第二十二章 专题四 中考新动向-【教与学·学导练】2025-2026学年九年级全一册数学同步课件（人教版）

该初中数学课件聚焦九年级二次函数专题，涵盖解析式求解、最值探究、几何综合及实际应用等核心内容。通过近三年广东中考真题导入，衔接二次函数基础与综合应用，以例题解析和步骤引导为学习支架，帮助学生构建知识脉络。 其亮点在于融合中考考情分析与创新情境设计，如荔枝销售利润问题、水火箭运动轨迹探究等实例，培养学生运算能力、模型观念与应用意识。采用问题驱动与情境教学法，助力学生提升解题技能，教师可直接用于中考复习，提高教学效率。

数学 九年级 全一册 配人教版 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 第二十二章　二次函数 专题四 中考新动向 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 1. （2022·广东）如图Z22－4－1，抛物线y＝x2＋bx＋c（b，c是 常数）的顶点为C，与x轴交于A，B两点，A（1，0），AB＝4， 点P为线段AB上的动点，过点P作PQ∥BC交AC于点Q. （1）求该抛物线的解析式； 图Z22－4－1 （2）求△CPQ面积的最大值，并求此时点P的坐标. 【考点】二次函数综合题. 【核心能力考查】运算能力，推理能力. 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 【答案】解：（1）∵A（1，0），AB＝4， ∴B（－3，0）. 将点A（1，0），B（－3，0）代入y＝x2＋bx＋c，得 解得 ∴抛物线的解析式为y＝x2＋2x－3. 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 （2）如图Z22－4－2，过点Q作QE⊥x轴于点E，过点C作CF⊥x 轴于点F. 设P（m，0），则PA＝1－m. ∵y＝x2＋2x－3＝（x＋1）2－4， ∴C（－1，－4）.∴CF＝4. 图Z22－4－2 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 ∵PQ∥BC，∴△PQA∽△BCA. ∴＝，即＝. ∴QE＝1－m. ∴S△CPQ＝S△PCA－S△PQA ＝PA·CF－PA·QE ＝（1－m）×4－（1－m）（1－m） ＝－（m＋1）2＋2. ∵a＝－＜0，－3＜m＜1， 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 ∴当m＝－1时，S△CPQ有最大值为2. ∴△CPQ面积的最大值为2，此时点P的坐标为（－1，0）. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 图Z22－4－3 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 2. （2023·广东）如图Z22－4－3，抛物线y＝ax2＋c经过正方形 OABC的三个顶点A，B，C，点B在y轴上，则ac的值为（　　） A. －1 B. －2 C. －3 D. －4 【考点】二次函数图象及其性质；二次函数图象上点的坐标特 征；正方形的性质. 【核心能力考查】几何直观，运算能力，推理能力. 【答案】B. 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 3. （2024·广东）若点（0，y1），（1，y2），（2，y3）都在二次 函数y＝x2的图象上，则（　　） A. y3＞y2＞y1 B. y2＞y1＞y3 C. y1＞y3＞y2 D. y3＞y1＞y2 【考点】二次函数图象上点的坐标特征. 【核心能力考查】运算能力，推理能力. 【答案】A. 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 4. （2024·广东）广东省全力实施“百县千镇万村高质量发展工 程”，2023年农产品进出口总额居全国首位，其中荔枝鲜果远销 欧美.某果商以每吨2万元的价格收购早熟荔枝，销往国外，若按 每吨5万元出售，平均每天可售出100 t.市场调查反映：如果每吨 降价1万元，每天销售量相应增加50 t.该果商如何定价才能使每天 的“利润”或“销售收入”最大？并求出其最大值.（题中“元” 为人民币） 【考点】二次函数的应用. 【核心能力考查】运算能力，模型观念，应用意识. 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 【答案】解：设该果商定价为每吨x万元时，每天的“利润”为w 万元，每天的“销售收入”为y万元. 由题意，得w＝（x－2）[100＋50（5－x）]＝－50（x－4.5）2＋ 312.5. ∵－50＜0， ∴当x＝4.5时，w有最大值，最大值为312.5； 由题意，得y＝x[100＋50（5－x）]＝－50（x－3.5）2＋612.5. ∵－50＜0， ∴当x＝3.5时，y有最大值，最大值为612.5. 