5.4二元一次方程与一次函数同步练习 2025-2026学年北师大版数学八年级上册

5.4二元一次方程与一次函数 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．若点在函数的图象上，则下列各点在此函数图象上的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，已知点的坐标为，点分别是某函数图象与轴、轴的交点，点是此图象上的一动点，设点的横坐标为的长为，且与之间满足关系：，则以下结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 3．在同一平面直角坐标系中，直线与的交点坐标为（   ） A． B． C． D． 4．“漏刻”是我国古代一种利用水流计时的工具（如图①），综合实践小组用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根装有节流阀（控制水的流速）的软管，制作了类似“漏刻”的简易计时装置（如图②）．上午，综合实践小组在甲容器里加满水，经过实验得到甲容器的水面高度与流水时间的关系如图③所示，下列说法错误的是（　　） A．甲容器的初始水面高度为 B．甲容器的水流光 C．甲容器的水面高度与流水时间的关系式为 D．时甲容器的水面高度为 5．表格为一次函数的自变量与因变量的几组对应值： … 0 1 2 3 … … 6 5 4 3 … 则下列关于该函数图象的说法中正确的是（   ） A．图象不经过第二象限 B．图象与轴的交点坐标为 C．图象与坐标轴围成的三角形的面积为18 D．若点和在该函数图象上，且，则 6．若直线：与：关于轴对称，则的函数解析式为（   ） A． B． C． D． 7．如图，直线经过点，，则的值为（   ） A．3 B． C． D． 8．如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，则关于，的二元一次方程组的解是（    ） A． B． C． D． 9．已知二元一次方程组的解为，则函数和的图象交点的坐标为（   ） A． B． C． D． 10．在平面直角坐标系中，已知，两点，若将线段沿一定方向平移，平移后M点的对应点为，N点的对应点为，则直线的表达式为（    ） A． B． C． D． 11．已知点在一次函数（k为常数，且）的图象上，则k的值为（   ） A． B．2 C． D．3 12．执行如图所示的程序框图，所得与之间的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 13．如图，两条直线和相交于点，两直线与轴所围成的的面积是 ． 14．不论实数k取何值时，直线恒过一定点，则该点的坐标是 ． 15．已知直线过点，那么关于的二元一次方程的一组解为 ． 16．已知直线的解析式为，若直线与直线平行，且过点，则直线的解析式为 ． 17．如果函数与的图象的交点坐标是，那么关于的二元一次方程组的解是 ． 三、解答题 18．如图，正方形的边长为，点在边上，且，点为边上一动点，且 ，以A为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系． (1)连接，求四边形的面积S关于的函数表达式； (2)若直线将正方形分成面积相等的两部分，求此时直线对应的函数表达式； (3)在正方形的边上是否存在点，使是等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 19．喝绿茶前需要烧水和泡茶两个工序，即需要将电热水壶中的水烧到，然后停止烧水，等水温降低到适合的温度时再泡茶，烧水时水温与时间成一次函数关系；停止加热过了1分钟后，水壶中水的温度与时间近似于反比例函数关系（如图）．已知水壶中水的初始温度是，降温过程中水温不低于． (1)分别求出图中所对应的函数关系式，并且写出自变量的取值范围； (2)从水壶中的水烧开降到就可以进行泡制绿茶，问从水烧开到泡茶需要等待多长时间？ 20．一次函数（k，b为常数，且）的图象如图所示，根据图象信息可求得关于x的方程的解为多少？ 21．如图，一个小球由静止开始沿一个斜坡向下滚动，其速度每秒增加． (1)写出小球速度关于时间的函数关系式．它是一次函数吗？是正比例函数吗 (2)求第时小球的速度． 22．小明从家出发，沿一条直道跑步，经过一段时间原路返回，刚好在第16分钟时回到家中．