第11讲　对数与对数函数讲义-2026届高三数学一轮复习

第11讲　对数与对数函数 一、知识梳理 1.对数 概念 如果　　　　(a>0,且a≠1),那么数x叫作以a为底N的对数,记作x=　　　　,其中a叫作对数的　　　　,N叫作　　　　  性质 底数的限制:a>0,且a≠1 对数式与指数式的互化:ax=N⇔　　　  负数和零没有对数 1的对数是　　　　:loga1=　　　　  底数的对数是　　　　:logaa=　　　　  对数恒等式:=　　　  运算 性质 loga(M·N)=　　　　  a>0,且a≠1, M>0,N>0 loga=　　　　　  logaMn=　　　　(n∈R)  换底 公式 logab=(a>0,且a≠1;c>0,且c≠1;b>0) 2.对数函数的概念、图象与性质 (1)对数函数的概念 函数y=logax(a>0,且a≠1)叫作对数函数,其中x是自变量,定义域是(0,+∞). (2)对数函数y=logax(a>0,且a≠1)的图象与性质 底数 a>1 0<a<1 图象 性质 定义域:　　　  值域:R 图象过定点　　　　,即恒有loga1=0  当x>1时,y>0; 当0<x<1时,y<0 当x>1时,y<0; 当0<x<1时,y>0 在(0,+∞)上是　　　  在(0,+∞)上是　　　  注意 当对数函数的底数a的大小不确定时,需分a>1和0<a<1两种情况进行讨论 3.反函数 指数函数y=ax(a>0,且a≠1)与对数函数　　　　　　　　　　互为反函数,它们的定义域与值域正好互换,它们的图象关于直线　　　　对称.  强调：（1）只有一一对应的函数才有反函数（2）互为反函数的单调性一致 例1、若满足，满足，则　　　　 2、若满足，满足，则　　　　 二、核心原则‌ 1、‌概念理解‌ ‌对数定义；‌对数函数性质‌：；‌反函数关系‌：； 2、‌运算规则 3、‌解题核心思想‌ ‌定义域优先‌：处理对数问题前必先确定定义域（真数>0）。 ‌数形结合‌：利用函数图象分析单调性、解不等式或比较大小。 ‌转化与化归‌：将复杂对数式通过换底、换元转化为简单形式。 三、常见题型分类与解题策略‌ ‌题型1：指数式与对数式的互化‌ ‌解题策略‌：利用定义直接转换。 【例1】已知实数满足，则（    ） A．11 B．12 C．16 D．17. 【详解】因为，所以. 故选：D. ‌题型2：对数的运算‌ ‌解题策略‌：灵活运用运算公式和换底公式化简。 【例1】已知，，则（   ） A．3 B．1 C． D． 【详解】由，可得，， 则，故选：B. 题型3：指数、对数函数模型的应用‌ ‌解题策略‌：实际问题中建立函数模型。 【例3】一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要的时间（单位：h），其中k为常数．在此条件下，已知训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加20h；当训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加（   ） A．2h B．4h C．20h D．40h 【详解】设当N取个单位、个单位、个单位时所需时间分别为, 由题意，， ， ， 因为，所以， 所以， 所以当训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加4小时. 故选：B. ‌题型4：对数函数图象的识别及应用‌ ‌解题策略‌：根据底数判断单调性，结合关键点（如(1,0)(1,0)）绘图。 【例4】已知函数，则的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【详解】因为的定义域为，，所以是偶函数，则其图象关于y轴对称，排除A； 当时，，，所以，当时，，，所以，故排除B，C. 故选:D. ‌题型5：比较对数式的大小‌ ‌解题策略‌： （1）‌同底比较‌：直接利用单调性。 （2）‌不同底比较‌：换底公式化为同底或借助中间量（如0,1）。 【例5】若，，则实数、、的大小顺序为（   ） A． B． C． D． 【详解】由题意可得，，可得，， 因为对数函数为上的增函数，则，幂函数在上为增函数，则， 故.故选：D. 题型6：解对数不等式‌ ‌解题策略‌： （1）确定定义域（真数>0）。 （2）根据底数单调性去掉对数符号（注意不等号方向变化）。 【例5】已知集合 ，则 （    ） A． B． C． D． 【详解】对于集合，因为， 所以，所以或.所以集合. 对于集合，因为，所以， 因为函数在上单调递增，所以. 所以集合.所以.故选：A. ‌题型7：对数（型）函数的单调性问题‌ ‌解题策略‌：复合函数分析：内层函数单调性+外层对数函数单调性。 【例6】函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【详解】由已知得，解得或，函数的定义域为， 因为总为增函数，要求函数的单调递增区间， 由同增异减可得即求函数在上的增区间 由二次函数的性质可得在上的增区间为， 故函数的单调递增区间是. 故选：A. ‌题型8：对数（型）函数的综合问题‌ ‌解题策略‌：结合奇偶性、周期性、最值等性质综合解题。 【例7】已知函数是R上的偶函数，对任意且都有，若则的大小关系是（   ） A．b<a<c B．a<b<c C．c<b<a D．b<c<a 【详解】因函数是R上的偶函数，则的图象关于直线对称，因对任意且都有，即函数在单调递增.因，，由，可得，又由对称性可得：， 故再由单调性，可得，即. 故选：A. 四、典例欣赏 【例7】若实数x，y，z满足，则x，y，z的大小关系不可能是（   ） A． B． C． D． 【详解】法一：设，所以 令，则，此时，A有可能； 令，则，此时，C有可能； 令，则，此时，D有可能； 故选：B． 法二：设，所以， 根据指数函数的单调性，易知各方程只有唯一的根， 作出函数的图象，以上方程的根分别是函数的图象与直线的交点纵坐标，如图所示： 易知，随着的变化可能出现：，，，， 故选：B． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第11讲　对数与对数函数 一、知识梳理 1.对数 概念 如果　　　　(a>0,且a≠1),那么数x叫作以a为底N的对数,记作x=　　　　,其中a叫作对数的　　　　,N叫作　　　　  性质 底数的限制:a>0,且a≠1 对数式与指数式的互化:ax=N⇔　　　  负数和零没有对数 1的对数是　　　　:loga1=　　　　  底数的对数是　　　　:logaa=　　　　  对数恒等式:=　　　  运算 性质 loga(M·N)=　　　　  a>0,且a≠1, M>0,N>0 loga=　　　　　  logaMn=　　　　(n∈R)  换底 公式 logab=(a>0,且a≠1;c>0,且c≠1;b>0) 2.对数函数的概念、图象与性质 (1)对数函数的概念 函数y=logax(a>0,且a≠1)叫作对数函数,其中x是自变量,定义域是(0,+∞). (2)对数函数y=logax(a>0,且a≠1)的图象与性质 底数 a>1 0<a<1 图象 性质 定义域:　　　  值域:R 图象过定点　　　　,即恒有loga1=0  当x>1时,y>0; 当0<x<1时,y<0 当x>1时,y<0; 当0<x<1时,y>0 在(0,+∞)上是　　　  在(0,+∞)上是　　　  注意 当对数函数的底数a的大小不确定时,需分a>1和0<a<1两种情况进行讨论 3.反函数 指数函数y=ax(a>0,且a≠1)与对数函数　　　　　　　　　　互为反函数,它们的定义域与值域正好互换,它们的图象关于直线　　　　对称.  强调：（1）只有一一对应的函数才有反函数（2）互为反函数的单调性一致 例1、若满足，满足，则　　　　 2、若满足，满足，则　　　　 二、核心原则‌ 1、‌概念理解‌ ‌对数定义；‌对数函数性质‌：；‌反函数关系‌：； 2、‌运算规则 3、‌解题核心思想‌ ‌定义域优先‌：处理对数问题前必先确定定义域（真数>0）。 ‌数形结合‌：利用函数图象分析单调性、解不等式或比较大小。 ‌转化与化归‌：将复杂对数式通过换底、换元转化为简单形式。 三、常见题型分类与解题策略‌ ‌题型1：指数式与对数式的互化‌ ‌解题策略‌：利用定义直接转换。 【例1】已知实数满足，则（    ） A．11 B．12 C．16 D．17. ‌题型2：对数的运算‌ ‌解题策略‌：灵活运用运算公式和换底公式化简。 【例1】已知，，则（   ） A．3 B．1 C． D． 题型3：指数、对数函数模型的应用‌ ‌解题策略‌：实际问题中建立函数模型。 【例3】一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要的时间（单位：h），其中k为常数．在此条件下，已知训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加20h；当训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加（   ） A．2h B．4h C．20h D．40h ‌题型4：对数函数图象的识别及应用‌ ‌解题策略‌：根据底数判断单调性，结合关键点（如(1,0)(1,0)）绘图。 【例4】已知函数，则的图象大致为（    ） A． B． C． D． ‌题型5：比较对数式的大小‌ ‌解题策略‌： （1）‌同底比较‌：直接利用单调性。 （2）‌不同底比较‌：换底公式化为同底或借助中间量（如0,1）。 【例5】若，，则实数、、的大小顺序为（   ） A． B． C． D． 题型6：解对数不等式‌ ‌解题策略‌： （1）确定定义域（真数>0）。 （2）根据底数单调性去掉对数符号（注意不等号方向变化）。 【例5】已知集合 ，则 （    ） A． B． C． D． ‌题型7：对数（型）函数的单调性问题‌ ‌解题策略‌：复合函数分析：内层函数单调性+外层对数函数单调性。 【例6】函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． ‌题型8：对数（型）函数的综合问题‌ ‌解题策略‌：结合奇偶性、周期性、最值等性质综合解题。 【例7】已知函数是R上的偶函数，对任意且都有，若则的大小关系是（   ） A．b<a<c B．a<b<c C．c<b<a D．b<c<a 四、典例欣赏 【例7】若实数x，y，z满足，则x，y，z的大小关系不可能是（   ） A． B． C． D． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$