第10讲　指数与指数函数讲义-2026届高三数学一轮复习

第10讲　指数与指数函数 一、知识梳理 1．根式 （1）次方根的概念与性质 次 方 根 概念 一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，. 性质 ①当是奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数.这时，的次方根用符号表示. ②当是偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数.这时，正数的正的次方根用符号表示，负的次方根用符号表示.正的次方根与负的次方根可以合并写成.负数没有偶次方根. ③0的任何次方根都为0，记作. （2）根式的概念与性质 根 式 概念 式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数. 性质 ①. ②当为奇数时，. ③当为偶数时，. 2．实数指数幂 （1）分数指数幂 ①我们规定正数的正分数指数幂的意义是. 于是，在条件下，根式都可以写成分数指数幂的形式. ②正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定且. ③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义. （2）实数指数幂 对于任意实数，均有下面的运算性质： ①；②； ③. 3.指数函数的概念、图象与性质 （1）指数函数的概念 一般地，函数叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域是. 【注】指数函数的结构特征： （1）底数：大于零且不等于1的常数；（2）指数：仅有自变量x；（3）系数：的系数是1. （2）指数函数的图象与性质 定义域 值域 奇偶性 非奇非偶函数 对称性 函数与的图象关于y轴对称 过定点 过定点，即时， 图象 单调性 在上是减函数 在上是增函数 函数值的 变化情况 当时，； 当时， 当时，； 当时， 底数对图象 的影响 指数函数在同一坐标系中的图象的相对位置与底数大小关系如下图所示，其中 ①在轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小； ②在轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小. 即无论在轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大. 二、指数与指数函数三大核心原则 （一）指数运算三原则 ‌根式转化原则‌：任何根式都可转化为分数指数幂形式（ ‌运算顺序原则‌：先乘方开方，后乘除，最后加减；有括号先算括号内 ‌底数统一原则‌：不同底数运算时，先化为相同底数或引入对数转化 （二）指数函数图象四特性 ‌定点特性‌：所有指数函数必过点 ‌渐近特性‌：以轴为水平渐近线（时） ‌单调特性‌：时单调递增；时单调递减 ‌对称特性‌：与关于轴对称 （三）复合函数三规律 ‌定义域优先‌：先确定内层函数定义域 ‌单调性叠加‌：同增异减原则（内外层单调性相同则增，相反则减） ‌值域转化‌：内层函数值域即外层函数定义域 三、题型分类与解题策略 （一）基础运算题型 1、‌指数化简题‌ 解题步骤：（1）化根式为分数指数幂（2）统一底数（3）运用指数运算法则化简 【例1】计算：（   ） A．0 B．1 C．100 D．5 2、‌方程求解题‌ 解题方法：（1）同底法（2）换元法： 【例2】若不等式在上恒成立，则实数a的取值范围是 . （二）函数性质题型 1、‌定义域与值域题‌ 解题模板：（1）确定复合函数结构（2）求内层函数值域（3）分析外层指数函数性质 【例3】函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 2、‌单调性与最值题‌ 解题关键：（1）确定复合函数结构（2）分析内外层单调性（3）利用"同增异减"原则判断 【例4】函数的值域为（   ） A． B． C． D． （三）综合应用题型 1、‌图象分析题‌ 解题要点：（1）识别基本指数函数图象（2）分析平移/伸缩/对称变换（3）特殊点验证（如截距） 【例4】（多选）已知实数a，b满足等式，则下列关系式可能成立的是（   ） A． B． C． D． 2、‌实际应用题‌ 解题策略：（1）建立指数函数模型（2）利用已知点求参数 （3）解方程或不等式得结论 【例5】某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：）间的关系为，其中、是正的常数.如果前消除了的污染物，那么前消除的污染物的占比为（    ） A． B． C． D． 3、‌比较大小题‌ 解题方法：（1）同底比较：利用单调性（2）同指比较：转化为幂函数比较 中间值法：插入0/1等特殊值 【例6】设，，，则的大小关系是（    ）． A． B． C． D． 四、典例欣赏 1．已知，则（    ） A． B． C． D． =1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第10讲　指数与指数函数 一、知识梳理 1．根式 （1）次方根的概念与性质 次 方 根 概念 一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，. 性质 ①当是奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数.这时，的次方根用符号表示. ②当是偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数.这时，正数的正的次方根用符号表示，负的次方根用符号表示.正的次方根与负的次方根可以合并写成.负数没有偶次方根. ③0的任何次方根都为0，记作. （2）根式的概念与性质 根 式 概念 式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数. 性质 ①. ②当为奇数时，. ③当为偶数时，. 2．实数指数幂 （1）分数指数幂 ①我们规定正数的正分数指数幂的意义是. 于是，在条件下，根式都可以写成分数指数幂的形式. ②正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定且. ③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义. （2）实数指数幂 对于任意实数，均有下面的运算性质： ①；②； ③. 3.指数函数的概念、图象与性质 （1）指数函数的概念 一般地，函数叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域是. 【注】指数函数的结构特征： （1）底数：大于零且不等于1的常数；（2）指数：仅有自变量x；（3）系数：的系数是1. （2）指数函数的图象与性质 定义域 值域 奇偶性 非奇非偶函数 对称性 函数与的图象关于y轴对称 过定点 过定点，即时， 图象 单调性 在上是减函数 在上是增函数 函数值的 变化情况 当时，； 当时， 当时，； 当时， 底数对图象 的影响 指数函数在同一坐标系中的图象的相对位置与底数大小关系如下图所示，其中 ①在轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小； ②在轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小. 即无论在轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大. 二、指数与指数函数三大核心原则 （一）指数运算三原则 ‌根式转化原则‌：任何根式都可转化为分数指数幂形式（ ‌运算顺序原则‌：先乘方开方，后乘除，最后加减；有括号先算括号内 ‌底数统一原则‌：不同底数运算时，先化为相同底数或引入对数转化 （二）指数函数图象四特性 ‌定点特性‌：所有指数函数必过点 ‌渐近特性‌：以轴为水平渐近线（时） ‌单调特性‌：时单调递增；时单调递减 ‌对称特性‌：与关于轴对称 （三）复合函数三规律 ‌定义域优先‌：先确定内层函数定义域 ‌单调性叠加‌：同增异减原则（内外层单调性相同则增，相反则减） ‌值域转化‌：内层函数值域即外层函数定义域 三、题型分类与解题策略 （一）基础运算题型 1、‌指数化简题‌ 解题步骤：（1）化根式为分数指数幂（2）统一底数（3）运用指数运算法则化简 【例1】计算：（   ） A．0 B．1 C．100 D．5 【详解】原式． 2、‌方程求解题‌ 解题方法：（1）同底法（2）换元法： 【例2】若不等式在上恒成立，则实数a的取值范围是 . 【详解】从已知不等式中分离出实数a，得.因为函数在R上是减函数，所以当时，，从而得，所以. （二）函数性质题型 1、‌定义域与值域题‌ 解题模板：（1）确定复合函数结构（2）求内层函数值域（3）分析外层指数函数性质 【例3】函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【详解】令，解得且， 所以函数的定义域为.故选：D. 2、‌单调性与最值题‌ 解题关键：（1）确定复合函数结构（2）分析内外层单调性（3）利用"同增异减"原则判断 【例4】函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【详解】当时，，因为函数在上单调递增， 所以，此时； 当时，因为函数在上为减函数，在上为增函数， 故，即在上的值域为. 综上所述，函数的值域为.故选：A. （三）综合应用题型 1、‌图象分析题‌ 解题要点：（1）识别基本指数函数图象（2）分析平移/伸缩/对称变换（3）特殊点验证（如截距） 【例4】（多选）已知实数a，b满足等式，则下列关系式可能成立的是（   ） A． B． C． D． 【详解】画出函数和的图象，借助图象分析满足等式时a，b的大小关系，如图所示． 令，若，则；若，则；若，则． 2、‌实际应用题‌ 解题策略：（1）建立指数函数模型（2）利用已知点求参数 （3）解方程或不等式得结论 【例5】某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：）间的关系为，其中、是正的常数.如果前消除了的污染物，那么前消除的污染物的占比为（    ） A． B． C． D． 【详解】当时，，当时，，即. 所以当时，， 即后，还剩的污染物，所以前消除的污染物的占比为. 故选：A. 3、‌比较大小题‌ 解题方法：（1）同底比较：利用单调性（2）同指比较：转化为幂函数比较 中间值法：插入0/1等特殊值 【例6】设，，，则的大小关系是（    ）． A． B． C． D． 【详解】因为指数函数在上单调递增，所以，即； 因为对数函数在上单调递增，所以，即； 因为对数函数在上单调递增，所以，即， 所以，即.故选：B. 四、典例欣赏 1．已知，则（    ） A． B． C． D． 【详解】 ［法一］：（指对数函数性质） 由可得，而，所以，即，所以. 又，所以，即， 所以.综上，. ［法二］：【最优解】（构造函数） 由，可得． 根据的形式构造函数 ，则， 令，解得 ，由 知 . 在 上单调递增，所以 ，即 ， 又因为 ，所以 . 故选：A. 【点评】法一：通过基本不等式和换底公式以及对数函数的单调性比较，方法直接常用，属于通性通法； 法二：利用的形式构造函数，根据函数的单调性得出大小关系，简单明了，是该题的最优解． =1 学科网（北京）股份有限公司 $$