第二十二章 专题二 本章重难点-【教与学·学导练】2025-2026学年九年级全一册数学同步课件（人教版）

数学 九年级 全一册 配人教版 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 第二十二章　二次函数 专题二 本章重难点 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 　　　　　　　　　　　　　　　　　 一、二次函数的图象和性质 【例1】（2024·贵州）如图Z22－2－1，二次函数y＝ax2＋bx＋c的 部分图象与x轴的一个交点的横坐标是－3，顶点坐标是（－1， 4），则下列说法正确的是（　D　） D A. 二次函数图象的对称轴是直线x＝1 B. 二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是2 C. 当x＜－1时，y随x的增大而减小 D. 二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3 图Z22－2－1 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 【例2】（2024·甘南州）已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的 图象如图Z22－2－2所示，有下列5个结论：①abc＜0；②b＜a＋ c；③4a＋2b＋c＞0；④2c＜3b；⑤a＋b＜m（am＋b）（m≠1）. 其中正确结论个数有（　C　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【例3】（2024·滨州）将抛物线y＝－x2先向右平移1个单位长度， 再向上平移2个单位长度，则平移后抛物线的顶点坐标为 ⁠ ⁠. 　　　　　　　　　　　　　　　　　 C （1， 2） 图Z22－2－2 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 1. （2024·陕西）已知一个二次函数y＝ax2＋bx＋c的自变量x与函 数y的几组对应值如下表： x … －4 －2 0 3 5 … y … －24 －8 0 －3 －15 … 则下列关于这个二次函数的结论正确的是（　D　） A. 图象的开口向上 B. 当x＞0时，y随x的增大而增大 C. 图象经过第二、三、四象限 D. 图象的对称轴是直线x＝1 D 【对点训练】 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 2. （2024·东营）已知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如图 Z22－2－3所示，则下列结论正确的是（　D　） 图Z22－2－3 D A. abc＜0 B. a－b＝0 C. 3a－c＝0 D. am2＋bm≤a－b（m为任意实数） 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 3. （2024·内江）已知二次函数y＝x2－2x＋1的图象向左平移2个 单位长度得到抛物线C，点P（2，y1），Q（3，y2）在抛物线C 上，则y1 y2（填“＞”或“＜”）. ＜ 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 二、二次函数与一元二次方程、不等式 【例4】（2024·长春）若抛物线y＝x2－x＋c（c是常数）与x轴没 有交点，则c的取值范围是 ⁠. 【例5】如图Z22－2－4，二次函数y＝ax2＋c的图象与一次函数y ＝kx＋c的图象在第一象限的交点为A，点A的横坐标为1，则关于x 的不等式ax2＋c＜kx＋c的解集为 ⁠. c＞ 0＜x＜1 图Z22－2－4 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 【对点训练】 4. （2024·宁夏）若二次函数y＝2x2－x＋m的图象与x轴有交点， 则m的取值范围是 ⁠. 5. 二次函数y＝－x2＋bx＋c的部分图象如图Z22－2－5所示，则y ＞0的解集是 ⁠. 图Z22－2－5 m≤ －1＜x＜9 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 三、求二次函数的解析式 【例6】（2022·东营改编）如图Z22－2－6，抛物线y＝ax2＋bx－ 3与x轴交于点A（－1，0），B（3，0），与y轴交于点C. （1）求抛物线的解析式； 解：（1）将点A（－1，0），B（3，0） 代入y＝ax2＋bx－3，得 解得 ∴抛物线的解析式是y＝x2－2x－3. 图Z22－2－6 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 （2）在对称轴上找一点Q，使△ACQ的周长最小，求点Q的坐标. 解：（2）如答图Z22－2－1，连接CB交对称轴于点Q. ∵y＝x2－2x－3＝（x－1）2－4， ∴抛物线的对称轴为直线x＝1. 令x＝0，则y＝－3. ∴C（0，－3）. ∵点A，B关于对称轴x＝1对称， ∴AQ＝BQ. ∴AC＋CQ＋AQ＝AC＋CQ＋BQ≥AC＋BC. 答图Z22－2－1 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 当C，B，Q三点共线时，△ACQ的周长最小. 设直线BC的解析式为y＝kx＋d. ∵C（0，－3），B（3，0）， ∴ 解得 ∴直线BC的解析式为y＝x－3. 对于y＝x－3，当x＝1时，y＝1－3＝－2. ∴Q（1，－2）. 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 6. （2024·牡丹江）如图Z22－2－7，二次函数y＝x2＋bx＋c的图 象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为（－1， 0），点C的坐标为（0，－3），连接BC. （1）求二次函数的解析式； 【对点训练】 图Z22－2－7 解：（1）将点A（－1，0），C（0，－3）代入y＝ x2＋bx＋c，得解得 ∴二次函数的解析式为y＝x2－x－3. 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 （2）点P是抛物线在第四象限图象上的任意一点，求当△BCP的 面积最大时，BC边上的高PN的值. 解：（2）令y＝0，则0＝x2－x－3. 解得x1＝－1，x2＝6. ∴点B的坐标为（6，0）. ∴BC＝＝＝3. 设直线BC的解析式为y＝mx＋n. 答图Z22－2－3 将点C（0，－3），B（6，0）代入，得解得 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 ∴直线BC的解析式为y＝x－3. 如答图Z22－2－3，过点P作PD⊥x轴交BC于点D. 设点P的坐标为，则点D的坐标为. ∴PD＝t－3－＝－t2＋3t. ∴S△PBC＝PD·OB＝××6 ＝－（t－3）2＋. ∴当t＝3时，S△PBC有最大值为. ∴S△PBC＝BC·PN，即＝×3·PN.解得PN＝. 答图Z22－2－3 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 四、实际问题与二次函数 【例7】（2024·贵州）某超市购入一批进价为10元/盒的糖果进行 销售，经市场调查发现：销售单价不低于进价时，日销售量y （盒）与销售单价x（元）是一次函数关系，下表是y与x的几组对 应值. 销售单价x/元 … 12 14 16 18 20 … 日销售量y/盒 … 56 52 48 44 40 … 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 　　（1）求y与x的函数表达式； 解：（1）设y与x的函数表达式为y＝kx＋b（k≠0）. 把（12，56），（14，52）代入，得 解得 ∴y与x的函数表达式为y＝－2x＋80. 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 （2）糖果销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利 润是多少？ 解：（2）设日销售利润为w元. w＝（x－10）（－2x＋80） ＝－2x2＋100x－800 ＝－2（x－25）2＋450. ∵－2＜0， ∴当x＝25时，w取得最大值，最大值为450. 答：糖果销售单价定为25元时，所获日销售利润最大，最大利润 是450元. 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 （3）若超市决定每销售一盒糖果向儿童福利院赠送一件价值为m 元的礼品，赠送礼品后，为确保该种糖果日销售获得的最大利润 为392元，求m的值. 解：（3）w＝（x－10－m）（－2x＋80） ＝－2x2＋（100＋2m）x－800－80m. ∵最大利润为392元， ∴＝392. 整理，得m2－60m＋116＝0.∴（m－2）（m－58）＝0. 解得m1＝2，m2＝58.当m＝58时，x＝－＝54， ∴每盒糖果的利润为54－10－58＝－14（元），舍去. ∴m的值为2. 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 7. （2024·滨州）春节期间，全国各影院上映多部影片，某影院 每天运营成本为2 000元，该影院每天售出的电影票数量y（张） 与售价x（元/张）之间满足一次函数关系（30≤x≤80，且x是整 数），部分数据如下表： 电影票售价x/（元·张－1） 40 50 售出电影票数量y/张 164 124 【对点训练】 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 （1）求y与x之间的函数关系式； 解：（1）设y与x之间的函数关系式是y＝kx＋b. 把（40，164），（50，124）代入， 得 解得 ∴y与x之间的函数关系式是y＝－4x＋324. 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 （2）设该影院每天的利润（利润＝票房收入－运营成本）为w （元），求w与x之间的函数关系式； 解：（2）由题意，得w＝x（－4x＋324）－2 000＝－4x2＋324x －2 000. ∴w与x之间的函数关系式是w＝－4x2＋324x－2 000. 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 （3）该影院将电影票售价定为多少时，每天获利最大？最大利润 是多少？ 解：（3）由（2）知，w＝－4x2＋324x－2 000＝－4 ＋4 561. ∵30≤x≤80，且x是整数， ∴当x＝40或41时，w取得最大值，最大值为4 560. 答：该影院将电影票售价定为40元/张或41元/张时，每天获利最 大，最大利润是4 560元. 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 【例8】（2024·武汉）如图Z22－2－8①，16世纪中叶，我国发明 了一种新式火箭“火龙出水”，它是二级火箭的始祖.火箭第一级 运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火 箭第二级，火箭第二级沿直线运行. 某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程.如图Z22－2－8②， 以发射点为原点，地平线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立 平面直角坐标系，分别得到抛物线y＝ax2＋x和直线y＝－x＋b.其 中，当火箭运行的水平距离为9 km时，自动引发火箭的第二级. 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 （1）若火箭第二级的引发点的高度为3.6 km， ①写出a，b的值； 解：（1）①∵y＝ax2＋x经过点（9，3.6）， ∴81a＋9＝3.6. 解得a＝－. ∵y＝－x＋b经过点（9，3.6）， ∴－×9＋b＝3.6. 解得b＝8.1. 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 ②火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低 1.35 km，求这两个位置之间的距离； ②由①得y＝－x2＋x＝－＋（0≤x≤9）. ∴火箭运行的最高点是 km.∴－1.35＝2.4（km）. 对于y＝－x2＋x，当y＝2.4时，2.4＝－x2＋x. 整理，得x2－15x＋36＝0. 解得x1＝12（不合题意，舍去），x2＝3. 对于y＝－x＋8.1，当y＝2.4时，2.4＝－x＋8.1. 解得x＝11.4.∴11.4－3＝8.4（km）. 答：这两个位置之间的距离为8.4 km. 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 （2）直接写出a满足什么条件时，火箭落地点与发射点的水平距 离超过15 km. 图Z22－2－8 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 （2）当－＜a＜0时，火箭落地点与发射点的水平距离超过15 km. 【提示】当x＝9时，y＝81a＋9. ∴火箭第二级的引发点的坐标为（9，81a＋9）. 设火箭落地点与发射点的水平距离为15 km. ∴y＝－x＋b经过点（9，81a＋9），（15，0）. ∴解得， ∴当－＜a＜0时，火箭落地点与发射点的水平距离超过15 km. 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 8. （2024·江西）如图Z22－2－9，一小球从斜坡点O以一定的方 向弹出，球的飞行路线可以用二次函数y＝ax2＋bx（a＜0）刻 画，斜坡可以用一次函数y＝x刻画，小球飞行的水平距离x（m） 与小球飞行的高度y（m）的变化规律如表： x 0 1 2 m 4 5 6 7 … y 0 6 8 n … 图Z22－2－9 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 （1）①m＝ ，n＝ ⁠； ②小球的落点是A，求点A的坐标； 3 6 解：（1）②将点和（2，6）代入y＝ax2＋ bx，得解得 ∴二次函数解析式为y＝－x2＋4x. 联立解得 ∴点A的坐标是. 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 ①小球飞行的最大高度为 m； ②求v的值. 8 （2）小球飞行高度y（m）与飞行时间t（s）满足关系：y＝－5t2 ＋vt. 解：（2）②∵y＝－5t2＋vt＝－5＋， ∴＝8. 解得v＝4（负值舍去）. ∴v的值为4. 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 五、二次函数综合题 【例9】（2024·泸州）如图Z22－2－10，在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y＝ax2＋bx＋3经过点A（3，0），与y轴交于点 B，且关于直线x＝1对称. （1）求抛物线的解析式； 解：（1）∵抛物线经过A（3，0），抛物线关于 直线x＝1对称， ∴抛物线和x轴的另外一个交点为（－1，0）. 