2.3尺规作图（第2课时）（教学课件）数学新教材青岛版八年级上册

该初中数学课件聚焦尺规作平行线与垂线，以“梯子救援行动”情境导入，衔接全等三角形判定及基本作图知识，通过同位角相等作平行线、等腰三角形三线合一作垂线，搭建从已知到未知的学习支架。 其亮点在于情境导入培养数学眼光，操作猜想后推理验证发展数学思维，步骤严谨且原理用全等证明体现数学语言。即时训练辨析错误，课堂总结梳理核心，助学生提升几何直观与推理能力，为教师提供结构化教学资源。

青岛版2024·八年级上册 2.3尺规作图 第二章 全等三角形 第2课时 平行线与垂线的作法 章节导读 2.1全等三角形 2.1三角形全等的判定 2.3尺规作图 定义 性质 三边相等判定全等 基本作图的意义与实践 两边及夹角判定全等 两角及一边判定全等 斜边及一条直角边判定直角三角形全等 平行线与垂线的作法 学 习 目 标 1 2 掌握用无刻度直尺和圆规作已知直线的平行线和垂线的规范步骤（重点） 经历操作猜想→推理验证的探究过程，体会“转化思想”在数学中的作用（难点） 3 能够使用严谨的数学逻辑证明作图原理，培养严谨的几何论证思维。 情境导入 🎯 梯子救援行动 消防员救援时发现梯子倾斜卡在窗口无法移动，工程师需在墙面画出两条关键参考线 ①过一点作一条地面的平行线，确定水平逃生通道位置 ②过另一点作墙面的垂线，检查梯子垂直安全性 但是工具却仅有无刻度直尺和圆规！ 如何用最基础的尺规实现以上作图？ 本节课我们将一起探索，解决这一难题！ 新知探究 🎯 尺规作图——过一点作已知直线的平行线 平行与垂直是两种特殊的位置关系，如何过直线外一点作直线的平行线与垂线？下面我们先试着作平行线. 我们曾经学过用三角形和直尺作平行线的方法，这样作的依据是什么？ 这样作的依据是同位角相等，两直线平行 在上节课中，我们已经学过了基本作图，下面我们将结合基本作图，来作出平行线 新知探究 🎯 尺规作图——过一点作已知直线的平行线 过直线外一点作已知直线的平行线 🧠具体操作步骤 已知：直线和直线外一点 ①过点作直线，交直线于点 ②作为上不与重合的点，与在同侧 ③作直线 直线即为过点且平行于的直线 求作：直线平行线，且该平行线经过点P 过一点作已知直线的平行线 🔑 即时训练 B 1.如图，用尺规过点作直线的平行线时，以下哪一步操作是错误的？（ ） A. 以点为圆心，长为半径画弧，交于点 B. 以点为圆心，长为半径画弧，交射线于点 C. 以点为圆心，长为半径画弧，交前弧于点 D. 作直线 2.小琳用尺规完成平行线作图后（如图），发现，。老师提问：“若将改为，其他步骤不变，直线是否平行于？”正确回答是（ ） A. 平行，因为点在直线外 B. 平行，因为仍存在一组同位角 C. 不平行，因为同位角不等 D. 不平行，因为未作垂线 C 新知探究 🎯 尺规作图——过直线外一点作已知直线的垂线 在作平行线时，我们利用了同位角相等，两直线平行的理论，结合尺规作图作出了已知直线的平行线，那么作垂线时，有什么依据呢？ 如图，我们前面的学习中研究过这样的问题，即当，时，与具有怎样的位置关系？你能否从中找到作图的方法？ 在这个图形中，我们可通过全等三角形的证明来说明PQ⊥MN 也就是说，我们在作已知直线的垂线时，可以以此模型为依据，作出已知直线的垂线！ 8 新知探究 🎯 尺规作图——过直线外一点作已知直线的垂线 🧠证明过程 过直线外一点作已知直线的垂线 已知：直线和外一点 求作：直线的垂线，使它经过点 ① 以点为圆心，在直线的另一侧取一点，以为半径作弧，交直线于点、 ② 分别以点、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点； ③ 作直线 直线就是所求作的垂线! 9 新知探究 🎯 尺规作图——过直线外一点作已知直线的垂线 以上所做出来的一定是垂线吗？这样做的原理是什么？ ① 以点为圆心，在直线的另一侧取一点，以为半径作弧，交直线于点、 ② 分别以点、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点； ③ 作直线 🧠这样做出来的一定是垂线，理由如下： 构造等腰三角形 构造全等三角形和 最后用“等腰三角形三线合一”证明垂直！ 10 过一点作已知直线的垂线 🔑 即时训练 C 1.如图，用尺规过直线上点作垂线，以下操作中会导致失败的是（ ） A. 以为圆心，3cm为半径画弧，交于A、B两点 B. 以A为圆心，4cm为半径画弧；以B为圆心，4cm为半径画弧 C. 以A为圆心，2cm为半径画弧；以B为圆心，3cm为半径画弧 D. 连接两弧交点C与点 2.小刚用尺规过直线外点作垂线： ① 以Q为圆心，5cm为半径画弧，交于M、N ② 以M为圆心，x cm为半径画弧；以N为圆心，y cm为半径画弧，两弧交于K ③ 作直线QK 要使QK⊥，x与y必须满足（ ） A. x = y ＞ 2.5cm B. x = y ＜ 5cm C. x + y = 5cm D. x = y 且可任意取值 A 例题讲解 🎯 已知斜边和直角边作直角三角形 解题技巧 作直角三角形的关键是：先定直角顶点，再取已知直角边，最后用斜边长度找另一个顶点 已知：线段、（） 求作：，使∘，斜边，直角边. 解：① 作直线 ② 在射线上截取 ③ 以点为圆心、为半径作弧，交直线于点； ④ 连接线段 即为所求直角三角形 基础提升 📝如图，△ABC，边BC延长至点D，形成外角∠ACD 解： 知识补充 此问的原理依托：同位角相等，两直线平行 画图时需要注意，弧的半径必须保持一致 （1）作直线，使 ①以点为圆心，任意长为半径画弧，交于点，交于点 ②以点为圆心，长为半径画弧，交于点 ③以点为圆心，长为半径画弧，交前弧于点 ④连接，直线即为所求 13 基础提升 📝如图，△ABC，边BC延长至点D，形成外角∠ACD 解： 知识补充 在作垂线时候，需要注意大于二分之一PQ这个条件，若是小于这个值，画出来的两弧将会没有交点 （2）作中边上的高 ①以点为圆心，大于到的距离为半径画弧，交于点、； ②分别以点、为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点 ③连接，交于点，线段即为所求边上的高 14 题型探究 🎯 类型一：尺规作平行线的“原理与步骤”辨析 1.用尺规过直线外一点作已知直线的平行线时，核心几何依据是（ ） A. 同位角相等，两直线平行 B. 内错角相等，两直线平行 C. 同旁内角互补，两直线平行 D. 垂直于同一条直线的两直线平行 A 2.用尺规作直线（在外）时，复制同位角的关键步骤是（ ） A. 连接与上任意一点 B. 以为圆心，任意长为半径画弧，交于、交于 C. 以为圆心，长为半径画弧，交延长线于 D. 以为圆心，长为半径画弧，交前弧于，连接 D 题型探究 🎯 类型二：尺规作已知直线的平行线 已知：直线和直线外一点（如图） 求作：直线，使（保留作图痕迹，不写作法） 解：如图所示 题型探究 🎯 类型三：尺规作垂线（高）的“易错点”判断 1.作钝角（为钝角）中边上的高时，垂足的位置是（ ） A. 在线段上 B. 在线段的延长线上 C. 在线段上 D. 在线段上 B 2.用尺规作中边上的高时，第一步“以为圆心画弧交于、”的半径必须满足（ ） A. 大于到的距离 B. 等于到的距离 C. 小于到的距离 D. 任意长度均可 A 题型探究 🎯 类型四：尺规作三角形某边上的高 已知：钝角. 求作：边上的高（M为垂足，保留作图痕迹）. 解：如图所示 课堂总结 📜 核心知识 （1）平行线作图 原理：同位角相等 步骤：截线→复制角→连线 应用：三角形中位线、平行四边形 （2）垂线作图 原理：等腰三角形三线合一 步骤：画弧→等半径交弧→连线 应用：三角形的高、直角构造 感谢聆听! $$