山东省济南市章丘区2024-2025学年下学期七年级期末数学试卷

山东省济南市章丘区2024-2025学年下学期七年级期末数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出四个选项中，只有一项最符合题目要求，请把它选出来。） 1．（4分）国产人工智能大模型DeepSeek横空出世，其低成本、高性能的特点，迅速吸引了全球投资者的目光．以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．（4分）下列运算正确的是（　　） A．（﹣a+b）2＝﹣a2﹣2ab+b2 B．m2+m2＝m4 C．m3•m2＝m6 D．（﹣a2b）3＝﹣a6b3 3．（4分）如图，AB∥CD，AC∥DE，∠FAB＝96°，∠E＝41°，则∠DCE的度数为（　　） A．41° B．55° C．45° D．54° 4．（4分）2025年3月7日，哈医大和哈工大科研团队研发的新型纳米机器人取得新突破，可在6分钟内清除4毫米静脉血栓．经临床实验数据显示，该纳米机器人单个宽度仅为85nm（即0.000000085m）．将数据“0.000000085”用科学记数法表示为（　　） A．8.5×10﹣8 B．85×10﹣9 C．8.5×10﹣9 D．0.85×10﹣7 5．（4分）如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC的长是（　　） A．3 B．4 C．6 D．5 6．（4分）下列事件中，属于随机事件的是（　　） A．太阳从东方升起 B．抛一枚硬币，正面朝上 C．用长度分别是3cm，2cm，1cm的细木条首尾顺次相连，可组成一个三角形 D．通常情况下，温度降到0℃以下，纯净的水会结冰 7．（4分）如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝120°，AB＝8cm，BC＝12cm，CD＝16cm，点P在线段BC上以4cm/s的速度由点B向点C运动，同时点O在线段CD上由点C向点D匀速运动．若△BAP与△PCQ在某一时刻全等，则点Q运动速度为（　　） A． B．或 C．4cm/s或 D．4cm/s或 8．（4分）下列说法不成立的是（　　） A．若（2a﹣1）2＝（2a+1）（2a﹣1），则a＝ B． C．等腰三角形两边分别为6和13，则其周长为25或32 D． 9．（4分）如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝2，S△ABC＝2.5．①以点A为圆心，以适当长为半径画弧，交AB于点G，交AC于点H；再分别以点G，H为圆心，以大于GH的长为半径画弧，两弧在∠BAC的内部相交于点E；作射线AE交BC边于点D；②分别以点A，D为圆心，以大于AD的长为半径画弧，两弧相交于点M，N；作直线MN交AD于点F．则△BDF的面积为（　　） A．1.15 B．1 C．0.8 D．0.75 10．（4分）已知：如图（1），长方形ABCD中，E是边AD上一点，且AE＝6cm，AB＝8cm，点P从B出发，沿折线BE﹣ED﹣DC匀速运动，运动到点C停止．P的运动速度为2cm/s，运动时间为t（s），△BPC的面积为y（cm2）．y与t的关系式图象如图（2），则下列结论正确的有（　　） ①a＝7； ②b＝11； ③当t＝3时，△PCD为等腰三角形； ④当t＝10s时，y＝12cm2． A．①③④ B．①③ C．①②③ D．①④ 二、填空题：（本大题共5个小题，每小题4分，共20分.） 11．（4分）若m+3n+1＝0，则3m•27n＝　 　 ． 12．（4分）如图②是用图①的七巧板拼成的“龙马精神”图形，现将一个飞镖随机投掷到该图形上，则飞镖落在阴影部分的概率是　 　 ． 13．（4分）计算：＝　 　 ． 三、解答题（共10个小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 14．（7分）计算：． 15．（7分）先化简，再求值：（x+2y）（x﹣2y）+（x﹣2y）2﹣（6x2y﹣8xy2）÷（2y），其中x＝﹣2，． 16．（7分）每年的3月14日是国际数学节，又称圆周率日．中国邮政于今年3月14日发行《数学之美》特种邮票，分别以“圆周率、毕达哥拉斯定理、欧拉公式、莫比乌斯带”为主题，一套四张，方寸间展现数学的无限魅力与艺术美感． 已知每张邮票成本2元，商场将两套邮票分别装入八个相同的盲盒中，每个盲盒装一张且被抽中的概率相同．凡在商场购物满300元的顾客，将获得一次抽盲盒的机会，规定：抽到“圆周率”，获得该邮票且奖励10元；抽到“毕达哥拉斯定理或欧拉公式”，获得该邮票且奖励6元；抽到“莫比乌斯带”，仅获得该邮票． （1）小颖从盲盒中随机抽取一个，求恰好抽到“圆周率”的概率； （2）此活动推出的一个月里，共抽了540次盲盒，求商场这一个月里需支付此活动的费用． 