设小明出发tmin时的速度为，离家的距离为，v与t之间的函数关系如下图所示（图中的空心圈表示不包含这一点）． (1)小明出发2min时离家的距离为________m． (2)当时，求s关于t的函数表达式． (3)画出s与t之间的函数图象． 23．已知一次函数与的图象的交点坐标为． (1)关于x，y的方程组的解为_________； (2)求a，b的值． 24．在2012年日市初中学业水平考试体育学科的女子800米耐力测试中，某考点的王芳同学所跑的路程 s（米）与所用时间 t （秒）之间的函数图象为折线OBCD．和她同时起跑的李梅同学前600米的速度保持在5米/秒，后来因为体力下降，速度变慢，但还保持匀速奔跑，结果和王芳同学同时到达终点． (1)直接在图中画出李梅同学所跑的路程s（米）与所用时间t（秒）之间的函数图象； (2)求王芳同学测试中的最快速度； (3)求李梅同学在起跑后多少秒追上王芳同学，这时她们距离终点还有多少米？ 《5.4二元一次方程与一次函数》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A A B D C A B B B A 题号 11 12 答案 A C 1．A 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，即一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式．将点代入函数解析式求出k的值，再把各点的坐标代入解析式，逐一检验即可． 【详解】解：∵点在函数的图象上， ∴，解得， ∴此函数的解析式为：， A、∵当时，则，∴此点在函数图象上，故本选项符合题意； B、∵当时，则，∴此点不在函数图象上，故本选项不符合题意； C、∵当时，则，∴此点不在函数图象上，故本选项不符合题意； D、∵当时，则，∴此点不在函数图象上，故本选项不符合题意． 故选：A． 2．A 【分析】本题考查了解直角三角形的应用中的方向角问题，设P的坐标是，过P作轴于M点，在中，根据勾股定理，即可求得函数的解析式．根据解析式即可判断． 【详解】解：过P作轴于点M，如图所示： 设P的坐标是， ∵点的坐标为， ∴， 在中，，，， ∴， 解得：， 令，得， 解得：（负值已舍去）， ∴，， 故选项B正确； ∴， 故选项C正确； 在中，令，得， 解得（负值已舍去）， ∴， 故选项A错误； 在中，根据勾股定理得：， 故选项D正确． 故选：A． 3．B 【分析】本题考查了两直线的交点与二元一次方程组的解，注意计算的准确性即可．由题意可得，再解方程组即可． 【详解】解：联立， 解得： ∴交点坐标为， 故选：B 4．D 【分析】本题主要考查一次函数的应用，明确题意、利用数形结合的思想是解题的关键．根据题意和函数图象中的数据逐项推理分析即可解答． 【详解】解：由图3可知，甲容器的初始水面高度为，故选项A正确，不符合题意； 水面每小时下降的高度为，，， 即甲容器的水流光，故选项B正确，不符合题意； 设, ∵点和点在该函数图象上， ∴，解得：， ∴甲容器的水面高度h与流水时间t的关系式为，故选项C正确，符合题意； ∴时甲容器的水面高度为：，故选项D错误，符合题意． 故选：D． 5．C 【分析】本题主要考查了一次函数与其系数的关系，求一次函数与坐标轴的交点坐标等等，利用待定系数法求出函数解析式，即可判断其所经过的象限，据此可判断A；求出函数值为0时，自变量的值即可判断B；求出一次函数与两坐标轴的交点坐标即可判断C；根据增减性即可判断D． 【详解】解：把，代入到中得：， 解得， ∴一次函数的解析式为， ∴一次函数图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，故A说法错误，不符合题意； 在中，当时，解得， ∴图象与x轴的交点坐标为，故B说法错误，不符合题意； ∵时，， ∴图象与y轴的交点坐标为， ∴图象与坐标轴围成的三角形的面积为，故C说法正确，符合题意； ∵在中，， ∴y随x增大而减小， 若点和在该函数图象上，且，则，故D说法错误，不符合题意； 故选：C． 6．A 【分析】本题考查了一次函数的性质，轴对称的点的坐标特征，由：求出与坐标轴交点为，，然后得出关于轴对称的坐标为，，再根据待定系数法即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由：得，当时，，当时，， ∴与坐标轴交点为，， ∴关于轴对称的坐标为，， ∵直线：经过点，， ∴，解得：， ∴的解析式为， 故选：． 7．B 【分析】本题主要考查利用待定系数法求解析式，根据图形得到点坐标，再利用待定系数法求得解析式即可． 