2..1 导学案 2025-2026学年北师大版（2024） 数学八年级上册

2.1 第1课时 认识无理数 素养目标 1.在拼图活动中,感受无理数产生的实际背景和引入的必要性. 2.知道有理数和无理数的区别,并判断一个数是有理数还是无理数. 3.在寻找无理数的过程中体会数系的扩充. 重点 理解无理数的概念. 【自主预习】 1.　　　　和　　　　统称为有理数,有理数可分为正有理数、　　　　和　　　　.  2.无理数是　　　　小数.  3.-2是　　　　,π是　　　　.(填“有理数”或“无理数”)  1.在3.141 59,1.010 010 001,4.,π,中,无理数有 (　　) A.1个　　　　B.2个　　　　C.3个　　　　D.4个 2.在直角三角形中,若两条直角边分别为2和3,斜边为x,则x满足　　　　,它是有理数吗?答:　　　　.  【合作探究】 知识点：无理数的概念 阅读课本本课时“思考·交流”及之前的内容,思考下列问题. 1.图2-1中每个小正方形的面积为　　　　,拼成的大正方形的面积为　　　　,若大正方形的边长为a,则a满足　　　　=2,即两个a相乘,结果为2,a存在,但不是整数也不是分数.  2.由勾股定理可知图2-2中的正方形的面积为　　　　,若正方形的边长为b,则b满足　　　　=5,即两个b相乘,结果为5,数b不是整数也不是分数,即数b不是有理数.  3.观察“思考·交流”中表的数据,你发现了什么? 4.定义:无限不循环小数叫作　　　　.  1.下列各数中,无理数是 (　　) A.　　　　B.3.14　　　　C.0　　　　D. 2.在,0.161 661 666 166 661…(相邻两个1之间6的个数逐次加1),3.141 592 6,1 000,π五个数中,属于无理数的是　　　　.  认识无理数 例　有两个长方形,长和宽分别为4,3和5,4,它们的对角线的长都是有理数吗?说明理由. 变式训练 1.以下正方形的边长是无理数的是 (　　) A.面积为9的正方形 B.面积为49的正方形 C.面积为1.69的正方形 D.面积为8的正方形 2.如图,这是由16个边长为1的小正方形拼成的网格,任意连接这些小正方形的若干个顶点,可得到一些线段,哪些线段的长是有理数?哪些线段的长不是有理数? 有理数和无理数的分类 例　在数 -,-1.,2π,3.141 6,,0,-32,(-1)2,-1.424 224 222 4…(相邻两个4之间2的个数逐次加1)中. (1)写出所有有理数:{ }. (2)写出所有无理数:{ }. 变式训练 把下列各数填入相应的集合内: -,,0,-π,3.14,3.101 001 000 1…(相邻两个1之间0的个数逐次加1),-2. (1)无理数集合:{ …}. (2)分数集合:{ …}. (3)负有理数集合:{ …}. 参考答案 【自主预习】 预学思考 1.整数;分数;负有理数;0 2.无限不循环 3.有理数;无理数 自学检测 1.A 2.x2=13;不是 【合作探究】 知识生成 知识点 1.1;2;a2 2.5;b2 3.边长a是一个大于1而小于2,大于1.4而小于1.5,大于1.41而小于1.42,……,是一个小数点后面位数不断增加的小数,而且是一个无限且不循环的小数. 4.无理数 对点训练 1.D 2.0.161 661 666 166 661…(相邻两个1之间6的个数逐次加1),π 题型精讲 题型1 例　解:长和宽分别为4,3的长方形的对角线的长为5,是有理数;而长和宽分别为5,4的长方形的对角线的长既不是整数也不是分数,故不是有理数. 变式训练　1.D 2.解:答案不唯一,如:如图,AB=2,BE=1,BD=3,AB,BE,BD的长是有理数. AD2=AB2+BD2=22+32=13,AC2=1+1=2. AE2=AB2+BE2=22+12=5.AC,AD,AE的长既不是整数,也不是分数,所以不是有理数. 