第二十一章 专题三 课标新动向-【教与学·学导练】2025-2026学年九年级全一册数学同步课件（人教版）

数学 九年级 全一册 配人教版 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 第二十一章　一元二次方程 专题三　课标新动向 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 1. 【主题】三角点阵前n行的点数计算. 【素材】如图Z21－3－1是一个三角点阵，从上向下数有无数多 行，其中第一行有1个点，第二行有2个点……第n行有n个点…… 如果用试验的方法，由上而下地逐行相加其点数，容易发现，前n 行的点数和是1＋2＋3＋…＋（n－2）＋（n－1）＋n，可以发现 2[1＋2＋3＋…＋（n－2）＋（n－1）＋n]＝[1＋2＋3＋…＋（n －2）＋（n－1）＋n]＋[n＋（n－1）＋（n－2）＋…＋3＋2＋ 1]，把两个中括号中的第一项相加，第二项相加，…，第n项相 加，上式等号的右边变形为这n个项都等于n＋1，整个式子等于n （n＋1），于是得到1＋2＋3＋…＋（n－2）＋（n－1）＋n＝n （n＋1）. 这就是说，三角点阵中前n行的点数和是n（n＋1）. 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 请你根据上述材料回答下列问题： 【实践探索】 （1）三角点阵中前n行的点数和能是600吗？如果能，求出n；如 果不能，请说明理由； 图Z21－3－1 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 理由如下： 假设三角点阵中前n行的点数和是600，则有n（n＋1）＝600. 整理，得n2＋n－1 200＝0. Δ＝b2－4ac＝4 801. 解得n1＝，n2＝. ∵n不是正整数， ∴三角点阵中前n行的点数和不可能是600. 解：（1）三角点阵中前n行的点数和不可能是600. 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 【拓展探索】 （2）如果把图中的三角点阵中各行的点数依次换成2，4， 6，…，2n，…，请探究出前n行的点数和满足的规律； （2）由题意，得2＋4＋6＋…＋2n＝2（1＋2＋3＋…＋n）＝ 2×＝n（n＋1）. ∴前n行的点数和为n（n＋1）. 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 （3）在（2）的条件下，这个三角点阵中前n行的点数和能是600 吗？如果能，求出n；如果不能，请说明理由. （3）由题意，得n（n＋1）＝600. 解得n1＝－25（不合题意，舍去），n2＝24. ∴n＝24. 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 2. 在数学活动课上，同学们对三角点阵中前n行的点数计算进行 探究活动：如图Z21－3－2是一个三角点阵，从上到下有无数 行，其中第一行有1个点，第二行有2个点……第n行有n个点…… 【发现问题】在探究的过程中，容易发现10是三角形前4行的点数 和，但是遇到较大的点数，“逐个数”行数很烦琐. 【提出问题】小明提出问题：300是前多少行的点数和？ 【分析问题】智慧小组分别从数和形两个角度探究前n行的点 数和. 图Z21－3－2 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 从数的角度看 从形的角度看 通过具体的数字，想到了一种计 算方法——倒序相加法. 例：求前10行的点数和. S＝1＋2＋3＋…＋10.① 由①式倒序，得S＝10＋9＋…＋2＋1.② ①＋②，得2S＝（10＋1）＋（9 ＋2）＋…＋（10＋1）＝11×10＝110. 所以S＝55，即前10行的点数和是55 利用图形的特征进行计算.如 图Z21－3－3，将一个正立的 三角点阵倒立，再与正立的原 图形的三角点阵拼成一个平行 四边形点阵，三角点阵点数和 是平行四边形点阵点数和的一 半 图Z21－3－3 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 【解决问题】（1）根据以上材料，类比“从数的角度看”的推理 方法，请推导出三角点阵中前n行的点数和（用含n的式子表 示），并解决小明提出的问题； 解：（1）S＝1＋2＋3＋…＋（n－1）＋n.① 由①式倒序，得S＝n＋（n－1）＋…＋3＋2＋1.