第一章 特殊平行四边形 单元测试-2025-2026学年北师大版数学九年级上册

2025-2026学年北师大版数学九年级上册 第一章 特殊平行四边形 单元测试 考试时间：100分钟 满分：100分 姓名：__________ 班级：__________考号：__________ 题号 一 二 三 总分 评分 一、选择题（共8小题，共32分） 1．如图，在矩形中，对角线，交于点，若，则的长为（　　） A．3 B． C． D．6 2．如图，已知线段AB，分别以A，B为圆心，大于同样长为半径画弧，两弧交于点C，D，连接AC，AD，BC，BD，CD，则下列说法错误的是（　　） A．AB平分∠CAD B．CD平分∠ACB C．AB⊥CD D．AB=CD 3．正方形 中，点 是 的中点，点 是 上异于点 的点， ，则 的值是(　　) A．1 B． C． D． 4．下列说法正确的是（　　） A．对角线互相垂直平分的四边形是菱形 B．对角线相等的四边形是矩形 C．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 D．对角线相等且互相垂直的四边形是正方形 5．如图，由四个全等的直角三角形和小正方形拼成正方形，连接交于．若，，则的长为（　　） A． B． C． D． 6．如图，在菱形中，对角线，交于点，下列条件：，，，．上述条件能使菱形是正方形的是（　　） A． B． C． D． 7．如果、、、是四边形四条边的中点，要使四边形是菱形，那么四边形应具备的条件是（　　） A．对角线互相垂直 B．对角线相等且互相平分 C．一组对边平行而另一组对边不平行 D．对角线相等 8．如图，在中，，以点为圆心，长为半径画弧交于点，分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点．若，则长为（　　） A． B． C．5 D．10 二、填空题（共6小题，共24分） 9．若点E、F、G、H分别是菱形的边、、、的中点，四边形的形状为　 　． 10．如图，在菱形中，与为对角线，且，，则长度是　 　． 11．如图，在矩形中，是上一点，，，则的度数是　 　． 12．如图，在边长为2的正方形中，E是边的一点，F是边上的一点，连接，若，，则的长为　 　． 13．如图，在正方形和正方形中，点在上，点、、在同一条直线上，，，是的中点，连接，则的长是　 　． 14．如图，在平直角坐标系中，点A的坐标为，点的坐标为．以，为边作矩形，若将矩形绕点逆时针旋转，得到矩形，则点的坐标为　 　． 三、解答题（共5小题，共44分） 15．在△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，过点A作AE∥BC，且AE＝BD，连结CE． （1）证明：四边形ADCE是菱形； （2）若AC＝6，AB＝8，求菱形ADCE的面积． 16．如图，正方形ABCD中，，动点E，F分别在边BC、CD上，且，连接EF. （1）求证：EF=BE+DF； （2）若BE=3，求线段DF的长. 17．如图，将矩形纸片折叠，使顶点落在边上的点处，折痕的一端点在边上，另一端F在AD上，，． （1）求证：四边形BGEF为菱形； （2）求FG的长． 18．正方形ABCD的边长为5，E、F分别是AB、BC边上的点，且∠EDF＝45°，将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM． （1）求证：△DEF≌△DMF； （2）若AE＝2，求EF的长． 19． 如图，已知是正方形的对角线上的两点，且. （1）请判断四边形的形状，并证明； （2）若，则四边形的周长为　 　. 答案解析部分 1．【答案】A 【解析】【解答】解：∵在矩形中，对角线，交于点O， ∴，， ∵， ∴． 故选：A． 【分析】根据矩形性质即可求出答案. 2．【答案】D 【解析】【解答】解：由作图知AC=AD=BC=BD， ∴四边形ACBD是菱形， ∴AB平分∠CAD、CD平分∠ACB、AB⊥CD， 不能判断AB=CD， 故选：D． 