17．（8分）读懂下面的推理过程，并填空（理由或数学式）． 中国汉字博大精深，方块文字智慧灵秀，奥妙无穷，如图1是一个“互”字，如图2是由图1抽象出的几何图形，其中AB∥CD，点E，M，F在同一直线上，点G，H，N在同一条直线上，且∠AEF＝∠GHD，MG∥FN．求证：∠EFN＝∠G． 证明：如图2，延长EF交CD于点P． ∵AB∥CD（已知）， ∴∠AEF＝∠EPD（　 　 ）， 又∵∠AEF＝∠GHD（已知）， ∴∠EPD＝　 　 ，（　 　 ） ∴EP∥GH（　 　 ）， ∴∠EFN+（　 　 ）＝180°（　 　 ）， 又∵MG∥FN（已知）， ∴∠FNG+∠G＝180°（　 　 ）， ∴∠EFN＝∠G（　 　 ）． 18．（8分）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C均在小正方形的顶点上． （1）△ABC的形状是　 　 ； （2）在图中画出与△ABC关于直线l成轴对称的△A'B'C'； （3）结合所画图形，在直线l上画出点P，使PA+PC最小； （4）根据图形，求△ABC的面积． 19．（9分）为测量一块区域A，B间的距离，提供了以下方案：如图1，先在平地上取一个可直接到达A，B的点O，连接AO，BO，并分别延长AO至点C，延长BO至点D，使CO＝AO，DO＝BO，最后测出CD的长即为A，B间的距离． 知识窗 如图，若∠1＝∠2，则a＝b． （1）请你说说该方案可行的理由； （2）由于在EF处有一堵墙阻挡了路线，使得无法按照题干的方案测出CD的长，但在图2中可测得∠EOC＝65°，∠C＝80°，∠OEF＝145°，CF＝128m，EF＝77m，请据此求出A，B间的距离． 20．（10分）2025端午节济南大明湖举行龙舟赛活动，参赛队伍有15支．设若甲、乙两个龙舟队分别同时从起点出发，划行的路程y（米）与划行的时间x（分）（其中0≤x≤6）之间满足的关系如图所示，根据图象所提供的信息，解答下列问题： （1）甲队划行的速度为　 　 ；当0≤x≤2时，乙队划行的速度为　 　 ；当2＜x≤6时，乙队划行的速度为　 　 ． （2）当x＝　 　 分钟时，甲、乙两队划行的路程相等； （3）求出当甲、乙两队划行的路程相差100米时x的值． 21．（10分）把几个图形拼成一个新的图形，通过图形面积的计算，常常可以得到一些等式，这是研究数学问题的一种常用方法，我们在学习“从面积到乘法公式”时，曾用两种不同的方法计算同一个图形的面积，探索了完全平方公式：（a+b）2＝a2+2ab+b2（如图1）． （1）观察图2，请你写出（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的等量关系是　 　 ； 【拓展应用】 根据（1）中的等量关系及课本所学的知识，解决如下问题： （2）若x+y＝4，x•y＝，且x＞y，求x﹣y的值； （3）如图3，在△BCE中，∠BCE＝90°，CE＝8，点M在边BC上，CM＝3，在边CE上取一点Q，使BM＝EQ，分别以BC，CQ为边在△BCE外部作正方形ABCD和正方形COPQ，连接BQ，若△BCQ的面积等于，设BM＝x（x＞0），求正方形ABCD与正方形COPQ的面积之和． 22．（12分）△ABC和△DBE是两个角都是45°的等腰直角三角形（BA＝BC，BE＝BD，∠DBE＝∠ABC＝90°）的三角板， 【问题初探】 （1）当两个三角板如图（1）所示的位置摆放时，D、B、C在同一直线上，连接AD、CE，请证明：AD＝CE． 【类比探究】 （2）当三角板ABC保持不动时，将三角板DBE绕点B顺时针旋转到如图（2）所示的位置，判断AD与CE的数量关系和位置关系，并说明理由． 23．（12分）【基础回顾】 （1）如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线l经过点A，分别从点B，C向直线l作垂线，垂足分别为D，E．求证：△ABD≌△CAE； 【变式探究】 （2）如图2，在△ABC中，AB＝AC，直线l经过点A，点D，E分别在直线l上，如果∠CEA＝∠ADB＝∠BAC，猜想DE，BD，CE有何数量关系，并给予证明； 【拓展应用】 （3） 小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以△ABC的边AB，AC为一边向外作△BAD和△CAE，其中∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AC＝AE，AG是边BC上的高．延长GA交DE于点H，设△ADH的面积为S1，△AEH的面积为S2，猜猜想S1，S2大小关系，并说明理由． 