精品解析：山东省枣庄市2023-2024学年上学期 10 月九年级数学月考题（B卷）

2023-2024学年第一学期10月核心素养评价（B卷） 九年级数学 （满分：120分 时间：100分钟） 一、单选题（每题3分） 1. 下列方程中是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 将一元二次方程配方，其正确的结果是（ ） A. B. C. D. 3. 下列命题： ①一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形； ②对角线相等的四边形是矩形； ③对角线互相垂直平分的四边形是菱形； ④对角线互相垂直的矩形是正方形． 其中真命题的个数是（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 如图，顺次连接四边形ABCD各边中点得到中点四边形EFGH，下列说法中正确的是（ ） A. 当AC⊥BD时，四边形EFGH是菱形 B. 当AC=BD时，四边形EFGH是矩形 C. 当AC⊥BD，AC=BD时，四边形EFGH是正方形 D. 以上说法都不对 5. 下列说法正确的是（ ） A. 对角线互相垂直的四边形是菱形 B. 有一个内角是直角的四边形是矩形 C. 菱形不可能是正方形 D. 正方形既是矩形，又是菱形 6. 如图，在直角坐标系xOy中，菱形ABCD的周长为16，点M是边AB的中点，∠BCD=60°，则点M的坐标为（ ） A. （-，-2） B. （-，-1） C. （-1，-） D. （-，2） 7. 如图，已知菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别为4，6，AE⊥BC于点E，则AE的长是（　　） A. 3 B. C. D. 8. 如图，正方形的边长为4，点在上且，为对角线上一动点，则周长的最小值为（ ）． A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 9. 若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在△ABC中，AB＝8，BC＝12，点D、E分别是边AB、AC的中点，点F是线段DE上的一点，连接AF、BF，若∠AFB＝90°，则线段EF的长为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 二、填空题（每题3分） 11. 已知关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是___． 12. 如图，菱形ABCD中，AB＝5，∠BCD＝120°，则对角线AC的长是_____． 13. 设，是方程的两个实数根，则的值为________． 14. 若等腰三角形的一边长是4，另两边的长是关于的方程的两个根，则的值为______． 15. 如图，把矩形沿翻折，点恰好落在边的处，若，，，则矩形的面积是____________． 16. 如图，在中，，，点M是边上一点（不与点A、B重合），作于点于点F，连接，则的最小值是_______． 三、解答题 17. 解方程 （1）x2﹣4x﹣4＝0 （2）2（x+5）2＝x（x+5） 18. 已知关于的方程. （1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围； （2）若该方程的一个根为1，求的值及该方程的另一根． 19. 如图，折叠矩形的一边，使点落在边的点处，已知，，求： （1）线段的长； （2）线段的长． 20. 如图所示，在矩形中，O是与的交点，过点O的直线与，的延长线分别交于点E，F． （1）求证：； （2）当与满足什么条件时，四边形是菱形？并证明你的结论． 21. 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可销售出件，每件盈利元，为了扩大销售，增加盈利，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，每件衬衫降价元，商场平均每天可多售出件，若商场每天盈利元，请帮助商场算一算，每件应降价多少元？ 22. 阅读材料： 材料1：若关于的一元二次方程的两个根为，； 则，； 材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为，，求的值． 解：一元二次方程的两个实数根分别为，； ，； 则． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： （1）材料理解：一元二次方程的两个根为，，则 ______ ， ______ ； （2）类比应用：已知一元二次方程的两根分别为、，求的值． 23. 如图，在矩形中，．动点P、Q分别从点A、C以的速度同时出发．动点P沿向终点B运动，动点Q沿向终点D运动，交对角线于点O．设点P的运动时间为t（秒）． （1）用含t的式子表示：______，______； （2）运动过程中，无论t为何值，四边形的面积______； （3）当四边形是矩形时，求出t的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年第一学期10月核心素养评价（B卷） 九年级数学 （满分：120分 时间：100分钟） 一、单选题（每题3分） 1. 下列方程中是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程必须同时满足三个条件：①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2进行分析即可． 【详解】A、，化简之后不是一元二次方程，故此选项不合题意； B、ax2＋bx＋c＝0中，如果a＝0不是一元二次方程，故此选项不合题意； C、含有2个未知数，因此不是一元二次方程，故此选项不合题意； D、是一元二次方程，故此选项符合题意； 故选：D． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程定义，判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”． 2. 将一元二次方程配方，其正确的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】两边都加上1，左边化为完全平方式，右边合并即可得到结果． 【详解】解：， 配方得：，即． 故选：D． 【点睛】本题考查利用配方法解一元二次方程．掌握其步骤是解答本题的关键． 3. 下列命题： ①一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形； ②对角线相等的四边形是矩形； ③对角线互相垂直平分的四边形是菱形； ④对角线互相垂直的矩形是正方形． 其中真命题的个数是（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形、矩形、菱形和正方形的判定直接进行判断即可． 【详解】解：①一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，原命题是假命题； ②对角线相等的平行四边形是矩形，原命题是假命题； ③对角线互相垂直平分的四边形是菱形，是真命题； ④对角线互相垂直的矩形是正方形，是真命题； 故选：B． 【点睛】本题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 4. 如图，顺次连接四边形ABCD各边中点得到中点四边形EFGH，下列说法中正确的是（ ） A. 当AC⊥BD时，四边形EFGH是菱形 B. 当AC=BD时，四边形EFGH是矩形 C. 当AC⊥BD，AC=BD时，四边形EFGH是正方形 D. 以上说法都不对 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形中位线定理、平行四边形的判定定理得到四边形EFGH为平行四边形，根据矩形、菱形、正方形的判定定理判断即可． 【详解】解：∵点E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点， ∴EF∥AC，EF=AC，GH∥AC，GH=AC，EH∥BD，EH=BD， ∴EF∥GH，EF=GH， ∴四边形EFGH为平行四边形， 当AC⊥BD时，EF⊥EH， ∴四边形EFGH为矩形，A选项说法错误； 当AC=BD时，EH=EF， ∴四边形EFGH为菱形，B选项说法错误； 当AC⊥BD，AC=BD时，EF⊥EH，EF=EH， ∴四边形EFGH为正方形，C选项说法正确；D选项说法错误； 故选：C． 【点睛】本题考查的是中点四边形，掌握三角形中位线定理、正方形、矩形、菱形的判定定理是解题的关键． 5. 下列说法正确的是（ ） A. 对角线互相垂直的四边形是菱形 B. 有一个内角是直角的四边形是矩形 C. 菱形不可能是正方形 D. 正方形既是矩形，又是菱形 【答案】D 【解析】 【分析】利用平行四边形的性质、矩形的判定以及正方形的性质分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】A.对角线互相垂直的平行四边形是菱形，选项错误，不符合题意； B.有一个内角是直角，还应要求是平行四边形，才是矩形，选项错误，不符合题意； C.当菱形的某一内角为90度，才是正方形，选项错误，不符合题意； D.正方形既是矩形，又是菱形，正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、矩形的判定以及正方形的性质，熟练掌握相关性质是解题关键． 6. 