湖南省长沙市麓山国际实验学校2025-2026学年高三上学期入学考试数学试卷

麓山国际2026届高三入学考试数学试卷 高三年级数学试卷 总分：150分 时量：120分钟 一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题意的） 1. 已知集合，，则的元素个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 的共轭复数是（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数的部分图象如图所示，则的值为（ ） A. B. 2 C. D. 4. 已知，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 5. 葫芦是中华民俗文化的组成部分，是一种文化载体、文化事象，更是中华吉祥文化的象征．图①为一个清代乾隆釉里红团龙纹葫芦瓶古玩，它近似为两个球融合组成的．现模仿该古玩制作了一模型，其轴截面如图②所示，已知两球的半径分别为2和3，且两球心的距离为，记两球心分别为，，P为两个球面交线上一点，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 6. 已知圆，直线，当变化时，截得圆弦长的最小值为2，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图所示，，是双曲线的左、右焦点，双曲线的右支上存在一点满足，与双曲线的左支的交点A平分线段，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的定义域均为为奇函数，且，则（ ） A. 不为偶函数 B. 为奇函数 C. D. 二、选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 如图，在正方体中，，分别是的中点，则（ ） A. 四点，，，共面 B. C. 平面 D. 若，则正方体外接球的表面积为 10. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，对于有如下命题，其中正确的是（ ） A. 若，则是锐角三角形 B. 若，，则的外接圆的面积等于 C. 若是锐角三角形，则 D. 若，则是等腰直角三角形 11. 过抛物线的焦点F的一条直线交抛物线于，两点，则下列结论正确的是（ ） A. 为定值 B. 若经过点A和抛物线的顶点的直线交准线于点C，则轴 C. 存在这样的抛物线和直线AB，使得OA⊥OB（O为坐标原点） D. 若直线AB与x轴垂直，则 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 12. 设等比数列的前项和为．若，则__________． 13. 若函数在区间上单调递增，则的取值范围是______． 14. 一个被染满颜料的蚂蚱从数轴上的原点开始跳动，每次跳跃有等可能的概率向左或向右跳动1个单位长度，蚂蚱所在的点会留下颜色，则蚂蚱跳动4次后染上颜色的点数个数X的期望________. 四、解答题（本大题共5个小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知等差数列的前项和是，，. （1）求； （2）求的最大值，并求对应的项数. 16. 如图，在直三棱柱中，，，E，F分别为，BC的中点. （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的余弦值. 17. 甲､乙､丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终胜利，比赛结束.经抽签，甲､乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为. （1）求比赛四场结束且丙获胜的概率； （2）求甲最终获胜的概率. 18. 已知椭圆的两个焦点，过点作垂直于长轴的直线交椭圆于点，此时与椭圆长轴的两端点形成的四边形的面积为2． （1）求椭圆的方程； （2）过点作两条互相垂直的直线与椭圆分别交于点及，求四边形的面积的最小值． 19. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）证明：时，； （3）判断函数的零点个数. 麓山国际2026届高三入学考试数学试卷 高三年级数学试卷 总分：150分 时量：120分钟 一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题意的） 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】D 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】D 二、选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 【9题答案】 【答案】BD 【10题答案】 【答案】BC 【11题答案】 【答案】ABD 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 【12题答案】 【答案】93 【13题答案】 【答案】（ 【14题答案】 【答案】 四、解答题（本大题共5个小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 【15题答案】 【答案】（1）；（2）时，最大值42. 【16题答案】 【答案】（1） 连接，因为三棱柱为直三棱柱，所以平面， 又平面，所以， 又，，AB，平面，所以平面， 又平面，则， 因为在直三棱柱中，所以四边形为正方形， 所以， 因为，，平面，所以平面， 又平面，则； （2）. 【17题答案】 【答案】（1） （2） 【18题答案】 【答案】（1） （2）． 【19题答案】 【答案】（1）； （2） 不等式， 令函数，即， 而，求导得 ，则函数在上单调递增，， 所以. （3）2. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $