第三章 概率的进一步认识（高效培优讲义）数学北师大版九年级上册

第三章 概率的进一步认识 教学目标 1、进一步理解当试验次数较大时试验频率稳定于概率. 2、会借助树状图和列表法计算涉及两步试验的随机事件发生的概率. 3、能够通过试验获得事件发生的频率，并通过大量重复试验，让学生体会到随机事件内部. 所蕴涵的客观规律一频率的稳定性、 知道大量重复试验时频率可作为事件发生概率的估计值. 教学重难点 1.重点 会用列表和画树状图等方法计算简单事件发生的概率。 2.难点 运用概率解决实际问题。 知识点01 用树状图或表格求概率 1．树状图 当一次试验要涉及3个或更多个因素时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图，也称树形图、树图. 树形图是用树状图形的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法. 2．列表法 当一次试验要涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法. 列表法是用表格的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法. 3．用列举法求概率的一般步骤 （1）列举（列表、画树状图）事件所有可能出现的结果，并判断每个结果发生的可能性是否都相等； （2）如果都相等，再确定所有可能出现的结果的个数n和其中出现所求事件A的结果个数m； （3）用公式计算所求事件A的概率.即P（A）=. 4．判断游戏的公平性 （1）判断游戏公平性的方法 游戏是否公平，关键是看游戏双方获胜的机会是否一样，即判断双方双方获胜的概率是否相等。若概率相同，则游戏公平；若概率不相同，则游戏不公平。 （2）把不公平的游戏变为公平的方法 改变游戏规则，使双方获胜的概率相等。 知识点02 用频率估计概率 1．频率与概率的定义 频率：在相同条件下重复n次试验，事件A发生的次数m与试验总次数n的比值. 概率：事件A的频率接近与某个常数，这时就把这个常数叫做事件A的概率，记作P（A）. 2．频率与概率的关系 事件的概率是一个确定的常数，而频率是不确定的，当试验次数较少时，频率的大小摇摆不定，当试验次数增大时，频率的大小波动变小，并逐渐稳定在概率附近.可见，概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值. 3．利用频率估计概率 当试验的可能结果不是有限个，或各种结果发生的可能性不相等时，一般用统计频率的方法来估计概率. 【即学即练】 1．一个不透明的口袋中有四张卡片，上面分别写有数字，，，．除数字外四张卡片无其他区别，随机从这个口袋中同时取出两张卡片，卡片上的数字之和等于的概率是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】列表可得出所有等可能的结果数以及卡片上的数字之和等于的结果数，再利用概率公式可得出答案． 本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 【详解】解：列表如下： 共有种等可能的结果，其中卡片上的数字之和等于的结果有：，，共种， 卡片上的数字之和等于的概率为． 故选：C． 2．2025年3月12日是我国的第47个植树节，为激发学生爱林、造林的热情，学校开展了一系列“绿化有我”活动．九年级二班为响应学校号召，计划从“油松树苗”“柳树苗”“榆树苗”“柏树苗”四种树苗中随机选取两种进行种植，则恰好选中“柳树苗”和“榆树苗”的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查概率的应用，掌握画树状图或列表求概率的方法是解题的关键．通过画树状图或列表列出所有等可能的情况，再从中找出符合条件的情况数，最后利用概率公式求解． 【详解】解∶设“油松树苗”“柳树苗”“榆树苗”“柏树苗”分别为A、B、C、D， 列表如下： A B C D A B C D ∴共有12种可能结果，其中恰好选中“柳树苗”和“榆树苗”的结果有2种， ∴恰好选中“柳树苗”和“榆树苗”的概率， 故选：A． 3．一只蚂蚁在如图所示的正方形地砖上随机爬行，蚂蚁停在阴影部分的概率为 ． 【答案】 【分析】本题考查几何概率，解题的关键掌握根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率． 根据正方形的性质求出阴影部分占整个面积的，进而得出答案． 【详解】解：由题意可得出：图中阴影部分占整个面积的， 故答案为：． 4．粗心的小明、小华和小亮都没有在数学作业本上写名字，当课代表随机将他们的三本作业本发给他们时，他们恰好都能拿到自己那本作业本的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查用列表法或树状图求概率，画出满足题意的列表或树状图，并灵活应用概率公式求解是解题的关键．画出树状图，然后分析得出满足题意的可能结果，由概率公式列式计算即可． 【详解】解：小明、小华和小亮的数学作业本分别用A、B、C表示，画树状图如图： 共有6种等可能的结果，其中恰好都能拿到自己那本作业本有1种， ∴恰好都能拿到自己那本作业本的概率为． 故答案为：． 5．先阅读下面某校八年级师生的对话内容，再解答问题．（温馨提示：一周只上五天课，另外考试时每半天考一科） 小明：“听说下周会进行连续两天的全国素质教育检测考试．” 刘老师：“是的，要考语文、英语、音乐、美术共四科，但具体星期几不清楚．” 小宇：“我估计是星期四、星期五．” (1)求小宇猜对的概率 ； (2)若考试已定在星期四、星期五进行，但各科考试顺序未定，请用恰当的方法求第一天考语文、英语的概率．（用树状图或列表法分析） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以不重不漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比． （1）根据概率公式求解即可； （2）列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【详解】（1）解：连续两天考试共有以下种情况：周一周二、周二周三、周三周四、周四周五， 故在周四周五两天考试的情况只有种， 故小宇猜对的概率为； （2）解：列表可得： 周四上午周四下午 语文 英语 音乐 美术 语文 语文，英语 语文，音乐 语文，美术 英语 英语，语文 英语，音乐 英语，美术 音乐 音乐，语文 音乐，英语 音乐，美术 美术 美术，语文 美术，英语 美术，音乐 共有12种等可能出现的结果，其中第一天考语文、英语的情况有2种， ∴． 题型01 列举法求概率 【典例1】在“阳光大课间”活动中，南湖中学设计了“篮球、足球、排球”三种球类送动项目，且每名学生在一个大课间只能选择参加一种运动项目，则甲、乙两名学生在一个大课间参加同种球类运动项目的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查概率的计算，解题的关键是熟练掌握概率计算方法． 列举所有可能情况，计算符合条件的情况数占总情况数的比例即可． 【详解】解：甲、乙各有种选择（篮球、足球、排球）， 所有可能的情况共有种， 两人选择相同项目的情况有种（同为篮球、同为足球或同为排球）， ∴所求概率为， 故选：． 【变式1】投掷一枚质地均匀的硬币两次，出现一正一反朝上的可能性是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查列举法求概率；可得共有4种等可能的结果，其中出现一正一反朝上的有2种等可能的结果，再利用概率公式求解即可． 【详解】解：投掷一枚质地均匀的硬币两次，出现的所有等可能情况有正反，正正，反反，反正，共4种， 其中出现一正一反朝上的有2种等可能的结果， ∴出现一正一反朝上的可能性是， 故选：B． 【变式2】有四条线段，长度分别是4，6，8，10，从中任取三条能构成直角三角形的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】从四条线段中任意选取三条，找出所有的可能，以及能构成直角三角形的情况数，即可求出所求的概率．从四条线段中任意选取三条，找出所有的可能，以及能构成直角三角形的情况数，即可求出所求的概率． 【详解】解：从四条线段中任意选取三条，所有的可能有：4，6，8；4，6，10；6，8，10；4，8，10，共4种， 其中构成直角三角形的有6，8，10共1种， ∴从中任取三条能构成直角三角形的概率是． 故选：B． 【变式3】某商场开展购物抽奖促销活动，抽奖盒中装有三个小球，它们分别标有10元、20元、30元，一次性随机摸出两个小球，摸出的两球上金额的和为50元的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查简单的概率计算．需先确定所有可能的结果数及符合条件的结果数，根据，再求概率． 【详解】抽奖盒中有三个小球，分别标有10元、20元、30元． 随机摸出两个小球的所有可能组合共有3种： 1. 10元和20元，和为30元； 2. 10元和30元，和为40元； 3. 20元和30元，和为50元． 其中，和为50元的组合只有1种（20元和30元）． 因此，所求概率为：． 故选：C． 题型02 几何概率 【典例1】七巧板是我国古代的一项发明，被誉为 “东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形板、一块正方形板和一块平行四边形板组成．如图，在七巧板铺成的正方形地板上，一个小球自由滚动，则小球停留在阴影部分的概率为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了几何概率，关键是设小正方形板的边长，来求解出空白地板和整体正方形地板面积，由于小球不是落在空白区域就是阴影区域，利用减去小球落在空白区域的概率，即可得出结论． 【详解】解：如下图所示，可设小正方形④的边长为， 等腰直角三角形③和⑤相同，且直角边长为， ③与⑤面积和为， 等腰直角三角形⑦面积等于③与⑤的和， ⑦面积为， 等腰直角三角形①和②，直角边长为， ①与②的面积和为， 铺成的正方形地板面积为①面积的倍，即为． 得到空白图形①、②、③、⑤和⑦的面积和为与整体面积的比为， 小球停留在阴影部分的概率为． 故选：． 【变式1】如图，将一枚飞镖任意投掷到边长为8的正方形镖盘内，若飞镖落在镖盘内各点的机会相等，则飞镖落在阴影区域的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，圆的直径为正方形的边长即直径为８，，用小正方形的面积除以大正方形的面积即可． 本题考查了几何概率计算，正确理解概率的几何意义是解题的关键． 【详解】解：∵边长为8的正方形镖盘， ∴圆的直径为正方形的边长即直径为， 连接， ∴， ∴阴影部分的面积为， 故飞镖落在阴影区域的概率为， 故选：C． 【变式2】一个小球（看作一点）在如图所示的地板上自由滚动，并随机停留在某块方砖上．如果每一块方砖除颜色外，其他完全相同，则小球最终停留在黑色方砖上的概率是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查几何概率；根据几何概率的求法：最终停留在黑色的方砖上的概率就是黑色区域的面积与总面积的比值． 【详解】解：∵总面积为9个方砖的面积，其中黑色方砖有4个， ∴小球最终停留在黑色方砖上的概率是． 故选：A． 【变式3】如果小球在如图所示的地板上自由地滚动，并随机停留在某块方砖上，那么小球最终停留在阴影区域的概率是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查几何概率的求法：计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件发生的概率，得到阴影区域面积是关键． 根据几何概率的求解方法，求得阴影区域的面积与总面积的比值即可求解． 【详解】解：根据题意得：总面积为18个小三角形的面积，其中阴影区域的面积为6个小三角形的面积， 所以小球最终停留在阴影区域的概率是． 故选：C 题型03 求频率 【典例1】某人将一枚质量均匀的硬币连续抛10次，落地后正面朝上6次，反面朝上4次，下列说法正确的是（    ） A．出现反面的频率是6 B．出现反面的频率是4 C．出现反面的频率是0.4 D．出现反面的频率是0.6 【答案】C 【分析】此题主要考查了频数与频率，正确掌握频率的定义是解题关键． 直接利用频率求法，频数÷总数＝频率，进而得出答案． 【详解】解：∵某人将一枚质量均匀的硬币连续抛10次，落地后正面朝上6次，反面朝上4次， ∴出现反面的频率是． 故选：C 【变式1】．调查某班 名同学的跳高成绩时，在收集到的数据中，不足 米的数出现的频率是 ，则达到或超过 米的数出现的频率是 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查求频率，根据频率之和为1，进行求解即可． 【详解】解：在收集到的数据中，不足 米的数出现的频率是 ， 则达到或超过 米的数出现的频率是： 故选B． 【变式2】．“长城是中华民族的骄傲”的英文是“”．在这句英文中，字母“i”出现的频率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查求频率，直接利用频率公式进行计算即可． 【详解】解：一共40个字母，字母“i”出现了4次， ∴； 故选C． 【变式3】．在掷一枚骰子次的试验中，“偶数朝上”的频数为，则“偶数朝上”的频率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用频率频数总次数，进行计算即可解答．本题考查了频数与频率，熟练掌握频率频数总次数是解题的关键． 【详解】解：由题意得： ， “偶数朝上”的频率为， 故选：C． 题型04 判断游戏公平性 【典例1】小胖和小明一起玩掷骰子游戏，骰子质地均匀，六面分别标有1、2、3、4、5、6这六个数字，如果朝上的数字是偶数，小胖赢；如果朝上的数字是合数，小明赢，你认为这个游戏规则公平吗？ （填“公平”或“不公平”）． 【答案】不公平 【分析】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平． 求出概率比较，即可得出结论． 【详解】解：1、2、3、4、5、6这六个数字，偶数的有2，4，6；合数有4，6， 所以小胖获胜的概率为，小明获胜的概率为， 因为小胖和小明获胜的概率不同， 所以个游戏规则不公平， 故答案为：不公平． 【变式1】如图，两个带指针的转盘A，B分别被分成三个面积相等的扇形，转盘A上的数字分别是2，5，9，转盘B上的数字分别是3，6，8（两个转盘除表面数字不同之外，其他完全相同）．小美拨动A转盘上的指针，小丽拨动B转盘上的指针，使之旋转，指针停止后所指数字较大的一方获胜（若箭头恰好停留在分界线上，则重转一次），则 （填“小美”或“小丽”）获胜的可能性大． 【答案】小丽 【分析】考查了判断游戏公平性．解题关键抓住判断游戏公平性要先计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平． 先用列表法求得各自获胜的概率，再进行比较进行判断即可． 【详解】解：列表得：       B           A 2 5 9 3 2，3 5，3 9，3 6 2，6 5，6 9，6 8 2，8 5，8 9，8 共有 9 种可能，其中小美获胜的次数为，小丽获胜的次数为5， ∴， ∴， ∴小丽的获胜可能性较大． 故答案为：小丽． 【变式2】甲、乙两人做游戏，他们任意掷一枚质地均匀的骰子，若掷出的点数是奇数，则甲赢；若掷出的点数是偶数，则乙赢．这个游戏对甲、乙来说是 的．（填“公平”或“不公平”） 【答案】公平 【分析】本题考查了简单的概率计算，熟练掌握概率公式是解题关键．先求出他们任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数的所有等可能的结果，再分别找出掷出的点数是奇数、掷出的点数是偶数的结果，然后利用概率公式计算即可得． 【详解】解：由题意可知，甲、乙两人任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数共有6种等可能的结果，其中，掷出的点数是奇数的结果有三种，掷出的点数是偶数的结果有三种， 则甲赢的概率为，乙赢的概率为， 所以甲赢的概率和乙赢的概率相等， 所以这个游戏对甲、乙来说是公平的， 故答案为：公平． 【变式3】．在一个不透明的纸盒中放入颜色分别为白色、红色、绿色的小球各 1个，每个小球除颜色不同外其他均相同，三人先后去摸球，一人摸一次，一次摸出一个小球，摸出后放回，摸出白球者赢，则这个游戏中先摸者赢的概率 后摸者赢的概率．（填“>”“<”或“=”） 【答案】 【分析】本题考查了概率的意义理解，根据每次摸球的条件相同，可得到概率相同，准确理解概率的意义是解题的关键． 【详解】解：∵不透明的纸盒中放有白色，红色，绿色的小球各1个，三个人先后去摸球，一人摸一次，一次摸出一个小球，摸出后放回， ∴三个人摸到每个球的概率均相等， 即这个游戏中先摸者赢的概率等于后摸者赢的概率， 故答案为：． 题型05 用频率估计概率 【典例1】2024年11月，中国苹果产业协会和国家苹果产业技术体系最新联合发布，截至目前，中国苹果产量世界第一，当前我国已培育自主产权苹果新品种152个．某科学研究院为研究一类新品种苹果树的成活率，在同一条件下进行移植试验，结果如表所示，估计这一类新品种苹果树成活的概率为 ． 移植总数 50 270 400 750 1500 3500 7000 10000 14000 成活总数 47 235 369 682 1359 3203 6398 9102 12782 成活率 【答案】 【分析】根据众数解答即可． 本题考查了频数估计概率，众数，熟练掌握众数，频率估计概率是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得频率的众数是，概率稳定在， 故新品种苹果树成活的概率为． 故答案为：． 【变式1】某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下： 射击次数 “射中9环以上”的次数 “射中9环以上”的频率 根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次“射中9环以上”的概率为 （精确到）． 【答案】 【分析】本题考查了利用频率估计概率，解决本题的关键是理解当试验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率．大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 【详解】解：根据表格数据，射击数据较多时，“射中9环以上”的频率稳定在， ∴估计这名运动员射击一次时“射中9环以上”的概率是． 故答案为：． 【变式2】某种绿豆在相同条件下发芽试验的结果如下： 每批粒数n 50 100 500 1000 1500 2000 3000 发芽的频数m 44 92 463 928 1396 1866 2794 发芽的频率 0.880 0.920 0.926 0.928 0.931 0.933 0.931 这种绿豆发芽的概率的估计值为 （精确到0.01）． 【答案】 【分析】本题考查了利用频率估计概率：大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率；用频率估计概率得到的是近似值，随试验次数的增多，值越来越精确． 根据利用频率估计概率得到随试验次数的增多，发芽的频率越来越稳定在左右，由此该种绿豆发芽的概率的估计值为． 【详解】解：根据表中的发芽的频率，当试验次数的增多时，发芽的频率越来越稳定在左右，所以可估计这种绿豆发芽的机会大约是． 故答案为：． 【变式3】“头盔是生命之盔”，质检部门对某工厂生产的头盔质量进行抽查，抽查结果如表： 抽查的头盔数n 100 200 300 500 800 1000 3000 合格的头盔数m 95 194 289 479 769 960 2880 合格头盔的频率                                    请估计该工厂生产10000个头盔，合格的头盔数有 个． 【答案】9600 【分析】本题主要考查利用频率估计概率，解题的关键是熟练掌握用频率估计概率． 用总数量乘以合格的头盔数稳定的频率即可． 【详解】解：根据表格可知，合格头盔的频率逐渐稳定在， 估计该工厂生产10000个头盔，合格的头盔数有（个）， 故答案为：9600． 题型06 概率在比赛中应用 【典例1】．