1.1集合的概念【八大考点+八大题型】讲义-2025-2026学年高一数学必修第一册《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列(人教A版2019）

1.1集合的概念 【考点归纳】 【知识梳理】 知识点一：元素与集合的概念 1．元素：一般地，把研究对象统称为元素(element)，常用小写的拉丁字母a，b，c…表示． 2．集合：把一些元素组成的总体叫做集合(set)，(简称为集)，常用大写拉丁字母A，B，C…表示． 3．集合相等：指构成两个集合的元素是一样的． 4．集合中元素的特性：给定的集合，它的元素必须是确定的、互不相同的． 知识点二：元素与集合的关系 1．属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A. 2．不属于：如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A. 知识点三：常见的数集及表示符号 数集 非负整数集(自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*或N＋ Z Q R 知识点四：集合的表示 （1）列举法：把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法． （2）描述法：一般地，设A是一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法． 【题型归纳】 题型一：集合的概念 【例1】（25-26高一上·全国）下列说法中正确的是（    ） A．与定点等距离的点不能组成集合 B．由“title”中的字母组成的集合中元素的个数为5 C．一个集合中有三个元素，其中是的三边长，则不可能是等腰三角形 D．高中学生中的游泳能手能组成集合 【跟踪训练1】（24-25高一·上海·假期作业）下列各对象可以组成集合的是（　　） A．与1非常接近的全体实数 B．新学期2025～2026学年度第一学期全体高一学生 C．高一年级视力比较好的同学 D．中国著名的数学家 【跟踪训练2】（24-25高一上·安徽亳州·阶段练习）2024巴黎奥运会已圆满结束，中国体育健儿披荆斩棘，顽强拼搏，取得了骄人的成绩.下列有关巴黎奥运会的团体中不能构成集合的是（   ） A．全体参赛国家 B．全体裁判员 C．全体荣获金牌的运动员 D．全体表现较好的运动员 题型二：元素与集合的关系 【例2】．（24-25高一上·全国·课后作业）给出下列6个关系：①，②，③，④，⑤，⑥．其中正确命题的个数为（   ） A．4 B．2 C．3 D．5 【跟踪训练1】（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列关系中正确的个数为（ ） ①，②， ③，④ ． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【跟踪训练2】（24-25高一上·上海·期中）已知为非零实数，代数式的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 题型三：根据元素和集合的关系求参数 【例3】．（24-25高一上·山西大同·阶段练习）已知集合，若，则（    ） A． B． C． D．或 【跟踪训练1】（24-25高一上·全国·课后作业）已知集合，若，则（    ） A．3 B． C．或 D．或3 【跟踪训练2】（23-24高一上·贵州·阶段练习）已知集合，且，则实数为（    ） A．2 B．3 C．2或3 D．0或2或3 题型四：列举法表示集合 【例4】（24-25高一上·山东聊城·期末）已知集合，则集合中所含元素的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【跟踪训练1】（24-25高一上·全国·随堂练习）集合用列举法表示为（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练2】（24-25高一上·辽宁大连·阶段练习）已知集合，则集合等于（    ） A． B． C． D． 题型五：描述法表示集合 【例5】（25-26高一上·全国·课堂例题）用描述法表示下列集合： (1)不等式的解组成的集合； (2)正偶数组成的集合； (3)函数的图像上所有的点组成的集合． 【跟踪训练1】（24-25高一上·山东威海·阶段练习）给出下列说法： ①在直角坐标平面内，第一、三象限内的点组成的集合为； ②所有奇数组成的集合为； ③集合与是同一集合． 其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 【跟踪训练2】（23-24高一下·全国·课堂例题）用适当的方法表示下列集合： (1)方程的所有解组成的集合A； (2)平面直角坐标系中，第一象限内所有点组成的集合B； (3)一年中有31天的月份的全体； (4)所有能被3整除的数的集合； (5)不等式的解集. 