【分析】由作图知AC=AD=BC=BD，根据菱形判定定理可得四边形ACBD是菱形，再根据菱形性质逐项进行判断即可求出答案. 3．【答案】D 【解析】【解答】解：∵正方形ABCD， ∴∠A=∠C=90°，CD=AB=BC=AD， 过 作 ，连结 ， ∴∠BHP=∠BHE=90°， ， 在△ABP和△HBP中 ∴△ABP≌△HBP（AAS） ∴AP=PH，BH=AB=BC， 在Rt△BHE和Rt△BCE中 ∴Rt△BHE≌Rt△BCE（HL） ∴HE=CE， 设 ， 点 是 的中点， ， 在 Rt 中，由勾股定理得 ， 解得 ， ∴， 故答案为：D. 【分析】利用正方形的性质可知∠A=∠C=90°，CD=AB=BC=AD，过 作 ，连结 ，利用余角的性质可证得∠HBP=∠ABP，再利用AAS可证得△ABP≌△HBP，利用全等三角形的性质可证AP=PH，BH=AB=BC，再利用HL可证得Rt△BHE≌Rt△BCE，利用全等三角形的性质可得到HE=CE；设 ，可表示出AB、PD、PE的长，利用勾股定理可得到关于x、y的方程，解方程可表示出y，利用勾股定理表示出BP的长，同时可表示出PE的长；然后求出BP与PE的比值. 4．【答案】A 【解析】【解答】解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，而对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故本选项正确，符合题意； B、对角线相等的平行四边形是矩形，故本选项错误，不符合题意； C、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故本选项错误，不符合题意； D、对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形，故本选项错误，不符合题意. 故答案为：A. 【分析】根据菱形、矩形、平行四边形、正方形的判定定理进行判断即可. 5．【答案】B 【解析】【解答】解：∵四边形EFGH是正方形， ∴，，EF∥GH， ∵， ∴， ∵EF∥GH， ∴， ∴； ∵图中为四个全等的直角三角形， ∴， ∴， ∵正方形中， 根据勾股定理得：， 即， 解得：，（负值舍去）， ∴， ∴， ∴， 故答案为：B． 【分析】由正方形的性质得，，EF∥GH，从而由平行于三角形一边得直线截其它两边，所截的三角形与原三角形相似得，由相似三角形对应边成比例得出，结合全等三角形性质得出，在Rt△BCF中，根据勾股定理求出，得出，再根据勾股定理算出CE即可. 6．【答案】C 【解析】【解答】解：因为四边形是菱形，依据菱形性质 所以，故不能判定菱形是正方形 因为，根据正方形性质 菱形是正方形，故判定菱形是正方形 因为四边形是菱形， 所以 故 故菱形是正方形，故判定菱形是正方形 因为四边形是菱形 所以， 又 故 所以菱形是正方形，故判定菱形是正方形 综上：能判定菱形是正方形， 故选：． 【分析】依据菱形性质(对角线垂直、对边平行等)与正方形判定(有一个直角的菱形，对角线相等的菱形是正方形)，逐一分析条件. 7．【答案】D 【解析】【解答】解：如图 连接四边形ABCD对角线，根据三角形中位线定理： EF，GH分别是中位线，故 EH，FG分别是中位线，故 要使四边形为菱形 则 故 所以四边形应具备的条件是， 故选：. 【分析】利用三角形中位线平行且等于第三边的一半，，结合菱形四边相等的性质，故要使，推导四边形ABCD需满足的条件. 8．【答案】B 【解析】【解答】解：设AE交BF于点O，连接EF 由题意可得：AB=AF，AE⊥BF ∴OB=OF，∠BAE=∠EAF ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AD∥BC ∴∠EAF=∠AEB ∴∠BAE=∠AEB ∴AB=BE=AF ∵AF∥BE ∴四边形ABEF是平行四边形 ∵AB=AF ∴四边形ABEF是菱形 ∴ 在Rt△AOB中， ∴AE=2OA= 故答案为：B 【分析】设AE交BF于点O，连接EF，由题意可得：AB=AF，AE⊥BF，根据垂直平分线性质可得OB=OF，∠BAE=∠EAF，再根据平行四边形性质可得AD∥BC，则∠EAF=∠AEB，即∠BAE=∠AEB，再根据菱形判定定理可得四边形ABEF是菱形，则，再根据勾股定理即可求出答案. 