1.1.2空间向量的数量积运算 分层练习-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

1.1.2 空间向量的数量积运算 分层练习 基础过关练 题组一 空间向量数量积的概念及其运算 1.(2024天津河东期中)如图,若正四面体ABCD的棱长为1,且=,则 =( ) A.-1 B.- C. D.1 2.(多选题)(2025河南洛阳创新联盟月考)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,则( ) A. =1 B. =1 C. =1 D. =1 3.已知|a|=1,|b|=2,a与b的夹角是120 ,当a+2b与ka-b的夹角为钝角时,k的取值范围为 . 题组二 利用空间向量的数量积解决夹角问题 4.(2025山东部分名校质量检测)已知在正四面体ABCD中,=,=,则向量与的夹角为( ) A. B. C. D. 5.在棱长均为1的三棱柱ABC-A1B1C1中,∠A1AB=∠A1AC=,则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为 . 题组三 利用空间向量的数量积求长度(模) 6.(2025重庆朝阳中学月考)如图,在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中,AB=5,AD=3,AA'=7,∠BAD=∠BAA'=∠DAA'=60 ,则AC'的长为 . 7.(2025湖南常德一中月考)已知空间向量a,b,c,其模均为1,且两两间的夹角均为60 ,则|a+b-2c|= . 8.如图所示,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,E为侧面CC1D1D的中心,记=a,=b,=c. (1)用a,b,c表示向量: ; (2)已知AB⊥AD,AB⊥AA1,∠A1AD=120 ,AB=AD=1,若BE⊥A1C1,则AA1的长为 . 题组四 利用空间向量的数量积解决垂直问题 9.(多选题)(2024河南商丘宁陵高级中学月考)已知四面体ABCD中,AB,AC,AD两两垂直,则以下结论中一定成立的是( ) A.|++|=|+-| B.(++) =0 C.|++|2=||2+||2+||2 D. = = 10.(2024广东深圳期末)如图所示,在三棱锥A-BCD中,DA,DB,DC两两垂直,且DB=DC=DA=2,E为BC的中点. (1)证明:AE⊥BC; (2)求直线AE与DC所成角的余弦值. 能力提升练 题组一 利用空间向量的数量积求异面直线所成的角或其余弦值 1.(2025山东烟台莱州一中等三校联考)如图,平行六面体ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都为2,四边形ABCD是正方形,∠A1AD=∠A1AB=,O是B1C与BC1的交点,则直线AO与CB所成角的余弦值为( ) A.1 B. C. D. 2.(2024湖南湘潭湘乡名民实验中学开学考)在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,P是BC1的中点,则异面直线PD与A1B所成角的余弦值是( ) A. B. C. D. 3.(2025河北沧州月考)在四面体ABCD中,BC=1,BD=2,∠ABC=90 , =-,则∠CBD= . 题组二 利用空间向量的数量积求长度(距离) 4.(2025广东汕头澄海中学段考)如图所示,四面体OABC中,OA=2,OB=3,OC=4,且,,中任意两向量间的夹角均为60 ,=2,=2,则||=( ) A. B. C. D.2 5.(2024山西大学附属中学二诊)如图,在平面角大小为60 的二面角A-EF-D中,四边形ABFE、CDEF都是边长为1的正方形,则B,D两点间的距离是 . 题组三 空间向量数量积的综合应用 6.(2025安徽亳州一中月考)若正四面体ABCD的棱长为4,空间中的动点P满足|+|=2,则 的取值范围为( ) A.[4-2,4+2] B.[,3] C.[4-3,4-] D.[-14,2] 7.(多选题)(2025福建部分优质高中质检)如图,平行六面体ABCD-A1B1C1D1的所有棱长均为2,,,中两两间的夹角均为60 ,点E,F分别在棱BB1,DD1上,且BE=2B1E,D1F=2DF,则( ) A.A,E,C1,F四点共面 B.在方向上的投影向量为 C.||= D.直线AC1与EF所成角的余弦值为 答案 基础过关练 1.C 因为正四面体ABCD的棱长为1,且=, 所以 =(+) = = = + - =1 1 cos 60 + 1 1 cos 60 - 1 1 cos 60 =. 2.AB 对于A, = =1 =1,因此A正确; 对于B, = (+)= + = =1,因此B正确; 对于C, = (+)= + =-1,因此C错误; 对于D,因为在正方体ABCD-A1B1C1D1中,BA⊥侧面ADD1A1,A1D⊂侧面ADD1A1,所以BA⊥A1D,则 =0,因此D错误. 3.答案 k>-7且k≠- 解析 由题意得(a+2b) (ka-b)=ka2+(2k-1)a b-2b2=k+(2k-1) 1 2 cos 120 -8=-k-7<0,解得k>-7. 