【详解】解：由图可知点、， 设直线， 则，解得， 故． 故选：B． 8．B 【分析】本题考查一次函数图象的交点与二元一次方程组的解的关系．由图象交点坐标可得方程组的解． 【详解】解：由图象可得直线与直线相交于点， 则关于，的二元一次方程组的解为： 故选：B 9．B 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，两条直线的交点坐标是对应两个一次函数组成的方程组的解；反之，二元一次方程组的解是对应的两个一次函数图象的交点坐标；据此即可求解． 【详解】解：∵二元一次方程组的解为 ∴函数和的图象的交点坐标为． 故选：B． 10．A 【分析】本题主要考查待定系数法求一次函数解析式，先根据点M及其对应点坐标得出平移方向和距离，据此得出点N的对应点坐标，再利用待定系数法求解即可． 【详解】解：由点的对应点，知线段向右平移2个单位，向上平移4个单位， ∴点的对应点， 设直线的表达式为， 则， 解得， 所以直线的表达式为， 故选：A． 11．A 【分析】本题主要考查了求一次函数关系式，将点A的坐标代入一次函数解析式，解方程即可求出k的值． 【详解】解：点在函数的图象上， ，且， 解得：． 故选：A． 12．C 【分析】本题考查了程序图，求函数关系式，根据题意列出函数关系式即可，读懂题意，正确列出函数关系式是解题的关键． 【详解】解：∵输入后第一步取x的相反数得到，在此基础上“”得到，在此基础上“”得到， ∴输出的应为， ∴所得与之间的函数关系式为， 故选：． 13． 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，求两直线围成的三角形的面积，求直线与坐标轴的交点，求得直线解析式是解题的关键． 先根据交点坐标求得，进而求得点的坐标，的坐标，进而根据三角形面积公式求解即可 【详解】解：两条直线和相交于点， 解得 ， 令，解得 由，令，解得， ． 故答案为：． 14． 【分析】化简等式，得出与的值无关，得出，解方程组即可求解． 【详解】解：∵ 即 ∵不论实数k取何值时，直线恒过一定点， ∴ 解得： ∴该点的坐标是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了求两直线交点坐标，根据题意列出方程组是解题的关键． 15． 【分析】本题主要考查了一次函数与二元一次方程之间的关系，一次函数图象上的点的横纵坐标即为一次函数解析式对应的二元一次方程的解，据此可得答案． 【详解】解：∵直线过点， ∴关于的二元一次方程的一组解为， 故答案为：． 16． 【分析】本题考查了两直线平行的问题，设出直线的解析式，代入点，求出直线的解析式即可． 【详解】解：设直线的解析式为， ∵直线与直线平行， ∴， 把代入得， 解得， ∴线的解析式为． 故答案为：． 17． 【分析】先把代入，从而求得，得出交点坐标为，然后根据函数图象交点坐标为两函数解析式，组成的方程组的解求解即可． 【详解】解：把代入，得， 解得： ∴函数与的图象的交点坐标是， ∴方程组的解是， 故答案为：． 18．(1) (2) (3)存在，，， 【分析】（1）根据图形可知，四边形是梯形，将的长度表示出来，再根据梯形的面积公式即可进行解答； （2）直线将正方形分成面积相等的两部分，则四边形的面积是正方形面积的一半，求出正方形面积，代入求出m，即可得点F的坐标，最后用待定系数法求解即可； （3）根据题意，进行分类讨论，①以点C为圆心，长为半径画弧，交于点P，证明即可求出点P的坐标；②作的垂直平分线，交于点，交于点，根据勾股定理即可求出，的坐标． 【详解】（1）解：∵正方形的边长为， ∴， ∵，， ∴， 整理得：； （2）∵正方形的边长为， ∴正方形面积， ∵直线将正方形分成面积相等的两部分， ∴四边形的面积，解得：， ∴点， ∵， ∴点 设直线的函数表达式为：， 把，代入得： ，解得：， ∴设直线的函数表达式为：； （3）①以点C为圆心，长为半径画弧，交于点P， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵正方形的边长为，， ∴， ∵是等腰三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴； ②作的垂直平分线，交于点，交于点； 设，则， ∵为等腰三角形， ∴， ∵， ∴在中，根据勾股定理可得：， 即，解得：， ∴； 设，则， ∵为等腰三角形， ∴， ∵，， ∴在中，根据勾股定理可得：， 在中，根据勾股定理可得：， ∴， 即，解得：， ∴； 综上：存在，点P的坐标为，，． 