答：该果商定价为每吨4.5万元时，才能使每天的“利润”最大， 最大值为312.5万元； 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 该果商定价为每吨3.5万元时，才能使每天的“销售收入”最大， 最大值为612.5万元. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 1. （2024·眉山）定义运算：a⊗b＝（a＋2b）（a－b），例如 4⊗3＝（4＋2×3）（4－3），则函数y＝（x＋1）⊗2的最小值为 （　B　） A. －21 B. －9 C. －7 D. －5 B 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 2. （2024·乐山）已知二次函数y＝x2－2x（－1≤x≤t－1），当x ＝－1时，函数取得最大值；当x＝1时，函数取得最小值，则t的 取值范围是（　C　） A. 0＜t≤2 B. 0＜t≤4 C. 2≤t≤4 D. t≥2 C 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 3. （2024·广西）如图Z22－4－4，壮壮同学投掷实心球，出手 （点P处）的高度OP是 m，出手后实心球沿一段抛物线运行，到 达最高点时，水平距离是5 m，高度是4 m.若实心球落地点为M， 则OM＝ m. ​ 图Z22－4－4 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 1. （2024·甘肃）如图Z22－4－5①为一汽车停车棚，其棚顶的横 截面可以看作是抛物线的一部分，如图Z22－4－5②是棚顶的竖 直高度y（m）与距离停车棚支柱AO的水平距离x（m）近似满足 函数关系y＝－0.02x2＋0.3x＋1.6的图象，点B（6，2.68）在图 象上.若一辆厢式货车需在停车棚下避雨，货车截面看作长CD＝4 m，高DE＝1.8 m的矩形，则可判定货车 完全停到车棚内. （填“能”或“不能”） 能 生活情境 图Z22－4－5 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 2. （2024·兰州改编）在校园科技节期间，科普员为同学们进行 了水火箭的发射表演，图Z22－4－6①是某型号水火箭的实物 图，水火箭发射后的运动路线可以看作是一条抛物线.为了解水火 箭的相关性能，同学们进一步展开研究，如图Z22－4－6②建立 直角坐标系，水火箭发射后落在水平地面A处.科普员提供了该型 号水火箭与地面成一定角度时，从发射到着陆过程中，水火箭距 离地面OA的竖直高度y（m）与离发射点O的水平距离x（m）的几 组关系数据如下： x/m 0 3 4 10 15 20 22 27 y/m 0 3.24 4.16 8 9 8 7.04 3.24 科技情境 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 （1）根据如表，请确定抛物线的表达式； 图Z22－4－6 解：（1）由题意，得抛物线的 对称轴是直线x＝＝15. ∴抛物线的顶点为（15，9）. ∴可设抛物线的表达式为y＝a（x－15）2＋9. 把点（10，8）代入，得a（10－15）2＋9＝8. 解得a＝－. ∴抛物线的表达式为y＝－（x－15）2＋9. 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 （2）当水火箭飞行至离发射点O的水平距离为5 m时，水火箭距 离地面的竖直高度为 m. 图Z22－4－6 5 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 3. 某数学兴趣小组对数学学习中有关汽车的刹车距离有疑惑，于 是他们走进汽车研发中心考察，了解刹车距离. 图Z22－4－7 综合与实践 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 【知识背景】“道路千万条，安全第一条.”刹车系统是车辆行驶 安全的重要保障，由于惯性的作用，行驶中的汽车在刹车后还要 继续向前行驶一段距离才能停止，这段距离称为刹车距离（如图 Z22－4－7）. 【探究发现】汽车研发中心设计了一款新型汽车，现在模拟汽车 在高速公路上以某一速度行驶时，对它的刹车性能进行测试.兴趣 小组成员记录其中一组数据如下表： 刹车后行驶的时间t/s 0 1 2 3 刹车后行驶的距离y/m 0 27 48 63 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 发现：①开始刹车后行驶的距离y（单位：m）与刹车后行驶的时 间t（单位：s）之间成二次函数关系； ②汽车刹车后行驶的距离随刹车后行驶的时间t的增大而增大，当 刹车后行驶的距离最远时，汽车完全停止. 【问题解决】请根据以上信息，回答下列问题： 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 （1）求y关于t的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； 解：（1）设y关于t的函数解析式为y＝at2＋bt＋c. 将（0，0），（1，27），（2，48）代入上式， 得解得 ∴y关于t的函数解析式为y＝－3t2＋30t. （2）汽车刹车后，4 s内行驶了多长的距离？ 解：（2）当t＝4时，y＝－3×42＋30×4＝72. 答：汽车刹车后，4 s内行驶了72 m. 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 （3）若汽车司机发现正前方80 m处有一辆抛锚的车停在路面，立 刻刹车，问该车在不变道的情况下是否会撞到抛锚的车？试说明 理由. 解：（3）不会. 理由如下：∵y＝－3t2＋30t＝－3（t－5）2＋75， ∴当t＝5时，汽车完全停止，行驶了75 m. ∵75＜80， ∴该车在不变道的情况下不会撞到抛锚的车. 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 4. 某次项目式学习研究中，智慧小组的研究如下： 【研究课题】为班级年度优秀学生设计奖杯. 项目式学习 素 材 1 如图Z22－4－8是奖杯的设计稿，设计稿的上半 部分呈抛物线形，抛物线的最低点为点C，A与B 均为最高点，且A，B两点之间的距离为16 cm， 点A到杯底EF的竖直高度为24 cm；下半部分是 一个等腰三角形底座CEF，CD⊥EF于点D，图中 所有的点都在同一平面内. 图Z22－4－8 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 素 材 2 以杯底EF所在直线为x轴，过点A且垂直于EF的直线为y轴建立平面直角坐标系，抛物线部分满足函数关系式：y＝x2＋bx＋c（b，c为常数）. 素 材 3 在距离杯底的竖直高度为12 cm的M，N两点处贴上装饰图案（点M在点N的左侧，图案大小忽略不计）. 图Z22－4－8 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 【任务解决】 （1）求该奖杯抛物线部分的函数表达式； 解：（1）由题意，得A（0，24），B（16，24）. 把A（0，24），B（16，24）代入y＝x2＋bx＋c， 得解得 ∴抛物线部分的函数表达式为y＝x2－4x＋24. 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 （2）求抛物线最低点C到杯底EF的竖直高度CD； 解：（2）∵y＝x2－4x＋24＝（x－8）2＋8， ∴C（8，8）. ∴抛物线最低点C到杯底EF的竖直高度CD为8 cm. 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 （3）求M，N两点之间的水平距离. 解：（3）对于y＝x2－4x＋24，令y＝12，则x2－4x＋24＝12. 解得x1＝4，x2＝12. ∴M（4，12），N（12，12）. ∴MN＝12－4＝8（cm）， 即M，N两点之间的水平距离为8 cm. 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 5. 如图Z22－4－9，在平面直角坐标系中，已知直线y＝x－2与x 轴交于点A，与y轴交于点C，过A，C两点的抛物线y＝ax2＋bx＋c （a≠0）与x轴的另一个交点为点B（－1，0），点P是抛物线位 于第四象限图象上的动点，过点P分别作x轴和y轴的平行线，分别 交直线AC于点E，点F. 综合探究 图Z22－4－9 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 解：（1）对于y＝x－2，令y＝0，则x－2＝0.∴x＝4. 令x＝0，则y＝－2. ∴A（4，0），C（0，－2）. 把A（4，0），B（－1，0），C（0，－2）代入y＝ax2＋bx＋ c，得解得 ∴抛物线的解析式为y＝x2－x－2. （1）求抛物线的解析式； 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 （2）点D是x轴上的任意一点，若△ACD是以AC为腰的等腰三角 形，求点D的坐标； 解：（2）设点D（m，0）. 由点A，C，D的坐标，得AC2＝20，AD2＝（m－4）2，CD2＝m2 ＋4. ∵△ACD是以AC为腰的等腰三角形， ∴AC＝AD或AC＝CD， 即20＝（m－4）2或20＝m2＋4. 解得m＝4＋2或4－2或4（不合题意，舍去）或－4. ∴点D的坐标是（4＋2，0）或（4－2，0）或（－4，0）. 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 （3）当EF＝AC时，求点P的坐标； 解：（3）设点P，则F. ∵EP∥x轴，∴yE＝yP＝t2－t－2. ∵E，C，F，A共线，EF＝AC， ∴yF－yE＝yA－yC， 即t－2－＝0－（－2）. 解得t1＝t2＝2. ∴点P的坐标是（2，－3）. 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 （4）在（3）的条件下，若点N是y轴上的一个动点，过点N作抛 物线对称轴的垂线，垂足为M，连接NA，MP，则NA＋MP的最小 值为 ⁠. ​ 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 解：（4）【提示】∵抛物线对称轴为直线x＝＝， ∴MN＝. ∴如答图Z22－4－1，作点A关于y轴的对称点A'（－4，0），将 点A'向右平移个单位长度（即MN的长度），得到点 A″，连接PA″交抛物线对称轴于点M， 过点M作MN⊥y 轴于点N，连接A'N. ∵A'A″∥MN且A'A″＝MN， ∴四边形A'A″MN为平行四边形. ∴A'N＝A″M. 答图Z22－4－1 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 ∴NA＋MP＝A'N＋MP＝A″M＋MP≥A″P. 当A″，M，P三点共 线时，NA＋MP最小，最小值为A″P＝＝. 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 6. 如图Z22－4－10，在平面直角坐标系中，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于点A（－1，0），B（5，0），与y轴交于点C，过点C作CD∥x轴，交抛物线于点D，点E为抛物线上的点，且在BC的上方，作EM∥y轴，交BC于点M. （1）求抛物线的解析式； 解：（1）将点A（－1，0），B（5，0）代入y＝ －x2＋bx＋c，得 解得 ∴抛物线的解析式为y＝－x2＋4x＋5. 综合运用 图Z22－4－10 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 （2）当EM＝时，求点E的坐标； 解：（2）对于y＝－x2＋4x＋5，令x＝0，则y＝5. ∴C（0，5）. 设直线BC的解析式为y＝dx＋n. 将点C（0，5），B（5，0）代入y＝dx＋n中，得 解得 ∴直线BC的解析式为y＝－x＋5. 设E（m，－m2＋4m＋5），则M（m，－m＋5） （0＜m＜5）. ∴EM＝－m2＋4m＋5－（－m＋5）＝－m2＋5m ＝. 解得m1＝m2＝. 此时，y＝－＋4×＋5＝. ∴点E的坐标为. 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 （3）在平面直角坐标系内是否存在点N，使得以点C，D，B，N 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐 标，若不存在，请说明理由. 解：（3）点N的坐标为（9，0）或（1，0）或 （－1，10）. 【提示】由题意，得抛物线的对称轴为直线 x＝－＝－＝2. ∵CD∥x轴，C（0，5），∴D（4，5）. 由平行四边形的对边平行且相等的性质，可通过 平移已知顶点来找到点N，如答图Z22－4－2. 答图Z22－4－2 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 ①当CD为边时，点D（4，5）由点C（0，5）向 右平移4个单位长度得到， ∴点B（5，0）向右平移4个单位长度得到N1. ∴四边形CBN1D是平行四边形. ∴N1（9，0）； 点C（0，5）由点D（4，5）向左平移4个单位长 度得到， ∴点B（5，0）向左平移4个单位长度得到N2. ∴四边形CN2BD是平行四边形. ∴N2（1，0）； 答图Z22－4－2 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 ②当CD为对角线时，点D（4，5）由点B（5，0）向左平移1个单位长度，再向上平移5个单位长 度得到， ∴点C（0，5）向左平移1个单位长度， 再向上平移5个单位长度得到N3. ∴四边形CBDN3是平行四边形. ∴N3（－1，10）. 综上所述，点N的坐标为 （9，0）或（1，0）或（－1，10）. 答图Z22－4－2 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 谢 谢 ! 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 $$