1.3勾股定理的应用同步练习 2025－2026学年北师大版数学八年级上册

1.3勾股定理的应用 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．某校的长方形水泥操场的示意图如图所示．如果一名学生要从A角走到C角，那么至少要走（   ） A． B． C． D． 2．欧几里得在《几何原本》中，记载了用图解法解方程的方法．类似地可以用折纸的方法求方程的一个正根．如图，裁一张边长为1的正方形纸片ABCD，先折出BC的中点E，再折出线段AE，然后通过折叠使EB落在线段AE上，标注点B的新位置F，则． 类似地，再在AB上折出点M使，则表示方程的一个正根的是（    ） A．线段BM的长 B．线段AM的长 C．线段BE的长 D．线段AE的长 3．如图，将三角形纸片ABC沿AD折叠，使点C落在BD边上的点E处．若∠C＝45°，∠B＝30°，AD＝2，则AB2﹣AC2的值是（　　） A．8 B．12 C．16 D．24 4．甲、乙两艘客轮同时离开港口，航行的速度都是40km/h．甲客轮用1.5h到达点A，乙客轮用2h到达点B．若A，B两点的直线距离为100km，甲客轮沿着北偏东30°的方向航行，则乙客轮的航行方向可能是（    ） A．南偏西30° B．北偏西30° C．南偏东60° D．南偏西60° 5．如图，已知的三个顶点均在以正方形组成的表格的格点上，则的值是（    ） A． B． C． D．1 6．如图，在中，．将沿翻折，使点与点重合，则的长是（   ） A． B． C． D． 7．某台阶的示意图如图所示．已知每个台阶的宽度都是cm，高度都是cm，连接，则（   ） A． B． C． D． 8．如图，一根长的儿童牙刷置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，儿童牙刷露在杯子外面的长度为，则h的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．如图，在下列方格纸中的四个三角形，是相似三角形的是（   ） A．①和② B．③和④ C．②和④ D．①和④ 10．如图，矩形纸片中，，，点E、G分别在上，将、分别沿翻折，翻折后点C与点F重合，点B与点P重合．当A、P、F、E四点在同一直线上时，线段长为（    ） A． B． C． D． 11．如图，空心玻璃圆柱的底面圆的周长是24，高是5，内底面的点A处有一只小虫，要吃到点B处的食物，需要爬行的最短路径的长是（　　） A．6 B．7 C．13 D．10 12．如图，圆柱的底面周长是，圆柱高为，一只蜜蜂如果要从圆柱内部点A飞到与之相对的点B，那么它飞行的最短路程为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 13．木工做一个长方形桌面，量得桌面的长为，宽为，对角线长为，则这个桌面 ．（填“合格”或“不合格”） 14．如图，甲、乙两艘轮船同时从港口出发，甲轮船以海里时的速度沿西北方向匀速航行，乙轮船沿东北方向匀速航行，小时后两艘轮船相距海里，则乙轮船每小时航行 海里． 15．如图，每个小正方形的边长为1，，，是小正方形的顶点，则的度数为 ． 16．如图，一架梯子AB斜靠在左墙时，梯子顶端B距地面2.4m，保持梯子底端A不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端C距地面2m，梯子底端A到右墙角E的距离比到左墙角D的距离多0.8m，则梯子的长度为 m． 17．如图，半圆的直径，弦，把沿直线对折，且恰好落在上，则的长为 ． 三、解答题 18．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，A，B，C是网格中的三个格点（即小正方形的顶点）． (1)线段的长为 ， 线段的长为 ； (2)判断线段 与线段 之间的位置关系． 19．如图，一架消防梯的长为25米，斜靠在竖直的墙面上，消防梯底端A距墙面的水平距离为7米． (1)求消防梯顶端B离地面的竖直高度为多少米？ (2)若消防梯顶端B沿墙面竖直向下滑动了4米，试求其底端A在水平方向滑动了多少米？ 20．某条道路限速，如图，一辆小汽车在这条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测仪A正下方的B处，过了，小汽车到达C处，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为． (1)求的长； (2)这辆小汽车超速了吗？ 21．台风是一种自然灾害，它以暴风眼为圆心在周围上百千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风沿东西方向由点A向点B运动．已知点C为一海港，点C与直线上的两点A，B的距离分别为，且，以风眼为圆心周围以内为受影响区域． (1)求的度数． (2)风眼离海港C最近的距离是多少？ (3)若台风的速度为，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 22．如图，在的正方形网格图中，小正方形的边长都为1，的顶点都在格点上，在该网格图中只用无刻度的直尺作图，保留作图痕迹． (1)画出的外接圆圆心． (2)连结，，求的长． 23．如图所示，某小区的两个喷泉A、B之间的距离的长为．供水点位于M，现要为喷泉铺设供水管道，．已知供水点M到的距离的长为，的长为． (1)求供水点M到喷泉A需要铺设的管道长； (2)试说明． 24．如图，方格纸中每个小方格的边长为，画一钝角三角形，使其面积为，并求出三边的长边的长． 《1.3勾股定理的应用》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B A C B B A D D B 题号 11 12 答案 C B 1．C 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用．根据勾股定理解答即可． 【详解】解：在长方形，， 根据题意得：要从A角走到C角，至少要走 ． 故选：C 2．B 【分析】设正方形的边长为1，，根据勾股定理即可求出答案． 【详解】解：设正方形的边长为1，， 则，， 在Rt△ABE中， ∴， ∴， ∴， ∴AM的长为的一个正根． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解，解题的关键是根据勾股定理列出方程． 3．A 【分析】由折叠的性质可得∠ADC=∠ADE=90°，由∠C=45°，∠B=30°，AD=2，可得AC=AD，AB=2AD=4，可求AB2-AC2的值． 【详解】解：∵将三角形纸片ABC沿AD折叠，使点C落在BD边上的点E处， ∴∠ADC=∠ADE=90°， ∵∠C=45°，AD=2， ∴AC=AD=， ∵∠B=30°， ∴AB=2AD=2×2=4， ∴AB2-AC2=42-（）2=8， 故选：A． 【点睛】本题考查了翻折变换，勾股定理，熟练运用折叠的性质是本题的关键． 4．C 【分析】依照题意画出图形，根据路程＝速度×时间可求出OA、OB，根据OA、OB、AB的长度，利用勾股定理的逆定理即可得出∠AOB＝90°，结合∠NOA的度数即可求出∠SOB的度数，此题得解． 【详解】解：OA＝40×1.5＝60km，OB＝40×2＝80km，AB＝100km， ∵802＋602＝1002， ∴OA2＋OB2＝AB2， ∴△AOB为直角三角形，且∠AOB＝90° ∵∠NOA＝30°， ∴∠SOB＝60° ∴乙客轮的航行方向为南偏东60°， 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理以及方向角，根据OA、OB、AB的长度，利用勾股定理的逆定理找出∠AOB＝90°是解题的关键． 5．B 【分析】根据图像和勾股定理得出AB2，AC2，BC2的值，进而得出△ABC是等腰直角三角形，即可得出结果． 【详解】解：设每个小正方形的边长为1，由网格构造直角三角形可得，AC2＝12＋32＝10，AB2＝12＋22＝5，BC2＝12＋22＝5， ∵AB2＝AC2＋BC2， ∴△ABC是等腰直角三角形， ∴∠A＝∠C＝45°， ∴sinA＝sin45°＝． 故选：B． 【点睛】本题考查了锐角三角函数．由网格构造直角三角形，并求出AB2，AC2，BC2的值是解决本题的关键． 6．B 【分析】本题考查了直角三角形的性质、勾股定理以及图形折叠的性质等知识点，解题的关键在于利用折叠性质确定线段相等关系，并结合勾股定理建立方程求解未知数，通过设，利用和勾股定理构建等式，进而解得． 【详解】解： 设， ， ， 沿翻折，点A与点B重合， ， 在中，，， ，即， 解得． 故选：B． 7．A 【分析】作出直角三角形后分别求得直角三角形的两直角边的长后，即可利用勾股定理求得斜边的长． 【详解】解：如图，由题意得： ， ， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出直角三角形． 8．D 【分析】本题考查了勾股定理的运用，先根据勾股定理求出，再得出h的范围即可． 【详解】解：当牙刷垂直放置时，； 当牙刷如图所示放置时，，且， 在中， ， ∴， ∴h的取值范围为：， 故选：D． 9．D 【分析】本题考查了相似三角形的判定，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．分别算出四个三角形的边长，然后根据相似三角形的判定定理判断即可． 【详解】解：①三角形的三边的长度为：，2，， ②三角形的三边的长度为：，3，， ③三角形的三边的长度为：，2，， ④三角形的三边的长度为：，2，， ∵， ∴相似三角形的是①和④ 故选：D． 10．B 【分析】根据矩形的性质得到，，，根据折叠的性质得到，，，根据勾股定理得到，设，由勾股定理列方程得到，由折叠的性质得到，，，求得，设，则，根据勾股定理列方程即可得到结论． 【详解】解：在矩形纸片中，，， ∴，，， ∵将沿翻折，翻折后点C与点F重合， ∴，，， ∴， 设， ∴，， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∵将沿翻折，翻折后点B与点P重合， ∴，，， ∴， 设， 则， ∵， ∴， ∴， ∴线段GP长为， 故选：B． 【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，勾股定理，根据勾股定理列方程是解题的关键． 11．C 【分析】本题考查两点之间线段最短，勾股定理，解题的关键是正确理解题意． 画出圆柱侧面展开图，根据题意得出线段长度，由两点之间线段最短，确定最短路径，用勾股定理解直角三角形即可． 【详解】解：如图，矩形为圆柱侧面展开图， 根据题意可知，，，点为的中点， ∴，， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴需要爬行的最短路径的长是， 故选：． 12．B 【分析】本题主要考查勾股定理与最短路径．根据题意，长即为蜜蜂从圆柱内部点飞到与之相对的点的最短路程，根据底面圆的周长可得底面圆的直径，在中，运用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图所示，蜜蜂沿如图所示方向飞行路程最短， ∴长即为蜜蜂从圆柱内部点飞到与之相对的点的最短路程， ∵圆柱的底面周长是，圆柱高为， ∴底面圆的直径为，， 根据勾股定理得， ∴蜜蜂飞行的最短路程为， 故选：B． 13．合格 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键在于掌握勾股定理的逆定理； 首先，用桌面长的平方加上宽的平方，看其是否等于对角线的平方； 然后，若其相等则满足勾股定理的逆定理，三者构成直角三角形，桌面合格，否则不合格． 【详解】解：∵长方形桌面的长为，宽为，对角线长为，， ∴，， ， ∴ ∴桌面的角是直角， ∴这个桌面是合格的， 故答案为：合格． 14． 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，根据方位角可以知道两船所走的方向正好构成了直角，然后根据路程速度时间，根据勾股定理即可得出答案． 【详解】解：∵甲轮船沿西北方向匀速航行，乙轮船沿东北方向匀速航行， ∴， ∴ ∵甲以9海里/时的速度沿西北方向匀速航行了1小时， ∴（海里）， ∵海里， 在中，（海里）， ∴乙轮船平均每小时航行（海里）． 故答案为：． 15．/度 【分析】本题考查的是勾股定理与勾股定理的逆定理的应用，先计算，，，再进一步解答即可． 【详解】解：设小正方形边长为1，连接，由勾股定理可得： ，，， ∴且， ∴是等腰直角三角形，． 故答案为： 16．/ 【分析】设，则 结合再利用勾股定理建立方程再解方程求解 再利用勾股定理求解梯子的长即可. 【详解】解：设，则 而 由勾股定理可得： 整理得： 解得： 所以梯子的长度为m. 故答案为： 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，熟练的利用勾股定理建立方程是解本题的关键. 17．cm 【分析】连接OD，作DE⊥AB于E，OF⊥AC于F，运用圆周角定理，可证得∠DOB=∠OAC，即证△AOF≌△ODE，所以OE=AF=cm，根据勾股定理，得DE=4cm，在直角三角形ADE中，根据勾股定理，可求AD的长． 【详解】连接OD，AD，作DE⊥AB于E，OF⊥AC于F． 根据题意知，∠CAD=∠BAD， ∴， ∴点D是弧BC的中点． ∴∠DOB=∠OAC=2∠BAD， ∴△AOF≌△ODE， ∴OE=AF=cm， ∴DE=2cm， 又∵AE==4cm， ∴AD=cm． 【点睛】在圆的有关计算中，作弦的弦心距是常见的辅助线之一．熟练运用垂径定理、圆周角定理和勾股定理． 18．(1) (2) 【分析】此题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解本题的关键． （1）利用网格及勾股定理求解即可； （2）连接，利用勾股定理逆定理得出，即可求解． 【详解】（1）解：由网格得：， 故答案为：； （2）如图：连接，则， ∴， ∴， ∴ ∴． 19．(1)米 (2)米 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，熟知勾股定理是解题的关键． （1）由题意得，米，米，，据此利用勾股定理求出的长即可得到答案； （2）由题意得，米，米，据此利用勾股定理求出的长，进而求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，米，米，， ∴米， 答：消防梯顶端B离地面的竖直高度为米； （2）解：由题意得，米，米， ∴米， ∴米， 答：底端A在水平方向滑动了米． 20．(1) (2)未超速 【分析】本题考查了将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，解题的关键是把条件和问题放到直角三角形中进行解决． （1）根据勾股定理即可求解； （2）根据小汽车用行驶的路程和时间，可求出小汽车的速度，然后再判断是否超速即可． 【详解】（1）解：根据题意，得，, 由勾股定理，得， ∴， 故的长为． （2）解：， ∵， ∴这辆小汽车未超速． 21．(1) (2)风眼离海港最近的距离是 (3)台风影响该海港持续的时间为 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用、三角形面积公式的应用，解题的关键是利用勾股定理逆定理判断三角形形状，结合面积公式和勾股定理解决距离及时间问题． （1）通过计算与是否相等，利用勾股定理逆定理判断的度数； （2）过点C作，利用直角三角形面积公式，结合、、的长度求出的长，即风眼离海港C最近的距离； （3）在上找到到C距离为的两点E、，利用勾股定理求出和的长，进而得到的长，再结合台风速度求出影响持续时间． 【详解】（1）因为，所以， 所以是直角三角形，． （2）如图，过点作于点． 因为是直角三角形， 所以， 所以， 所以． 故风眼离海港最近的距离是． （3）如图，为上两点，且． 在中，由勾股定理，得，所以． 同理可得， 所以， 故台风影响该海港持续的时间为． 22．(1)见解析 (2) 【分析】（1）在正方形网格中，先画出的正方形网格的对角线，即EF，则EF为AB的中垂线，AC长度为4，取AC中点所在网格线即GH，则GH为AC中垂线 ，连接EF，GH交于点O，即为的外接圆圆心． （2）根据正方形边长为1，求出以BC为斜边的直角三角形BCM中BM、CM的长度，再利用勾股定理求出BC的长即可． 【详解】（1）解：如图所示： （2）如图，连接BM，CM， ∴△BCM为直角三角形， ， ∴ ． 【点睛】本题考查三角形外接圆、勾股定理，熟练掌握定义是解题关键． 23．(1)供水点到喷泉需要铺设的管道长为； (2)见解析 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用； （1）在中，勾股定理求得，进而求得的长，在中，勾股定理求得的长，进而即可求解； （2）勾股定理的逆定理即可证明． 【详解】（1）解：由题意可知， 在中，， ∴． 在中，， ∴供水点到喷泉需要铺设的管道长为； （2）解：∵，，， ∴， ∴． 24．见解析，6， 【分析】作一个底边为3、高为2的钝角三角形或底边为6，高为1的钝角三角形即可得，再根据勾股定理求出最长边的值． 【详解】解：本题答案不唯一，如图所示， 底边为6，高为1的钝角三角形中最长边为：6； 底边为3、高为2的钝角三角形中最长边为：． 【点睛】本题主要考查作图应用与设计作图、勾股定理，解题的关键是熟练掌握钝角三角形的概念，即一个内角大于，小于的三角形． 学科网（北京）股份有限公司 $$