2.3 二次根式导学案 2025-2026学年北师大版（2024） 数学八年级上册

2.3 第1课时 二次根式的乘除 素养目标 1.知道二次根式、最简二次根式的概念. 2.能根据法则对二次根式进行乘、除运算. 3.能够利用二次根式的性质对二次根式进行化简,在乘、除运算和化简的过程中提升运算能力. 重点 二次根式的乘、除运算. 【自主预习】 1.计算:×=　　　　.  2.计算:÷=　　　　.  1.化简的值是 (　　) A.2　　　　B.3　　　　C.±2　　　　D.±3 2.计算×的结果是　　　　.  【合作探究】 知识点一：二次根式的概念 阅读课本本课时“尝试·思考”之前的内容,思考下列问题. 一般地,我们把形如　　　　的式子叫作二次根式,a叫作　　　　.  1.下列各式一定是二次根式的是 (　　) A.　　　　 B. C.　　　　 D. 2.如果二次根式在实数范围内有意义,那么x的取值范围是 (　　) A.x≠-3　　　　 B.x≤-3 C.x≥-3　　　　 D.x>-3 知识点二：二次根式的乘除 阅读课本本课时“尝试·思考”“例1”和“例2”的内容,思考下列问题. 1.二次根式的乘法运算法则是什么?请用式子表示. 2.二次根式的除法运算法则是什么?请用式子表示. 3.二次根式的乘法法则对式子··(a≥0,b≥0,c≥0)适用吗?结果是多少? 二次根式乘法法则 ·=(a≥0,b≥0) 拓展 ··=(a≥0,b≥0,c≥0) 二次根式除法法则 =(a≥0,b>0) 拓展 ÷÷=(a≥0,b>0,c>0) 3.计算×的结果是 (　　) A.9　　　　B.3　　　　C.　　　　D.3 4.计算:÷=　　.  知识点三：二次根式的性质和化简 阅读课本本课时“例3”及之前的内容、“例4”和“思考·交流”的内容,思考下列问题. 最简二次根式:一般地,被开方数不含　　　　,也不含　　　　的因数或因式,这样的二次根式叫作最简二次根式.  5.下列式子为最简二次根式的是 (　　) A.　　　　B.　　　　C.　　　　D. 6.化简:(1);(2);(3);(4). 二次根式性质和乘、除法法则的应用 例　直角三角形的两条直角边长分别为 cm, cm,求这个直角三角形的面积. 变式训练 一个底面为30 cm×30 cm的长方体容器中装满了水,现将一部分水倒入一个底面为正方形,高为10 cm的铁桶中,当铁桶装满水时,容器中的水面下降了20 cm,求铁桶的底面边长. 参考答案 【自主预习】 预学思考 1.2 2.2 自学检测 1.B　2.4 【合作探究】 知识生成 知识点一 (a≥0)　被开方数 对点训练 1.A　2.C 知识点二 1.·=(a≥0,b≥0). 2.=(a≥0,b>0). 3.适用.··=. 对点训练 3.B 4. 知识点三 分母;能开得尽方 对点训练 5.A 6.解:(1)=×=4. (2)==×=3. (3)===. (4)==. 题型精讲 题型 例　解:S=××=(cm2). 答:这个直角三角形的面积为 cm2. 变式训练　解:设铁桶的底面边长为x(x>0)cm,则10x2=30×30×20, 所以x2=30×30×2,所以x=±.又因为x>0,所以x==×=30. 答:铁桶的底面边长为30 cm. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.3 第2课时 二次根式的加减 素养目标 1.能类比实数的加减运算法则进行二次根式的加减运算. 2.能运用运算律和运算法则简化二次根式的运算. 3.在进行二次根式的加减运算的过程中提升运算能力. 重点 二次根式的加减运算. 【自主预习】 1.等式+=成立吗? 2.合并同类项的定义是什么? 1.计算2-2的结果为 (　　) A.0　　　　 B.2 C.　　　　D.- 2.若-2=,则a的值为 (　　) A.6　　　　 B.9 C.12　　　　D.18 【合作探究】 知识点：二次根式的加减 阅读课本本课时“例5”及之前的内容,思考下列问题. 1.计算例5中的(1)(2)小问,在计算过程中发现二次根式也能进行加减运算,在进行二次根式的加减运算时,如果化简后的　　　　相同,那么就能将这些项合并,并且实数的运算法则在二次根式加减时　　　　.  2.写出×的两种不同解法,并谈谈实数范围内的运算律和法则在二次根式运算时是否适用. 解法一:　　　　　　解法二: 1.若-=,则“?”表示的数是 (　　) A.2　　　　B.4　　　　C.6　　　　D.10 2.计算:-+. 计算含有绝对值的二次根式加减运算 例　计算:|-3|+. 变式训练 计算:(2-)+|-|. 