小丽和小亮用10张写有的卡片做游戏，这10张卡片除数字外完全相同，将它们背面朝上混合均匀后，从中任意抽出一张． (1)抽出卡片上的数字是3的倍数的概率是________； (2)小丽和小亮规定：小丽从中任意抽出一张卡片，小亮从剩余的卡片中任意抽出一张，谁抽到卡片上的数字大谁就获胜，现在小丽抽到数字6的卡片，然后小亮抽出卡片，那么谁获胜的概率大？ 【答案】(1) (2)小丽获胜的概率大 【分析】本题考查简单的概率计算，掌握概率的计算公式是解答本题的关键． （1）先确定中3的倍数的个数，再依据概率公式计算即可． （2）确定小丽抽到6后剩余卡片情况，共9张，数字为、、、、、、、、； 分别找出小亮获胜（抽到、、、 ）和小丽获胜（抽到、、、、 ）对应的数字个数； 依据概率公式分别计算小亮和小丽获胜的概率，比较大小得出谁获胜概率大． 【详解】（1）解：在1到10这10个数字中，3的倍数有3、6、9，共3个． 所以抽出卡片上的数字是3的倍数的概率， 故答案为：； （2）在数字1到10中，比6小的数字有1，2，3，4，5， 所以小丽获胜的概率是．           比6大的数字有7，8，9，10， 所以小亮获胜的概率是．           因为， 所以小丽获胜的概率大． 【变式1】．贵州“村超”火出圈！所谓“村超”，其实是目前火爆全网的贵州乡村体育赛事一一榕江（三宝侗寨）和美乡村足球超级联赛，被大家简称为“村超”．“村超”的民族风、乡土味、欢乐感，让每个人尽情享受着足球带来的快乐．甲乙丙三人模仿“村超”进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均，各局比赛的结果相互独立，第1局甲当裁判． (1)求第4局甲当裁判的概率； (2)求前4局中乙恰好当1次裁判的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）本题考查了概率的计算，逐局分析胜负计算概率即可解题． （2）本题考查了用列举法求概率，考虑前4局中乙恰好当1次裁判出现的局数，逐一计算概率，即可解题． 【详解】（1）解：要第4局甲当裁判，则第3局甲输， 第1局甲当裁判， 第2局甲为选手， 每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判， 第2局甲获胜， 第4局甲当裁判的概率； （2）解：第1局甲当裁判， 乙恰好当1次裁判出现在第2、3、4局， 当在第2局时的概率， 当在第3局时的概率， 当在第4局时的概率， 乙恰好当1次裁判的概率． 【变式2】一个智力挑战赛需要全部答对两道单项选择题，才能顺利通过第一关.第一道题有个选项，第二道题有个选项，这两道题小新都不会，不过小新还有一个“求助卡”没有用，使用“求助卡”可以让主持人去掉其中一题的一个错误选项． （1）如果小新在第一题使用“求助卡”，请用树状图或者列表来分析小新顺利通过第一关的概率； （2）从概率的角度分析，你建议小新在第几题使用“求助卡”．为什么． 【答案】（1）；（2）建议小新在第二题使用“求助卡”，理由见解析 【分析】（1）画树状图展示所有9种等可能的结果数，找出小新都选对的结果数，然后根据概率公式计算； （2）如果小新在第二题使用“求助卡”，画树状图展示所有8种等可能的结果数，找出小新都选对的结果数，利用概率公式计算出小新顺利通过第一关的概率，然后比较两个概率的大小可判断小新在第几题使用“求助卡“． 【详解】解: （1）列树状图如下: 共有种等可能的结果，其中两道题都正确的结果有个， 所以小新顺利通过第一关的概率为 （2）建议小明在第二题使用“求助卡”， 若第二题使用“求助卡”，可列树状图如下: 此时小新顺利通过第一关的概率为 因为， 所以建议小新在第二题使用“求助卡” 【变式3】在读书月活动中，学校准备购买一批课外读物，为使课外读物满足同学们的需求，学校就“我最喜爱的课外读物”从文学、艺术、科普和其他四个类别进行了抽样调查文化艺术节上，小明参加学校组织的“一站到底”活动，答对最后两道单选题就通关：第一道单选题有A、B、C共3个选项，第二道单选题有A、B、C、D共4个选项，这两道题小明都不会，不过小明还有一次“求助”的机会没有用（使用“求助可以让主持人去掉其中一题的一个错误选项）． (1)如果小明第一题不使用“求助”，那么小明答对第一道题的概率是　　； (2)如果小明决定第一题不使用“求助”，第二题使用“求助”，请用树状图或者列表来分析小明通关的概率； (3)从概率的角度分析，你建议小明在第几题使用“求助”．（直接写出答案） 【答案】(1) (2) (3)，建议小明在第一题使用“求助” 【详解】（1）解：∵第一道单选题有3个选项， ∴如果小明第一题不使用“求助”，那么小明答对第一道题的概率是：， 故答案为； （2）解：分别用A，B，C表示第一道单选题的3个选项，a，b，c表示剩下的第二道单选题的3个选项， 画树状图得： ∵共有9种等可能的结果，小明顺利通关的只有1种情况， ∴小明顺利通关的概率为：； （3）解：若小明“求助”第一题（假设去掉错误选项C）， 画树状图为： 共有8种等可能的结果数，其中两题全答对的结果数为1， 所以他顺利通关的概率=， 若小明“求助”第二题，由（2）可知他顺利通关的概率为， 而＞， 所以他应该在第一题使用“求助”，顺利通关的概率才更大． 【点睛】本题考查了列表法或树状图法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 题型07 概率与转盘游戏 【典例1】．某商场举办有奖促销活动，凡购买一定金额的商品，即可参与转盘抽奖．如图，转盘分为，，，四个区域，自由转动转盘，指针对准，，，区域时，分别对应“谢谢惠顾”“一等奖”“二等奖”“三等奖”，转到指针对准公共线位置时重转． (1)若某顾客转动一次转盘，求其获得“一等奖”的概率． (2)若某顾客转动一次转盘，求其中奖的概率． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：根据题意可得：区域对应“一等奖”， 设顾客转动一次转盘，其获得“一等奖”为事件， 由图知字母所在的区域的圆心角度数为， 则， 答：顾客转动一次转盘，其获得“一等奖”的概率为． （2）解：设顾客转动一次转盘，中奖为事件， 则， 答：顾客转动一次转盘，其中奖的概率为． 【变式1】．如图，游乐场一个转盘被等分成12个扇形．其中有部分扇形标注了颜色．指针的位置固定，转动转盘后任其自由停止，指针指向某个扇形区域内为转动一次转盘（如果指针指在等分线上，则重新转动转盘）． (1)请在没有标注颜色的扇形上标注扇形颜色，使得自由转动这个转盘，当它停止时，指针落在红色区域的概率为，落在白色区域的概率为，其余部分为黄色； (2)商家规定：任何人都可以参与（1）中的这个转动转盘游戏，但必须遵循以下规则：每人每次转一次转盘，若指针落在红色区域，参与者给商家5元；若指针落在白色区域，商家奖励参与者2元；若指针落在黄色区域，商家奖励参与者3元．你认为商家设置的这个转盘游戏会亏本吗？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)商家不会亏本，理由见解析 【详解】（1）解：转盘被等分成12个小扇形． 若要使指针落在红色区域的概率为，，因此，有6个小的扇形是红色的； 指针落在白色区域的概率为，， 因此，有4个小的扇形是白色的； 指针落在黄色区域的概率为，， 因此，有2个小的扇形是黄色的． 如图所示即为所求： （2）解：从概率的角度，商家不会亏本，理由如下： 设有人参与，则有， 指针落在红色区域的概率为，商家的收益为； 指针落在白色区域的概率为，商家需要付出； 指针落在黄色区域的概率为，商家需要付出； 商家的最终收益为：． 所以，商家不会亏本． 【变式2】．某商场为了吸引顾客，设立了一个如图可以自由转动的转盘，转盘被等分成20个扇形．商场规定：顾客每购买200元的商品就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好对准红、绿或黄色区域，顾客就可以分别获得100元、50元，20元的购物券，已知甲顾客购物220元． (1)他获得购物券的概率是多少？ (2)他得到100元、50元、20元购物券的概率分别是多少？ (3)若要让获得20元购物券的概率变为，则还需要将几个无色扇形涂成黄色． 【答案】(1) (2)他得到100元、50元、20元购物券的概率分别是 (3)还需要将个无色扇形涂成黄色 【详解】（1）解：， 答：他获得购物券的概率是； （2）解：他得到100元购物券的概率是， 他得到50元购物券的概率是， 他得到20元购物券的概率是， 答：他得到100元、50元、20元购物券的概率分别是； （3）解：设还需要将个无色扇形涂成黄色， 根据题意得：， 解得：， 答：还需要将个无色扇形涂成黄色． 【变式3】．如图，甲、乙是两个可以自由转动的带指针的转盘，甲被分成面积相等的5个扇形，分别标有数字1，3，5，6，8；乙被分成面积相等的4个扇形，分别标有数字2，4，7，9．规则：小明转动甲转盘，小丁转动乙转盘，将两个转盘指针指向的数字之和进行大小比较，若数字之和大于10，则小明获胜；小于10，则小丁获胜；等于10，则平局．（若指针恰好停在分割线上，则重转一次，直到指针指向某一扇形区域为止）． (1)小明随机转动甲转盘一次，指针所指的数字是偶数的概率为___________； (2)若小明、小丁按照上述规则用这两个转盘做游戏，请用列表或画树状图的方法，判断该游戏是否公平． 【答案】(1) (2)游戏公平 【分析】本题考查的是求简单事件的概率，游戏公平性的判断． （1）根据偶数可能的次数除以总次数即可； （2）列表求出所有的可能情况，再分别求出两人获胜的概率，最后比较大小即可． 【详解】（1）解：1，3，5，6，8数字中，偶数有2个， ∴小明随机转动甲转盘一次，指针所指的数字是偶数的概率为， 故答案为：； （2）解：列表如下： 和 1 3 5 6 8 2 3 5 7 8 10 4 5 7 9 10 12 7 8 10 12 13 15 9 10 12 14 15 17 ∴共有种结果，其中数字之和大于10有8种，小于10有8种，等于10有4种， ∴小明获胜概率为，小丁获胜概率为， ∴该游戏公平． 题型08 修改规则 【典例1】．新考法结合转盘考查概率的计算王老师要从班上选一个学生参加周末的志愿者服务活动，小红和小宇积极要求参加，但是只有一个指标，王老师为解决这个问题，拿出两个质地均匀的转盘A，B（如图），转盘A被四等分，分别标有数字1，2，3，4；转盘B 被三等分，分别标有数字5，6，7.制定如下规则：随意转动A，B转盘各一次，转盘停止后，将A，B转盘的指针所指数字相乘（指针指向两个扇形的交线时，重新转动转盘），若积为偶数，则小红参加；若积为奇数，则小宇参加． (1)这个规则对双方公平吗？请说明理由． (2)数学课代表小华认为只要在转盘 B上修改其中一个数字，就可以使这个规则对双方公平，请你写出小华是如何修改的． 【答案】(1)不公平，见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了游戏公平性的判断，判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．游戏是否公平，关键要看游戏双方取胜的机会是否相等，采用列表法分别求出小红、小宇参加的概率，判断概率是否相等． 【详解】（1）不公平；理由如下： 根据题意列表如下： 转盘B 转盘A 1 2 3 4 5 6 7 由表格可知，共有12种等可能的结果，其中积是奇数的结果有4种，积是偶数的结果有8种，                    （小宇参加），P（小红参加）， ， 这个规则对双方不公平； （2）将B转盘上的数字6改成奇数即可； ，4与任何整数相乘都是偶数， 只要满足1，3与转盘B上的数字的乘积是奇数即可． 【变式1】．这个游戏公平吗？ “假期真好！”这是小光和好朋友小丁近几天说得最多的话，想玩多长时间就玩多长时间，想玩什么就玩什么．玩了一上午扑克，都有点烦了，下午他们决定用扑克设计个新游戏来玩． 小光设计的游戏是：将牌面数字分别是2，3，4的三张扑克牌充分洗匀后，背面朝上放在桌面上．先从中随机抽出一张牌，将牌面数字作为十位上的数字，然后将该牌放回并重新洗匀，再从中随机抽出一张牌，将牌面数字作为个位上的数字．如果组成的两位数恰好是2的倍数，则一方胜；如果组成的两位数恰好是3的倍数，则另一方胜； 小丁却表示不赞同，他认为这个游戏不公平，必须修改游戏规则． 同学们，你们认为这个游戏的规则对双方真的不公平吗？谈谈各自的看法（请用列表或画树状图的方法）． 【答案】这个游戏规则对双方不公平． 【分析】本题考查的是游戏公平性以及树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．游戏双方获胜的概率相同，游戏就公平，否则游戏不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．画树状图，共有9种等可能的结果，分别是：22，23，24，32，33，34，42，43，44，其中组成的两位数是2的倍数的结果有6种，是3的倍数的结果有3种，再由概率公式分别求出双方获胜的概率，比较大小即可． 【详解】解：这个游戏规则对双方不公平．理由如下： 画树状图如下： 共有9种等可能的结果，分别是：22，23，24，32，33，34，42，43，44， 其中组成的两位数是2的倍数的结果有6种，是3的倍数的结果有3种． ∴一方胜的概率为，另一方胜的概率为， ∵， ∴这个游戏规则对双方不公平． 【变式2】．有五张不透明的卡片，正面的数字为1，2，3，4，4，背面图案完全一样．洗匀后，背面朝上放在桌面上．请你完成下列各题． (1)随机抽取一张卡片，求抽到卡片上的数字为4的概率； (2)随机抽取一张卡片，求抽到卡片上的数字为奇数的概率； (3)小明和小亮用这五张卡片来玩游戏，小明随机抽取一张卡片，若卡片上的数字为偶数，则小明赢；若卡片上的数字为奇数，则小亮赢．这个游戏公平吗？如果公平，请说明理由；如果不公平，请修改游戏规则（不改变卡片的数值和内容）使游戏公平． 【答案】(1) (2) (3)不公平，见解析 【分析】本题主要考查了概率的计算，概率的应用，根据概率判断游戏的公平性是解题的关键． （1）根据概率公式计算即可； （2）根据概率公式计算即可； （3）先计算出哥哥抽到偶数的概率和弟弟抽到奇数的概率，比较大小，判断游戏是否公平，不公平，我们需要修改游戏规则，使哥哥弟弟获胜的概率相等即可． 【详解】（1）解：卡片上的数字为4的有2张，共有5张卡片， 抽到卡片上的数字为4的概率为； （2）解：卡片上的数字为奇数的有2张，共有5张卡片， 抽到卡片上的数字为奇数的概率为； （3）解：由（2）得，抽到卡片上的数字为偶数的概率为， ， 这个游戏不公平． 修改游戏规则为：小明随机抽取一张卡片，若卡片上的数字为4，则小明赢；若卡片上的数字为奇数，则小亮赢， ， ， 游戏公平（答案不唯一）． 【变式3】．四张质地相同的卡片上如图所示，将卡片洗匀后，背面朝上放置在桌面上．小红和小明想用以上四张卡片做游戏，游戏规则见信息图，你认为这个游戏公平吗？请用列表法或树状图说明理由；若认为不公平，请你修改规则，使游戏变得公平． 【答案】不公平，可以改为和不大于9的小红胜，大于9的小明胜（方法不唯一），详见解析 【分析】本题主要考查了用树状图求概率和游戏公平性问题等知识点，用树状图列出他们所抽卡片的所有等可能结果，再根据概率公式分别计算小红小明胜负的概率即可作出判断，然后修改规则使概率相等即可得解，熟练掌握树状图求概率是解决此题的关键． 【详解】不公平，理由如下： 由树状图知共有16种等可能结果，其中和为奇数的有6种，此时概率为，和为偶数有10种，此时概率为， ∵， ∴这个游戏是不公平的， 可以改为和不大于9的小红胜，大于9的小明胜，它们的概率各为（方法不唯一）， ∴此时游戏是公平． 题型09 统计与概率综合 【典例1】．在深化教育综合改革、提升区域教育整体水平的进程中，某中学以兴趣小组为载体，加强社团建设，艺术活动学生参与面达，通过调查统计，八年级二班参加学校社团的情况（每位同学只能参加其中一项）：A．剪纸社团，B．泥塑社团，C．陶笛社团，D．书法社团，E．合唱社团，并绘制了如下两幅不完整的统计图． (1)该班共有学生 　 　人，并把条形统计图补充完整； (2)扇形统计图中， 　 　参加剪纸社团对应的扇形圆心角为 　 　度； (3)小鹏和小兵参加了书法社团，由于参加书法社团几位同学都非常优秀，老师将从书法社团的学生中选取2人参加学校组织的书法大赛，请用“列表法”或“画树状图法”，求出恰好是小鹏和小兵参加比赛的概率． 【答案】(1)50，见解析 (2)20，144 (3) 【分析】本题考查的是树状图法以及条形统计图和扇形统计图．树状图法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．解答本题的关键是掌握概率的求法：概率=所求情况数与总情况数之比． （1）由C的人数除以所占百分比得出该班共有学生人数，即可解决问题； （2）由（1）的结果分别列式计算即可； （3）画树状图，其中恰好是小鹏和小兵参加比赛的结果有2种，再由概率公式求解即可． 【详解】（1）解：该班共有学生人数为：（人）， 则D的人数为：（人）， 答案为：50； 把条形统计图补充完整如下： （2）解：∵， ∴， 参加剪纸社团对应的扇形圆心角为：， 答案为：20，144； （3）解：把小鹏和小兵分别记为a、b，其他3位同学分别记为c、d、e， 画树状图如下： 共有20种等可能的结果，其中恰好是小鹏和小兵参加比赛的结果有2种， ∴恰好是小鹏和小兵参加比赛的概率为． 【变式1】．贵州拥有丰富的非物质文化遗产资源，为了让学生感受这份传承千年的匠心独运，某校准备组织学生开展一场“非遗”研学活动，学校选取了四项“非遗”体验活动：A．“黄平蜡染”，B．“凯里苗绣”，C．“德江傩戏”，D．“丹寨卡拉鸟笼”．为了了解学生对以上体验活动的喜欢程度，随机抽取部分学生进行调查统计（每位学生只能选择一项喜欢的体验活动），并根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图：根据图表信息，解答下列问题： (1)本次被调查的学生有______人，扇形统计图中所对应的______，并把条形统计图补充完整； (2)该校一共有名学生，根据上述调查结果，估计该校学生选择B活动的有多少人？ (3)为更好的宣传贵州“非遗”，有名学生（恰好男女）自愿为此次研学活动撰写宣传稿，该校决定从这四名学生中选取人做“宣传小天使”，请用树状图或列表法求恰好选到两个女生的概率． 【答案】(1)，；详见解析； (2)估计该校学生选择B活动的约有人； (3)． 【分析】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图、由样本估计总体、列表法求概率． 由条形统计图可知，选择A的人数有人，由扇形统计图可知，选择A的人数占调查人数的，所以可知，本次被调查的学生有人，从而可以求出选择B的人数是人，根据B组的人数补全条形统计图即可； 由可知被调查的人中选择B的人数占，利用样本估计总体可以估计出该学校学生选择B活动的人数大约有人； 列表可知，共有种等可能的结果，其中恰好选到两个女生的结果有种，所以恰好选到两个女生的概率为． 【详解】（1）解：由条形统计图可知，选择A的人数有人， 由扇形统计图可知，选择A的人数占调查人数的， 本次被调查的学生有（人）， ， ， 选择B的人数为（人）； 补全条形统计图如下图所示： 故答案为：；； （2）解：（人）， 答：估计该校学生选择B活动的约有人； （3）解：列表如下： 男 男 女 女 男 （男，男） （男，女） （男，女） 男 （男，男） （男，女） （男，女） 女 （女，男） （女，男） （女，女） 女 （女，男） （女，男） （女，女） 由表可知，共有种等可能的结果，其中恰好选到两个女生的结果有种， 恰好选到两个女生的概率为． 【变式2】．为了了解全校3000名同学对学校设置体操、篮球、足球、跑步、舞蹈等课外活动项目的喜爱情况，在全校范围内随机抽取了若干名同学，对他们喜爱的项目（每人选一项）进行了问卷调查，将数据进行了统计，并绘制成了如图所示的条形统计图和扇形统计图（均不完整），请回答下列问题：    (1)在这次问卷调查中，一共抽查了______名同学： (2)估计该校3000名同学中喜爱足球活动的人数； (3)学校准备从被随机调查的同学中选取喜欢跑步的男生3名，喜欢舞蹈的女生2名，从中再选取两位同学参加课外活动总结会．请用列表或画树状图的方法求出所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的概率． 【答案】(1)50 (2)估计该校3000名同学中喜爱足球活动的人数约有1020名； (3)所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的概率为． 