题型六：集合的三大特性求参数 【例6】（24-25高一上·湖北·期中）已知集合，，若，则实数 . 【跟踪训练1】（24-25高一上·广东佛山·阶段练习）由数集中的元素不能取的值所构成的集合是 ． 【跟踪训练2】（22-23高一上·上海奉贤·期末）集合中恰好有两个元素，则实数满足的条件是 . 题型七：集合元素的个数问题 【例7】（24-25高一上·福建福州·期中）已知集合，，则中的元素个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【跟踪训练1】（24-25高一上·广东汕头·阶段练习）若以方程和的解为元素组成集合，则中元素的个数为（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 【跟踪训练2】（23-24高一上·新疆昌吉·阶段练习）已知a，b均为非零实数，集合，则集合的真子集的个数为（    ） A．2 B．4 C．3 D．8 题型八：集合的基本概念综合 【例8】（25-26高一上·全国）已知集合． (1)若，求实数的值； (2)若集合中至少有一个元素，求实数的取值范围． 【跟踪训练1】（24-25高一上·全国）已知集合A是由关于x的方程的实数根组成的集合. (1)当A中有两个元素时，求实数a的取值范围； (2)当A中没有元素时，求实数a的取值范围； (3)当A中有且仅有一个元素时，求实数a的值，并求出此元素. 【跟踪训练2】（24-25高一上·全国·课后作业）选择适当的方法表示下列集合，并指出哪些是有限集，哪些是无限集． (1)大于1且小于70的正整数构成的集合A； (2)小于8的质数组成的集合C； (3)方程的实数根组成的集合D； (4)函数图象上的所有点组成的集合E； (5)不等式 的解组成的集合F． 【高分演练】 一、单选题 1．（25-26高一上·全国·课前预习）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·全国·课后作业）下列说法中正确的是（    ） A．0与表示同一个集合 B．集合与是两个相同的集合 C．方程的解集为 D．集合可以用列举法表示 3（2025高一上·全国·专题练习）下列各对象可以组成集合的是（　　） A．与1非常接近的全体实数 B．新学期2025～2026学年度第一学期全体高一学生 C．高一年级视力比较好的同学 D．高中学生中的游泳高手 4．（23-24高一上·海南省直辖县级单位·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．由1，2，3，1，4构成的集合是{1，2，3，1，4} B．满足的构成的集合是 C．全体实数构成的集合是{x|x是实数} D．抛物线上的所有点的坐标构成的集合是 5．（24-25高一上·全国·课前预习）已知集合为非零常数，则下列不正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（2023·安徽蚌埠·二模）对于数集，，定义， ，若集合，则集合中所有元素之和为（    ） A．5 B． C． D． 7．（25-26高一上·全国·课后作业）下列各组中表示相同集合的是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 8．（24-25高一下·甘肃武威·开学考试）下面四个说法中不正确的是（ ） A．10以内的质数组成的集合是； B．由2，3组成的集合可表示为或； C．方程的所有解组成的集合是； D．与表示同一个集合. 9．（25-26高一上·全国·课后作业）若集合，则实数的值可能为（    ） A． B．3 C．0 D．5 10．（24-25高一上·全国）下列说法中不正确的是（　　） A．集合中有两个元素 B．集合中没有元素 C． D．与是不同的集合 11．（22-23高一下·河南焦作·阶段练习）若集合有且只有一个元素，则实数的值可以为（    ） A． B． C． D． 12．（24-25高一上·江西景德镇·期中）下列说法正确的有（   ） A．某校高一年级视力差的学生可以构成一个集合 B．集合与集合是相同的集合 C．由，，，，这些数组成的集合有4个元素 D．在平面直角坐标系中，第Ⅱ象限或第Ⅳ象限内所有的点组成的点集，可以表示成集合 13．（24-25高一上·安徽马鞍山·阶段练习）对于集合，给出如下结论，其中正确的结论是（   ） A．如果，那么 B．若，对于任意的，则 C．如果，，那么 D．，使 14．（24-25高一上·山东青岛·期中）定义在实数集上的函数称为狄利克雷函数.该函数由19世纪德国数学家狄利克雷提出，在高等数学的研究中应用广泛.下列有关狄利克雷函数的说法中正确的是（   ） A．的值域为 B．对任意，都有 C．