如图，在直角坐标系xOy中，菱形ABCD的周长为16，点M是边AB的中点，∠BCD=60°，则点M的坐标为（ ） A. （-，-2） B. （-，-1） C. （-1，-） D. （-，2） 【答案】B 【解析】 【分析】过点M分别作ME⊥AC，MF⊥DB，根据菱形的性质：四边相等，对角相等且互相平分，可得在中，根据所对直角边是斜边的一半，确定BO，AO，再依据中位线定理即可确定ME，MF，点M在第四象限即可得出坐标． 【详解】如图所示，过点M分别作ME⊥AC，MF⊥DB， ∵菱形ABCD周长为16，， ∴，， ∴， 在中， ，， ∵点M为中点， ∴，， ∵点M在第三象限， ∴， 故选：B． 【点睛】题目考察菱形的基本性质、直角三角形中的性质、中位线定理等，难点在于将知识点融会贯通，综合运用． 7. 如图，已知菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别为4，6，AE⊥BC于点E，则AE的长是（　　） A. 3 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据菱形的性质得出BO、CO的长，在Rt△BOC中利用勾股定理求出BC，利用菱形面积等于对角线乘积的一半，也等于BC•AE，可得出AE的长度． 【详解】解：如图，设AC与BD的交点为O， ∵四边形ABCD是菱形， ∴CO＝AC＝2，BO＝BD＝3，AC⊥BD， 在Rt△BOC中， ∴BC＝＝＝， ∵S菱形ABCD＝AC•BD＝×4×6＝12， 又∵S菱形ABCD＝BC•AE， ∴AE＝12， ∴AE＝， 故选：B． 【点睛】此题考查了菱形的性质，以及勾股定理，解题的关键是掌握菱形的面积的两种表示方法及菱形的对角线互相垂直且平分． 8. 如图，正方形的边长为4，点在上且，为对角线上一动点，则周长的最小值为（ ）． A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】连接ED交AC于一点F，连接BF，根据正方形的对称性得到此时的周长最小，利用勾股定理求出DE即可得到答案. 【详解】连接ED交AC于一点F，连接BF， ∵四边形ABCD是正方形， ∴点B与点D关于AC对称， ∴BF=DF， ∴的周长=BF+EF+BE=DE+BE，此时周长最小， ∵正方形的边长为4， ∴AD=AB=4，∠DAB=90°， ∵点在上且， ∴AE=3， ∴DE=， ∴的周长=5+1=6， 故选：B. 【点睛】此题考查正方形的性质：四条边都相等，四个角都是直角以及正方形的对称性质，还考查了勾股定理的计算，依据对称性得到连接DE交AC于点F是的周长有最小值的思路是解题的关键. 9. 若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先将x=﹣1代入方程中求得a﹣b=1，将求代入所求代数式中求解即可 【详解】解：∵是关于的一元二次方程的一个根， ∴a﹣b﹣1=0即a﹣b=1， ∴2021+3a﹣3b=2021+3（a﹣b）=2021+3×1=2024， 故选：D． 【点睛】本题考查代数式求值、一元二次方程的解，理解一元二次方程的解是解答的关键． 10. 如图，在△ABC中，AB＝8，BC＝12，点D、E分别是边AB、AC的中点，点F是线段DE上的一点，连接AF、BF，若∠AFB＝90°，则线段EF的长为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】利用三角形中位线定理得到DE=BC．由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到DF=AB．所以由图中线段间的和差关系来求线段EF的长度即可． 【详解】解：∵点D、E分别是边AB、AC的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∵BC=12， ∴DE=BC=×12=6． ∵∠AFB=90°，D是AB的中点，AB=8， ∴DF=AB=×8=4， ∴EF=DE-DF=6-4=2． 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形的中位线定理的应用，解题的关键是了解三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，题目比较好，难度适中． 二、填空题（每题3分） 11. 已知关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是___． 【答案】且 【解析】 【分析】由方程有两个不相等的实数根，则运用一元二次方程（a≠0）的根的判别式是 即可进行解答 【详解】由关于的方程有两个不相等的实数根 得， 解得 则且 故答案为且 【点睛】本题重点考查了一元二次方程根的判别式，在一元二次方程（a≠0）中，（1）当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；（2）当△＝0时，方程有两个相等的实数根；（3）当△＜0时，方程没有实数根． 12. 如图，菱形ABCD中，AB＝5，∠BCD＝120°，则对角线AC的长是_____． 【答案】5． 【解析】 【分析】根据菱形的性质求得∠B=60°，判定△ABC为等边三角形即可求解． 【详解】∵四边形ABCD是菱形 ∴AB＝BC，AB∥CD ∴∠B+∠BCD＝180°， 又∠BCD＝120°， ∴∠B＝60° ∴△ABC为等边三角形 ∴AC＝AB＝5 故答案为：5． 【点睛】本题考查的是菱形的性质及等边三角形的判定，掌握“菱形的四条边相等，两组对边分别平行”及等边三角形的判定方法是关键． 13. 设，是方程的两个实数根，则的值为________． 【答案】-5 【解析】 【分析】先由根与系数的关系得出x1+x2=-3，x1x2=-3，再将变形后代入进行计算即可. 【详解】∵x1、x2是方程x2+3x-3=0的两个实数根， ∴x1+x2=-3，x1x2=-3， ∴==-5， 故答案为-5. 【点睛】本题考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法． 14. 若等腰三角形的一边长是4，另两边的长是关于的方程的两个根，则的值为______． 【答案】8或9 【解析】 【分析】分4为等腰三角形的腰长和4为等腰三角形的底边长两种情况，再利用一元二次方程根的定义、根的判别式求解即可得． 【详解】解：由题意，分以下两种情况： （1）当4为等腰三角形的腰长时，则4是关于的方程的一个根， 因此有， 解得， 则方程为，解得另一个根为， 此时等腰三角形的三边长分别为，满足三角形的三边关系定理； （2）当4为等腰三角形的底边长时，则关于的方程有两个相等的实数根， 因此，根的判别式， 解得， 则方程为，解得方程的根为， 此时等腰三角形的三边长分别为，满足三角形的三边关系定理； 综上，的值为8或9， 故答案为：8或9． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的定义、根的判别式、等腰三角形的定义等知识点，正确分两种情况讨论是解题关键．需注意的是，要检验三边长是否满足三角形的三边关系定理． 15. 如图，把矩形沿翻折，点恰好落在边的处，若，，，则矩形的面积是____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、勾股定理以及等边三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意掌握数形结合思想的应用．根据把矩形沿翻折，点恰好落在边的处，，易证得是等边三角形，继而可得中，，则可求得的长，然后由勾股定理求得的长，继而求得答案． 【详解】解：在矩形中， ∵， ∴， ∵把矩形沿翻折，点恰好落在边的处， ∴，，， ，， 在中， ∵ ∴是等边三角形， 在中， ∵， ∴，而， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ∴矩形的面积． 故答案为：． 16. 如图，在中，，，点M是边上一点（不与点A、B重合），作于点于点F，连接，则的最小值是_______． 【答案】2.4 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质与判定，勾股定理，垂线段最短，将转化为是解题的关键．连接，根据矩形的性质可得，当时，取得最小值，根据等面积法求解即可，进而可得的最小值． 【详解】解：如图，连接， ∵，，， 四边形是矩形， ， ∵，，， ， 当时，取得最小值，即取得最小值， ， ． ． 即的最小值是． 故答案为：． 三、解答题 17. 解方程 （1）x2﹣4x﹣4＝0 （2）2（x+5）2＝x（x+5） 【答案】（1）x1＝2+2，x2＝2﹣2；（2）x1＝﹣5，x2＝﹣10 【解析】 【分析】（1）根据配方法即可解方程； （2）根据因式分解法解方程即可． 【详解】解：（1）x2﹣4x+4＝8 （x﹣2）2＝8 x﹣2＝ ∴x1＝2+2，x2＝2﹣2； （2）2（x+5）2﹣x（x+5）＝0 （x+5）（2x+10﹣x）＝0 x+5＝0或x+10＝0 ∴x1＝﹣5，x2＝﹣10． 【点睛】本题考查的知识点是解一元二次方程，需要注意的是要根据不同的方程选择不同的解方程的方法. 18. 已知关于的方程. （1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围； （2）若该方程的一个根为1，求的值及该方程的另一根． 【答案】（1）；（2）a的值是-1，该方程的另一根为-3． 【解析】 【分析】（1）利用根的判别式列出不等式求解即可； （2）利用根与系数的关系列出有关的方程（组）求解即可. 