山东省济南市章丘区2024-2025学年下学期七年级期末数学试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D B A A B D C D C 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出四个选项中，只有一项最符合题目要求，请把它选出来。） 1．（4分）国产人工智能大模型DeepSeek横空出世，其低成本、高性能的特点，迅速吸引了全球投资者的目光．以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据轴对称图形的定义逐项判断即可得． 【解答】解：A，B，D选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； C选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 故选：C． 【点评】本题考查了轴对称图形“如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形”，熟记轴对称图形的定义是解题关键． 2．（4分）下列运算正确的是（　　） A．（﹣a+b）2＝﹣a2﹣2ab+b2 B．m2+m2＝m4 C．m3•m2＝m6 D．（﹣a2b）3＝﹣a6b3 【分析】A．根据完全平方公式判断即可； B．合并同类项即可； C．根据同底数幂的乘法运算法则计算即可； D．根据幂的乘方与积的乘方运算法则计算即可． 【解答】解：（﹣a+b）2＝（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2， ∴A不正确，不符合题意； m2+m2＝2m2， ∴B不正确，不符合题意； m3•m2＝m5， ∴C不正确，不符合题意； （﹣a2b）3＝﹣a6b3， ∴D正确，符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查幂的乘方与积的乘方，掌握完全平方公式、同底数幂的乘法运算法则、幂的乘方与积的乘方运算法则是解题的关键． 3．（4分）如图，AB∥CD，AC∥DE，∠FAB＝96°，∠E＝41°，则∠DCE的度数为（　　） A．41° B．55° C．45° D．54° 【分析】先根据平行线的性质得到∠ACB＝41°，∠ACD＝96°，然后计算∠ACD﹣∠ACB即可． 【解答】解：∵AC∥DE， ∴∠ACB＝∠E＝41°， ∵AB∥CD， ∴∠ACD＝∠FAB＝96°， ∴∠DCE＝∠ACD﹣∠ACB＝96°﹣41°＝55°． 故选：B． 【点评】本题考查了平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等． 4．（4分）2025年3月7日，哈医大和哈工大科研团队研发的新型纳米机器人取得新突破，可在6分钟内清除4毫米静脉血栓．经临床实验数据显示，该纳米机器人单个宽度仅为85nm（即0.000000085m）．将数据“0.000000085”用科学记数法表示为（　　） A．8.5×10﹣8 B．85×10﹣9 C．8.5×10﹣9 D．0.85×10﹣7 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：0.000000085＝8.5×10﹣8． 故选：A． 【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 5．（4分）如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC的长是（　　） A．3 B．4 C．6 D．5 【分析】过点D作DF⊥AC于F，然后利用的面积公式列式计算即可得解． 【解答】解：过点D作DF⊥AC于F， ∵AD是的角平分线，DE⊥AB， ∴DE＝DF＝2， ∴S△ABC＝S△ABD+S△ADC＝AB•DE+AC•DF＝×4×2+AC×2＝7， 解得AC＝3． 故选：A． 【点评】本题考查角平分线的性质，即角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，三角形的面积，熟记性质并利用三角形的面积列出方程是解题的关键． 6．（4分）下列事件中，属于随机事件的是（　　） A．太阳从东方升起 B．抛一枚硬币，正面朝上 C．用长度分别是3cm，2cm，1cm的细木条首尾顺次相连，可组成一个三角形 D．通常情况下，温度降到0℃以下，纯净的水会结冰 【分析】根据事件发生的可能性大小判断． 【解答】解：A．太阳从东方升起，是必然事件，不符合题意； B．抛一枚硬币，正面朝上，是随机事件，符合题意； C．用长度分别是3cm，2cm，1cm的细木条首尾顺次相连，可组成一个三角形，是不可能事件，不符合题意； D．