【点睛】本题主要考查了列表达式，用待定系数法求一次函数表达式，勾股定理，解题的关键是掌握用待定系数法求解函数表达式的方法和步骤，正确作出辅助线构造直角三角形，用勾股定理求解． 19．(1)当加热烧水，函数关系式为；当停止加热，得与的函数关系式为；段， (2)从烧水开到泡茶需要等待分钟 【分析】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是从实际问题中整理出反比例函数的模型． （1）将点的坐标代入反比例函数的一般形式利用待定系数法确定反比例函数的解析式，然后求得点和点的坐标，从而用待定系数法确定一次函数的解析式； （2）将代入反比例函数的解析式，从而求得答案． 【详解】（1）解：设停止加热时，设， 由图可知，将代入得：，解得：， ， 当时，得：； 当时，得，解得：， 点坐标为， 点坐标为， 设当加热烧水时，设， 由图及题意可知，将代入得：，解得：， 当加热烧水，函数关系式为； 当停止加热，得与的函数关系式为； 段，； （2）解：把代入，得，（分钟）； 从烧水开到泡茶需要等待分钟． 20． 【分析】本题主要考查了一次函数的图像和性质，先利用待定系数法求出函数的解析式，再把代入，即可求出x． 【详解】解：把和代入得： ， 解得： 即， 当时，， 解得：， ∴方程的解为． 21．(1)，它是一次函数，是正比例函数 (2) 【分析】本题考查了一次函数和正比例函数在实际问题中的应用，解题的关键是根据速度随时间的变化关系列出函数关系式，并结合定义判断函数类型，再代入求值． （1）根据小球速度每秒增加且由静止开始滚动，确定速度与时间的函数关系式；再依据一次函数和正比例函数的定义判断函数类型． （2）将时间代入（1）中得到的函数关系式，计算此时的速度． 【详解】（1）解：∵小球由静止开始滚动，初始速度为0，且速度每秒增加， ∴速度v关于时间t的函数关系式为． 该函数符合一次函数的形式，是一次函数； 又因，符合正比例函数的形式，也是正比例函数． ∴函数关系式为，是一次函数，也是正比例函数； （2）当时，代入得：． ∴第时小球的速度为． 22．(1)200 (2) (3)见解析 【分析】本题考查了一次函数的应用，主要利用了路程、速度、时间三者之间的关系，读懂题目信息，从图中准确获取信息是解题的关键． （1）根据路程=速度×时间求出小明出发第时离家的距离即可； （2）当时，离家的距离前面2min走的路程加上后面走过的路程列式即可； （3）分类讨论：、、和四种情况，画出各自的图形即可求解． 【详解】（1）解：． 故小明出发时离家的距离为； 故答案为：200． （2）解：当时，， 所以关于的函数表达式为． （3）解：当时，； 当时，． 设小明在第分钟时开始原路返回， 则， 解得，所以当时，． 同理可求出当时，；当时， 综上所述，可画出与之间的函数图象如图所示． 23．(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，熟练掌握两者之间的关系是解题的关键． （1）根据一次函数与二元一次方程组的关系求解即可； （2）将代入方程组，求解即可； 【详解】（1）∵一次函数与的图象的交点坐标为， ∴方程组的解是； （2）将代入方程组，得， 解得． 24．(1)见解析； (2)王芳同学测试中的最快速度为6米/秒； (3)李梅同学在起跑后秒追上王芳同学，这时她们距离终点还有米． 【分析】本题考查了待定系数法求函数的解析式的运用，描点法画函数图象的运用，一次函数的交点坐标点的运用，解答本题时正确理解函数图象表示的意义是关键． （1）求出李梅同学前600米的时间就可以确定李梅600米时的图象位置，再连接、就可以画出图象； （2）根据函数图象求出王芳跑，，三段路程的速度，再比较大小就可以求出王芳的最快速度； （3）运用待定系数法求出的解析式和的解析式，再根据一次函数与二元一次方程的关系就可以求出李梅同学在起跑后追上王芳同学的时间和离终点的距离． 【详解】（1）解：由题意，得:， ∴李梅运动中的图象经过， ∴在平面直角坐标系中描出这点，再连接，就可以画出李梅同学所跑的路程（米）与所用时间（秒）之间的函数图象，如图： （2）由图象，得 王芳段的速度为：米/秒； 王芳段的速度为：米/秒； 王芳段的速度为：米/秒； ∴， ∴王芳同学测试中的最快速度为6米/秒； （3）设直线的解析式为，由题意，得， 解得：，即， 设直线的解析式为，由题意，得, 解得：，即， 当时，， ∴， 当时，， 距离终点还有：． 答：李梅同学在起跑后秒追上王芳同学，这时她们距离终点还有米． 学科网（北京）股份有限公司 $$