求正方形的边长． 【答案】（1）①，； ②结论仍然成立，证明如下： ∵四边形是正方形， ∴，． ∵， ∴， 即． 又， ∴． ∴，． ∵，， ∴， ∴， ∴， 即． （2）①．②． 【解析】 【分析】（1）①运用正方形的边相等、内角为的性质，以及已知的，的条件．得，，所以可推出，结合，，用证明，根据全等三角形对应边相等、对应角相等得到和的数量关系，再结合推导角的关系得到位置关系． ②点D在延长线上时同理证明全等即可验证结论． （2）①过点A作交于点G，构造出等腰直角，可得到，结合正方形，同理证明，再通过推导角的关系得到与的位置关系． ②连接，过点A作，交于点G．因为已证，且构造的是等腰直角三角形，已知，可求出的长度，结合得到的长度，再在直角三角形中用勾股定理求的长度，即正方形的边长． 【小问1详解】 解：①∵四边形是正方形， ∴，． ∵， ∴，即． 又， ∴． ∴，． ∵，， ∴， ∴， ∴， 即． ②略 【小问2详解】 解：①结论：． 过点A作，交于点G． ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴，． ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴． ∴， ∴， ∴． ②连接，过点A作，交于点G． 由①知，是等腰直角三角形， ∴． 由①知，， ∴， ∵等腰直角中，， ∴． 由①知，， ∴在中，． ∵正方形的边，且正方形边长满足， ∴， 解得． 即正方形的边长为． 24. 如图1，在四边形中，，，，，．点P从点A出发以的速度向点D运动：点Q从点C同时出发，以的速度向点B运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设点P，Q运动的时间为． （1）如图，从运动开始，当t为何值时，； （2）如图，从运动开始，当t为何值时，； （3）如图，从运动开始，当t为何值时，为直角三角形． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）利用两组对边分别平行得到平行四边形，对边相等列方程求解即可； （2）过D、Q作垂线构造矩形，利用等腰三角形三线合一，F是的中点建立等式解方程即可； （3）对的直角顶点分两种情况讨论，分别构造直角，利用矩形性质、勾股定理列方程求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得，， ，， ， ， ， 当时，四边形为平行四边形， ， ，解得； 【小问2详解】 解：如图，过点D作，过点Q作， ， ，， ， 四边形和均为矩形， ，， ， ， ， 点为的中点， ， ，解得； 【小问3详解】 解：①如图，当时， ，，， ， 四边形为矩形， ， ， ，解得； ②如图，当时，过点D作， ， ，， ， 四边形为矩形， ，， ， ，， 在中，， 在中，， ， ，解得； 综上所述，或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级第一次段考数学试卷 一、单选题：本题共10小题，每题3分，共30分． 1. 计算的结果为（ ） A. 3 B. C. 13 D. 2. 月球距离地球的距离约为，将用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列关于的方程，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 4. 若是方程的一个根，则实数m的值为（ ） A. B. C. 1 D. 3 5. 用配方法解方程配方后可得（ ） A. B. C. D. 6. 根据如图平行四边形中所标注的角的度数、边的长度，一定能判定其为菱形的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，小明能用一根绳子检查一个平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直，只需要用绳子分别测量书架的两条对角线长就可以判断了，他的依据是（ ） A. 有一个角是直角的四边形是矩形 B. 对角线垂直的平行四边形是矩形 C. 对角线相等的平行四边形是矩形 D. 有三个角是直角的四边形是矩形 8. 下列命题中为假命题的是（ ） A. 有三个角都是直角的四边形是矩形 B. 对角线相等的平行四边形是矩形 C. 对角线互相平分且相等的四边形是矩形 D. 对角线互相垂直的平行四边形是矩形 9. 以红色和金色的丝线精心编织的菱形中国结装饰，不仅展现了中国传统手工艺的精细与复杂，也蕴含着深厚的文化意义和美好的祝福．如图1是一个中国结，图2是其菱形示意图，若菱形的对角线，则它的边长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，是矩形的边上（端点除外）的动点，连接，，作平行四边形，连接，分别交于点，．下列四个结论：①；②；③；④若点是的中点，则为菱形．以上结论正确的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题：本题共6小题，每题3分，共18分． 11. 要使式子有意义，则的取值范围是__________． 12. 如图，在中，，是边上的中线，若，，则的长是_______________． 13. 如图，菱形的面积为，，点在边上，连结，点是直线上的动点，连结，分别取、的中点、，连结，则的最小值是__________． 14. 如图，在直角坐标系中，菱形的顶点A的坐标为，B的坐标为，点D在y轴上，则点C的坐标为___________． 15. 已知关于x的方程有两个实数根，则实数a的取值范围是_____． 16. 如图，在矩形中，，，点在上，且，连接，将沿折叠得到，若点的对应点Q落在矩形的边上，则___________． 三、解答题（一）：本题共9小题，共72分． 17. 解方程组：． 18. 解方程： （1）； （2）． 19. 已知：如图，在菱形中，为对角线上的两点，且．求证：． 20. 在中，，D是的中点，过点A作，且，连接． （1）证明：四边形是菱形； （2）若，求菱形的面积． 21. 如图，在矩形中，点E，F在边上，连接，． （1）求证：． （2）当，时，求的长． 22. 如图，在中，是的一条角平分线，为的外角的平分线，，垂足为E．连接，交于点F． （1）试判断四边形的形状，并证明你的结论． （2）线段与有怎样的关系？请证明你的结论． 23. 如图，在中，为锐角，点D为射线上一动点，连接，以为一边且在的右侧作正方形．解答下列问题： （1）如果 ①当点D在线段上时，（与点B不重合），如图1，线段之间的位置关系为_________，数量关系为_________． ②当点D在线段的延长线上时，如图2，①中的结论是否成立，为什么？（要求写出证明过程．） （2）如果，点D在线段上运动，且时， ①请你判断线段之间的位置关系，并直接写出结论． ②若，求正方形的边长． 24. 如图1，在四边形中，，，，，．点P从点A出发以的速度向点D运动：点Q从点C同时出发，以的速度向点B运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设点P，Q运动的时间为． （1）如图，从运动开始，当t为何值时，； （2）如图，从运动开始，当t为何值时，； （3）如图，从运动开始，当t为何值时，为直角三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $