第二十二章 二次函数 过关训练-【教与学·学导练】2025-2026学年九年级全一册数学同步课件（人教版）

数学 九年级 全一册 配人教版 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 第二十二章过关训练 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列函数中，是二次函数的是（　C　） A. y＝2x B. y＝－2x＋1 C. y＝x2＋2 D. y＝ 2. 二次函数y＝－2（x－1）2＋6的顶点坐标是（　D　） A. （－1，－6） B. （－1，6） C. （1，－6） D. （1，6） 3. 抛物线y＝x2－4x的对称轴是（　A　） A. 直线x＝2 B. 直线x＝－4 C. 直线x＝－2 D. 直线x＝4 C D A 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 4. 已知抛物线y＝－2x2＋1，将它向下平移3个单位长度后得到的 抛物线的解析式为（　A　） A. y＝－2x2－2 B. y＝－2（x－3）2＋1 C. y＝－2x2＋4 D. y＝－2（x＋3）2＋1 5. 函数y＝x2－2x＋3的最小值为（　C　） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 6. 若抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点（－2，3），则c－2b的值是 （　A　） A. 7 B. －1 C. －2 D. 3 7. 二次函数y＝x2＋x－3的图象与x轴的交点个数是（　C　） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 A C A C 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 8. 根据下面表格中的对应值： x 3.23 3.24 3.25 3.26 ax2＋bx＋c －0.06 －0.02 0.03 0.09 判断方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范 围是（　C　） A. 3.22＜x＜3.23 B. 3.23＜x＜3.24 C. 3.24＜x＜3.25 D. 3.25＜x＜3.26 C 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 9. 在某种病毒的传播过程中，每轮传染平均1人会传染x个人.若 最初2个人感染该病毒，经过两轮传染，共有y人感染，则y与x的 函数关系式为（　A　） A. y＝2（1＋x）2 B. y＝（2＋x）2 C. y＝2＋2x2 D. y＝（1＋2x）2 A 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 10. 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小 球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是h＝30t－5t2 （0≤t≤6）.有下列结论： ①小球从抛出到落地需要6 s； ②小球运动中的高度可以是30 m； ③小球运动2 s时的高度小于运动5 s时的高度. 其中，正确结论的个数是（　C　） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 C 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 当m 时，函数y＝（m－2）x2＋4x－5（m是常数）是二 次函数. 12. 抛物线y＝－3x2的开口 .（填“向上”或“向下”） 13. 若点A（－1，y1），B（2，y2）在抛物线y＝2 025x2上，则 y1，y2的大小关系为：y1 y2.（填“＞”“＜”或“＝”） 14. 如图S22－1，坐标系中正方形网格的单位 长度为1，抛物线y1＝－x2＋3向下平移2个单 位长度后得抛物线y2，则阴影部分的面 积S＝ ⁠. ≠2 向下 ＜ 4 图S22－1 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 15. 九（1）班劳动实践基地内有一块面积足够大的平整空地，地 上两段围墙AB⊥CD于点O（如图S22－2），其中AB上的EO段围 墙空缺.同学们测得AE＝6.6 m，OE＝1.4 m，OB＝6 m，OC＝5 m，OD＝3 m，班长买来可切断的围栏16 m，准备利用已有围 墙，围出一块封闭的矩形菜地，则该菜地最大面积 是 m2. 46.4 图S22－2 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16. 已知抛物线经过点（2，3），且顶点坐标为（1，1），求这 条抛物线的解析式. 解：∵顶点坐标为（1，1）， 设抛物线的解析式为y＝a（x－1）2＋1. ∵抛物线经过点（2，3）， ∴3＝a（2－1）2＋1. 解得a＝2. ∴这条抛物线的解析式为y＝2（x－1）2＋1＝2x2－4x＋3. 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 17. 已知抛物线y＝x（x－1）. （1）求该抛物线与x轴的交点的坐标； 解：（1）令y＝0，则x（x－1）＝0. 解得x1＝0，x2＝1. ∴该抛物线与x轴的交点的坐标为（0，0），（1，0）. （2）该二次函数的图象是否经过点（－2，5）？判断并说明 理由. 解：（2）不经过.理由如下： 当x＝－2 时，y＝－2×（－2－1）＝6，6≠5. ∴该二次函数的图象不经过点（－2，5）. 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 18. 在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝－2x2＋8x＋5. （1）它的顶点坐标是 ，当x 时，y随x的增 大而减小； （2，13） ＞2 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 （2）将抛物线y＝－2x2＋8x＋5向左平移2个单位长度，再向下平 移3个单位长度，求所得新抛物线与y轴的交点坐标. 解：（2）y＝－2x2＋8x＋5＝－2（x－2）2＋13. ∴将抛物线y＝－2x2＋8x＋5向左平移2个单位长度，再向下平移3 个单位长度，所得新抛物线的解析式为y＝－2（x－2＋2）2＋13 －3＝－2x2＋10. 当x＝0时，y＝10. ∴所得新抛物线与y轴的交点坐标为（0，10）. 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19. 已知二次函数y＝x2－（k＋3）x＋3k（k为常数）. （1）求证：无论k为何值，该函数的图象与x轴总有公共点； （1）证明：∵y＝x2－（k＋3）x＋3k， ∴Δ＝[－（k＋3）]2－4×1×3k＝k2－6k＋9＝（k－3）2≥0. ∴无论k为何值，该函数的图象与x轴总有公共点. 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 （2）当k取何值时，该函数的图象与y轴的交点在x轴的上方. （2）解：令x＝0，则y＝x2－（k＋3）x＋3k＝3k. ∵该函数的图象与y轴的交点在x轴的上方， ∴3k＞0，即k＞0. ∴当k＞0时，该函数的图象与y轴的交点在x轴的上方. 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 20. 如图S22－3，已知二次函数的图象经过点A（1，2）和B（0， －1）且对称轴为直线x＝2. （1）求该二次函数的解析式； 图S22－3　　　　　　　　　　　 解：（1）设该二次函数的解析式为 y＝ax2＋bx＋c. 由题意，得解得 ∴该二次函数的解析式为y＝－x2＋4x－1. 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 解：（2）∵点P（2，m）在该二次函数的图象上， ∴m＝－22＋4×2－1＝3. ∴P（2，3）. 设点C（0，3），连接AB，AP，BP， BC，AC，PC，如答图S22 －1. S△PAB＝S△BPC－S△BCA－S△CPA ＝×2×4－×4×1－×2×1 ＝4－2－1 ＝1. 　答图S22－1 (2)点P(2,m)在该二次函数的图象上，求△PAB的面积. 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 21. 某商场将进价为30元的书包以40元售出，平均每月能售出 600个，调查表明：这种书包的售价每上涨1元，其销售量就减 少10个. （1）请写出每月售出书包的利润y元与每个书包涨价x元间的函数 关系式； 解：（1）∵每个书包涨价x元， ∴y＝（40－30＋x）（600－10x）＝－10x2＋500x＋6 000. ∴y与x的函数关系式为y＝－10x2＋500x＋6 000. 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 （2）设每月的利润为10 000的利润是否为该月最大利润？如果 是，请说明理由；如果不是，请求出该月最大利润，并指出此时 书包的售价应定为多少元； （2）y＝－10x2＋500x＋6 000＝－10（x－25）2＋12 250. ∵－10＜0， ∴当x＝25时，y 有最大值12 250. ∴当书包售价为65元时，该月最大利润为12 250元，10 000元不 是该月最大利润. 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 （3）请分析并回答售价在什么范围内商场就可获得利润. （3）解方程－10x2＋500x＋6 000＝0，得x1＝60，x2＝－10. 由该二次函数的图象，可知当－10＜x＜60，即当30＜x＋40＜ 100时，y＞0. ∴当书包售价在大于30元且小于100元时，商场就可获得利润. 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 22. 综合与实践 【主题】优化洒水车为公路两侧绿化带浇水效率. 【问题背景】如图S22－4①，洒水车沿着平行于公路绿化带方向 行驶，同时向右侧绿化带浇水.数学兴趣小组的同学想了解洒水车 要如何控制行驶路线与绿化带之间的距离，才能保证喷出的水能 浇灌到整个绿化带，为解决这个问题，数学兴趣小组同学通过建 立数学模型进行探索. 五、解答题（三）（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分， 共27分） 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 【数学建模】如图S22－4②，建立平面直角坐标系，可以把洒水 车喷出水的内、外边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部 分图象；喷水口H离地竖直高度OH为1.5 m，把绿化带横截面抽 象为矩形DEFG，其水平宽度DE＝3 m，竖直高度EF＝0.5 m， OD表示洒水车和绿化带之间的距离.