将（3，0），（－1，0）代入y＝ax2＋bx＋3， 得解得 ∴抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3. 图Z22－2－10 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 （2）当－1≤x≤t时，y的取值范围是0≤y≤2t－1，求t的值； 解：（2）∵当－1≤x≤t时，y的取值范围是 0≤y≤2t－1， ∴－1＜t≤3. ①当－1＜t＜1时，当x＝t时，y取最大值， ∴－t2＋2t＋3＝2t－1.解得t＝－2或t＝2，均不合 题意，舍去； ②当1≤t≤3时，在对称轴x＝1处，y取最大值， ∴－1＋2＋3＝2t－1.解得t＝2.5. 综上所述，t的值为2.5. 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 （3）点C是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点C作x轴的垂 线交直线AB于点D，在y轴上是否存在点E，使得以B，C，D，E 为顶点的四边形是菱形？若存在，求出该菱形的边长；若不存 在，说明理由. 解：（3）存在.理由如下： 由抛物线的解析式，得点B（0，3）. 由点A，B的坐标，得直线AB的解析式为y＝－x＋3. 设C（m，－m2＋2m＋3），则D（m，－m＋3）（0＜m＜3）. 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 ∴CD＝－m2＋2m＋3－（－m＋3）＝－m2＋3m， BD＝＝ m，BC＝＝ . 答图Z22－2－2 如答图Z22－2－2. ①当BC为菱形对角线时，对应菱形为BDCE'， 则BD＝CD. ∴m＝－m2＋3m. 解得m＝3－或m＝0（不合题意，舍去）. ∴BD＝m＝3－2，即菱形的边长为3－2； 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 ②当BD为菱形的对角线时，对应菱形为菱形BCDE，则CD＝BC. ∴－m2＋3m＝. 解得m＝2或m＝0（不合题意，舍去）. ∴CD＝－m2＋3m＝－22＋3×2＝2，即菱形的边长为2. 综上所述，菱形的边长为3－2或2. 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 9. （2023·枣庄）如图Z22－2－11，抛物线y＝－x2＋bx＋c经过A （－1，0），C（0，3）两点，并交x轴于另一点B，点M是抛物线 的顶点，直线AM与y轴交于点D. （1）求该抛物线的表达式； 解：（1）∵抛物线y＝－x2＋bx＋c经过A（－1， 0），C（0，3）两点， ∴解得 ∴该抛物线的表达式为y＝－x2＋2x＋3. 【对点训练】 图Z22－2－11 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 （2）若点H是x轴上一动点，分别连接MH，DH，求MH＋DH的 最小值； 解：（2）∵y＝－x2＋2x＋3＝－（x－1）2＋4，∴顶点M（1，4）. 设直线AM的解析式为y＝kx＋d. 把A，M两点坐标代入上式， 得解得 ∴直线AM的解析式为y＝2x＋2. 对于y＝2x＋2，当x＝0时，y＝2，∴D（0，2）. 如答图Z22－2－4，作点D关于x轴的对称点D' （0，－2），连接D'M，D'H，则DH＝D'H. ∴MH＋DH＝MH＋D'H≥D'M，即MH＋DH的最小值为D'M. ∵D'M＝＝， ∴MH＋DH的最小值为. 答图Z22－2－4 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 （3）若点P是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点Q，使 得以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直 接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由. 解：（3）点Q的坐标为（1，3）或（1，1）或（1，5）. 【提示】由（2），得D（0，2），M（1，4）. ∵点P是抛物线上一动点， ∴设P（m，－m2＋2m＋3）. ∵抛物线y＝－x2＋2x＋3的对称轴为直线x＝1， ∴设Q（1，n）. 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 ①当DM，PQ为对角线时，DM，PQ的中点重合， ∴解得∴Q（1，3）； ②当DP，MQ为对角线时，DP，MQ的中点重 合，∴解得 ∴Q（1，1）； ③当DQ，PM为对角线时，DQ，PM的中点重合， ∴解得∴Q（1，5）. 综上所述，点Q的坐标为（1，3）或（1，1） 或（1，5）. 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 谢 谢 ! 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 $$