题型2 例　解:(1)-,-1.,3.141 6,,0,-32,(-1)2. (2)2π,-1.424 224 222 4…(相邻两个4之间2的个数逐次加1). 变式训练　解:(1)无理数集合:{-π,3.101 001 000 1…(相邻两个1之间0的个数逐次加1),…}. (2)分数集合:. (3)负有理数集合:. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.1 第2课时 实数 素养目标 1.理解实数的定义,会进行实数的分类. 2.通过对实数定义的学习,初步感知实数“集合”的含义. 3.了解实数范围内倒数、相反数、绝对值的意义,在利用实数的相关概念解决实际问题的过程中培养应用意识. 重点 了解实数的定义及分类. 【自主预习】 1.请叙述有理数的定义,并举出3个有理数的例子. 2.请叙述无理数的定义,并举出2个无理数的例子. 1.下列各数是负实数的是 (　　) A.0　　　　B.1 C.　　　　D.- 2.实数-π的绝对值是　　　　.  【合作探究】 知识点一：实数及其分类 阅读课本本课时“有理数和无理数统称实数”开始到“尝试·思考”的内容,思考下列问题. 1.有理数和无理数统称为　　　　.  2.实数按定义分类:实数 3.实数按正负分类:实数 1.下列说法中,正确的是 (　　) A.无理数包括正无理数、零和负无理数 B.无限小数都是无理数 C.正实数包括正有理数和正无理数 D.实数可以分为正实数和负实数两类 2.关于数“-”,下列说法正确的是 (　　) A.它是一个无理数　　　　B.它是一个有理数 C.它是一个整数　　　　 D.它是一个分数 知识点二：实数的相反数、绝对值、倒数及其与数轴上点的关系 阅读课本本课时“思考·交流”及之前的内容,思考下列问题. 1.在实数范围内,相反数、倒数、绝对值的意义与有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义是　　　　(填“相同”或“不同”)的;实数和有理数一样,可以进行加、减、乘、除、乘方运算,而且有理数的运算法则与运算律对实数仍然适用.  2.事实上,每一个实数都可以用数轴上的一个　　　　表示;反过来,数轴上的每一个点都表示一个　　　　.也就是说,实数和数轴上的点是　　　　的.  3.与数轴上的点具有一一对应关系的数是 (　　) A.实数　　　　 B.有理数 C.无理数　　　　D.整数 4.绝对值为1的实数共有 (　　) A.0个　　　　 B.1个 C.2个　　　　 D.4个 5.实数-π的相反数是 (　　) A.-π　　　　 B.π C.　　　　 D.- 实数的绝对值 例　|3.14-π|的值为 (　　) A.0　　　　 B.3.14-π C.π-3.14　　　　 D.0.14 变式训练 已知实数a,b在数轴上对应点的位置如图所示,化简|b-a|+|a+b|. 实数与数轴 例　如图,A是硬币圆周上一点,硬币与数轴相切于原点O(A与O点重合),假设硬币的直径为一个单位长度,若将硬币沿数轴正方向滚动一周,点A恰好与数轴上点A'重合,则点A'对应的实数是　　　　.  变式训练 如图,数轴上点A与点B之间有　　　　个实数.  参考答案 【自主预习】 预学思考 1.整数和分数统称为有理数. 例如:1,0.1,. 2.无限不循环小数称为无理数. 例如:π,2.101 001 000 1…(相邻两个1之间0的个数逐次加1). 自学检测 1.D　2.π 【合作探究】 知识生成 知识点一 1.实数 2.实数 3.实数 对点训练 1.C　2.A 知识点二 1.相同 2.点;实数;一一对应 对点训练 3.A　4.C　5.B 题型精讲 题型1 例　C 变式训练　解:由数轴上点的位置,得b-a<0,a+b<0, ∴|b-a|+|a+b|=a-b-a-b=-2b. 题型2 例　π 变式训练　无数 学科网（北京）股份有限公司 $$