内边缘抛物线y2是由外边缘 抛物线y1向左平移得到的，外边缘抛物线y1最高点A离喷水口的水 平距离为2 m，高出喷水口0.5 m. 图S22－4 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 【解决问题】 （1）求外边缘抛物线y1的函数解析式，并求喷出水的最大射程 OC； 解：（1）由题意，得点A（2，2）是外边缘抛物线y1的顶点. ∴设y1＝a（x－2）2＋2. ∵抛物线y1过点H（0，1.5）， ∴1.5＝4a＋2.∴a＝－. ∴外边缘抛物线y1的函数解析式为y1＝－（x－2）2＋2. 当y＝0时，0＝－（x－2）2＋2.解得x1＝6，x2＝－2（不合题 意，舍去）. ∴喷出水的最大射程OC为6 m. 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 （2）请求出内边缘抛物线y2与x轴的正半轴交点B的坐标； （2）∵y2是由y1向左平移得到的， ∴设y2＝－（x－2＋m）2＋2. ∵抛物线y2过点H（0，1.5）， ∴1.5＝－（－2＋m）2＋2. 解得m1＝4，m2＝0（不合题意，舍去）. ∴y2＝－（x＋2）2＋2. 把y2＝0代入，得0＝－（x＋2）2＋2.解得x1＝2，x2＝－6（不合 题意，舍去）. ∴点B的坐标为（2，0）. 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 （3）要使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，请直接写 出OD的取值范围. （3）OD的取值范围为2≤OD≤2－1. 【提示】∵要使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带， ∴点D与点B重合或点F在y1上. 当点D与点B重合时，OD＝OB＝2； 当点F在y1上时，0.5＝－（x－2）2＋2. 解得x1＝2＋2，x2＝2－2（不合题意，舍去）. ∵DE＝3 m， ∴OD＝2＋2－3＝2－1. ∴OD的取值范围为2≤OD≤2－1. 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 23. 综合探究 如图S22－5，已知二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象与x轴交于点A （－4，0）和点B，与y轴交于点C（0，4）. （1）求该二次函数的解析式； 图S22－5 解：（1）∵二次函数y＝－x2＋bx ＋c的图象经过点A（－4，0）和 点C（0，4）， ∴ 解得 ∴该二次函数的解析式为y＝－x2 －3x＋4. 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 （2）在抛物线的对称轴上有一点H，当BH＋CH的值最小时，点 H的坐标为 ⁠； ​ 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 （3）点D在线段OA上运动，过点D作x轴的垂线，与AC交于点 Q，与抛物线交于点P，连接AP，CP. 当四边形AOCP的面积最大 时，求点P的坐标和四边形AOCP面积的最大值； 解：（3）设直线AC的解析式为y＝kx＋d. 把点A（－4，0），C（0，4）代入，得 解得 ∴直线AC的解析式为y＝x＋4. ∵A（－4，0），C（0，4）， 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 ∴OA＝4，OC＝4. ∴S△AOC＝OA·OC＝×4×4＝8. 设P（t，－t2－3t＋4），则Q（t，t＋4）. ∴PQ＝－t2－3t＋4－（t＋4）＝－t2－4t. ∴S△ACP＝PQ·（xC－xA）＝（－t2－4t）×4＝－2t2－8t＝－2（t ＋2）2＋8. ∴S四边形AOCP＝S△ACP＋S△AOC＝－2（t＋2）2＋16. ∵－2＜0， ∴当t＝－2时，四边形AOCP的面积有最大值，最大值为16.此时 P（－2，6）. ∴点P的坐标为（－2，6），四边形AOCP面积的最大值为16. 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 （4）探究在抛物线的对称轴上是否存在点M，使得以点A，C，M 为顶点的三角形是直角三角形？若存在，直接写出点M的坐标； 若不存在，请说明理由. 解：（4）点M的坐标为或或 或. 【提示】由（2）可知抛物线的对称轴为x＝－.设M. ∵A（－4，0），C（0，4）， ∴AC2＝42＋42＝32，AM2＝＋m2＝＋m2，CM2＝ ＋（m－4）2＝m2－8m＋. 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 ①当AC为斜边时，AM2＋CM2＝AC2， ∴＋m2＋m2－8m＋＝32. 解得m1＝2＋，m2＝2－. ∴点M的坐标为或； ②当AM为斜边时，AC2＋CM2＝AM2， ∴32＋m2－8m＋＝＋m2. 解得m＝. ∴点M的坐标为； 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 ③当CM为斜边时，AC2＋AM2＝CM2， ∴32＋＋m2＝m2－8m＋. 解得m＝－. ∴点M的坐标为. 综上所述，点M的坐标为或或 或. 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 谢 谢 ! 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 $$