通常情况下，温度降到0℃以下，纯净的水会结冰，是必然事件，不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查的是随机事件，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 7．（4分）如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝120°，AB＝8cm，BC＝12cm，CD＝16cm，点P在线段BC上以4cm/s的速度由点B向点C运动，同时点O在线段CD上由点C向点D匀速运动．若△BAP与△PCQ在某一时刻全等，则点Q运动速度为（　　） A． B．或 C．4cm/s或 D．4cm/s或 【分析】设点P运动时间为t秒，点Q运动速度为vcm/s，则BP＝4tcm，CQ＝vtcm，根据∠B＝∠C＝120°可得△ABP≌△QCP或△ABP≌△PCQ，再根据全等三角形的性质，即可求解． 【解答】解：设点P运动时间为t秒，点Q运动速度为vcm/s，则BP＝4tcm，CQ＝vtcm， ∴CP＝BC﹣BP＝（12﹣4t）cm， ∵∠B＝∠C＝120°， ∴△ABP≌△QCP或△ABP≌△PCQ， 当△ABP≌△PCQ时，CP＝AB＝8cm，BP＝CQ， ∴12﹣4t＝8，4t＝vt， 解得t＝1，v＝4； 当△ABP≌△QCP时，QC＝AB＝8cm，， ∴vt＝8，4t＝6， 解得，； 综上可知，点Q运动速度为4cm/s或， 故选：D． 【点评】本题主要考查了全等三角形的性质，能根据题意进行分类讨论求解是解题的关键． 8．（4分）下列说法不成立的是（　　） A．若（2a﹣1）2＝（2a+1）（2a﹣1），则a＝ B． C．等腰三角形两边分别为6和13，则其周长为25或32 D． 【分析】A．等号的左右两边都展开，求出x即可； B．根据幂的运算进行计算即可； C．先判断是否构成三角形，再求周长； D．先变形再计算即可． 【解答】解：A．∵（2a﹣1）2＝（2a+1）（2a﹣1）， ∴4a2﹣4a+1＝4a2﹣1， ∴a＝，故本选项不符合题意； B．原式＝（2x）n＝2nxn，故本选项不符合题意； C．∵6+6＝12，12＜13， ∴6+6+13＝25不符合题意，故本选项符合题意； D．原式＝（5×）2024×5＝5，故本选项不符合题意． 故选：C． 【点评】本题主要考查完全平方公式、幂的乘方与积的乘方、等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 9．（4分）如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝2，S△ABC＝2.5．①以点A为圆心，以适当长为半径画弧，交AB于点G，交AC于点H；再分别以点G，H为圆心，以大于GH的长为半径画弧，两弧在∠BAC的内部相交于点E；作射线AE交BC边于点D；②分别以点A，D为圆心，以大于AD的长为半径画弧，两弧相交于点M，N；作直线MN交AD于点F．则△BDF的面积为（　　） A．1.15 B．1 C．0.8 D．0.75 【分析】如图，过点D作DK⊥AC于点K，DJ⊥AB于点J．首先证明＝＝，求出△ABD的面积，可得结论． 【解答】解：如图，过点D作DK⊥AC于点K，DJ⊥AB于点J． 由作图可知DA平分∠BAC， ∴DK＝DJ， ∴＝＝， ∴＝＝， ∴S△ABD＝S△ABC＝1.5， 由作图可知MN垂直平分线段AD， ∴AF＝DF， ∴S△BDF＝S△ABD＝0.75， 故选：D． 【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了角平分线的性质和垂直平分线的性质． 10．（4分）已知：如图（1），长方形ABCD中，E是边AD上一点，且AE＝6cm，AB＝8cm，点P从B出发，沿折线BE﹣ED﹣DC匀速运动，运动到点C停止．P的运动速度为2cm/s，运动时间为t（s），△BPC的面积为y（cm2）．y与t的关系式图象如图（2），则下列结论正确的有（　　） ①a＝7； ②b＝11； ③当t＝3时，△PCD为等腰三角形； ④当t＝10s时，y＝12cm2． A．①③④ B．①③ C．①②③ D．①④ 【分析】由三角形面积公式求出BC＝10cm，即可得到DE长，求出P在ED上运动的时间，从而求出a的值，求出P在CD上运动的时间是8÷2＝4（s），即可求出b的值，b＝7+4＝11，当t＝3时，由△DEC≌△PEC（SAS），得到PC＝CD，因此△PCD是等腰三角形，当t＝10时，求出PC＝2（cm），即可求出y＝12cm2． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝90°，AD＝BC，AB＝CD， 当P在DE上时， △PBC的面积＝BC•AB＝40（cm2）， ∴BC＝10cm， ∴DE＝AD﹣AE＝10﹣6＝4（cm）， ∴P在DE上运动的时间是4÷2＝2（s）， ∴a＝5+2＝7， 故①符合题意； ∵P在CD上运动的时间是8÷2＝4（s）， ∴b＝7+4＝11， 故②符合题意； 当t＝3时，如图，连接CE， ∵PB＝2×3＝6（cm）， ∴PE＝BE﹣BP＝4（cm）， ∴PE＝DE， ∵AE＝6cm，AB＝8cm， ∴BE＝＝10（cm）， ∵BE＝BC， ∴∠PEC＝∠BCE， ∵DE∥BC， ∴∠DEC＝∠BCE， ∴∠PEC＝∠DEC， ∵CE＝CE， ∴△DEC≌△PEC（SAS）， ∴PC＝CD， ∴△PCD是等腰三角形， 故③符合题意； 当t＝10时， P运动的路程是2×10＝20（cm）， ∴PC＝BE+DE+DC﹣20＝10+4+8﹣10＝2（cm）， ∴y＝BC•PC＝10（cm2）， 故④不符合题意． ∴正确的是①②③． 故选：C． 【点评】本题考查矩形的性质，动点问题的函数图象，关键是理解题意，熟悉运动的过程，把对应的数据转化为图形中的线段长． 二、填空题：（本大题共5个小题，每小题4分，共20分.） 11．（4分）若m+3n+1＝0，则3m•27n＝　　 ． 【分析】根据m+3n+1＝0可得m+3n＝﹣1，再将原式中27n的变形为33n，即可求解． 【解答】解：∵m+3n+1＝0， ∴m+3n＝﹣1， ∴3m•27n ＝3m•（33）n ＝3m•33n ＝3m+3n ＝3﹣1 ＝， 故答案为：． 【点评】本题考查同底数幂的乘法，幂的乘方，熟练掌握相关运算法则是关键． 12．（4分）如图②是用图①的七巧板拼成的“龙马精神”图形，现将一个飞镖随机投掷到该图形上，则飞镖落在阴影部分的概率是　　 ． 【分析】根据图形和七巧板特点可得到阴影部分面积占正方形面积的，进而根据概率公式，即可得到飞镖落在阴影部分的概率． 【解答】解：由七巧板特点可知，图②阴影部分面积占正方形面积的， ∴飞镖落在阴影部分的概率是， 故答案为：． 【点评】本题考查了七巧板，以及几何概率，熟练掌握概率公式是解题的关键． 13．（4分）计算：＝　　 ． 【分析】根据平方差公式将题目中的式子分解因式，然后计算乘法即可． 【解答】解： ＝（1﹣）×（1+）×（1﹣）×（1+）×…×（1﹣）×（1+） ＝×××…×× ＝× ＝， 故答案为：． 【点评】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键，注意乘法分配律的应用． 三、解答题（共10个小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 14．（7分）计算：． 【分析】先根据有理数的乘方、负整数指数幂、零指数幂、积的乘方、绝对值的定义计算，再根据有理数的混合运算法则计算即可． 【解答】解： ＝﹣1+4﹣1﹣ ＝﹣1+4﹣1﹣﹣2 ＝﹣1+4﹣1﹣（﹣1）2024×3﹣2 ＝﹣1+4﹣1﹣1×3﹣2 ＝﹣1+4﹣1﹣3﹣2 ＝﹣3． 【点评】本题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 15．（7分）先化简，再求值：（x+2y）（x﹣2y）+（x﹣2y）2﹣（6x2y﹣8xy2）÷（2y），其中x＝﹣2，． 【分析】先利用平方差公式、完全平方公式、多项式除以单项式法则计算，再合并同类项，最后代入求值即可． 【解答】解：原式＝x2﹣4y2+x2﹣4xy+4y2﹣（3x2﹣4xy） ＝x2﹣4y2+x2﹣4xy+4y2﹣3x2+4xy ＝﹣x2， 将x＝﹣2代入，得： 原式＝﹣（﹣2）2＝﹣4． 【点评】本题考查整式的化简求值，正确记忆相关知识点是解题关键． 16．（7分）每年的3月14日是国际数学节，又称圆周率日．中国邮政于今年3月14日发行《数学之美》特种邮票，分别以“圆周率、毕达哥拉斯定理、欧拉公式、莫比乌斯带”为主题，一套四张，方寸间展现数学的无限魅力与艺术美感． 已知每张邮票成本2元，商场将两套邮票分别装入八个相同的盲盒中，每个盲盒装一张且被抽中的概率相同．凡在商场购物满300元的顾客，将获得一次抽盲盒的机会，规定：抽到“圆周率”，获得该邮票且奖励10元；抽到“毕达哥拉斯定理或欧拉公式”，获得该邮票且奖励6元；抽到“莫比乌斯带”，仅获得该邮票． （1）小颖从盲盒中随机抽取一个，求恰好抽到“圆周率”的概率； （2）此活动推出的一个月里，共抽了540次盲盒，求商场这一个月里需支付此活动的费用． 【分析】（1）根据概率公式计算即可； （2）根据概率公式计算即可． 【解答】解：（1）总共有8种等可能的结果，其中，恰好抽到“圆周率”的结果有2种， 所以小颖从盲盒中随机抽取一个，恰好抽到“圆周率”的概率＝； （2）商场这一个月里需支付邮票的费用为：2×540＝1080（元）， 抽到“圆周率”的总次数约为：×540＝135（次）， 抽到“毕达哥拉斯定理、欧拉公式”的总次数约为：×540＝270（次）， 抽到“莫比乌斯带”的总次数约为：×540＝135（次）， ∴商场这一个月里需支付此活动的费用为： 1080+135×10+270×6+135×0＝4050（元）． 