存在无理数，对任意，都有 D．若，，则有 三、填空题 15．（25-26高一上·全国·课前预习）用列举法表示集合 ． 16．（25-26高一上·全国·随堂练习）用符号“”或“”填空： （1）0 ， ，3.14 ， ， ， ； （2）0 ，1 ． 17．（24-25高一下·湖南长沙·期末）若集合中只有一个元素，则 . 18．（24-25高一上·浙江·阶段练习）已知集合，且，则的值为 . 19．（24-25高一上·重庆·阶段练习）定义集合运算，若集合，，则集合所有元素之和为 ． 四、解答题 20．（25-26高一上·全国·课后作业）用适当的方法表示下列集合： (1)方程的解集； (2)平面直角坐标系内所有第一、三象限内的点组成的集合； (3)被5除余3的正整数组成的集合； (4)二次函数的图象上所有点的纵坐标组成的集合． 21．（25-26高一上·全国·课后作业）已知为方程的所有实数解构成的集合，其中为实数． (1)若是单元素集合（只有一个元素），求的值： (2)若中至多有一个元素，求满足的条件． 22．（24-25高一上·全国·课前预习）已知集合． (1)若中只有一个元素，求的值； (2)若中至多有一个元素，求的取值范围； (3)若中至少有一个元素，求的取值范围． 23．（24-25高一上·陕西宝鸡·期中）对于数集，定义，若集合，求集合中所有元素之和． 24．（24-25高一上·广东深圳·期中）已知元有限集，若，则称集合为“元和谐集”. (1)写出一个“二元和谐集”(无需写计算过程)； (2)若正数集是“二元和谐集”，试证明：元素，中至少有一个大于2； (3)是否存在集合中元素均为正整数的“三元和谐集”？如果有，有几个？请说明理由. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.1集合的概念 【考点归纳】 【知识梳理】 知识点一：元素与集合的概念 1．元素：一般地，把研究对象统称为元素(element)，常用小写的拉丁字母a，b，c…表示． 2．集合：把一些元素组成的总体叫做集合(set)，(简称为集)，常用大写拉丁字母A，B，C…表示． 3．集合相等：指构成两个集合的元素是一样的． 4．集合中元素的特性：给定的集合，它的元素必须是确定的、互不相同的． 知识点二：元素与集合的关系 1．属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A. 2．不属于：如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A. 知识点三：常见的数集及表示符号 数集 非负整数集(自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*或N＋ Z Q R 知识点四：集合的表示 （1）列举法：把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法． （2）描述法：一般地，设A是一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法． 【题型归纳】 题型一：集合的概念 【例1】（25-26高一上·全国）下列说法中正确的是（    ） A．与定点等距离的点不能组成集合 B．由“title”中的字母组成的集合中元素的个数为5 C．一个集合中有三个元素，其中是的三边长，则不可能是等腰三角形 D．高中学生中的游泳能手能组成集合 【答案】C 【分析】根据集合中的元素的互异性、确定性等性质对选项逐一判断即可得出结论. 【详解】对于A，与定点等距离的点是线段的垂直平分线上的所有点，满足集合中元素的性质，能构成集合，即A错误； 对于B，因为集合中的元素具有互异性，因此由“title”中的字母组成的集合中元素的个数为4，可知B错误； 对于C，由集合中的元素具有互异性可知，各不相同，所以不可能是等腰三角形，即C正确； 对于D，高中学生中的游泳能手不具有确定性，不能组成集合，即D错误. 故选：C 【跟踪训练1】（24-25高一·上海·假期作业）下列各对象可以组成集合的是（　　） A．与1非常接近的全体实数 B．新学期2025～2026学年度第一学期全体高一学生 C．高一年级视力比较好的同学 D．中国著名的数学家 【答案】B 【分析】根据集合的元素必须具有确定性，逐个判断各个选项即可． 【详解】对于A：其中元素不具有确定性，故选项A错误； 对于B：对于任何一个学生可以判断其在高一学生这个集合中，故选项B正确； 对于C：其中元素不具有确定性，故选项C错误； 对于D：其中元素不具有确定性，故选项D错误. 故选：B． 【跟踪训练2】（24-25高一上·安徽亳州·阶段练习）2024巴黎奥运会已圆满结束，中国体育健儿披荆斩棘，顽强拼搏，取得了骄人的成绩.下列有关巴黎奥运会的团体中不能构成集合的是（   ） A．全体参赛国家 B．全体裁判员 C．全体荣获金牌的运动员 D．