【详解】（1）解：∵喜欢跑步的有5名同学，占10%， ∴在这次问卷调查中，一共抽查了学生数：（名）； 故答案为：50； （2）解：喜欢足球人数：， ∴该校3000名同学中喜爱足球活动的有 (名)； 估计该校3000名同学中喜爱足球活动的人数约有1020名； （3）解：根据题意画树状图： ∵共有20种可能的结果，所选2人中恰好是一位男同学和一位女同学的情况有12种， ∴所选2人中恰好是一位男同学和一位女同学的概率为：． 【变式3】．贵州山川秀美，景色迷人，是中国西部的一个黄金旅游区．为了奖励员工，某公司计划组织一次旅游活动，有以下四个地点供选择：A．花江铁索桥；B．马岭河峡谷；C．二十四道拐；D．万峰林．现随机调查了部分员工最想去的旅游地点，并根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图． 请你根据统计图中的信息，解答下列问题： (1)这次调查一共抽取了________名员工；扇形统计图中，旅游地点D所对应的扇形圆心角的度数为________． (2)请补全条形统计图． (3)在选择旅游地点C的员工中，甲，乙，丙，丁4人表现最为积极，现打算从这4人中任选2人作为本次旅游活动的策划员，请用列表或画树状图的方法求出选中的两人中一定有甲的概率． 【答案】(1)50， (2)见解析 (3) 【详解】（1）解：（名），即这次调查一共抽取了名员工； 即旅游地点D所对应的扇形圆心角的度数为， 故答案为：50， （2）解：选择旅游地点C的员工数为（名） 补全条形统计图如图①所示． （3）画树状图如下： 由树状图可知，可能出现的结果有12种，并且它们出现的可能性相等，其中选中的两人中一定有甲的结果有6种，所以选中的两人中一定有甲的概率为． 一、单选题 1．物理变化和化学变化的区别在于是否有新物质的生成，老师为帮助学生理解物理变化和化学变化，在课程学习中制作了如下四张除正面内容不同外，其余都相同的卡片，将四张卡片背面朝上并从中随机抽取两张，则抽到的卡片内容都是物理变化的概率是（   ） 火树银花 （化学变化） 晾干衣服 （物理变化） 水果发霉 （化学变化） 冰雪消融 （物理变化） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了树状图或列表法求解概率，正确画出树状图或列出表格是解题的关键． 先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】解：设四张卡片从左到右分别为A、B、C、D，则四张卡片内容中是物理变化的有：B，D．画树状图如下： ∵共有12种等可能的结果，其中抽取两张卡片内容均为物理变化的结果有：共2种， ∴抽取两张卡片内容均为物理变化的概率为． 故选：C． 2．不透明的口袋里装有若干个除颜色外都相同的小球，将球摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复上述过程，得到一组统计数据（见下表），则下列说法错误的是（   ） 摸球的次数 100 150 300 500 800 1000 摸到红球的次数 61 93 b 301 480 601 摸到红球的频率 a 0.62 0.59 0.602 0.60 0.601 A． B． C．摸到红球的概率约为0.60 D．若袋中有9个红球，则总球数有14个 【答案】D 【分析】本题考查了利用频率估计概率，解题的关键是理解频率与概率的关系，以及掌握频率的计算方法． 根据频率的计算公式“频率频数总数”，分别计算各选项中的值，再结合大量重复试验中频率稳定值可估计概率，对各选项进行判断． 【详解】解：A、计算100次摸球时的频率，，正确，不符合题意； B、300次摸球时，摸到红球的次数，正确，不符合题意； C、随着试验次数增加，频率稳定在0.60附近，可估计概率约为0.60，正确，不符合题意； D、若袋中有9个红球，由摸到红球的概率约为0.60可得，总球数有，故该选项说法错误，符合题意． 故选：D． 3．钟祥一中高一新生某个寝室有四个人，每个人写一张贺卡，集中起来．然后每人从中拿出一张，则拿到的不是自己写的贺卡的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查等可能事件的概率的求法，是概率中的基本题型．本题要先求出总的取法，再求出所抽取的都不是自己所写的贺卡的种数，再用等可能事件的概率公式求解即可． 【详解】解：如图，记甲、乙、丙、丁四人写的贺卡为， ∴四张贺卡四人来取，总的取法有种， 四人所抽取的都不是自己所写的贺卡的种数为， 四人所抽取的都不是自己所写的贺卡的概率是：； 故答案为：． 4．数学兴趣小组做“频率的稳定性”试验时，统计了某结果出现的频率，绘制了如图的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能的是（    ） A．掷一枚质地均匀的硬币，硬币落下后朝上的是正面 B．在玩“石头、剪刀、布”的游戏中，小颖随机出的是“石头” C．不透明袋子中有1个红球和4个白球，每个球除颜色外都相同，从中任取一球是白球 D．一副去掉大小王的普通扑克牌（52张，四种花色）洗匀后，从中任抽一张牌，花色是梅花 【答案】A 【分析】此题主要考查了利用频率估计概率，利用折线统计图可得出试验的频率在左右，进而得出答案． 【详解】解：A、掷一枚质地均匀的硬币，硬币落下后朝上的是正面为，符合这一结果，故此选项符合题意； B、在“石头、剪刀、布”的游戏中，小颖随机出的是“剪刀”的概率为，不符合这一结果，故此选项不符合题意； C、不透明袋子中有1个红球和4个白球，每个球除颜色外都相同，从中任取一球是白球为，不符合这一结果，故此选项不符合题意； D、一副去掉大小王的普通扑克牌（52张，四种花色）洗匀后，从中任抽一张牌，花色是梅花为，不符合这一结果，故此选项不符合题意． 故选：A． 5．一个不透明的口袋里装有15个不同颜色的小球（除颜色外其余均相同），其中有n个红球，每次摸出一个球记录下颜色后再放回，统计每次试验红球出现的频率如图，则n的值最可能是（   ） A．6 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】本题主要考查利用频率估计概率，根据概率求数量，大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．由图形知，红球出现的频率逐渐稳定于数值，再乘球的总个数即可得出答案． 【详解】解：由图形知，红球出现的频率逐渐稳定于数值， 所以估计袋中红球的个数， 故选：C． 二、填空题 6．某生物实验室有两个培养箱，用于研究豌豆的花色．已知培养箱中有4株豌豆苗，其中3株开紫花，1株开白花；培养箱中也有4株豌豆苗，其中2株开紫花，2株开白花．现从两个培养箱中分别随机抽取一株豌豆苗进行观察，抽到的两株豌豆苗都开紫花的概率为 ． 【答案】 【分析】通过列表的方式，列出从两个培养箱中抽取豌豆苗的所有可能结果，再找出两株都开紫花的结果数量，最后根据概率公式计算概率．本题主要考查了用列表法求概率，熟练掌握列表法列举所有可能结果以及概率公式（符合条件的结果数所有可能的结果数）是解题的关键． 【详解】解：培养箱中豌豆苗情况：株紫花（记为、、），株白花（记为）；培养箱中豌豆苗情况：株紫花（记为、），株白花（记为、）． 列表如下： 总共有种等可能的结果． 其中两株都开紫花的结果有种，即、、、、、． ∴抽到的两株豌豆苗都开紫花的概率． 故答案为：． 7．要从甲、乙、丙、丁4人中抽签选出两人参加素质检测，恰好抽到甲、乙两人的可能性是 【答案】 【分析】本题考查了列举法求概率，列举出所有组合，再由概率公式求解即可． 【详解】解：4人中选2人，基本事件有甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁，共6种，抽中甲乙只是其中的一种，所以抽中甲乙的概率：． 故答案为：． 8．现有4条线段，长度依次是2、3、5、6，从中任选三条，能组成三角形的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查列举法求概率，构成三角形的条件，可列举出选取条线段的所有可能情况数，再看能够组成三角形的情况数，即可求出概率． 【详解】解：共有、、；、、；、、；、、；种情况， 、、；、、；这两种情况能组成三角形； 所以能组成三角形的概率是． 故答案为：． 9．李伟同学购买两张高铁车票，从如图所示的5个座位中随机选择两个，则“李伟购买的车票座位刚好都靠近窗户”的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查树状图法求概率，根据题意，画出树状图，利用概率公式进行计算即可． 【详解】解：由题意，画出树状图如下： 由图可知，共有20种等可能的结果，其中满足题意的结果有2种， ∴； 故答案为：． 10．2025年河南省普通高中开始施行新高考选科模式，此模式有若干种学科组合，每位高中生可根据自己的实际情况选择一种．一对双胞胎姐妹考入同一所高中且选择了相同组合，该校要将所有选报这种组合的学生分成、、三个班，其中每位学生被分到这三个班的机会均等．用画树状图（或列表）的方法，求这对双胞胎姐妹被分到同一个班的概率 ． 【答案】 【分析】本题主要考查列表法与树状图法、概率公式等知识点．先列表确定出所有等可能的结果数以及这对双胞胎姐妹被分到同一个班的结果数，然后再利用概率公式计算即可． 【详解】解：列表如下： A B C A A，A A，B A，C B B，A B，B B，C C C，A C，B C，C 共有9种等可能的结果，其中这对双胞胎姐妹被分到同一个班的结果有3种， 所以这对双胞胎姐妹被分到同一个班的概率为． 故答案为：． 三、解答题 11．一个不透明的盒子中装有2枚红色的棋子和1枚黄色的棋子，每枚棋子除了颜色外其余均相同．从盒子中随机摸出一枚棋子，记下颜色后放回并搅匀，再从盒子中随机摸出一枚棋子，记下颜色．用画树状图（或列表）的方法，求两次摸出的棋子颜色不同的概率． 【答案】 【分析】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．首先根据题意列出表格，然后由表格即可求得所有等可能的结果与两次摸出的棋子颜色不同的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【详解】解：列表得： 第一次 第二次 红 红 黄 红 （红，红） （红，红） （黄，红） 红 （红，红） （红，红） （黄，红） 黄 （红，黄） （红，黄） （黄，黄） ∵共有9种等可能的结果，两次摸出的棋子颜色不同的有4种情况， ∴P（两次摸出的棋子颜色不同）． 12．阅读下列文字并回答相关问题． 你隔壁刚刚搬来了新的邻居，透过墙壁，你可以清楚地听到有个小孩的声音，但是因为这个小孩年龄较小，所以你不确定他们是男是女． (1)基于好奇心，你决定到隔壁敲门，看看他们是男是女，这个时候，一个男孩出来开门，则这个小孩都是男孩的概率是多少？用画树状图或列表的方法分析 (2)你还是没有足够的信息确定这个小孩的性别，所以你决定再次找个理由到隔壁敲了第二次门．很幸运的是，这次来开门的是另外的一个男孩，则这个小孩都是男孩的概率为______． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了列表法或树状图法求等可能事件发生的概率，掌握知识点的应用是解题的关键． （1）画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可； （2）第个孩子有种等可能结果，其中是男孩的有种结果，再根据概率公式求解即可． 【详解】（1）解：画树状图如下： 由树状图知，共有种等可能结果，其中三个小孩都是男孩的有种结果， ∴这个小孩都是男孩的概率是； （2）解：由题意知，前面个孩子已确定是男孩，而第个孩子有种等可能结果，其中是男孩的有种结果， ∴这个小孩都是男孩的概率为， 故答案为：． 13．如图，甲、乙为两个可以自由转动的转盘，它们分别被分成了4等份与3等份，每份内均标有字母．转盘停止转动后，若指针落在两个区域的交线上，则重转一次． (1)转动甲盘，待其停止转动后，指针落在A区域的概率为_______； (2)转动甲、乙两个转盘，用列表或画树状图的方法，求转盘停止转动后甲盘指针落在C区域且乙盘指针未落在Q区域的概率． 【答案】(1) (2)转盘停止转动后甲盘指针落在C区域且乙盘指针未落在Q区域的概率为 【分析】本题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． （1）直接由概率公式求解即可； （2）列举出所有情况，乙盘指针落在C区域未落在Q区域的情况数，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：旋转甲转盘一次，指针落在“A”区域的概率是． （2）解：列表如下： 由表知，所有的情况数有12种，其中转盘停止转动后甲盘指针落在C区域且乙盘指针未落在Q区域的情况数有2种， ∴转盘停止转动后甲盘指针落在C区域且乙盘指针未落在Q区域的概率为． 14．小明准备了一枚质地均匀的正二十面体的骰子（如图），已知1个面标有“1”，2个面标有“2”，3个面标有“3”，4个面标有“4”，其余面标有“5”或“6”．因角度问题，小华只能看到部分面，标有“5”的面和标有“6”的面有多少个无法知道．他们通过掷骰子对数字“5”朝上的次数进行统计，结果如下： 掷骰子总次数n 10 20 50 100 200 400 … “5”朝上的次数m 1 4 9 21 39 81 … “5”朝上的频率 0.100 0.200 0.180 0.210 0.195 0.203 … (1)请估计：当n很大时，“5”朝上的频率将会接近______（结果精确到0.1）； (2)估计标有“5”的面有______个，标有“6”的面有______个； (3)小明和小华准备玩游戏：一人掷这个骰子，另一个人猜数，若所猜数字与掷出的数字相符，则猜数的人获胜，否则掷骰子的人获胜．猜数的方法从下面两种中选一种： ①猜“是奇数”； ②猜“是3的倍数”，如果你来猜数，那么为了尽可能获胜，你将选择哪种猜数方法？为什么？ 【答案】(1)0.2； (2)4，6； (3)选择②，理由见解析． 【分析】本题考查利用频率估计概率，游戏的公平性和概率公式，掌握概率的计算方法是正确解答的前提． （1）利用频率估计概率即可得出答案； （2）根据概率公式即可求出标有“5”的面的个数，再计算标有“6”的面的个数即可； （3）分别求出各种情况下获胜的概率，比较得出答案． 【详解】（1）解：根据已知可得，当n很大时，“5”朝上的频率将会接近0.2； 故答案为：0.2； （2）解：由（1）可知，“5”朝上的概率为0.2， ∴估计标有“5”的面有（个）， ∴标有“6”的面有（个）； 故答案为：4，6； （3）解：选择②；猜“是3的倍数”， 理由：∵P（奇数）， P（是3的倍数）， ∵， ∴猜是3的倍数的获胜概率最大． 15．某校为了了解九年级学生的体质情况，组织全体九年级学生进行体能测试，并随机抽取部分同学的测试结果进行统计分析．体育老师将体能测试的最终结果分为A优秀，B良好，C合格，D不合格四个等级，并绘制了如下两幅不完整的统计图． (1)本次随机抽取的学生共________人，并把条形统计图补充完整． (2)若该校九年级有900人，请估计该校体能测试不合格的总人数． (3)假定A等级样本中有2名女生，现准备从A等级样本中随机抽取2名同学，求抽取的同学恰好是一男一女的概率． 【答案】(1)50，图见解析 (2)144人 (3) 【分析】本题考查条形统计图和扇形统计图的关联、用样本估计总体、画树状图或列表法求概率，理解题意，看懂统计图是解答的关键． （1）先由B等级的人数除以其所占百分比求得抽取人数，再求得A等级的人数，即可补全统计图； （2）用该校九年级总人数乘以样本中不合格人数所占比例即可求解； （3）根据A等级人数知，有3名男生，2名女生，画树状图，利用概率公式求解即可． 【详解】（1）解：由统计图可得，本次随机抽取的学生共（人）， A等级人数为（人）， 补全条形统计图如图所示： （2）解：（人）， 答：估计该校体能测试不合格的总人数为144人； （3）解：由题意，A等级有3名男生，2名女生， 列表如下： 男 男 男 女 女 男 （男，男） （男，男） （男，女） （男，女） 男 （男，男） （男，男） （男，女） （男，女） 男 （男，男） （男，男） （男，女） （男，女） 女 （女，男） （女，男） （女，男） （女，女） 女 （女，男） （女，男） （女，男） （女，女） 一共有20种等可能的结果，其中，恰好是一男一女的有12种， ∴抽取的同学恰好是一男一女的概率为． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三章 概率的进一步认识 教学目标 1、进一步理解当试验次数较大时试验频率稳定于概率. 2、会借助树状图和列表法计算涉及两步试验的随机事件发生的概率. 3、能够通过试验获得事件发生的频率，并通过大量重复试验，让学生体会到随机事件内部. 所蕴涵的客观规律一频率的稳定性、 知道大量重复试验时频率可作为事件发生概率的估计值. 教学重难点 1.重点 会用列表和画树状图等方法计算简单事件发生的概率。 2.难点 运用概率解决实际问题。 知识点01 用树状图或表格求概率 1．树状图 当一次试验要涉及3个或更多个因素时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图，也称树形图、树图. 树形图是用树状图形的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法. 2．列表法 当一次试验要涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法. 列表法是用表格的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法. 3．用列举法求概率的一般步骤 （1）列举（列表、画树状图）事件所有可能出现的结果，并判断每个结果发生的可能性是否都相等； （2）如果都相等，再确定所有可能出现的结果的个数n和其中出现所求事件A的结果个数m； （3）用公式计算所求事件A的概率.即P（A）=. 4．判断游戏的公平性 （1）判断游戏公平性的方法 游戏是否公平，关键是看游戏双方获胜的机会是否一样，即判断双方双方获胜的概率是否相等。若概率相同，则游戏公平；若概率不相同，则游戏不公平。 （2）把不公平的游戏变为公平的方法 改变游戏规则，使双方获胜的概率相等。 知识点02 用频率估计概率 1．频率与概率的定义 频率：在相同条件下重复n次试验，事件A发生的次数m与试验总次数n的比值. 概率：事件A的频率接近与某个常数，这时就把这个常数叫做事件A的概率，记作P（A）. 2．频率与概率的关系 事件的概率是一个确定的常数，而频率是不确定的，当试验次数较少时，频率的大小摇摆不定，当试验次数增大时，频率的大小波动变小，并逐渐稳定在概率附近.可见，概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值. 3．利用频率估计概率 当试验的可能结果不是有限个，或各种结果发生的可能性不相等时，一般用统计频率的方法来估计概率. 【即学即练】 1．一个不透明的口袋中有四张卡片，上面分别写有数字，，，．除数字外四张卡片无其他区别，随机从这个口袋中同时取出两张卡片，卡片上的数字之和等于的概率是（ ） A． B． C． D． 2．2025年3月12日是我国的第47个植树节，为激发学生爱林、造林的热情，学校开展了一系列“绿化有我”活动．九年级二班为响应学校号召，计划从“油松树苗”“柳树苗”“榆树苗”“柏树苗”四种树苗中随机选取两种进行种植，则恰好选中“柳树苗”和“榆树苗”的概率是（    ） A． B． C． D． 3．一只蚂蚁在如图所示的正方形地砖上随机爬行，蚂蚁停在阴影部分的概率为 ． 4．粗心的小明、小华和小亮都没有在数学作业本上写名字，当课代表随机将他们的三本作业本发给他们时，他们恰好都能拿到自己那本作业本的概率是 ． 5．先阅读下面某校八年级师生的对话内容，再解答问题．（温馨提示：一周只上五天课，另外考试时每半天考一科） 小明：“听说下周会进行连续两天的全国素质教育检测考试．” 刘老师：“是的，要考语文、英语、音乐、美术共四科，但具体星期几不清楚．” 小宇：“我估计是星期四、星期五．” (1)求小宇猜对的概率 ； (2)若考试已定在星期四、星期五进行，但各科考试顺序未定，请用恰当的方法求第一天考语文、英语的概率．（用树状图或列表法分析） 题型01 列举法求概率 【典例1】在“阳光大课间”活动中，南湖中学设计了“篮球、足球、排球”三种球类送动项目，且每名学生在一个大课间只能选择参加一种运动项目，则甲、乙两名学生在一个大课间参加同种球类运动项目的概率是（    ） A． B． C． D． 【变式1】投掷一枚质地均匀的硬币两次，出现一正一反朝上的可能性是（   ） A． B． C． D． 【变式2】有四条线段，长度分别是4，6，8，10，从中任取三条能构成直角三角形的概率是（   ） A． B． C． D． 