【点评】本题考查了概率公式，解答本题的关键是根据概率公式求出相应的概率． 17．（8分）读懂下面的推理过程，并填空（理由或数学式）． 中国汉字博大精深，方块文字智慧灵秀，奥妙无穷，如图1是一个“互”字，如图2是由图1抽象出的几何图形，其中AB∥CD，点E，M，F在同一直线上，点G，H，N在同一条直线上，且∠AEF＝∠GHD，MG∥FN．求证：∠EFN＝∠G． 证明：如图2，延长EF交CD于点P． ∵AB∥CD（已知）， ∴∠AEF＝∠EPD（　两直线平行，内错角相等　 ）， 又∵∠AEF＝∠GHD（已知）， ∴∠EPD＝　∠GHD ，（　等量代换　 ） ∴EP∥GH（　同位角相等，两直线平行　 ）， ∴∠EFN+（　∠FNG ）＝180°（　两直线平行，同旁内角互补　 ）， 又∵MG∥FN（已知）， ∴∠FNG+∠G＝180°（　两直线平行，同旁内角互补　 ）， ∴∠EFN＝∠G（　同角的补角相等　 ）． 【分析】根据平行线的判定和性质，补齐各步骤的结论和推理依据即可． 【解答】证明：如图2，延长EF交CD于点P， ∵AB∥CD（已知）， ∴∠AEF＝∠EPD（两直线平行，内错角相等）， 又∵∠AEF＝∠GHD（已知）， ∴∠EPD＝∠GHD（等量代换）， ∴EP∥GH（同位角相等，两直线平行）， ∴∠EFN+（∠FNG）＝180°（两直线平行，同旁内角互补）， 又∵MG∥FN（已知）， ∴∠FNG+∠G＝180°（两直线平行，同旁内角互补）， ∴∠EFN＝∠G（同角的补角相等 ）． 故答案为：两直线平行，内错角相等；∠GHD，等量代换；同位角相等，两直线平行；∠FNG，两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，同旁内角互补；同角的补角相等． 【点评】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 18．（8分）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C均在小正方形的顶点上． （1）△ABC的形状是　直角三角形　 ； （2）在图中画出与△ABC关于直线l成轴对称的△A'B'C'； （3）结合所画图形，在直线l上画出点P，使PA+PC最小； （4）根据图形，求△ABC的面积． 【分析】（1）由勾股定理求出AB、AC、BC的长，再由勾股定理逆定理计算即可得出答案； （2）根据轴对称的性质作出△A′B′C′即可； （3）连接A′C交直线l于点P，点P即为所作； （4）利用割补法求三角形面积即可． 【解答】解：（1）由勾股定理可得：，，， ∴AB2+BC2＝8+18＝26＝AC2， ∴△ABC的形状是直角三角形； 故答案为：直角三角形； （2）如图所示，所作△A′B′C′即为所求， ； （3）如图所示，所作点P即为所求； （4）△ABC的面积＝． 【点评】本题考查了勾股定理、勾股定理逆定理、作图—轴对称变换、割补法求三角形面积，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 19．（9分）为测量一块区域A，B间的距离，提供了以下方案：如图1，先在平地上取一个可直接到达A，B的点O，连接AO，BO，并分别延长AO至点C，延长BO至点D，使CO＝AO，DO＝BO，最后测出CD的长即为A，B间的距离． 知识窗 如图，若∠1＝∠2，则a＝b． （1）请你说说该方案可行的理由； （2）由于在EF处有一堵墙阻挡了路线，使得无法按照题干的方案测出CD的长，但在图2中可测得∠EOC＝65°，∠C＝80°，∠OEF＝145°，CF＝128m，EF＝77m，请据此求出A，B间的距离． 【分析】（1）判定△ABO≌△CDO（SAS），推出AB＝CD， （2）求出∠D＝∠DEF＝35°，判定DF＝EF＝77m，得到CD＝DF+CF＝205（m），由全等三角形的性质推出AB＝CD＝205m， 【解答】解：（1）如图1，在△ABO和△CDO中， ， ∴△ABO≌△CDO（SAS）， ∴AB＝CD， ∴该方案可行； （2）如图2，延长CF，OE交于D， ∵∠OEF＝145°， ∴∠DEF＝180°﹣∠OEF＝35°， ∵∠COE＝65°，∠C＝80°， ∴∠D＝180°﹣∠COE﹣∠C＝35°， ∴∠D＝∠DEF， ∴DF＝EF＝77m， ∴CD＝DF+CF＝205（m）， 由（1）知AB＝CD＝205m， ∴A，B之间的距离为205m． 【点评】本题考查全等三角形的应用，关键是由SAS判定△AOB≌△COD，由等角对等边得到DF＝EF． 20．（10分）2025端午节济南大明湖举行龙舟赛活动，参赛队伍有15支．