又当k=-时,a+2b与ka-b反向共线,此时它们的夹角为180 ,并不是钝角, ∴k>-7且k≠-. 4.B 根据题意可得P,Q分别为AC,BC的中点, 设正四面体的棱长为a,=a,=b,=c,则<a,b>=<a,c>=<b,c>=, 依题意得=-a,=-=c-b, 则 =-a (c-b)=-a c+a b=0, ∴<,>=. 5.答案 解析 设=a,=b,=c,则a b=,b c=,a c=. ∵=+=a+c,=+=-+=b-a+c, ∴ =(a+c) (b-a+c)=a b-a2+a c+b c-a c+c2=-1++-+1=1, 且||===, ||===, ∴cos<,>===, ∴异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为. 6.答案 解析 在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中,=++, 因此||2=|++|2=+++2 +2 +2 =154, 即||=,即AC'的长为. 7.答案 解析 |a+b-2c|= = = ==. 8.答案 (1)-a+b+c (2)2 解析 (1)连接DE.在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是平行四边形,E为侧面CC1D1D的中心, 则=++=-++(+)=-+++=-a+b+c. (2)由(1)知=-a+b+c,连接AC, 易知==+=a+b, 由AB⊥AD,AB⊥AA1,∠A1AD=120 , 得a b=0,a c=0,b c=|b||c|cos 120 =-|c|, 由BE⊥A1C1,得 =-a+b+c (a+b)=-a2+b2+b c=-+1-|c|=0, 解得|c|=2,所以AA1的长为2. 9.ACD 由题意可知,,,两两垂直,所以 = = =0. 对于A,=++2(+) =+, =+-2(+) =+, 所以=, 即|++|=|+-|,故A正确; 对于B,(++) =(++) (-)=-, 当=时,-=0,否则不成立,故B错误; 对于C,|++|2=||2+||2+||2+2( + + )=||2+||2+||2,故C正确; 对于D, = (-)=0, 同理可得 =0, =0, 所以 = = ,故D正确. 10.解析 (1)证明:连接DE,则=-=(+)-,=-, 所以 = (-)= - + - - + =0-2+2-0-0+0=0, 所以⊥,即AE⊥BC. (2) = = + - =0+2-0=2,||==, 所以cos<,>===, 即直线AE与DC所成角的余弦值为. 能力提升练 1.D =+=++=++, 则 = =++ = ++ =0+ 4+ 2 2 cos =3, 而= =+++ + + =4+1+1+0+2 2 cos + 2 2 cos =9,因此||=3, 所以cos<,>===, 设直线AO与CB所成角的大小为 ,则cos =|cos<,>|=. 2.A 如图所示, =+=-, =++=++(+)=+-+=++, ∴||= ==, 又 =++ (-)=-=2,||=2, ∴cos<,>===. ∴异面直线PD与A1B所成角的余弦值是. 3.答案 30 解析 因为∠ABC=90 ,所以 =0,又=-, 所以 = (-)= - =-,因此 =, 又BC=1,BD=2,且 =||||cos∠CBD=, 所以cos∠CBD=, 又0 <∠CBD<180 ,所以∠CBD=30 . 4.A 连接ON,由题意得=-=+-=+-=+(-)-=-++, 而 =||||cos 60 =2 3 =3, =||||cos 60 =3 4 =6, =||||cos 60 =2 4 =4, 因此||= = ==. 5.答案 解析 ∵四边形ABFE、CDEF都是边长为1的正方形,∴AE⊥EF,DE⊥EF,BF⊥EF,CF⊥EF,又平面ABFE∩平面CDEF=EF,∴平面ABFE与平面CDEF的二面角为∠AED=∠BFC=60 ,易得=++,∴||2=(++)2=||2+||2++2 +2 +2 =1+1+1+0+2 1 1 cos 120 +0=2,∴||=,故B,D两点间的距离是. 6.D 分别取BC,AD的中点E,F,连接EF,ED,则|+|=|2|=2, 所以||=,因此点P的轨迹是以E为球心,为半径的球面, =-(+) (+)=-(+) (-)=-=4-, 又ED===2,EF===2, 所以=EF-=,=EF+=3, 因此 的取值范围为[-14,2]. 7.ABD 对于A,在棱A1A上取点H,使得A1H=2HA,连接AE,C1F,HF,B1H,AF,C1E, 易知在平行六面体中,AH=B1E,AH∥B1E,所以四边形AHB1E为平行四边形,可得AE∥B1H, 因为HF=B1C1,HF∥B1C1,所以四边形HFC1B1为平行四边形,可得B1H∥C1F, 所以AE∥C1F,可得A,E,C1,F四点共面,因此A正确; 对于B,在平行六面体中,=++, 因此=(++)2=+++2 +2 +2 =24,则||=2, 故在方向上的投影向量为 ==,因此B正确; 对于C,=-=+-=-+-,则==++-2 + - =, 则||=,因此C不正确; 对于D,= ==-, 于是直线AC1与EF所成角的余弦值为,因此D正确. ( 1 ) 学科网(北京)股份有限公司 $$