全体表现较好的运动员 【答案】D 【分析】由集合的概念可得答案. 【详解】根据集合元素的确定性可以判断A，B，C正确； 对于D，“表现较好”没有衡量标准，因此表现较好的运动员是不确定的，故不能构成集合，故D不正确； 故选：D. 题型二：元素与集合的关系 【例2】．（24-25高一上·全国·课后作业）给出下列6个关系：①，②，③，④，⑤，⑥．其中正确命题的个数为（   ） A．4 B．2 C．3 D．5 【答案】A 【分析】根据，，，，，这几个常用数集的含义判断即可． 【详解】对于①，因为为无理数，有理数和无理数统称为实数，所以，所以①正确； 对于②，因为是无理数，所以，所以②错误； 对于③，因为不是正整数，所以，所以③正确； 对于④，因为，所以④正确； 对于⑤，因为是无理数，所以，所以⑤正确； 对于⑥，因为，所以⑥错误． 故选：A． 【跟踪训练1】（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列关系中正确的个数为（ ） ①，②， ③，④ ． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据，，，，这几个常用数集的含义判断即可. 【详解】对于①，因为为有理数，有理数和无理数统称为实数，所以，所以①正确； 对于②，因为是无理数，所以，所以②错误； 对于③，因为是自然数，所以，所以③正确； 对于④，因为是无理数，所以，所以④错误. 故选：B. 【跟踪训练2】（24-25高一上·上海·期中）已知为非零实数，代数式的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】讨论的正负数分布情况判断对应代数式的值，即可确定集合M，进而确定正确的选项. 【详解】当均为负数时，代数式的值为； 当一负一正时，代数式的值为； 当均为正数时，代数式的值为； ∴，故只有B正确. 故选：B. 题型三：根据元素和集合的关系求参数 【例3】．（24-25高一上·山西大同·阶段练习）已知集合，若，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】根据元素与集合的关系可得出或，再结合集合中的元素满足互异性可得出实数的值. 【详解】因为集合，且，分以下两种情况讨论： （1）若，则，此时，， 此时集合中的元素不满足互异性，舍去； （2）若，即，解得或（舍）， 当时，，合乎题意. 综上所述，. 故选：B. 【跟踪训练1】（24-25高一上·全国·课后作业）已知集合，若，则（    ） A．3 B． C．或 D．或3 【答案】C 【分析】分和进行讨论，求出，进一步求出集合，看是否满足元素的互异性即可． 【详解】当时，，又时，，不满足互异性，故舍去． 时，，符合题意； 当时，或3（舍），又时，，符合题意． 综上，或， 故选：C． 【跟踪训练2】（23-24高一上·贵州·阶段练习）已知集合，且，则实数为（    ） A．2 B．3 C．2或3 D．0或2或3 【答案】C 【分析】根据元素与集合的关系，结合集合中的元素满足互异性，即可分类讨论求解. 【详解】当时，则，此时集合，符合要求， 当时，得或，而当时，不符合要求， 而当时，，符合题意， 综上可知：或， 故选：C 题型四：列举法表示集合 【例4】（24-25高一上·山东聊城·期末）已知集合，则集合中所含元素的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据集合描述法用列举法求出集合中元素得解. 【详解】因为集合，， 所以, 故选：D 【跟踪训练1】（24-25高一上·全国·随堂练习）集合用列举法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意整理可得集合，结合常用数集分析判断即可. 【详解】由题意可得：集合. 故选：B． 【跟踪训练2】（24-25高一上·辽宁大连·阶段练习）已知集合，则集合等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据的取值分情况讨论，代入计算即可. 【详解】，时，， 时，， 或或或时，， 或或或时，， 故. 故选：D. 题型五：描述法表示集合 【例5】（25-26高一上·全国·课堂例题）用描述法表示下列集合： (1)不等式的解组成的集合； (2)正偶数组成的集合； (3)函数的图像上所有的点组成的集合． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】利用集合的描述法来表示集合. 【详解】（1）集合中的元素是数，设代表元素为x， 则x满足，所以，即． （2）正偶数组成的集合是； （3）函数的图像上所有的点组成的集合是 【跟踪训练1】（24-25高一上·山东威海·阶段练习）给出下列说法： ①在直角坐标平面内，第一、三象限内的点组成的集合为； ②所有奇数组成的集合为； ③集合与是同一集合． 其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 【答案】A 【分析】根据集合元素的特征，即可判断选项. 【详解】第一象限内的点的坐标，即，第三象限内的点的坐标，即，故①正确； 所有奇数组成的集合为，故②错误； 集合是点集，集合表示数集，不是同一集合，故③错误. 故选：A 【跟踪训练2】（23-24高一下·全国·课堂例题）用适当的方法表示下列集合： (1)方程的所有解组成的集合A； (2)平面直角坐标系中，第一象限内所有点组成的集合B； (3)一年中有31天的月份的全体； (4)所有能被3整除的数的集合； (5)不等式的解集. 【答案】(1) (2) (3){ 1月，3月，5月，7月，8月，10月，12月} (4) (5) 【分析】选择适当方法表示集合即可. 【详解】（1）求出根，运用列举法， （2）根据点的规律，运用描述法，. （3）写出大月份，列举法，{ 1月，3月，5月，7月，8月，10月，12月}. （4）根据整除特征，运用描述法． （5）解出不等式，运用描述法. 解集为 题型六：集合的三大特性求参数 【例6】（24-25高一上·湖北·期中）已知集合，，若，则实数 . 【答案】 【分析】由已知集合的元素，分类讨论求参数值，再根据集合的性质确定的值. 【详解】若，则，此时集合违背互异性，不符合要求； 若，则，此时，符合要求； 若，则，此时集合违背互异性，不符合要求； 综上所述，. 故答案为：. 【跟踪训练1】（24-25高一上·广东佛山·阶段练习）由数集中的元素不能取的值所构成的集合是 ． 【答案】 【分析】由元素的互异性求解即可. 【详解】解：由集合中的元素满足互异性可知， 解得且且且． 故答案为： 【跟踪训练2】（22-23高一上·上海奉贤·期末）集合中恰好有两个元素，则实数满足的条件是 . 【答案】或 【分析】根据一元二次方程求解，结合集合元素的特征，可得答案. 【详解】由方程，则或， 当存在两个相等的实数根时，，解得， 此时方程的解为，符合题意； 当存在两个不相等的实数根且其中一个根为时，，解得， 此时，则方程另一个解为，符合题意. 综上所述，当或时，集合中恰有两个元素. 故答案为：或. 题型七：集合元素的个数问题 【例7】（24-25高一上·福建福州·期中）已知集合，，则中的元素个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】利用集合中元素的互异性，对的取值进行分类讨论即可. 【详解】由题意，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 由集合中元素满足互异性，所以. 故选：B. 【跟踪训练1】（24-25高一上·广东汕头·阶段练习）若以方程和的解为元素组成集合，则中元素的个数为（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】解出方程的根，再根据集合元素互异性可求得集合元素个数即可得解. 【详解】因为，解之可得或， ，解之可得或， 根据集合元素的互异性可知集合一共有3个元素. 故选：C 【跟踪训练2】（23-24高一上·新疆昌吉·阶段练习）已知a，b均为非零实数，集合，则集合的真子集的个数为（    ） A．2 B．4 C．3 D．8 【答案】CC 【分析】通过对、正负的讨论，利用绝对值的定义去掉绝对值，然后进行计算，从而求出集合A的元素，由此得解. 【详解】因为， 当，时，， 当，时，，， 当，时，，， 当，时，，， 故的所有值构成的集合为，则集合A的真子集的个数为3个. 故选：C. 题型八：集合的基本概念综合 【例8】（25-26高一上·全国）已知集合． (1)若，求实数的值； (2)若集合中至少有一个元素，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意是方程的根，代入解方程即可. （2）当时，方程为有一个解符合题意，当时，利用判别式法列不等式求解范围，最后两种结果求并集即可得解. 【详解】（1）因为，所以，解得． （2）①当时，原方程为，解得，此时集合中只有一个元素6，符合题意； ②当时，若集合中至少有一个元素，则一元二次方程有解， 即，解得且． 综上所述，实数的取值范围为． 【跟踪训练1】（24-25高一上·全国）已知集合A是由关于x的方程的实数根组成的集合. (1)当A中有两个元素时，求实数a的取值范围； (2)当A中没有元素时，求实数a的取值范围； (3)当A中有且仅有一个元素时，求实数a的值，并求出此元素. 【答案】(1)，且 (2) (3)答案见解析 【分析】（1）由一元二次方程根的情况令，且判别式大于零求解即可； （2）由一元二次方程根的情况令，且判别式小于零求解即可； （3）分与不等于零的情况，当时，令判别式大于零. 