设若甲、乙两个龙舟队分别同时从起点出发，划行的路程y（米）与划行的时间x（分）（其中0≤x≤6）之间满足的关系如图所示，根据图象所提供的信息，解答下列问题： （1）甲队划行的速度为　200m/min ；当0≤x≤2时，乙队划行的速度为　300m/min ；当2＜x≤6时，乙队划行的速度为　100m/min ． （2）当x＝　4　 分钟时，甲、乙两队划行的路程相等； （3）求出当甲、乙两队划行的路程相差100米时x的值． 【分析】（1）根据所给函数图象，分别计算出相应时间段内两队的速度即可． （2）分别求出当2≤x≤6时两队的y与x的关系式，再进行计算即可． （3）结合（2）中的结果及分类讨论的数学思想进行计算即可． 【解答】解：（1）由所给函数图象可知， 当x＝6时，甲队划了1200米， 所以甲的划行速度为：1200÷6＝200（m/min）． 当0≤x≤2时， 由x＝2时，y＝600得， 乙队的划行速度为：600÷2＝300（m/min）； 当2＜x≤6时， 乙队的划行速度为：（1000﹣600）÷（6﹣2）＝100（m/min）． 故答案为：200m/min，300m/min，100m/min． （2）由题知， y甲＝200x． 当0≤x≤2时，y乙＝300x； 当2＜x≤6时，令y乙＝kx+b， 则， 解得， 所以y乙＝100x+400． 由200x＝100x+400， 解得x＝4． 故答案为：4． （3）当0≤x≤2时， 300x﹣200x＝100， 解得x＝1． 当2＜x≤6时， 100x+400﹣200x＝100或200x﹣（100x+400）＝100， 解得x＝3或x＝5， 综上所述，当甲、乙两队划行的路程相差100米时，x的值为1或3或5． 【点评】本题主要考查了一次函数的图象与一次函数的性质，熟知一次函数的图象与性质是解题的关键． 21．（10分）把几个图形拼成一个新的图形，通过图形面积的计算，常常可以得到一些等式，这是研究数学问题的一种常用方法，我们在学习“从面积到乘法公式”时，曾用两种不同的方法计算同一个图形的面积，探索了完全平方公式：（a+b）2＝a2+2ab+b2（如图1）． （1）观察图2，请你写出（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的等量关系是　（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab ； 【拓展应用】 根据（1）中的等量关系及课本所学的知识，解决如下问题： （2）若x+y＝4，x•y＝，且x＞y，求x﹣y的值； （3）如图3，在△BCE中，∠BCE＝90°，CE＝8，点M在边BC上，CM＝3，在边CE上取一点Q，使BM＝EQ，分别以BC，CQ为边在△BCE外部作正方形ABCD和正方形COPQ，连接BQ，若△BCQ的面积等于，设BM＝x（x＞0），求正方形ABCD与正方形COPQ的面积之和． 【分析】（1）用代数式分别表示图2中各个部分的面积即可； （2）由（1）的结论，利用（x+y）2＝（x﹣y）2+4xy，进行计算即可； （3）由题意得BC＝x+3，CQ＝8﹣x，由△BCQ的面积等于可得（x+3）（8﹣x）＝21，设a＝x+3，b＝8﹣x，由题意得，a+b＝11，ab＝（x+3）（8﹣x）＝21，根据（x+3）2+（8﹣x）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab进行计算即可． 【解答】解：（1）图2整体上是边长为a+b的正方形，因此面积为（a+b）2，中间阴影部分是边长为a﹣b的正方形，因此面积为（a﹣b）2，4个空白长方形的面积和为4ab， 所以有（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab， 故答案为：（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab； （2）∵x+y＝4，x•y＝， ∴（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy＝16﹣7＝9， ∵x＞y， ∴x﹣y＝＝3； （3）∵CE＝8，CM＝3，BM＝EQ，BM＝x， ∴BC＝BM+CM＝x+3，CQ＝CE﹣EQ＝8﹣x， ∵△BCQ的面积等于， ∴（x+3）（8﹣x）＝， 即（x+3）（8﹣x）＝21， 设a＝x+3，b＝8﹣x，由题意得，a+b＝11，ab＝（x+3）（8﹣x）＝21， ∴（x+3）2+（8﹣x）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝121﹣42＝79， 即正方形ABCD与正方形COPQ的面积之和为79． 【点评】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． 22．（12分）△ABC和△DBE是两个角都是45°的等腰直角三角形（BA＝BC，BE＝BD，∠DBE＝∠ABC＝90°）的三角板， 【问题初探】 （1）当两个三角板如图（1）所示的位置摆放时，D、B、C在同一直线上，连接AD、CE，请证明：AD＝CE． 【类比探究】 （2）当三角板ABC保持不动时，将三角板DBE绕点B顺时针旋转到如图（2）所示的位置，判断AD与CE的数量关系和位置关系，并说明理由． 【分析】（1）由SAS判定△ADB≌△CEB（SAS），推出AD＝CE； （2）判定△ABD≌△CBE（SAS），推出AD＝CE，∠ADB＝∠CEB，由三角形内角和定理推出∠DHO＝∠EBD＝90°，推出AD⊥CE． 【解答】（1）证明：在△ADB和△CEB中， ， ∴△ADB≌△CEB（SAS）， ∴AD＝CE； （2）解：如图，AD＝CE，AD⊥CE，理由如下： ∵∠ABC＝∠DBE＝90°， ∴∠ABD+∠DBC＝∠CBE+∠DBC， ∴∠ABD＝∠CBE， 在△ABD和△CBE中， ， ∴△ABD≌△CBE（SAS）， ∴AD＝CE，∠ADB＝∠CEB， ∵∠DOH＝∠EOB， ∴∠DHO＝∠EBD＝90°， ∴AD⊥CE． 【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形，关键是判定△ABD≌△CBE（SAS），推出AD＝CE，∠ADB＝∠CEB， 23．（12分）【基础回顾】 （1）如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线l经过点A，分别从点B，C向直线l作垂线，垂足分别为D，E．求证：△ABD≌△CAE； 【变式探究】 （2）如图2，在△ABC中，AB＝AC，直线l经过点A，点D，E分别在直线l上，如果∠CEA＝∠ADB＝∠BAC，猜想DE，BD，CE有何数量关系，并给予证明； 【拓展应用】 （3）小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以△ABC的边AB，AC为一边向外作△BAD和△CAE，其中∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AC＝AE，AG是边BC上的高．延长GA交DE于点H，设△ADH的面积为S1，△AEH的面积为S2，猜猜想S1，S2大小关系，并说明理由． 【分析】（1）根据垂直定义得∠BDA＝∠AEC＝90°，则∠DAB+∠DBA＝90°，再根据∠BAC＝90°得∠DAB+∠EAC＝90°，由此得∠DBA＝∠EAC，进而可依据“SAS”判定△ABD和△CAE全等； （2）根据三角形外角性质得∠EAC+∠BAC＝∠ADB+∠DBA，再根据∠ADB＝∠BAC得∠EAC＝∠DBA，进而可依据“AAS”判定△EAC和△DBA全等得CE＝AD，AE＝BD，由此可得出DE，BD，CE的数量关系； （3）过点D作DM⊥AH交AH的延长线于点M，过点E作EN⊥AH于点N，则∠AGB＝∠M＝90°，进而得∠ABG+∠BAG＝90°，再根据∠BAD＝90°得∠BAG+∠DAM＝90°，由此得∠ABG＝∠DAM，进而可依据“AAS”判定△ABG和△DAM全等，则DM＝AG，同理可证明△ADC和△ENA全等得EN＝AG，则DM＝EN，然后再根据三角形的面积公式即可得出S1，S2大小关系． 【解答】（1）证明：∵BD⊥直线l，CE⊥直线l， ∴∠BDA＝∠AEC＝90°， ∴∠DAB+∠DBA＝90°， ∵∠BAC＝90°， ∴∠DAB+∠EAC＝90°， ∴∠DBA＝∠EAC， 在△ABD和△CAE中， ， △ABD≌△CAE（AAS）； （2）解：DE，BD，CE的数量关系是：DE＝BD+CE，证明如下： ∵∠EAB是△ABD的外角， ∴∠EAB＝∠ADB+∠DBA， ∴∠EAC+∠BAC＝∠ADB+∠DBA， ∵∠ADB＝∠BAC， ∴∠EAC＝∠DBA， 在△EAC和△DBA中， ， ∴△EAC≌△DBA（AAS）， ∴CE＝AD，AE＝BD， ∴DE＝AE+AD＝BD+CE； （3）S1，S2大小关系是：S1＝S2，理由如下： 过点D作DM⊥AH交AH的延长线于点M，过点E作EN⊥AH于点N，如图所示： ∵AG⊥BC， ∴∠AGB＝∠M＝90°， ∴∠ABG+∠BAG＝90°， ∵∠BAD＝90°， ∴∠BAG+∠DAM＝90°， ∴∠ABG＝∠DAM， 在△ABG和△DAM中， ， ∴△ABG≌△DAM（AAS）， ∴DM＝AG， 同理可证明：△AGC≌△ENA， ∴EN＝AG， ∴DM＝EN， ∵S1＝AH•DM，S2＝AH•EN， ∴S1＝S2． 【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决问题的关键，正确地添加辅助线构造全等三角形是解决问题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$