9．【答案】矩形 【解析】【解答】解：连接、交于O， ∵E、F、G、H分别是、、、的中点， ，，，， ，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形， ， ，， ， ， ∴平行四边形是矩形， 故答案为：矩形。 【分析】连接、交于O，根据三角形的中位线定理，可得，然后再根据平行四边形的判定定理，可得四边形是平行四边形，然后再根据菱形性质，可得，根据， ，可得，即可得出答案。 10．【答案】 【解析】【解答】解：四边形是菱形，，， ，，， ， 故答案为：． 【分析】此题考查了菱形的性质．根据菱形的对角线互相平分，菱形的对角线互相垂直得出，，进而利用直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方得出即可． 11．【答案】15° 【解析】【解答】解：∵AE=AB， ∴∠AEB=∠ABE， ∵矩形ABCD， ∴AB∥DC，∠D=∠C=90°， ∴∠ABE=∠BEC=∠AEB， ∵AB=2AD， ∴AE=2AD， ∴∠AED=30°， ∵∠AED+∠AEB+∠BEC=180°即30°+2∠BEC=180°， 解之：∠BEC=75°， ∴∠EBC=90°-∠BEC=90°-75°=15°. 故答案为：15°. 【分析】利用等边对等角可证得∠AEB=∠ABE，利用矩形的性质和平行线的性质可推出∠D=∠C=90°，∠ABE=∠BEC=∠AEB，由此可证得AE=2AD，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，可求出∠AED=30°，据此可求出∠BEC的度数；然后利用直角三角形的两锐角互余可求出∠EBC的度数. 12．【答案】 【解析】【解答】解：如图，连接，延长到点G，使得，连接 . ∵四边形为正方形， ∴，. 在中， ∴， ∴. ∵，，， ∴， ∴，. ∵，， ∴， ∴， ∴. ∵，， ∴， ∴， 设， ∵， ∴. ∵，， 在中，， ∴， 解得， ∴， 故答案为：. 【分析】本题主要利用正方形的性质、勾股定理和全等三角形的判定来求解DF的长度。通过构造辅助线和证明三角形全等，最终利用勾股定理求解未知线段长度。 13．【答案】 【解析】【解答】解：如图，连接，延长交于 在正方形和正方形中 ， ，则 又四边形是矩形 所以， 故 勾股定理得 因是的中点，，直角三角形斜边中线等于斜边的一半 所以 故填：． 【分析】通过连接辅助线连接，延长交于，构造直角三角形与矩形，利用正方形性质，勾股定理，直角三角形斜边中线性质求解. 14．【答案】 【解析】【解答】解：∵点A的坐标为，点C的坐标为， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∵将矩形绕点O逆时针旋转，得到矩形，点在第二象限， ∴，，， ∴点的坐标为， 故答案为： 【分析】先根据点A和点C的坐标得到，，进而根据矩形的性质得到，，，根据旋转结合题意得到，，，从而即可得到点B'的坐标。 15．【答案】（1）证明：∵∠BAC＝90°，且D是BC中点， ∴AD＝BC=BD＝CD. ∵AE＝BD， ∴AE＝DC， ∵AE∥DC， ∴四边形ADCE是平行四边形， ∵AD＝DC， ∴平行四边形ADCE是菱形； （2）解：∵平行四边形ADCE是菱形， ∴S△ADC＝S△AEC， ∵D是BC的中点， ∴S△ADC＝S△ABD， ∴ 【解析】【分析】（1）根据直角三角形斜边中线的性质得AD＝BC=BD＝CD.证明AE=CD，即可判定四边形ADCE是平行四边形，再由AD=CD，即可得到结论； （2）由菱形的性质得S△ADC＝S△AEC，由中心的性质得S△ADC＝S△ABD，于是可得菱形ADCE的面积即△ABC的面积，再利用三角形的面积公式即可得到结论. 16．