【详解】（1）当A中有两个元素时，关于x的方程有两个不相等的实数根，所以，且，解得，且. （2）当A中没有元素时，关于x的方程没有实数根，所以，且，解得. （3）当A中有且仅有一个元素时，关于x的方程有一个实数根或有两个相等的实数根. 当时，方程的根为；当时，令，解得，此时. 综上所述，当时，集合A中有且仅有一个元素；当时，集合A中有且仅有一个元素. 【跟踪训练2】（24-25高一上·全国·课后作业）选择适当的方法表示下列集合，并指出哪些是有限集，哪些是无限集． (1)大于1且小于70的正整数构成的集合A； (2)小于8的质数组成的集合C； (3)方程的实数根组成的集合D； (4)函数图象上的所有点组成的集合E； (5)不等式 的解组成的集合F． 【答案】(1)，是有限集 (2)，是有限集 (3)，是有限集 (4)，是无限集 (5)，是无限集 【分析】（1）（2）（3）（4）（5）根据描述写出集合的描述形式，即可判断有限或无限. 【详解】（1）由大于1且小于70的正整数，则，故，是有限集； （2）因为小于8的质数有2，3，5，7，所以，是有限集． （3）方程的实数根为、，所以，是有限集． （4）由表示坐标系中的曲线，故，是无限集． （5）由，得，所以，是无限集． 【高分演练】 一、单选题 1．（25-26高一上·全国·课前预习）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据元素与集合的关系判断即可. 【详解】由题意可得，，，， 所以.所以只有选项B正确. 故选：B. 2．（25-26高一上·全国·课后作业）下列说法中正确的是（    ） A．0与表示同一个集合 B．集合与是两个相同的集合 C．方程的解集为 D．集合可以用列举法表示 【答案】B 【分析】根据集合与元素的关系及集合的表示一一判断即可得结论. 【详解】对于A，0是元素不是集合，表示以0为元素的一个集合，所以A错误； 对于B，集合与的元素完全相同，且集合中元素具有无序性，所以是两个相同的集合，所以B正确； 对于C，所给集合不满足集合中元素的互异性，方程的所有解组成的集合可表示为，C选项错误； 对于D，集合表示大于4且小于5的全体实数，有无数个且无法一一列举出来，所以不可以用列举法表示，所以D错误． 故选：B． 3（2025高一上·全国·专题练习）下列各对象可以组成集合的是（　　） A．与1非常接近的全体实数 B．新学期2025～2026学年度第一学期全体高一学生 C．高一年级视力比较好的同学 D．高中学生中的游泳高手 【答案】B 【分析】根据集合的元素必须具有确定性，逐个判断各个选项即可． 【详解】对于A：“非常接近”不具有确定性，故选项A错误； 对于B：对于任何一个学生可以判断其在高一学生这个集合中，故选项B正确； 对于C：“比较好”不具有确定性，故选项C错误； 对于D：“高手”不具有确定性，故选项D错误. 故选：B 4．（23-24高一上·海南省直辖县级单位·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．由1，2，3，1，4构成的集合是{1，2，3，1，4} B．满足的构成的集合是 C．全体实数构成的集合是{x|x是实数} D．抛物线上的所有点的坐标构成的集合是 【答案】C 【分析】根据集合中元素满足互异性即可求解A，根据集合的描述法表示即可求BC. 【详解】对于A,根据集合中的元素满足互异性，可知构成的集合为{1，2，3, 4},故A错误， 对于B, 满足的构成的集合是，故B错误， 对于C, 全体实数构成的集合是{x|x是实数},C正确， 对于D, 抛物线上的所有点的坐标构成的集合是，故D错误， 故选：C 5．（24-25高一上·全国·课前预习）已知集合为非零常数，则下列不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分，；，或，异号，进行求值，即可得解. 【详解】若，时，； 若，时，； 若，异号时，． 故选：A 6．（2023·安徽蚌埠·二模）对于数集，，定义， ，若集合，则集合中所有元素之和为（    ） A．5 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合的新定义求出和，即可求出元素之和. 【详解】根据新定义，集合，则， 则 ，则可知所有元素之和为． 故选：D 7．（25-26高一上·全国·课后作业）下列各组中表示相同集合的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先判断集合表示的是数集还是点集，再判断数集是否相同或者点集是否相同，即可得出判断． 【详解】对于A，是数集，是点集，二者不是同一集合，故A不合题意； 对于B，与表示不同的点，则，故B不合题意； 对于C，集合表示大于或者等于1的数，集合表示大于或者等于1的数，则，故C合题意； 对于D，集合表示二次函数中值的集合，为数集，而集合是二次函数图象上所有点组成的集合，为点集，则，故D不合题意； 故选：C． 二、多选题 8．