1.1.2 空间向量的数量积运算（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册（人教A版2019）

1.1.2　空间向量的数量积运算 基础过关练 题组一　空间向量数量积的概念及其运算 1.如图,若正四面体A-BCD的棱长为1,且=,则·=(　　) A.-1　　B.-　　C.　　D.1 2.已知i,j,k为空间两两垂直的单位向量,且a=i+2j-k,b=3i-j+4k,则a·b=　　　　.  3.已知|a|=1,|b|=2,a与b的夹角是120°,当a+2b与ka-b的夹角为钝角时,k的取值范围为　　　　.  题组二　利用空间向量的数量积求夹角或其余弦值 4.已知向量a,b满足|a|=2,|b|=1,|a+2b|=2,那么a与b的夹角为(　　) A.30°　　B.60°　　C.120°　　D.150° 5.(教材习题改编)已知空间四边形OABC的各边长及对角线长都相等,E,F分别是AB,OC的中点,则向量与向量夹角的余弦值为　　　　.  题组三　利用空间向量的数量积求长度(模) 6.(教材习题改编)已知两条异面直线a,b所成的角为60°,在直线a,b上分别取点A,E和点B,F,使AB⊥a,且AB⊥b.已知AE=6,BF=8,EF=2,则线段AB的长为(　　) A.10　　　　B.2　　 C.2或10　　　　D.2或2 7.已知在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,向量,,两两的夹角均为60°,且||=1,||=2,||=3,则||=(　　) A.5　　B.6　　C.4　　D.8 题组四　利用空间向量的数量积解决垂直问题 8.(多选题)已知四面体ABCD中,AB,AC,AD两两垂直,则以下结论中一定成立的是(　　) A.|++|=|+-| B.(++)·=0 C.|++|2=||2+||2+||2 D.·=·=· 9.如图所示,在三棱锥A-BCD中,DA,DB,DC两两垂直,且DB=DC=DA=2,E为BC的中点. (1)证明:AE⊥BC; (2)求直线AE与DC所成角的余弦值. 能力提升练 题组一　利用空间向量的数量积求异面直线所成的角或其余弦值 1.如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=AA1=1,∠BAD=,∠BAA1=∠DAA1=,则直线BD1与直线AC所成角的余弦值为(　　) A.-　　B.　　C.-　　D. 2.如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=BB1,则AB1与BC1所成角的大小为(　　) A.60°　　B.90°　　C.105°　　D.75° 3.在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,P是BC1的中点,则异面直线PD与A1B所成角的余弦值是(　　) A.　　B.　　C.　　D. 题组二　利用空间向量的数量积求长度(距离) 4.如图,在平面角大小为60°的二面角A-EF-D中,四边形ABFE、CDEF都是边长为1的正方形,则B,D两点间的距离是　　　　.  5.已知空间向量,,的模分别为1,2,3,且两两间的夹角均为60°.点G为△ABC的重心,若=x+y+z,x,y,z∈R,则||=　　　　.  题组三　空间向量数量积的综合应用 6.在四面体P-ABC中,有以下四个结论,其中错误的是(　　) A.若=+,则=3 B.若四面体P-ABC的各棱长都相等,则·=0 C.若·=0,·=0,则·=0 D.若四面体P-ABC的各棱长都为2,M,N分别为PA,BC的中点,则||=1 7.(教材深研拓展)(多选题)在三维空间中,定义a×b叫做向量a与b的外积,它是一个向量,满足下列两个条件: ①a⊥(a×b),b⊥(a×b),且a,b和a×b构成右手系(即三个向量的方向依次与右手的拇指、食指、中指的指向一致,如图所示); ②a×b的模|a×b|=|a||b|sin<a,b>(<a,b>表示向量a,b的夹角). 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,有以下四个结论,其中正确的有(　　) A.|×|=|×| B.×与共线 C.×=× D.6|×|与正方体表面积的数值相等 答案与分层梯度式解析 1.1.2　空间向量的数量积运算 基础过关练 1.C 4.B 6.D 7.A 8.ACD 1.C　因为正四面体A-BCD的棱长为1,且=, 所以·=(+)·=·=·=·+·-·=1×1×cos 60°+×1×1×cos 60°-×1×1×cos 60°=.故选C. 2.答案　-3 解析　∵i,j,k为空间两两垂直的单位向量,∴|i|=|j|=|k|=1,i·j=i·k=j·k=0, ∴a·b=(i+2j-k)·(3i-j+4k)=3i2-2j2-4k2=3-2-4=-3. 3.答案　k>-7且k≠- 解析　由题意得(a+2b)·(ka-b)=ka2+(2k-1)a·b-2b2=k+(2k-1)×1×2×cos 120°-8=-k-7<0,解得k>-7. 又当k=-时,a+2b与ka-b反向共线,此时它们的夹角为180°,并不是钝角,∴k>-7且k≠-. 名师点睛　利用两向量的夹角求参时,要考虑两向量同向、反向的情形. 