【答案】（1）证明：延长CB到点，使，连接AG， 四边形ABCD为正方形， 在和中， （2）解：设DF=x，则， 解得 【解析】【分析】（1）延长CB到点，使，连接AG，可证，可得AF=AG，结合正方形的性质可推出∠GAE=∠EAF=45°，根据SAS证明△AGE≌△AFE，可得GE=EF； （2）设DF=x，则，EF=3+x，根据建立关于x方程并解之即可. 17．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC， ∴∠EFG＝∠BGF， ∵图形翻折后点B与点E重合，GF为折线， ∴∠BGF＝∠EGF， ∴∠EFG＝∠EGF， ∴EF＝GE， ∵图形翻折后BG与GE完全重合， ∴BG＝GE， ∴EF＝BG， ∴四边形BGEF为平行四边形， ∴四边形BGEF为菱形； （2）解：过点F作FK⊥BG于K，则∠FKB＝90°， ∵∠A＝∠ABK＝∠FKB＝90°， ∴四边形ABKF是矩形， ∴FK＝AB＝8，BK＝AF， 在Rt△ABF中，AB＝8，∠A＝90°，BF＝BG＝10， ∴AF＝， ∴BK＝AF＝6， ∴GK＝BG﹣BK＝10﹣6＝4， ∴FG＝． 【解析】【分析】（1）根据矩形性质可得 AD∥BC，则∠EFG＝∠BGF，再根据折叠性质可得 ∠BGF＝∠EGF， 则 ∠BGF＝∠EGF，即EF＝GE，EF＝BG，再根据菱形判定定理即可求出答案. （2） 过点F作FK⊥BG于K，则∠FKB＝90°， 根据矩形判定定理可得四边形ABKF是矩形，则FK＝AB＝8，BK＝AF，再根据勾股定理可得AF=6，再根据边之间的关系可得BK=6，GK=4，再根据勾股定理即可求出答案. （1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC， ∴∠EFG＝∠BGF， ∵图形翻折后点B与点E重合，GF为折线， ∴∠BGF＝∠EGF， ∴∠EFG＝∠EGF， ∴EF＝GE， ∵图形翻折后BG与GE完全重合， ∴BG＝GE， ∴EF＝BG， ∴四边形BGEF为平行四边形， ∴四边形BGEF为菱形； （2）解：过点F作FK⊥BG于K，则∠FKB＝90°， ∵∠A＝∠ABK＝∠FKB＝90°， ∴四边形ABKF是矩形， ∴FK＝AB＝8，BK＝AF， 在Rt△ABF中，AB＝8，∠A＝90°，BF＝BG＝10， ∴AF＝， ∴BK＝AF＝6， ∴GK＝BG﹣BK＝10﹣6＝4， ∴FG＝． 18．【答案】（1）证明：∵△DAE逆时针旋转90°得到△DCM， ∴∠FCM＝∠FCD+∠DCM＝180°，AE＝CM， ∴F、C、M三点共线， ∴DE＝DM，∠EDM＝90°， ∴∠EDF+∠FDM＝90°， ∵∠EDF＝45°， ∴∠FDM＝∠EDF＝45°， 在△DEF和△DMF中， ， ∴△DEF≌△DMF（SAS）， ∴EF＝MF， ∴EF＝CF+AE； （2）解：设EF＝MF＝x， ∵AE＝CM＝2，BC＝5， ∴BM＝BC+CM＝5+2＝7， ∴BF＝BM﹣MF＝BM﹣EF＝7﹣x， ∴EB＝AB﹣AE＝5﹣2＝3， 在Rt△EBF中，由勾股定理得， EB2+BF2＝EF2即22+（4﹣x）2＝x2， 解得x＝， 则EF＝． 【解析】【分析】（1）根据正方形的性质和旋转性质准备条件，再利用SAS证明 △DEF≌△DMF 即可； （2） 设EF＝MF＝x， 用含x的代数式表示BF的长， 在Rt△EBF中，由勾股定理建立方程求解即可。 19．【答案】（1）解：四边形是菱形， 证明如下：连接，交于点， ∵四边形是正方形， ， ，即， ∴四边形是平行四边形， ， ∴ 四边形是菱形； （2）​​​​​​​ 【解析】【解答】解：（2）∵ ∴AO=BO=3 ∴OE=OB-BE=1 ∴ ∴菱形ABCD的周长为 故答案为： 【分析】（1）连接，交于点，根据正方形性质可得，根据边之间的关系可得OE=OF，再根据平行四边形判定定理可得四边形是平行四边形，再根据菱形判定定理即可求出答案. （2）根据正方形性质可得AO=BO=3，再根据勾股定理可得AE，再根据菱形性质即可求出答案. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$