二次根式加减的应用 例　直角三角形的两条直角边长分别为 cm,4 cm,求这个直角三角形的周长. 变式训练 1.如图,每个网格的边长均为1,则△ABC的周长为　　　　.  2.已知a,b为实数,且满足-+=a+b,则a+b=　　　　.  参考答案 【自主预习】 预学思考 1.不成立. 2.把同类项合并成一项叫作合并同类项. 自学检测 1.A　2.D 【合作探究】 知识生成 知识点 1.被开方数;仍然适用 2.解法一:× =×+× =+ =+ =2+3 =5. 解法二:× =× =× =5. 运算律和法则仍然适用,且有时运用运算律计算会更简单(答案不唯一,合理即可). 对点训练 1.A 2.解:-+ =3-2+3 =+3. 题型精讲 题型1 例　解:原式=3-+=3-2+=3-. 变式训练　解:原式=2-+-=. 题型2 例　解:直角三角形的周长为+4+=+4+=+4+3=(4+4)cm. 答:这个直角三角形的周长为(4+4)cm. 变式训练　1.+2　2.- 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.3 第3课时 二次根式的混合运算 素养目标 1.能进一步运用二次根式的运算法则和运算律进行二次根式的运算. 2.能进一步类比合并同类项对被开方数相同的最简二次根式进行合并. 3.在进行二次根式的混合运算的过程中提升运算能力. 重点 二次根式的混合运算的运算顺序和法则. 【自主预习】 1.实数混合运算的顺序是什么? 2.实数运算可使用的运算律有:　　　　、　　　　、　　　　.  1.下列计算正确的是 (　　) A.÷= B.-= C.+= D.×= 2.当m=8时,计算二次根式+-的结果是　　　　.  【合作探究】 知识点：二次根式的混合运算 阅读课本本课时“例6”之前至“尝试·思考”之前的内容,思考下列问题. 1.写出-的两种不同解法,并谈谈哪种方法更简单. 解法一:　　　　　解法二: 2.写出÷的两种不同解法,并谈谈哪种方法更简单. 解法一:　　　　　解法二: 3.二次根式也能进行混合运算,实数的混合运算的运算顺序、运算法则及运算律在二次根式混合运算时　　　　.  1.计算:×=　　　　.  2.计算:(+)×=　　　　.  运用乘法公式简化二次根式的混合运算 例　计算:(1)(+2)(+2);(2)(-)2. 变式训练 计算:(+)(-). 二次根式的化简求值 例　先化简,再求值:(a+)(a-)-a(a-4),其中a是的小数部分. 变式训练 若a=6,则(+)(-)+2a的值为　　　　.  二次根式混合运算的应用 例　如图,在四边形ABCD中,AB⊥BC,AD⊥AB,AB=1,BC=CD=2.求: (1)AD的长. (2)四边形ABCD的周长. (3)四边形ABCD的面积. 方法归纳　把不规则四边形转化为规则图形是解决图形面积问题和周长问题的常用方法. 变式训练 一个面积为300 cm2的正方形的一组对边均缩短8 cm,就成为一个长方形,这个长方形的面积为 (　　) A.80 cm2　　　　B.72 cm2 C.60 cm2　　　　D.30 cm2 参考答案 【自主预习】 预学思考 1.先算乘方,再算乘除,最后算加减,有括号的先算括号里的. 2.交换律;结合律;分配律 自学检测 1.D　2.0 【合作探究】 知识生成 知识点 1.解法一:- =2- =. 解法二:- =- =- = =. 解法一更简单(答案不唯一,理由合理即可). 2.解法一:÷ =÷-÷ =- =- =2- =. 解法二:÷ =÷ =÷ =. 解法二更简单(答案不唯一,理由合理即可). 3.仍然适用 对点训练 1.5　2.3+3 题型精讲 题型1 例　解:(1)原式=-22=5-4=1. (2)原式=-2××+=3-2+2=5-2. 变式训练　解:原式=-=7-3=4. 题型2 例　解:原式=a2-3-a2+4a =4a-3. ∵9<13<16, ∴3<<4, ∴的整数部分为3, 则的小数部分为-3. 当a=-3时, 原式=4×(-3)-3=4-12-3=4-15. 变式训练　16 题型3 例　 解:(1)如图,过点C作CE⊥AD于点E,则四边形ABCE是长方形, 所以AB=CE=1,AE=BC=2. 在Rt△DEC中,CD2=DE2+CE2, 所以DE===, 所以AD=DE+AE=+2. (2)四边形ABCD的周长为DA+AB+CB+CD =DE+3BC+AB=7+. (3)S四边形ABCD=S△DEC+S长方形ABCE=××1+2×1=+2. 变式训练　C 学科网（北京）股份有限公司 $$