4.B　根据题意,设a与b的夹角为θ,因为|a+2b|=2,所以(a+2b)2=a2+4b2+4a·b=8+8cos θ=12,即cos θ=,又0°≤θ≤180°,故θ=60°,故选B. 5.答案　- 解析　设=a,=b,=c且|a|=|b|=|c|=1,易知∠AOB=∠BOC=∠AOC=,则a·b=b·c=c·a=. 因为=(+)=(a+b),=-=-=c-b,||=||=, 所以·=(a+b)·=a·c+b·c-a·b-b2=-. 设与的夹角为θ, 则cos θ===-. 所以向量与向量夹角的余弦值为-. 6.D　因为=++,所以=+++2·+2·+2·, 又异面直线a,b所成的角为60°,EF=2,AE=6,BF=8,故156=36+||2+64+48或156=36+||2+64-48,则||=2或||=2,故选D. 7.A　易知在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,=++, ∴==+++2·+2·+2· =1+4+9+2×1×2×cos 60°+2×1×3×cos 60°+2×2×3×cos 60°=25,∴||=5,故选A. 方法总结　用数量积求线段长度的步骤:(1)用向量表示此线段;(2)用其他向量表示此向量;(3)结合公式a·a=|a|2,求此向量的模;(4)此向量的模即为所求长度. 8.ACD　由题意可知,,,两两垂直,所以·=·=·=0. 对于A,=++2(+)·=+, =+-2(+)·=+, 所以=, 即|++|=|+-|,故A正确; 对于B,(++)·=(++)·(-)=-, 当=时,-=0,否则不成立,故B错误; 对于C,|++|2=||2+||2+||2+2(·+·+·)=||2+||2+||2,故C正确; 对于D,·=·(-)=0, 同理可得·=0,·=0, 所以·=·=·,故D正确. 故选ACD. 9.解析　(1)证明:连接DE,则=-=(+)-,=-, 所以·=·(-)=·-·+·-·-·+·=0-2+2-0-0+0=0, 所以AE⊥BC. (2)·=·=·+·-·=0+2-0=2,||==, 所以cos<,>===, 即直线AE与DC所成角的余弦值为. 能力提升练 1.D 2.B 3.A 6.D 7.ABD 1.D　易得=++=+-,=+,所以·=(+)·(+-)=·+·-++·-·, 又AB=AD=AA1=1,∠BAD=,∠BAA1=∠DAA1=,所以·=0+-1+1+-0=, 而||=,||== ==, 所以直线BD1与直线AC所成角的余弦值为==.故选D. 2.B　易得=-,=+,令||=a,则||=||=a,又⊥,⊥,所以·=(-)·(+)=·+-·-·=a2-a·acos 60°=0,因此,⊥,所以AB1与BC1所成角的大小为90°.故选B. 3.A　如图所示, =+=-, =++=++(+)=+-+=++, ∴||= ==, 又·=++·(-)=-=2,||=2, ∴cos<,>===. ∴异面直线PD与A1B所成角的余弦值是. 4.答案　 解析　∵四边形ABFE、CDEF都是边长为1的正方形,∴AE⊥EF,DE⊥EF,BF⊥EF,CF⊥EF,又平面ABFE∩平面CDEF=EF,∴平面ABFE与平面CDEF的二面角为∠AED=∠BFC=60°,易得=++,∴||2=(++)2=||2+||2++2·+2·+2·=1+1+1+0+2×1×1×cos 120°+0=2,∴||=,故B,D两点间的距离是. 5.答案　 解析　设BC的中点为D,因为G为△ABC的重心, 所以==(+), 所以-=(-+-)=+-,所以=++, 所以||2==(+++2·+2·+2·) =×1+4+9+2×1×2×+2×2×3×+2×1×3×=,所以||=. 6.D　对于A,若=+,则3=+2, 整理得2-2=-,所以2=, 故2=-,所以=3,故A中结论正确; 对于B,设四面体的棱长均为a,则·=(+)·=·+·=a·a·cos 60°+a·a·cos 120°=0,故B中结论正确;对于C,若·=0,·=0,则·+·=0,所以·+·(+)=0,整理得(-)·+·=0,所以·+·=0,即·+·=0,即·=0,故C中结论正确;对于D,由题可知,四面体的各个面均为正三角形,则||=||=||=2,,,两两之间的夹角均为60°,又=-=(+)-=(+-),且|+-| = =2,所以||=,故D中结论错误.故选D. 7.ABD　对于A,设正方体的棱长为1,易知在正方体中,<,>=60°,则|×|=||||sin<,>=××=,因为BD∥B1D1,且∠AD1B1=60°,所以<,>=120°,所以|×|=||·||sin<,>=××=,所以|×|=|×|,故A正确;对于B,易知A1C1⊥B1D1,A1C1⊥BB1,因为B1D1∩BB1=B1,B1D1,BB1⊂平面BB1D1D,所以A1C1⊥平面BB1D1D,又BD1⊂平面BB1D1D,故BD1⊥A1C1,同理可得BD1⊥A1D,由右手系知,×与共线,故B正确;对于C,由a,b和a×b构成右手系知,a×b与b×a的方向相反,由a×b的模的定义知,|a×b|=|a||b|·sin<a,b>=|b||a|sin<a,b>=|b×a|,所以a×b=-b×a,则×=-×,故C错误;对于D,设正方体的棱长为a,则6|×|=6||·||·sin 45°=6a·a·=6a2,而正方体的表面积为6a2,故D正确.故选ABD. 7 学科网（北京）股份有限公司 $$