【变式3】某商场开展购物抽奖促销活动，抽奖盒中装有三个小球，它们分别标有10元、20元、30元，一次性随机摸出两个小球，摸出的两球上金额的和为50元的概率是（    ） A． B． C． D． 题型02 几何概率 【典例1】七巧板是我国古代的一项发明，被誉为 “东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形板、一块正方形板和一块平行四边形板组成．如图，在七巧板铺成的正方形地板上，一个小球自由滚动，则小球停留在阴影部分的概率为（    ）． A． B． C． D． 【变式1】如图，将一枚飞镖任意投掷到边长为8的正方形镖盘内，若飞镖落在镖盘内各点的机会相等，则飞镖落在阴影区域的概率为（　　） A． B． C． D． 【变式2】一个小球（看作一点）在如图所示的地板上自由滚动，并随机停留在某块方砖上．如果每一块方砖除颜色外，其他完全相同，则小球最终停留在黑色方砖上的概率是（　　） A． B． C． D． 【变式3】如果小球在如图所示的地板上自由地滚动，并随机停留在某块方砖上，那么小球最终停留在阴影区域的概率是（　　） A． B． C． D． 题型03 求频率 【典例1】某人将一枚质量均匀的硬币连续抛10次，落地后正面朝上6次，反面朝上4次，下列说法正确的是（    ） A．出现反面的频率是6 B．出现反面的频率是4 C．出现反面的频率是0.4 D．出现反面的频率是0.6 【变式1】．调查某班 名同学的跳高成绩时，在收集到的数据中，不足 米的数出现的频率是 ，则达到或超过 米的数出现的频率是 （ ） A． B． C． D． 【变式2】．“长城是中华民族的骄傲”的英文是“”．在这句英文中，字母“i”出现的频率是（    ） A． B． C． D． 【变式3】．在掷一枚骰子次的试验中，“偶数朝上”的频数为，则“偶数朝上”的频率为（   ） A． B． C． D． 题型04 判断游戏公平性 【典例1】小胖和小明一起玩掷骰子游戏，骰子质地均匀，六面分别标有1、2、3、4、5、6这六个数字，如果朝上的数字是偶数，小胖赢；如果朝上的数字是合数，小明赢，你认为这个游戏规则公平吗？ （填“公平”或“不公平”）． 【变式1】如图，两个带指针的转盘A，B分别被分成三个面积相等的扇形，转盘A上的数字分别是2，5，9，转盘B上的数字分别是3，6，8（两个转盘除表面数字不同之外，其他完全相同）．小美拨动A转盘上的指针，小丽拨动B转盘上的指针，使之旋转，指针停止后所指数字较大的一方获胜（若箭头恰好停留在分界线上，则重转一次），则 （填“小美”或“小丽”）获胜的可能性大． 【变式2】甲、乙两人做游戏，他们任意掷一枚质地均匀的骰子，若掷出的点数是奇数，则甲赢；若掷出的点数是偶数，则乙赢．这个游戏对甲、乙来说是 的．（填“公平”或“不公平”） 【变式3】．在一个不透明的纸盒中放入颜色分别为白色、红色、绿色的小球各 1个，每个小球除颜色不同外其他均相同，三人先后去摸球，一人摸一次，一次摸出一个小球，摸出后放回，摸出白球者赢，则这个游戏中先摸者赢的概率 后摸者赢的概率．（填“>”“<”或“=”） 题型05 用频率估计概率 【典例1】2024年11月，中国苹果产业协会和国家苹果产业技术体系最新联合发布，截至目前，中国苹果产量世界第一，当前我国已培育自主产权苹果新品种152个．某科学研究院为研究一类新品种苹果树的成活率，在同一条件下进行移植试验，结果如表所示，估计这一类新品种苹果树成活的概率为 ． 移植总数 50 270 400 750 1500 3500 7000 10000 14000 成活总数 47 235 369 682 1359 3203 6398 9102 12782 成活率 【变式1】某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下： 射击次数 “射中9环以上”的次数 “射中9环以上”的频率 根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次“射中9环以上”的概率为 （精确到）． 【变式2】某种绿豆在相同条件下发芽试验的结果如下： 每批粒数n 50 100 500 1000 1500 2000 3000 发芽的频数m 44 92 463 928 1396 1866 2794 发芽的频率 0.880 0.920 0.926 0.928 0.931 0.933 0.931 这种绿豆发芽的概率的估计值为 （精确到0.01）． 【变式3】“头盔是生命之盔”，质检部门对某工厂生产的头盔质量进行抽查，抽查结果如表： 抽查的头盔数n 100 200 300 500 800 1000 3000 合格的头盔数m 95 194 289 479 769 960 2880 合格头盔的频率                                    请估计该工厂生产10000个头盔，合格的头盔数有 个． 题型06 概率在比赛中应用 【典例1】．小丽和小亮用10张写有的卡片做游戏，这10张卡片除数字外完全相同，将它们背面朝上混合均匀后，从中任意抽出一张． (1)抽出卡片上的数字是3的倍数的概率是________； (2)小丽和小亮规定：小丽从中任意抽出一张卡片，小亮从剩余的卡片中任意抽出一张，谁抽到卡片上的数字大谁就获胜，现在小丽抽到数字6的卡片，然后小亮抽出卡片，那么谁获胜的概率大？ 【变式1】．贵州“村超”火出圈！所谓“村超”，其实是目前火爆全网的贵州乡村体育赛事一一榕江（三宝侗寨）和美乡村足球超级联赛，被大家简称为“村超”．“村超”的民族风、乡土味、欢乐感，让每个人尽情享受着足球带来的快乐．甲乙丙三人模仿“村超”进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均，各局比赛的结果相互独立，第1局甲当裁判． (1)求第4局甲当裁判的概率； (2)求前4局中乙恰好当1次裁判的概率． 【变式2】一个智力挑战赛需要全部答对两道单项选择题，才能顺利通过第一关.第一道题有个选项，第二道题有个选项，这两道题小新都不会，不过小新还有一个“求助卡”没有用，使用“求助卡”可以让主持人去掉其中一题的一个错误选项． （1）如果小新在第一题使用“求助卡”，请用树状图或者列表来分析小新顺利通过第一关的概率； （2）从概率的角度分析，你建议小新在第几题使用“求助卡”．为什么． 【变式3】在读书月活动中，学校准备购买一批课外读物，为使课外读物满足同学们的需求，学校就“我最喜爱的课外读物”从文学、艺术、科普和其他四个类别进行了抽样调查文化艺术节上，小明参加学校组织的“一站到底”活动，答对最后两道单选题就通关：第一道单选题有A、B、C共3个选项，第二道单选题有A、B、C、D共4个选项，这两道题小明都不会，不过小明还有一次“求助”的机会没有用（使用“求助可以让主持人去掉其中一题的一个错误选项）． (1)如果小明第一题不使用“求助”，那么小明答对第一道题的概率是　　； (2)如果小明决定第一题不使用“求助”，第二题使用“求助”，请用树状图或者列表来分析小明通关的概率； (3)从概率的角度分析，你建议小明在第几题使用“求助”．（直接写出答案） 题型07 概率与转盘游戏 【典例1】．某商场举办有奖促销活动，凡购买一定金额的商品，即可参与转盘抽奖．如图，转盘分为，，，四个区域，自由转动转盘，指针对准，，，区域时，分别对应“谢谢惠顾”“一等奖”“二等奖”“三等奖”，转到指针对准公共线位置时重转． (1)若某顾客转动一次转盘，求其获得“一等奖”的概率． (2)若某顾客转动一次转盘，求其中奖的概率． 【变式1】．如图，游乐场一个转盘被等分成12个扇形．其中有部分扇形标注了颜色．指针的位置固定，转动转盘后任其自由停止，指针指向某个扇形区域内为转动一次转盘（如果指针指在等分线上，则重新转动转盘）． (1)请在没有标注颜色的扇形上标注扇形颜色，使得自由转动这个转盘，当它停止时，指针落在红色区域的概率为，落在白色区域的概率为，其余部分为黄色； (2)商家规定：任何人都可以参与（1）中的这个转动转盘游戏，但必须遵循以下规则：每人每次转一次转盘，若指针落在红色区域，参与者给商家5元；若指针落在白色区域，商家奖励参与者2元；若指针落在黄色区域，商家奖励参与者3元．你认为商家设置的这个转盘游戏会亏本吗？请说明理由． 【变式2】．某商场为了吸引顾客，设立了一个如图可以自由转动的转盘，转盘被等分成20个扇形．商场规定：顾客每购买200元的商品就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好对准红、绿或黄色区域，顾客就可以分别获得100元、50元，20元的购物券，已知甲顾客购物220元． (1)他获得购物券的概率是多少？ (2)他得到100元、50元、20元购物券的概率分别是多少？ (3)若要让获得20元购物券的概率变为，则还需要将几个无色扇形涂成黄色． 【变式3】．如图，甲、乙是两个可以自由转动的带指针的转盘，甲被分成面积相等的5个扇形，分别标有数字1，3，5，6，8；乙被分成面积相等的4个扇形，分别标有数字2，4，7，9．规则：小明转动甲转盘，小丁转动乙转盘，将两个转盘指针指向的数字之和进行大小比较，若数字之和大于10，则小明获胜；小于10，则小丁获胜；等于10，则平局．（若指针恰好停在分割线上，则重转一次，直到指针指向某一扇形区域为止）． (1)小明随机转动甲转盘一次，指针所指的数字是偶数的概率为___________； (2)若小明、小丁按照上述规则用这两个转盘做游戏，请用列表或画树状图的方法，判断该游戏是否公平． 题型08 修改规则 【典例1】．新考法结合转盘考查概率的计算王老师要从班上选一个学生参加周末的志愿者服务活动，小红和小宇积极要求参加，但是只有一个指标，王老师为解决这个问题，拿出两个质地均匀的转盘A，B（如图），转盘A被四等分，分别标有数字1，2，3，4；转盘B 被三等分，分别标有数字5，6，7.制定如下规则：随意转动A，B转盘各一次，转盘停止后，将A，B转盘的指针所指数字相乘（指针指向两个扇形的交线时，重新转动转盘），若积为偶数，则小红参加；若积为奇数，则小宇参加． (1)这个规则对双方公平吗？请说明理由． (2)数学课代表小华认为只要在转盘 B上修改其中一个数字，就可以使这个规则对双方公平，请你写出小华是如何修改的． 【变式1】．这个游戏公平吗？ “假期真好！”这是小光和好朋友小丁近几天说得最多的话，想玩多长时间就玩多长时间，想玩什么就玩什么．玩了一上午扑克，都有点烦了，下午他们决定用扑克设计个新游戏来玩． 小光设计的游戏是：将牌面数字分别是2，3，4的三张扑克牌充分洗匀后，背面朝上放在桌面上．先从中随机抽出一张牌，将牌面数字作为十位上的数字，然后将该牌放回并重新洗匀，再从中随机抽出一张牌，将牌面数字作为个位上的数字．如果组成的两位数恰好是2的倍数，则一方胜；如果组成的两位数恰好是3的倍数，则另一方胜； 小丁却表示不赞同，他认为这个游戏不公平，必须修改游戏规则． 同学们，你们认为这个游戏的规则对双方真的不公平吗？谈谈各自的看法（请用列表或画树状图的方法）． 【变式2】．有五张不透明的卡片，正面的数字为1，2，3，4，4，背面图案完全一样．洗匀后，背面朝上放在桌面上．请你完成下列各题． (1)随机抽取一张卡片，求抽到卡片上的数字为4的概率； (2)随机抽取一张卡片，求抽到卡片上的数字为奇数的概率； (3)小明和小亮用这五张卡片来玩游戏，小明随机抽取一张卡片，若卡片上的数字为偶数，则小明赢；若卡片上的数字为奇数，则小亮赢．这个游戏公平吗？如果公平，请说明理由；如果不公平，请修改游戏规则（不改变卡片的数值和内容）使游戏公平． 【变式3】．四张质地相同的卡片上如图所示，将卡片洗匀后，背面朝上放置在桌面上．小红和小明想用以上四张卡片做游戏，游戏规则见信息图，你认为这个游戏公平吗？请用列表法或树状图说明理由；若认为不公平，请你修改规则，使游戏变得公平． 题型09 统计与概率综合 【典例1】．在深化教育综合改革、提升区域教育整体水平的进程中，某中学以兴趣小组为载体，加强社团建设，艺术活动学生参与面达，通过调查统计，八年级二班参加学校社团的情况（每位同学只能参加其中一项）：A．剪纸社团，B．泥塑社团，C．陶笛社团，D．书法社团，E．合唱社团，并绘制了如下两幅不完整的统计图． (1)该班共有学生 　 　人，并把条形统计图补充完整； (2)扇形统计图中， 　 　参加剪纸社团对应的扇形圆心角为 　 　度； (3)小鹏和小兵参加了书法社团，由于参加书法社团几位同学都非常优秀，老师将从书法社团的学生中选取2人参加学校组织的书法大赛，请用“列表法”或“画树状图法”，求出恰好是小鹏和小兵参加比赛的概率． 【变式1】．贵州拥有丰富的非物质文化遗产资源，为了让学生感受这份传承千年的匠心独运，某校准备组织学生开展一场“非遗”研学活动，学校选取了四项“非遗”体验活动：A．“黄平蜡染”，B．“凯里苗绣”，C．“德江傩戏”，D．“丹寨卡拉鸟笼”．为了了解学生对以上体验活动的喜欢程度，随机抽取部分学生进行调查统计（每位学生只能选择一项喜欢的体验活动），并根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图：根据图表信息，解答下列问题： (1)本次被调查的学生有______人，扇形统计图中所对应的______，并把条形统计图补充完整； (2)该校一共有名学生，根据上述调查结果，估计该校学生选择B活动的有多少人？ (3)为更好的宣传贵州“非遗”，有名学生（恰好男女）自愿为此次研学活动撰写宣传稿，该校决定从这四名学生中选取人做“宣传小天使”，请用树状图或列表法求恰好选到两个女生的概率． 【变式2】．为了了解全校3000名同学对学校设置体操、篮球、足球、跑步、舞蹈等课外活动项目的喜爱情况，在全校范围内随机抽取了若干名同学，对他们喜爱的项目（每人选一项）进行了问卷调查，将数据进行了统计，并绘制成了如图所示的条形统计图和扇形统计图（均不完整），请回答下列问题：    (1)在这次问卷调查中，一共抽查了______名同学： (2)估计该校3000名同学中喜爱足球活动的人数； (3)学校准备从被随机调查的同学中选取喜欢跑步的男生3名，喜欢舞蹈的女生2名，从中再选取两位同学参加课外活动总结会．请用列表或画树状图的方法求出所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的概率． 【变式3】．贵州山川秀美，景色迷人，是中国西部的一个黄金旅游区．为了奖励员工，某公司计划组织一次旅游活动，有以下四个地点供选择：A．花江铁索桥；B．马岭河峡谷；C．二十四道拐；D．万峰林．现随机调查了部分员工最想去的旅游地点，并根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图． 请你根据统计图中的信息，解答下列问题： (1)这次调查一共抽取了________名员工；扇形统计图中，旅游地点D所对应的扇形圆心角的度数为________． (2)请补全条形统计图． (3)在选择旅游地点C的员工中，甲，乙，丙，丁4人表现最为积极，现打算从这4人中任选2人作为本次旅游活动的策划员，请用列表或画树状图的方法求出选中的两人中一定有甲的概率． 一、单选题 1．物理变化和化学变化的区别在于是否有新物质的生成，老师为帮助学生理解物理变化和化学变化，在课程学习中制作了如下四张除正面内容不同外，其余都相同的卡片，将四张卡片背面朝上并从中随机抽取两张，则抽到的卡片内容都是物理变化的概率是（   ） 火树银花 （化学变化） 晾干衣服 （物理变化） 水果发霉 （化学变化） 冰雪消融 （物理变化） A． B． C． D． 2．不透明的口袋里装有若干个除颜色外都相同的小球，将球摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复上述过程，得到一组统计数据（见下表），则下列说法错误的是（   ） 摸球的次数 100 150 300 500 800 1000 摸到红球的次数 61 93 b 301 480 601 摸到红球的频率 a 0.62 0.59 0.602 0.60 0.601 A． B． C．摸到红球的概率约为0.60 D．若袋中有9个红球，则总球数有14个 3．钟祥一中高一新生某个寝室有四个人，每个人写一张贺卡，集中起来．然后每人从中拿出一张，则拿到的不是自己写的贺卡的概率是（   ） A． B． C． D． 4．数学兴趣小组做“频率的稳定性”试验时，统计了某结果出现的频率，绘制了如图的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能的是（    ） A．掷一枚质地均匀的硬币，硬币落下后朝上的是正面 B．在玩“石头、剪刀、布”的游戏中，小颖随机出的是“石头” C．不透明袋子中有1个红球和4个白球，每个球除颜色外都相同，从中任取一球是白球 D．一副去掉大小王的普通扑克牌（52张，四种花色）洗匀后，从中任抽一张牌，花色是梅花 5．一个不透明的口袋里装有15个不同颜色的小球（除颜色外其余均相同），其中有n个红球，每次摸出一个球记录下颜色后再放回，统计每次试验红球出现的频率如图，则n的值最可能是（   ） A．6 B．8 C．9 D．10 二、填空题 6．某生物实验室有两个培养箱，用于研究豌豆的花色．已知培养箱中有4株豌豆苗，其中3株开紫花，1株开白花；培养箱中也有4株豌豆苗，其中2株开紫花，2株开白花．现从两个培养箱中分别随机抽取一株豌豆苗进行观察，抽到的两株豌豆苗都开紫花的概率为 ． 7．要从甲、乙、丙、丁4人中抽签选出两人参加素质检测，恰好抽到甲、乙两人的可能性是 8．现有4条线段，长度依次是2、3、5、6，从中任选三条，能组成三角形的概率是 ． 9．李伟同学购买两张高铁车票，从如图所示的5个座位中随机选择两个，则“李伟购买的车票座位刚好都靠近窗户”的概率是 ． 10．2025年河南省普通高中开始施行新高考选科模式，此模式有若干种学科组合，每位高中生可根据自己的实际情况选择一种．一对双胞胎姐妹考入同一所高中且选择了相同组合，该校要将所有选报这种组合的学生分成、、三个班，其中每位学生被分到这三个班的机会均等．用画树状图（或列表）的方法，求这对双胞胎姐妹被分到同一个班的概率 ． 三、解答题 11．一个不透明的盒子中装有2枚红色的棋子和1枚黄色的棋子，每枚棋子除了颜色外其余均相同．从盒子中随机摸出一枚棋子，记下颜色后放回并搅匀，再从盒子中随机摸出一枚棋子，记下颜色．用画树状图（或列表）的方法，求两次摸出的棋子颜色不同的概率． 12．阅读下列文字并回答相关问题． 你隔壁刚刚搬来了新的邻居，透过墙壁，你可以清楚地听到有个小孩的声音，但是因为这个小孩年龄较小，所以你不确定他们是男是女． (1)基于好奇心，你决定到隔壁敲门，看看他们是男是女，这个时候，一个男孩出来开门，则这个小孩都是男孩的概率是多少？用画树状图或列表的方法分析 (2)你还是没有足够的信息确定这个小孩的性别，所以你决定再次找个理由到隔壁敲了第二次门．很幸运的是，这次来开门的是另外的一个男孩，则这个小孩都是男孩的概率为______． 13．如图，甲、乙为两个可以自由转动的转盘，它们分别被分成了4等份与3等份，每份内均标有字母．转盘停止转动后，若指针落在两个区域的交线上，则重转一次． (1)转动甲盘，待其停止转动后，指针落在A区域的概率为_______； (2)转动甲、乙两个转盘，用列表或画树状图的方法，求转盘停止转动后甲盘指针落在C区域且乙盘指针未落在Q区域的概率． 14．小明准备了一枚质地均匀的正二十面体的骰子（如图），已知1个面标有“1”，2个面标有“2”，3个面标有“3”，4个面标有“4”，其余面标有“5”或“6”．因角度问题，小华只能看到部分面，标有“5”的面和标有“6”的面有多少个无法知道．他们通过掷骰子对数字“5”朝上的次数进行统计，结果如下： 掷骰子总次数n 10 20 50 100 200 400 … “5”朝上的次数m 1 4 9 21 39 81 … “5”朝上的频率 0.100 0.200 0.180 0.210 0.195 0.203 … (1)请估计：当n很大时，“5”朝上的频率将会接近______（结果精确到0.1）； (2)估计标有“5”的面有______个，标有“6”的面有______个； (3)小明和小华准备玩游戏：一人掷这个骰子，另一个人猜数，若所猜数字与掷出的数字相符，则猜数的人获胜，否则掷骰子的人获胜．猜数的方法从下面两种中选一种： ①猜“是奇数”； ②猜“是3的倍数”，如果你来猜数，那么为了尽可能获胜，你将选择哪种猜数方法？为什么？ 15．某校为了了解九年级学生的体质情况，组织全体九年级学生进行体能测试，并随机抽取部分同学的测试结果进行统计分析．体育老师将体能测试的最终结果分为A优秀，B良好，C合格，D不合格四个等级，并绘制了如下两幅不完整的统计图． (1)本次随机抽取的学生共________人，并把条形统计图补充完整． (2)若该校九年级有900人，请估计该校体能测试不合格的总人数． (3)假定A等级样本中有2名女生，现准备从A等级样本中随机抽取2名同学，求抽取的同学恰好是一男一女的概率． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$