河北省承德市双滦区实验中学2024--2025学年高二下学期暑假数学网上测试卷（4）

河北承德市双滦区实验中学 2024--2025学年第二学期暑假高二数学网上测试卷（4） 一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1．曲线在点处的切线方程是（    ） A． B． C． D． 2．记为等差数列的前项和，若，，则（    ） A．-4 B．-16 C．-32 D．-64 3．从0，1，2，3，4五个数字组成没有重复数字的四位数，则该数为偶数有多少个？（    ） A．66 B．60 C．90 D．96 4．的展开式中的系数为（   ） A．252 B．162 C．126 D．36 5．某社区开展防疫值班工作，甲乙丙三人轮流参与，规则如下：①第1天安排甲值班；②第2天从乙丙两人中随机选1人值班；③第天，从前一天未值班的2人中随机选1人值班，则第天甲值班的概率为（    ） A． B． C． D． 6．一道试题，甲解出的概率为，乙解出的概率为.设解出该题的人数为X，则等于（    ） A． B． C． D． 7．下列说法正确的是（   ） A．二项展开式中所有系数之和为 B．样本相关系数r越大，两个变量的线性相关程度越强，反之，线性相关程度越弱 C．以模型拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，将其变换后得到线性回归方程，则c，k的值分别是和0.3 D．展开式中，常数项是第9项 8．记为数列的前n项和，若，且的值为1，2，3的可能性相同，则是奇数的概率为（   ） A． B． C． D． 二、多选题（本大题共3小题，共18分。在每小题有多项符合题目要求） 9．盒子内有20个大小相同的球，其中有15个蓝球，5个红球，现从中取出3个球，则（    ） A．取出的3个球中恰好有1个蓝球的取法有种 B．取出的3个球中恰好有1个蓝球的取法有种 C．取出的3个球中至少有2个蓝球的取法有种 D．取出的3个球中至少有1个红球的取法有种 10．已知是递增的等比数列，其前n项和为，若，（   ） A． B． C． D．是等比数列 11．已知，则（   ） A．当时，既有极大值，又有极小值 B．若在处取到极大值，则实数的取值范围为 C．时，在区间内取到最大值，则实数的取值范围为 D．不存在实数，使得在区间内既有最大值又有最小值 三、填空题（本大题共3小题，共15分） 12．已知数列的通项公式为，是数列的前项和，的取值范围是 ． 13．若函数有两个极值点，则实数的取值范围是 ． 14．在2024年欧洲杯某小组赛中，共有甲､乙､丙､丁四支队伍进行单循环比赛，即每两支队伍在比赛中都要相遇且仅相遇一次，最后按各队的积分排列名次（积分多者名次靠前，积分同者名次并列），积分规则为每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．若每场比赛中两队胜､平､负的概率都为，则在比赛结束时甲队胜两场且乙队胜一场的概率为 . 四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．(本小题13分）已知在二项式的展开式中，第三项的系数是第二项的系数的倍． (1)求正整数的值； (2)若展开式中各项系数之和为，二项式系数之和为，求的值； (3)求系数最大的项． 16．(本小题15分）幸得三月樱花舞，从此阡陌多暖春.又到春暖花开时，校园的樱花如约而至.浸润在春风里的樱花，绚烂柔美，青春美好，尽显春日浪漫.师生共赏樱花盛景，不负这盛世春光.每年樱花季，若在樱花树下流连超10小时，则称为“樱花迷”，否则称为“非樱花迷”.从全校随机抽取30个男生和50个女生进行调查，得到数据如表所示： 樱花迷 非樱花迷 男 5m 5 女 40 2m (1)求的值； (2)根据小概率值的独立性检验，判断“樱花迷”与性别是否有关联？ (3)现从抽取的50个女生中，用分层抽样的方法抽取10人，再从这10人中随机抽取3人，记这3人中“非樱花迷”的人数为，求的分布列和数学期望. 附：参考公式：，其中. 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 17．(本小题15分）甲汽车配件厂生产了一种塑胶配件，质检人员在这批配件中随机抽取了100个，将其质量指标值（单位：分）作为一个样本，得到如图所示的频率分布直方图．且当配件的质量指标值不小于80分时，配件为“优秀品”． (1)求这组数据的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； (2)以频率估计概率，在甲配件厂生产的这批产品中随机抽取3件产品，随机变量表示：抽得的产品为“优秀品”的个数，求的分布列及数学期望； (3)现在市场上这种塑胶配件由甲、乙、丙三个汽车配件厂供应，由长期的经验知，乙、丙两家的“优秀品”率分别为0.60，0.30三家产品数在市场中所占比例为，将三家产品混合在一起，从中抽取一件，在已知取到的为优秀品的条件下，它是由甲厂生产的概率是多少？ 18．(本小题17分）已知是各项均为正数的数列，为前n项和，且，，成等差数列. (1)求的通项公式； (2)求证：； (3)已知，求数列的前项和. 19．(本小题17分）已知函数． (1)直线在处与函数相切，求实数的值； (2)若在上单调，求实数的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案: 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D B B C C C B ACD ACD 题号 11 答案 ABD 1．C 【详解】由函数的解析式可得， 所求切线的斜率为．由于切点坐标为， 故切线方程为，即为． 故选：C． 2．D 【详解】设等差数列的首项为，公差为，则，解得：，所以， 故选：D 3．B 【详解】若个位数为0，此时一定为偶数，没有重复数字的偶数有个； 若个位数不为0，则第一步先确定个位数，必须为2或4，共种， 其次确定千位数，千位数不能为0，则必须从剩余的一个偶数以及1、3中选，共种， 最后从剩余的三个数字中选两个组成有顺序的十位数和百位数，共种，一共有个，所以没有重复数字的四位数为偶数的情况共有个． 故选：B． 4．B 【详解】方法1：的通项公式为， 分别令可得，，， 所以的展开式中含的项为， ∴的系数为． 方法2：由， 的通项公式为， 分别令可得项的系数分别为， 所以的展开式中含的项为 所以的系数为． 故选：B． 5．C 【分析】设事件：甲第天值班，，则，设，则，构造等比数列即可求解． 【详解】设事件：甲第天值班，，则， 设，则，， 又， 是首项为，公比为的等比数列， ， 故选：C． 6．C 【分析】先根据题意写出分布列，再利用期望公式计算期望. 【详解】依题意，X的可能取值为0，1，2. 当甲、乙两人均未答对时，； 当甲、乙两人中一人答对、一人答错时，； 当甲、乙两人均答对时，. 故X的分布列如下， X 0 1 2 P 所以. 故选：C. 7．C 【分析】令，计算可判断A；由相关系数的性质可判断B；对所给式两边取自然对数，计算可判断C；利用二项式展开式的通项公式计算可判断D. 【详解】对于A，令，可得二项展开式中所有系数之和为，故A错误； 对于B，样本相关系数越大，两个变量的线性相关程度越强，反之，线性相关程度越弱，故B错误； 对于C，对，两边取对数得， 设，则，又线性回归方程，则， 则，，故C正确； 对于D，的展开式的通项公式为， 令，解得，所以常数项是第10项，故D错误. 故选：C. 8．B 【分析】首先分为奇数和为偶数时，根据递推关系得到概率的递推关系式，转化为数列问题，利用递推关系式，求数列的通项公式. 【详解】记事件A为“为奇数”，事件为“为奇数”，是奇数的概率为． 当为奇数时，若，则仍然为奇数， 当为偶数时，若或3，则为奇数，从而， 即，即，整理可得． 又，所以是首项为，公比为的等比数列，则， 所以．故是奇数的概率为． 故选：B 9．ACD 【分析】根据组合数的计算方式，分类和分步求出各选项提出条件的不同取法数目. 【详解】取出的3个球中恰好一个蓝球，则还有2个红球，不同取法有，所以A正确，B错误. 取出的3个球中至少有2个蓝球，则分为两种情况，第一种2个蓝球加1个红球， 第二种3个蓝球，则不同取法有，所以C正确. 取出的3个球中至少有1个红球，则在所有取法中减去没有红球的取法即可， 不同取法有，所以D正确. 故选：ACD. 10．ACD 【分析】设的公比为，则由，递增，得，结合题中条件解得公比和首项，再根据通项公式和前项和公式，等比数列定义判断各个选项； 【详解】设的公比为，则由，递增，得， 因为，所以，解得或（舍去）， 对于A，，故A正确； 对于B，，.故B错误； 对于C，，，故C正确； 对于D，，，所以是首项为3，公比为的等比数列，故D正确． 故选：ACD. 11．ABD 【分析】先求导，按、、三种情况讨论的单调性，再逐一判断即可. 【详解】由题意得， 若，即时，得或；得， 则在和上单调递增，在上单调递减； 若，即时，得或；得， 在和上单调递增，在上单调递减； 若，即时，，则在上单调递增； A选项，当时，在处取极大值，在处取极小值，故A正确； B选项，若在处取到极大值，则，故B正确； C选项，当时，在和上单调递增，在上单调递减， 则在处取极大值，在处取极小值， 又，则， 又在区间内取到最大值，则且， 即，故C错误； D选项，若，则欲使在区间内既有最大值又有最小值， 则需，，， 即，， 当时，，故，故这样的不存在； 若，则欲使在区间内既有最大值又有最小值， 则需，， ， 即，， 则，故，故这样的不存在； 若，则在区间内既无最大值又无最小值； 综上可知，不存在实数，使得在区间内既有最大值又有最小值，故D正确. 故选：ABD 12． 【分析】对数列的通项公式进行整理得，再求其前n项和，利用对数运算规则，可得到，结合单调性，得到答案. 【详解】根据题意，可得， 则 ， 故是递增数列， 又，所以． 故答案为： 13． 【分析】由题意知有两个变号零点，根据判别式满足的条件列不等式即可求解. 【详解】，由题意知有两个变号零点， 所以， 解得或． 故答案为：. 14． 【分析】分（1）甲胜乙丙，且甲平或负丁，（2）甲胜乙丁，平或负丙，（3）甲胜丙丁，三种情况分别分析，由相互独立事件的概率公式求解，再相加即可. 【详解】（1）甲胜乙丙，且甲平或负丁： ① 乙胜丙，且乙平或负丁，概率为； ② 乙胜丁，且乙平或负丙，同①，概率为． 因此，（1）概率为． （2）甲胜乙丁，平或负丙，同（1），概率为． （3）甲胜丙丁： ① 甲平乙，乙胜丙，且乙平或负丁，此时概率为； ② 甲平乙，乙胜丁，且乙平或负丙，同①，概率为； ③ 甲负乙，乙平或负丙、丁，此时概率为， 因此，（3）概率为． 综上：甲胜两场且乙胜一场的概率为． 故答案为： 【点睛】关键点点睛：根据题意，甲队胜两场且乙队胜一场，可分为甲胜乙丙，且甲平或负丁；甲胜乙丁，平或负丙；甲胜丙丁三种情况分析，分别由相互独立事件的概率公式求解，再相加即可. 15．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据二项式展开式通项找到项的系数，因为第三项的系数是第二项的系数的倍列出等式，计算解出的值； （2）利用赋值法计算各项系数之和，计算二项式系数之和，再得出的值； （3）根据二项式展开式通项找到项的系数，利用不等式关系计算出系数最大的项； 【详解】（1）由题意得，二项式的展开式的通项为 ，， 第三项的系数是 第二项的系数是 又由第三项的系数是第二项的系数的倍，有 解得； （2）对于二项式，令，即得展开式中各项系数之和为，可得， 展开式的二项式系数之和为，可得， 可得； （3）展开式的通项为，， 则 整理得，即 而，∴，所以系数最大的项为． 16．(1)(2)无关联(3)分布列见解析， 【分析】（1）根据表格中的数据和已知条件即可求出答案； （2）首先作出零假设，然后计算卡方值，然后与值作比较，进而可得到假设是否成立； （3）首先列出的可能取值，然后计算每个取值的概率值，进而可得到的分布列，最后可计算的数学期望. 【详解】（1）由题意可得，解得； （2）零假设：“樱花迷”与性别无关联， 根据列联表中的数据，经计算得到：， 根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立， 即“樱花迷”与性别无关联； （3）用分层抽样方法抽取10人，则“樱花迷”有8人，“非樱花迷”有2人， 故的可能取值为0，1，2， 则， 所以的分布列为 0 1 2 故. 17．(1)76.5(2)分布列见解析，(3) 【分析】本题主要涉及频率分布直方图、平均数的计算、二项分布以及条件概率等数学概念和定理. （1）根据频率分布直方图中平均数的计算公式，利用每组区间的中点值乘以该组的频率再求和来计算平均数，需要先根据频率分布直方图的性质求出的值. （2）先求出甲厂产品为“优秀品”的概率，由于是有放回的抽取，所以随机变量服从二项分布，根据二项分布的概率公式求出分布列，再根据期望公式求出数学期望. （3）利用全概率公式先求出取到优秀品的概率，再根据条件概率公式求出在已知取到优秀品的条件下，它是由甲厂生产的概率. 【详解】（1）由题知，，解得． 设为样本数据的平均数，则， 故这组样本数据的平均数为． （2）设表示在甲配件厂生产的这批产品中随机抽取一件产品，所抽取的产品为优秀品的概率，由题知， 随机变量，的所有可能取值为0，1，2，3， 则，， ，， 的分布列为 0 1 2 3 0.216 0.432 0.288 0.064 随机变量的数学期望． （3）设事件表示“取到的产品为优秀品”，，，分别表示“产品由甲、乙、丙厂生产”，由已知，，， ，，． 由全概率公式得：． 由贝叶斯公式得． 18．(1)(2)证明见解析(3) 【分析】（1）根据的关系可证明为等差数列，即可求解， （2）利用放缩法可得，即可由裂项相消法求和得解， （3）对分奇偶，即可利用平方差公式，结合等差数列求和公式即可求解. 【详解】（1）由，，成等差数列，得，① 当时，，∴，得（舍去）， 当时，，② ①-②得，， ∴， 又，∴， ∴是首项为2，公差为1的等差数列，∴，故； （2）， 故 （3）由（1）知， 当是奇数时， ， 当是偶数时， ， 综上. 19．(1)，(2) 【分析】(1)根据导数的几何意义，求得函数在处的切线斜率，并根据切点是函数图象与切线的交点，可求得实数a，b的值. (2)根据函数在上单调，得或在上恒成立，从而列出关于的不等式，求得实数的取值范围. 【详解】（1）解：因为函数，所以. 所以.所以函数在处的切线的斜率为. 由题可知：就是函数在处的切线方程.所以,所以 又切线过点,所以即所以 所以 （2）解:因为在上单调，或在上恒成立. 因为，且恒成立，所以或在上恒成立，所以或在上恒成立.所以或. 所以的取值范围是： 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$