（24-25高一下·甘肃武威·开学考试）下面四个说法中不正确的是（ ） A．10以内的质数组成的集合是； B．由2，3组成的集合可表示为或； C．方程的所有解组成的集合是； D．与表示同一个集合. 【答案】CD 【分析】结合集合元素的特征检验各选项即可判断. 【详解】10以内的质数组成的集合是，故A正确； 由集合元素的无序性可知，2，3组成的集合可表示为或，故B正确； 根据集合的互异性可知，的所有解组成的集合是，故C错误； ：不含有任何元素的集合，：仅含有一个元素的集合，故D错误. 故选：CD. 9．（25-26高一上·全国·课后作业）若集合，则实数的值可能为（    ） A． B．3 C．0 D．5 【答案】CD 【分析】利用元素的互异性得到不等关系求参数的可能值，即可得. 【详解】集合中的元素必须满足互异性，所以集合中的三个元素互不相等， 即，解得， 所以且，故0，5满足题意. 故选：CD 10．（24-25高一上·全国·课后作业）下列说法中不正确的是（　　） A．集合中有两个元素 B．集合中没有元素 C． D．与是不同的集合 【答案】BCD 【分析】利用集合的元素个数判断AB；利用元素与集合的关系判断B；利用集合的元素特性判断D. 【详解】对于A，，该集合中有两个元素，A正确； 对于B，集合中有一个元素0，B错误； 对于C，，则，C错误； 对于D，由集合中元素的无序性，知与是相同的集合，D错误. 故答案为：BCD 11．（22-23高一下·河南焦作·阶段练习）若集合有且只有一个元素，则实数的值可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据题意可知，方程的根只有一个，分当和当时，直接根据方程只有一个根求解即可. 【详解】当，即时，，符合题意； 当，即时，若集合只有一个元素， 由一元二次方程根的判别式，解得. 综上实数的值可以为，. 故选：AD 12．（24-25高一上·江西景德镇·期中）下列说法正确的有（   ） A．某校高一年级视力差的学生可以构成一个集合 B．集合与集合是相同的集合 C．由，，，，这些数组成的集合有4个元素 D．在平面直角坐标系中，第Ⅱ象限或第Ⅳ象限内所有的点组成的点集，可以表示成集合 【答案】CD 【分析】A选项：集合中元素需要具备确定性，而视力差标准不确定；B选项：点集和数集无法相等；C选项：集合中相同的元素算做1个；D选项：可以判断出和异号. 【详解】对于选项A，视力差标准不确定，所以某校高一年级视力差的学生不能构成集合，故选项A错误， 对于选项B，其中集合是数集，集合是点集， 所以集合与集合不是同一集合，故选项B错误， 对于选项C，因为，由集合中元素的互异性知这些数组成的集合有4个元素，所以选项C正确， 对于选项D，因为第二或第四象限内的点横纵坐标异号，即， 所以第Ⅱ象限或第Ⅳ象限内所有的点组成的点集，可以表示成集合，故选D正确， 故选：CD. 13．（24-25高一上·安徽马鞍山·阶段练习）对于集合，给出如下结论，其中正确的结论是（   ） A．如果，那么 B．若，对于任意的，则 C．如果，，那么 D．，使 【答案】ACD 【分析】对于A：令，，可知对任意，均有，所以，即可判断A；说明，即可判断B；设，则，进而分析判断C；利用特殊值判断D. 【详解】对于A：令，，则， 即对任意，均有，所以，故A正确； 对于B：因为，不妨设， 若，则； 若，则为奇数； 若，则； 综上可知：，但是，故B错误； 对于C：因为，，设， 则， 因为，则， 所以，故C正确； 对于D：因为，，即，所以，使，故D正确. 故选：ACD 14．（24-25高一上·山东青岛·期中）定义在实数集上的函数称为狄利克雷函数.该函数由19世纪德国数学家狄利克雷提出，在高等数学的研究中应用广泛.下列有关狄利克雷函数的说法中正确的是（   ） A．的值域为 B．对任意，都有 C．存在无理数，对任意，都有 D．若，，则有 【答案】BD 【分析】由元素与常见集合的关系以及题目中的函数的定义即可判断各个选项. 【详解】因为实数分为有理数和无理数，所以由定义可知的值域为，故A 选项错误； 当时，，当时，，故，故B选项正确； 因为有理数加无理数一定为无理数，所以不存在无理数，对任意，都有，故C选择错误； 因为，则，因为，所以，所以D选择正确. 故选：BD 三、填空题 15．（25-26高一上·全国·课前预习）用列举法表示集合 ． 【答案】 【分析】找到6的正因数，结合列举法即可得出结果. 【详解】因为，且，所以，则，故或7，所以． 故答案为：. 16．（25-26高一上·全国·随堂练习）用符号“”或“”填空： （1）0 ， ，3.14 ， ， ， ； （2）0 ，1 ． 【答案】 【分析】利用特殊数集的定义以及元素与集合的关系即可求解. 【详解】（1）是正整数集，0不是正整数，； 是整数集，是整数，； 是有理数集，3.14是有理数，； 是有理数集，是无理数，； 是整数集，不是整数，； 是实数集，是实数，； （2）集合中含有元素，； 解方程得，，则， . 故答案为：（1）；；；；；；（2）；. 17．（24-25高一下·湖南长沙·期末）若集合中只有一个元素，则 . 【答案】0或1 【分析】分和时分别讨论计算求解即可. 【详解】因集合中只有一个元素， 则当时，方程为，解得，即集合，则， 当时，由，解得，集合，则， 所以或. 故答案为：0或1 18．（24-25高一上·浙江·阶段练习）已知集合，且，则的值为 . 【答案】3或2 【分析】根据给定条件，利用元素与集合的关系，结合集合元素的性质求解即得. 【详解】由，且， 得或， 解得或， 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，不符合元素的互异性，舍； 所以的值为3或2. 故答案为：3或2 19．（24-25高一上·重庆·阶段练习）定义集合运算，若集合，，则集合所有元素之和为 ． 【答案】30 【分析】根据新定义确定集合中元素，即可得解. 【详解】由题意，的取值分别为， 故， 所以所有元素之和为. 故答案为：30 四、解答题 20．（25-26高一上·全国）用适当的方法表示下列集合： (1)方程的解集； (2)平面直角坐标系内所有第一、三象限内的点组成的集合； (3)被5除余3的正整数组成的集合； (4)二次函数的图象上所有点的纵坐标组成的集合． 【答案】(1) (2) (3)， (4) 【分析】（1）求得方程的解，然后用列举法书写； （2）根据第一、三象限点的特点，用描述法书写； （3）写出满足条件的正整数用描述法书写； （4）直接用描述法书写. 【详解】（1）方程的解集为 （2）用描述法表示平面直角坐标系内所有第一、三象限内的点组成的集合为. （3）用描述法表示被5除余3的正整数组成的集合为，. （4）用描述法表示二次函数的图象上所有点的纵坐标组成的集合为． 21．（25-26高一上·全国·课后作业）已知为方程的所有实数解构成的集合，其中为实数． (1)若是单元素集合（只有一个元素），求的值： (2)若中至多有一个元素，求满足的条件． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）讨论，根据得出结果； （2）讨论，根据得出结果； 【详解】（1）因为是单元素集合（只有一个元素）， ①当时，原方程变为，此时，符合题意； ②则，，解得， 所以或． （2）因为中至多有一个元素，则或， 解得或. 22．（24-25高一上·全国·课前预习）已知集合． (1)若中只有一个元素，求的值； (2)若中至多有一个元素，求的取值范围； (3)若中至少有一个元素，求的取值范围． 【答案】(1)或 (2)或 (3) 【分析】（1）分和进行求解； （2）中至多含有一个元素，即中有一个元素或没有元素，进行求解； （3）中至少有一个元素，即中有一个或两个元素，进行求解. 【详解】（1）当时，原方程变为， 此时，符合题意； 当时，方程为一元二次方程， ，即， 原方程的解为，符合题意． 故当或时，原方程只有一个解，此时中只有一个元素． （2）中至多含有一个元素，即中有一个元素或没有元素． 当，即时，原方程无实数解． 结合（1）知，当或时中至多有一个元素． （3）中至少有一个元素，即中有一个或两个元素， 当时，原方程变为，此时，符合题意； 当时，方程为一元二次方程，由得． 综上可知当时，中至少有一个元素． 23．（24-25高一上·陕西宝鸡·期中）对于数集，定义，若集合，求集合中所有元素之和． 【答案】 【分析】由题意，理解新定义，求得，通过定义，进而求得所有元素之和. 【详解】集合，则由定义可得，所以， 则可知所有元素的和为. 24．（24-25高一上·广东深圳·期中）已知元有限集，若，则称集合为“元和谐集”. (1)写出一个“二元和谐集”(无需写计算过程)； (2)若正数集是“二元和谐集”，试证明：元素，中至少有一个大于2； (3)是否存在集合中元素均为正整数的“三元和谐集”？如果有，有几个？请说明理由. 【答案】(1) (2)证明过程见解析 (3)存在1个，，理由见解析 【分析】(1)令得到答案； (2)法一：利用反证法进行证明；法二：构造一元二次方程利用判别式法证明； (3)设满足要求，则，不妨设，则，从而求出，，求出答案. 【详解】（1）不妨令，此时，满足要求； （2）法一：假设命题不成立，即元素，均小于等于2，因为 ，， 故可设，，两边同时除以得，，因为， 所以，与矛盾，不合要求，故假设不成立， 元素，中至少有一个大于2； 法二；集合是“二元和谐集”，设， 则，可以看成一元二次方程的两正根，则， 解得：(舍)或，即，所以至少有一个大于2； （3）设正整数集为“三元和谐集”，则， 不妨设，则，解得， 因为，故只有，满足要求， 综上，满足要求，其他均不合要求， 存在1个集合中元素均为正整数的“三元和谐集”，即. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$