② ①＋②，得2S＝（n＋1）＋（n－1＋2）＋…＋（n＋1）＝n（n ＋1）. ∴S＝，即三角点阵中前n行的点数和为. 当＝300时，解得n1＝－25（不合题意，舍去） ，n2＝24. ∴300是前24行的点数和. 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 2. 【应用延伸】（2）如图Z21－3－4，如果把三角点阵的点数依 次换为1，3，5，7，…，2n－1，…，这个三角点阵中前n行的点 数和能是600吗？请说明理由. 图Z21－3－4 由③式倒序，得S＝（2n－1）＋（2n－3）＋（2n－5） ＋…＋3＋1.④ （2）这个三角点阵中前n行的点数和不能是600.理由如下： S＝1＋3＋5＋…＋（2n－3）＋（2n－1）.③ ③＋④，得2S＝2n＋2n＋…＋2n＝2n·n. ∴S＝n2，即三角点阵中前n行的点数和为n2. 当n2＝600时，解得n1＝10，n2＝－10. ∵n不是正整数， ∴这个三角点阵中前n行的点数和不能是600. 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 3. （跨学科与生物融合）某生物实验室需培育一群有益菌.现有 60个活体样本，经过两轮培植后，总和达24 000个，其中每个有 益菌每一次可分裂成若干个相同数目的有益菌. （1）每轮分裂中平均每个有益菌可分裂成多少个有益菌？ 解：（1）设每轮分裂中平均每个有益菌可分裂成x个有益菌. 由题意，得60x2＝24 000. 解得x1＝20，x2＝－20（不合题意，舍去）. 答：每轮分裂中平均每个有益菌可分裂成20个有益菌. 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 （2）按照这样的分裂速度，经过三轮培植后有多少个有益菌？ 解：（2）24 000×20＝480 000（个）. 答：经过三轮培植后有480 000个有益菌. 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 4. （跨学科与物理融合）在物理中，沿着一条直线且加速度不变 的运动，叫做匀变速直线运动.在此运动过程中，每个时间段的平 均速度为初速度和末速度的算术平均数，路程等于时间与平均速 度的乘积.若一个小球以5 m/s的速度开始向前滚动，并且均匀减 速，4 s后小球停止运动. （1）小球的滚动速度平均每秒减少多少？ 解：（1）5÷4＝1.25（m/s）. 答：小球的滚动速度平均每秒减少1.25 m/s. 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 （2）小球滚动5 m用了多少秒？（结果精确到0.1，≈1.41， ≈1.73） 解：（2）设小球滚动5 m约用了x s. 由题意，得x·＝5. 整理，得x2－8x＋8＝0. 解得x1＝4－2，x2＝4＋2. 当x＝4＋2时，5－1.25x＝5－1.25×（4＋2）＝－＜0， 不符题意，舍去. ∴x＝4－2≈1.2. 答：小球滚动5 m大约用了1.2 s. 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 5. 我国数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了求一元 二次方程正数解的几何解法，以x2＋2x－35＝0为例，解法如下： 将方程x2＋2x－35＝0变形为x（x＋2）＝35，然后画四个长为（x ＋2），宽为x的矩形，按如图Z21－3－5所示的方式拼成一个“空 心”大正方形.图中大正方形的面积可表示为（x＋x＋2）2，还可 表示为四个矩形与一个边长为2的小正方形面积之和，即4x（x＋ 2）＋22＝4×35＋4， 可得新方程（x＋x＋2）2＝144. 图Z21－3－5 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 图Z21－3－6 ∵x表示边长，∴2x＋2＝12. ∴x＝5，即方程的正数解为x＝5. 根据赵爽记载的方法，在图Z21－3－6中的三个构图（矩形的顶 点均落在边长为1的小正方形网格格点上）①②③中，能够得到方 程x2＋3x－10＝0的正数解的构图是 .（填序号） ② 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 谢 谢 ! 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 $$