【详解】解：（1）∵方程有两个不相等的实数根， ∴△=b2﹣4ac=22﹣4×1×（a﹣2）=12﹣4a＞0， 解得：a＜3， ∴a的取值范围是a＜3； （2）设方程的另一根为x1，由根与系数的关系得： ， 解得：， 则a的值是﹣1，该方程的另一根为﹣3． 19. 如图，折叠矩形的一边，使点落在边的点处，已知，，求： （1）线段的长； （2）线段的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质以及折叠的性质求得，在中，勾股定理即可求解； （2）设，则，在中，根据勾股定理建立方程，解方程即可求解． 【小问1详解】 解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∵折叠矩形的一边，使点落在边的点处，，， ∴， 在中， ∴； 【小问2详解】 解：设，由折叠的性质可得， ， 在中，， ∴， 解得． 即的长为． 【点睛】本题考查了勾股定理，矩形的性质，折叠的性质，掌握以上知识是解题的关键． 20. 如图所示，在矩形中，O是与的交点，过点O的直线与，的延长线分别交于点E，F． （1）求证：； （2）当与满足什么条件时，四边形是菱形？并证明你的结论． 【答案】（1） 证明：∵四边形是矩形， ∴，， ∴，， 在与中， ∴； （2） 当时，四边形是菱形，理由如下： 如图，连接， ∵四边形是矩形， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定和性质和菱形的判定等知识点， （1）由矩形的性质：，证得； （2）当时，四边形是菱形，根据已知条件可证明四边形是平行四边形，当，可根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形判定； 解答此题的关键是熟知矩形、菱形、全等三角形的判定与性质定理． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可销售出件，每件盈利元，为了扩大销售，增加盈利，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，每件衬衫降价元，商场平均每天可多售出件，若商场每天盈利元，请帮助商场算一算，每件应降价多少元？ 【答案】每件衬衫应降价元． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设每件衬衫应降价元，由题意可列方程，然后解方程并检验即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】解：设每件衬衫应降价元， 由题意可得， 化简得 解得，，， ∵为了尽量减少库存，由， 所以应该选择降价元， 答：每件衬衫应降价元． 22. 阅读材料： 材料1：若关于的一元二次方程的两个根为，； 则，； 材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为，，求的值． 解：一元二次方程的两个实数根分别为，； ，； 则． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： （1）材料理解：一元二次方程的两个根为，，则 ______ ， ______ ； （2）类比应用：已知一元二次方程的两根分别为、，求的值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用根与系数的关系，即可得出及的值； （2）利用根与系数的关系，可得出，，将其代入中，即可求出结论． 【小问1详解】 解：一元二次方程的两个根为，， ，， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：一元二次方程的两根分别为，， ，， ． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，． 23. 如图，在矩形中，．动点P、Q分别从点A、C以的速度同时出发．动点P沿向终点B运动，动点Q沿向终点D运动，交对角线于点O．设点P的运动时间为t（秒）． （1）用含t的式子表示：______，______； （2）运动过程中，无论t为何值，四边形的面积______； （3）当四边形是矩形时，求出t的值． 【答案】（1）cm，cm （2）24 （3）2 【解析】 【分析】（1）先根据矩形的性质求出，进而可得答案； （2）根据梯形面积公式解答即可； （3）根据矩形的性质可得，即，解方程即得答案． 【小问1详解】 ∵矩形，， ∴，， 由勾股定理得，cm， ∴cm， ∴cm，cm， 故答案为：cm，cm； 【小问2详解】 由题意知，， 故答案为：24； 【小问3详解】 ∵四边形是矩形， ∴，即，解得，， ∴t的值为2． 【点睛】本题考查了矩形的性质和勾股定理等知识，熟练掌握矩形的性质、准确表示相关线段是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $