第一章 特殊平行四边形 单元试卷 2025-2026学年北师大版数学九年级上册

第一章 特殊平行四边形 单元试卷 2025-2026学年北师大版数学九年级上册 一、选择题 如图，已知四边形 是平行四边形，下列结论中不正确的是 A．当 时，它是菱形 B．当 时，它是菱形 C．当 时，它是矩形 D．当 时，它是正方形 如图，菱形 的边长为 ，，对角线为 和 ，那么菱形的面积为 A． B． C． D． 如图，矩形 的两条对角线相交于点 ，，，那么 的长是 A． B． C． D． 如图，四边形 是正方形，以 为边作等边 ， 与 相交于点 ，则 的度数是 A． B． C． D． 如图，在矩形 中， 于点 ，，且 ，则 的长度是 A． B． C． D． 如图，点 是矩形 两条对角线的交点， 是边 上的点，沿 折叠后，点 恰好与点 重合．若 ，则折痕 的长为 A． B． C． D． 如图，点 是正方形 中 上的一点，把 绕点 顺时针旋转 到 的位置，若四边形 的面积为 ，，则 的长是 A． B． C． D． 如图坐标系中，四边形 为菱形，顶点 ， 在 轴上，，点 在第一象限，且菱形 的面积为 ，点 坐标为 ，则顶点 的坐标为 A． B． C． D． 如图，正方形 的边长为 ， 为 中点， 是 上一点，则 的最小值为 A． B． C． D． 如图，在边长为 的正方形 中，动点 ， 分别以相同的速度从 ， 两点同时出发向 和 运动（任何一个点到达即停止），连接 ， 交于点 ，过点 作 交 于 点， 交 于 点，连接 ，在运动过程中则下列结论： ① ； ② ； ③ ； ④ 线段 的最小值为 ． 其中正确的结论有 A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 个 二、填空题 如图，平行四边形 的对角线互相垂直，要使平行四边形 成为正方形，还需添加的一个条件是 ．（只需添加一个即可） 如图， 是矩形 的对角线 的中点， 是 的中点，若 ，，则四边形 的周长为 ． 如图，将矩形 沿 折叠，使点 落在点 上，点 落在点 处，点 为折痕 上的任一点，过点 作 ，，垂足分别为 ，，如果 ，，那么 的值为 ． 如图，点 是正方形 的边 延长线上的一点，且 ，若 交 于点 ，则 ． 已知正方形 的边长为 ，点 ， 分别在 ， 上，， 与 相交于点 ，点 为 的中点，连接 ，则 的长为 ． 如图，以 的三边为边分别作等边 ，，，则下列结论： ① ； ②四边形 为平行四边形； ③当 ， 时，四边形 是正方形． 其中正确的结论是 （请写出正确结论的序号）． 三、解答题 如图，点 是菱形 对角线的交点，过点 作 ，过点 作 ， 与 相交于点 ．求证：四边形 是矩形． 如图，在矩形 中，对角线 的垂直平分线 与 相交于点 ，与 相交于点 ，与 相交于点 ，连接 ，． (1) 求证：四边形 是菱形； (2) 若 ，，求 的长． 如图，点 是菱形 的对角线的交点，，，连接 ，求证： (1) 四边形 是矩形． (2) ． 菱形 中，，，垂足为 ， 为 边中点，． (1) 直接写出结果： ； (2) 求证：； (3) 求 的长． 平行四边形 中，点 ， 分别在 ， 上，，． (1) 当 时，求证： 为等边三角形； (2) 当 时，求证：； (3) 当 ，， 时，直接写出线段 的长为 ． 答案 一、选择题（共10题） 1. 【答案】D 2. 【答案】C 【解析】设 交 于 ，如图， 四边形 为菱形， ，，， 而 ， 为等边三角形， ，， ，， ． 3. 【答案】B 4. 【答案】B 5. 【答案】D 【解析】 四边形 是矩形， ，，，． ． ． ，， ，． ， ． ． ． ， ． ． ， ，解得：，（舍去）． 6. 【答案】A 【解析】 点 是矩形 两条对角线的交点， ， 沿 折叠后，点 恰好与点 重合，， ，， ， 是 的垂直平分线， ， ，， ， ， ， ． 7. 【答案】D 8. 【答案】C 【解析】如图，过点 作 轴的垂线，垂足为 ， 因为 ， 所以 ，即 ， 所以 ， 在 中，，， 所以由勾股定理得： 所以 ． 又因为 ， 所以 ， 所以 ， 所以 ． 9. 【答案】A 【解析】如图，连接 ， 点 关于 的对称点为点 ， ， 根据两点之间线段最短可得 就是 的最小值， 正方形 的边长为 ， 是 边的中点， ， ． 故选A． 10. 【答案】C 二、填空题（共6题） 11. 【答案】答案不唯一，如： 或 12. 【答案】 【解析】 是矩形， ，，， ，， ． ， 分别为 ， 的中点， ， ， ． 13. 【答案】 【解析】过点 作 ，垂足为 ，连接 ，如图所示． 四边形 是矩形， ，． ，， ． 由折叠可得：，， ． ， ． ，， ， 四边形 是矩形， ． ， ． ， ， ． ， ， 即 的值为 ． 14. 【答案】 【解析】 ， ， 是正方形 的对角线， ， ， ， 在 中，． 15. 【答案】 【解析】 四边形 为正方形， ，， 在 和 中， ， ， ， ， ， 点 为 的中点， ， ，， ， ． 16. 【答案】①② 【解析】 ， 为等边三角形， ，，． ，即 ． 在 和 中， ． ． 又 为等边三角形， ， ． 同理可得 ． ． 四边形 是平行四边形，选项②正确； ． ，即 ． 在 和 中， ，选项①正确； 若 ，， 则有 ，，此时 为菱形，选项③错误． 三、解答题（共5题） 17. 【答案】 ，， 四边形 是平行四边形， 四边形 是菱形， ， ， 四边形 是矩形． 18. 【答案】 (1) 四边形 是矩形， ， 根据两直线平行内错角相等，可得 ． 又 垂直平分 ， ，在 和 中， ， ． 又 ， 四边形 是平行四边形． ， 四边形 是菱形． (2) 四边形 是矩形， ， 又 四边形 是菱形， ． 设 ，则 ， 在 中， ，即 ，整理得 ， 解得 ， 的长为 ． 19. 【答案】 (1) ，， 四边形 是平行四边形， 又 菱形 中，，即 ， 四边形 是矩形． (2) 四边形 是矩形， ， 又 菱形 中，， ． 20. 【答案】 (1) (2) 如图，延长 交 延长线于 ， ， ， 又 ，， ， ， ， 为 的垂直平分线， ， 为等腰三角形， ； (3) ，， 和 都是等腰三角形， ， ， ， ， 设 ，则 ，， 又 ， ，即 ， 解得：，（不符合题意，舍去）． ， ， 即 ． 【解析】 (1) 四边形 是菱形， ，， ， 是直角三角形， 点 是斜边 的中点， ． 21. 【答案】 (1) 当 时，， 平行四边形 为菱形， ，， 为等边三角形， ， ， ， ， 在 和 中， ， 又 ， 为等边三角形． (2) 如图 ，延长 至 ，使 ，延长 至 ，使 ，延长 ， 交于点 ， ，， 是 的中位线， ，又 ， 四边形 为平行四边形， ， 平行四边形 为菱形， 由（）可知， 为等边三角形， ， ， ． (3) 【解析】 (3) 如图 ，延长 交 的延长线于 ，延长 交 的延长线于 ，作 于 ， 把 绕点 顺时针旋转 ，得到 ， ， ， ， ， ， ，又 ， ， 在 中，， ， 由勾股定理得，， ， ， 同理，，， ， ， ， ， 由勾股定理得，， ， ，， ， ，即 ， ， 在 和 中， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $$