第二十二章 专题三 课标新动向-【教与学·学导练】2025-2026学年九年级全一册数学同步课件（人教版）

该初中数学课件聚焦九年级二次函数，通过数字乘积问题、几何作图等情境导入，引导学生从具体问题抽象函数模型，搭建从具体到抽象的学习支架，衔接前后知识脉络。 其亮点在于跨学科融合（化学试剂挥发、生物心形叶片）与实际应用（卢沟桥桥拱、投石机轨迹），运用数学眼光观察现实，通过建立函数模型培养数学思维，用数学语言解决问题。学生提升应用意识，教师可丰富教学资源，落实核心素养。

数学 九年级 全一册 配人教版 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 第二十二章　二次函数 专题三　课标新动向 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 1. 【主题】建立二次函数模型解决数字乘积问题. 【数学活动】 （1）下列两个两位数相乘的运算中（两个乘数的十位上的数都是 9，个位上的数的和等于10），通过计算可得出其中积最大的算式 是 ⁠； 91×99，92×98，…，98×92，99×91. 【阅读材料】 95×95 活动1 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 （2）对于以上问题从二次函数角度有如下解题思路： 设两个两位数的积为y，其中一个乘数的个位上的数为x，则另一 个乘数个位上的数为（10－x），写出y与x的函数关系式，并求出 上述算式中积最大的算式； 解：（2）由题意，得y＝（90＋x）[90＋（10－x）]＝（90＋x） （100－x）＝－（x－5）2＋9 025（x＝1，2，3，…，8，9）. ∵－1＜0， ∴当x＝5时，y有最大值. ∴95×95的积最大. 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 （3）下列两个三位数相乘的运算中（两个乘数的百位上的数都是 9，十位上的数与个位上的数组成的数的和等于100），猜想其中 哪个算式的积最大，并用函数的观点说明理由. 901×999，902×998，…，998×902，999×901. 【问题解决】 解：（3）950×950的积最大.理由： 设两个三位数的积为w，其中一个乘数的十位上的数与个位上的 数组成的数为a，则另一个乘数的十位上的数与个位上的数组成 的数为（100－a）. 由题意，得w＝（900＋a）[900＋（100－a）]＝（900＋a）（ 1 000－a）＝－（a－50）2＋902 500（a＝1，2，3，…，98，99）. ∵－1＜0，∴当a＝50时，w有最大值.∴950×950的积最大. 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 2. 如图Z22－3－1①，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（0， 2），在x轴上任取一点M，完成以下作图步骤： ①连接AM，作AM的垂直平分线l1，过点M作x轴的垂线l2，记l1， l2的交点为P； ②在x轴上多次改变点M的位置，用①的方法得到相应的点P. 活动2 图Z22－3－1 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 （1）小明在图Z22－3－1①按要求已完成了①的作图，并确定了 M1，M2，M3的位置，请你帮他完成余下的作图步骤，描出对应的 P1，P2，P3，…并把这些点用平滑的曲线连接起来，观察画出的 曲线L，猜想：曲线L的形状是 ⁠； 抛物线 解：（1）如答图Z22－3－1. 答图Z22－3－1 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 （2）对于曲线L上的任意一点P，线段PA与PM有什么关系？设点 P的坐标是（x，y），试求出x，y满足的函数关系式； 解：（2）∵l1是AM的垂直平分线， ∴PA＝PM. ∵点P的坐标为（x，y），∴点M的坐标为 （x，0）. ∵PA＝PM， ∴x2＋（y－2）2＝（y－0）2. ∴x，y满足的函数关系式为y＝x2＋1. 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 （3）如图Z22－3－1②，点F的坐标为（1，0），点G是曲线L上 的一动点.问在x轴上是否存在点N，使得以A，F，G，N为顶点的 四边形是平行四边形？若存在，求出所有满足条件的点N的坐 标；若不存在，请说明理由. 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 解：（3）存在.如答图Z22－3－2.∵点F，N都在x轴上， ∴当AG∥FN且AG＝FN时，点A，F，G，N可以构成平行四边 形，此时AG∥x轴. ∵点A的坐标是（0，2）， ∴点G的纵坐标为2. ∴x2＋1＝2.解得x1＝2，x2＝－2. ∴AG＝2.∴FN＝2. ∵点F的坐标是（1，0）， ∴点N的坐标为（3，0）或（－1，0）. 答图Z22－3－2 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 3. （跨学科与化学融合）（2023·潍坊改编）为研究某种化学 试剂的挥发情况，某研究团队在两种不同的场景下做对比实 验，收集了该试剂挥发过程中剩余质量y（g）随时间x（min） 变化的数据（0≤x≤20），并分别绘制在直角坐标系中，如图 Z22－3－2所示. 图Z22－3－2 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 （1）从y＝ax＋21（a≠0），y＝－0.04x2＋bx＋c中，选择适当的 函数模型分别模拟两种场景下y随x变化的函数关系，并求出相应 的函数表达式； 解：（1）观察两种场景可知，场景A为y＝－0.04x2＋bx＋c，场 景B为y＝ax＋21（a≠0）. 将（10，16），（20，3）代入y＝－0.04x2＋bx＋c， 得解得 ∴y＝－0.04x2－0.1x＋21，经验证其他点也满足； 将（5，16）代入y＝ax＋21，得5a＋21＝16.解得a＝－1. ∴y＝－x＋21，经验证其他点也满足. ∴场景A对应的函数表达式为y＝－0.04x2－0.1x＋21，场景B对 应的函数表达式为y＝－x＋21. 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 （2）查阅文献可知，该化学试剂发挥作用的最低质量为3 g.在上 述实验中，该化学试剂在哪种场景下发挥作用的时间更长？ 解：（2）由题图知，在场景A下，当该化学试剂发挥作用的最低 质量为3 g时，时间为20 min. 在场景B下，令y＝3，即3＝－x＋21， 解得x＝18. ∴在场景B下，该化学试剂发挥作用的时间为18 min. ∵20＞18， ∴化学试剂在场景A下发挥作用的时间更长. 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 4. （跨学科与生物融合）在大自然里，有很多数学的奥秘，一片 美丽的心形叶片可以看作把一条抛物线的一部分沿直线折叠而形 成（如图Z22－3－3①）. （1）如图Z22－3－3②，建立平面直角坐标系，心形叶片下部轮 廓线可以看作是二次函数y＝mx2－4mx－20m＋5图象的一部分， 且过原点，求抛物线的解析式和顶点D的坐标； 图Z22－3－3 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 解：（1）把点（0，0）代入y＝mx2 －4mx－20m＋5， 得－20m＋5＝0.解得m＝. ∴抛物线的解析式为y＝x2－x. ∵y＝x2－x＝（x－2）2－1， ∴顶点D的坐标为（2，－1）. 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 （2）如图Z22－3－3②，心形叶片的对称轴直线y＝x＋2与坐标轴 交于A，B两点，直线x＝6分别交抛物线和直线AB于点E，F，点 E，E'是叶片上的一对对称点，EE'交直线AB于点G，求叶片此处 的宽度EE'. 解：（2）对于y＝x＋2，当x＝6 时，y＝6＋2＝8， ∴F（6，8）； 对于y＝x2－x，当x＝6 时，y＝×62－6＝3， ∴E（6，3）.∴EF＝8－3＝5. 对于y＝x＋2，当x＝0时，y＝2；当y＝0时，x＝－2. ∴A（－2，0），B（0，2）.∴OA＝OB＝2. 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 ∴△AOB是等腰直角三角形.∴∠ABO＝45°. ∵EF∥OB，∴∠GFE＝∠ABO＝45°. ∵E，E'是叶片上的一对对称点， ∴EE'＝2EG，EG⊥FG. ∴△EFG是等腰直角三角形.∴FG＝EG. 在Rt△EFG中，EG2＋FG2＝EF2，即2EG2＝EF2. ∴EG＝EF＝.∴EE'＝2EG＝5. 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 5. “卢沟晓月”是著名的北京八景之一，每当黎明斜月西沉，月 色倒影水中，更显明媚皎洁.古时乾隆皇帝曾在秋日路过卢沟桥， 赋诗“半钩留照三秋淡，一练分波平镜明”于此，并题“卢沟晓 月”，立碑于桥头.卢沟桥主桥拱可以近似看作抛物线，桥拱在水 面的跨度OA约为22 m，若按如图Z22－3－4所示方式建立平面直 角坐标系，则主桥拱所在抛物线可以表示为y＝－（x－11）2＋ k，求主桥拱最高点P与其在 水中倒影P'之间的距离. 图Z22－3－4 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 解：由图象可知，点A（22，0）在抛物线上， 把点A（22，0）代入y＝－（x－11）2＋k， 得0＝－（22－11）2＋k. 解得k＝13. ∴y＝－（x－11）2＋13. ∴主桥拱最高点P的坐标为（11，13）. ∵点P和点P'关于x轴对称， ∴PP'＝2×13＝26（m）. 答：主桥拱最高点P与其在水中倒影P'之间的距离是26 m. 　　　　　　　　　　　　　　　　　 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 6. 如图Z22－3－5①是古代的一种远程投石机，其投出去的石块 运动轨迹是抛物线的一部分.据《范蠡兵法》记载：“飞石重二十 斤，为机发，行三百步”，其原理蕴含了物理中的“杠杆原理”. 在如图Z22－3－5②所示的平面直角坐标系中，将投石机置于斜 坡OA的底部（原点O处），石块从投石机竖直方向上的点C处被 投出，在斜坡上的点A处建有垂直于水平面的城墙AB. 已知石块运 动轨迹所在抛物线的顶点坐标是（50，25），OC＝5，OD＝75， AD＝12，AB＝9. 图Z22－3－5 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 解：（1）∵OC＝5， ∴C（0，5）. 设抛物线的表达式为y＝a（x－50）2＋25. 把点C（0，5）代入上式，得2 500a＋25＝5. 解得a＝－. ∴抛物线的表达式为y＝－（x－50）2＋25. （1）求抛物线的表达式； 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 （2）通过计算说明石块能否飞越城墙AB. 解：（2）∵OD＝75，AD＝12，AB＝9， ∴BD＝AD＋AB＝21. ∴B（75，21）. 把x＝75代入y＝－（x－50）2＋25， 得y＝－×（75－50）2＋25＝20. ∵20＜21， ∴石块不能飞越城墙AB. 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 谢 谢 ! 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 $$