2.3 尺规作图课时2教案2026-2027学年数学青岛版八年级上册

该初中数学教学设计聚焦“作已知直线的平行线或垂线”核心知识点，通过复习基本作图（作线段、作角）导入，以旧知为支架衔接新课，明确尺规作图是基本作图的组合应用，梳理前后知识脉络。 特色在于原理驱动教学，作平行线从三角板法过渡到尺规法揭示同位角原理，作垂线结合等腰三角形三线合一性质，培养推理意识与几何直观。例题与练习层层递进，提升学生分析与综合运用能力，助力教师高效教学，夯实几何作图基础。

第2章 全等三角形 2.3 尺规作图 课时2 作已知直线的平行线或垂线 教学设计（教案） 课题 2.3 尺规作图 课时2 作已知直线的平行线或垂线 课型 新授课 年级 八年级上册 教材 青岛版 学科 数学 课时 1课时（45分钟） 章节 第2章 全等三角形 教师 一、教学目标 1. 掌握用无刻度直尺和圆规作已知直线的平行线和垂线 二、教学重点与难点 ☒ 教学重点： ▶ 过直线外一点作已知直线的平行线 ▶ 过直线外一点作已知直线的垂线 ☒ 教学难点： ▶ 平行线作图中同位角相等的构造方法 ▶ 垂线作图中等腰三角形三线合一的原理应用 三、教学过程 环节1：复习回顾——基本作图（5分钟） 【课件内容】 复习：基本作图→作线段等于已知线段、作角等于已知角 已知∠α，求作∠ABC=∠α 【教师活动】 ▶ 提问：什么是基本作图？上节课我们学习了哪些基本作图？ ▶ 引导学生回顾：最基本、最常用的尺规作图称为基本作图，作一条线段等于已知线段和作一个角等于已知角都是基本作图 ▶ 请学生板演：已知∠α，求作∠ABC=∠α，复习作一个角等于已知角的操作步骤 ▶ 过渡提问：学会了作一个角等于已知角，借助直尺和圆规，能否过直线外一点作这条直线的平行线或垂线？引出本节课课题 【学生活动】 ▶ 回顾并回答：基本作图是最基本最常用的尺规作图，包括作线段等于已知线段和作角等于已知角 ▶ 板演作∠ABC=∠α，巩固基本作图操作 ▶ 思考：如何利用已有基本作图完成平行线和垂线的作图 【设计意图】以复习基本作图为起点，既巩固了上节课的核心技能，又为新课作平行线和垂线做方法铺垫——平行线和垂线的作图本质上是基本作图的组合应用。 【知识点归纳】 ✔ 基本作图：作一条线段等于已知线段 ✔ 基本作图：作一个角等于已知角 【注意】基本作图是尺规作图的根基，所有复杂尺规作图都是基本作图的组合。 【过渡语】作一个角等于已知角是基本作图，它的背后是同位角相等、两直线平行的原理。那么，能不能用尺规作出一组同位角，得到一组平行线呢？ 环节2：任务一：作平行线——过直线外一点作已知直线的平行线（12分钟） 【课件内容】 已知：直线l和l外一点P，求作：过点P作l的平行线 作法：①过P作MN交l于N；②作∠MPQ=∠PNK；③作PQ即所求 原理：同位角相等，两直线平行 练习：过点C作DE∥AB 【教师活动】 ▶ 出示问题：已知直线l和直线外一点P，求作直线l的平行线，使它经过点P ▶ 引导回顾平行线的画法（三角板法）：放→靠→推→画，提问三角板和直尺的作用是什么？依据是什么？ ▶ 引导学生发现：推三角板的过程实际是在构造同位角，依据是同位角相等、两直线平行这一基本事实 ▶ 提问：能不能用尺规作出一组同位角，得到一组平行线呢？ ▶ 示范尺规作法：①过点P作直线MN，交直线l于点N；②作∠MPQ=∠PNK，其中K为l上不与N重合的任意一点，点Q与K位于MN同侧；③作直线PQ，则直线PQ即为所求作的平行线 ▶ 分析原理：∠MPQ与∠PNK是同位角，由作图知它们是相等的，根据同位角相等、两直线平行，得PQ∥l ▶ 给出即时练习：过点C作直线DE，使DE∥AB，要求学生独立完成 【学生活动】 ▶ 回顾三角板法画平行线的步骤和原理 ▶ 回答：三角板用于构造同位角，直尺提供基准边，依据是同位角相等两直线平行 ▶ 思考尺规作图的等价操作：用尺规作∠MPQ=∠PNK就是在构造同位角 ▶ 跟随教师示范，完成尺规作平行线的操作 ▶ 独立完成练习：①过点C作直线MN交AB于F；②在MN右侧作∠FCE=∠AFC；③反向延长CE得直线DE，则DE∥AB 【设计意图】从学生熟悉的三角板画平行线出发，揭示其背后的同位角原理，然后将三角板的构造同位角功能用尺规作图来实现，实现知识迁移。这种从已有经验到新知建构的过程，降低了学习难度。 【知识点归纳】 ✔ 过直线外一点作已知直线平行线的尺规方法 ✔ 原理：构造同位角相等→两直线平行 ✔ 步骤：作辅助直线→作等角→连线 【注意】作平行线的核心思想：作一个角等于已知角（基本作图），使这两个角构成同位角的关系。 【过渡语】通过尺规作平行线，我们体会到：尺规作图的关键是将几何关系转化为基本作图的组合。接下来研究另一个重要作图——过直线外一点作已知直线的垂线。 环节3：任务二：作垂线——过直线外一点作已知直线的垂线（12分钟） 【课件内容】 已知：直线l和l外一点P，求作：过P作l的垂线 作法：①以P为圆心，画弧交l于M、N；②分别以M、N为圆心作弧交于Q；③作PQ即为垂线 原理：PM=PN且QM=QN→PQ⊥MN 练习：作BC边上的高 【教师活动】 ▶ 出示问题：已知直线l和l外一点P，求作直线l的垂线，使它经过点P ▶ 引导回顾：如图，已知PM=PN，QM=QN。（1）求证PQ平分∠MPN；（2）连接MN，判断PQ与MN的位置关系。这个例题中出现了垂线——当PM=PN，QM=QN时，PQ⊥MN ▶ 提问：从这个例题中，你能找到尺规作垂线的方法吗？关键是要构造什么条件？ ▶ 引导学生发现：需要构造一组等腰三角形——使P到l上两点的距离相等（PM=PN），再找一点Q使QM=QN，则PQ即为垂线 ▶ 示范尺规作法：①以点P为圆心，在直线l的另一侧取一点K，以PK为半径作弧，交直线l于点M、N；②分别以M、N为圆心，大于MN一半的长为半径作弧，两弧在l另一侧交于点Q；③作直线PQ，直线PQ即为所求作的垂线 ▶ 分析原理：连接PM、PN、QM、QN。由作图可得PM=PN（同圆半径），QM=QN（等半径画弧），由前面的例题可证PQ⊥MN（即PQ⊥l） ▶ 给出即时练习：作边BC上的高（过点A作BC的垂线） 【学生活动】 ▶ 回顾等腰三角形三线合一的性质：当PM=PN且QM=QN时，PQ垂直平分MN ▶ 分析尺规作垂线的思路：第一步构造PM=PN（截取等长线段）→第二步构造QM=QN（到两点等距的点在垂直平分线上） ▶ 跟随教师示范完成尺规作垂线 ▶ 独立完成练习：以A为圆心画弧交BC于两点→以两点为圆心画弧交于一点→连接A与交点得高AD 【设计意图】从已学例题出发，揭示垂线作图的数学原理——等腰三角形三线合一和到线段两端等距的点在垂直平分线上。通过原理分析和操作示范的结合，让学生在理解中掌握操作方法。 【知识点归纳】 ✔ 过直线外一点作已知直线垂线的尺规方法 ✔ 原理：构造PM=PN且QM=QN→PQ垂直平分MN ✔ 垂线作图=截取相等线段+构造到两点等距的点 【注意】作垂线原理详解：①以P为圆心画弧得PM=PN（候补条件一）；②分别以M、N为圆心画等半径弧得QM=QN（候补条件二）；③由两条件得PQ垂直平分MN（即PQ⊥l）。 【过渡语】掌握了作平行线和作垂线这两种基本尺规作图后，我们来看一个综合应用——如何用尺规作直角三角形。 环节4：例题精讲——作直角三角形（8分钟） 【课件内容】 例题：已知m、n（m＞n），求作Rt△ABC，∠C=90°，AB=m，AC=n 作法：①作CE⊥CD；②截CA=n；③以A为圆心m作弧得B；④连AB 【教师活动】 ▶ 出示例题：已知直角三角形的斜边和一条直角边，求作这个直角三角形。已知线段m、n（m＞n），求作Rt△ABC，使∠C=90°，AB=m，AC=n ▶ 引导分析：要作直角三角形，需要直角和两条边。①直角怎么作？（作垂线）②斜边AB=m怎么确定？（以A为圆心以m为半径画弧截取） ▶ 示范作法：①作直线CE⊥CD（构造直角）；②在CE上截取CA=n；③以点A为圆心，以m为半径作弧，交CD于点B；④连接AB。△ABC就是所求作的直角三角形 ▶ 强调：这道题综合运用了作垂线（构造直角）和作线段等于已知线段两种基本作图 ▶ 引导学生验证：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=n，斜边AB=m，符合题目要求 【学生活动】 ▶ 分析作图思路：直角→作垂线；AC=n→截取等长线段；AB=m→以A为圆心画弧截取 ▶ 跟随教师示范，独立完成直角三角形的尺规作图 ▶ 验证所作三角形满足条件：∠C=90°，AC=n，AB=m 【设计意图】直角三角形作图是作垂线的典型应用。通过这道例题，让学生体会尺规作图的综合运用——将一个大问题分解为若干基本作图步骤。培养分解问题和综合运用知识的能力。 【知识点归纳】 ✔ 尺规作直角三角形的方法：作直角（垂线）+截取边长 【注意】尺规作图综合题的解题思路：①分析需要构造哪些几何元素（直角、线段等）；②将每个元素映射到基本作图；③按逻辑顺序执行各步骤。 【过渡语】例题帮助我们巩固了尺规作图的综合应用。下面通过三道练习，进一步强化今天所学的平行线和垂线作图方法。 环节5：巩固练习（6分钟） 【课件内容】 练习1：过P作PQ∥AB交BC于Q 练习2：过A作l垂线→截取AB=a→得Rt△ABC 练习3：作AD=h→以A为圆心a得C→对称得B 【教师活动】 ▶ 出示练习1：在四边形ABCD中，点P为边AD上一点，用尺规在边BC上求作一点Q，使得P、Q到AB的距离相等。引导分析：P、Q到AB距离相等→PQ∥AB→过P作AB的平行线交BC于Q ▶ 出示练习2：已知线段a，直线l及l外一点A，求作Rt△ABC，使∠ACB=90°，且顶点B、C在直线l上，斜边AB=a。引导分析：先过A作l的垂线得点C，再以A为圆心以a为半径画弧交l于B ▶ 出示练习3：已知线段a、h，求作△ABC使AC=BC=a，高AD=h。引导分析：先作垂线确定A和D，再以A为圆心以a为半径画弧确定C，利用等腰三角形对称性确定B 【学生活动】 ▶ 练习1：分析→P、Q到AB等距即PQ∥AB→过P作AB平行线交BC于Q ▶ 练习2：分析→∠ACB=90°即AC⊥l→过A作l垂线得C→以A为圆心a画弧交l于B→得Rt△ABC ▶ 练习3：分析→先作AD⊥BC⊥且AD=h→以A为圆心a画弧交直线于C→再对称得B（或AC=BC=a确定B） 【设计意图】三道综合练习从作平行线到作直角三角形再到作等腰三角形，层层递进，综合运用平行线和垂线的基本作图。每道题都需要将几何条件转化为尺规操作，培养几何分析能力和作图能力。 环节6：课堂小结（2分钟） 【课件内容】 小结：尺规作图→过直线外一点作平行线（构造同位角）+过直线外一点作垂线（构造等腰三角形）→应用：作直角三角形 【教师活动】 ▶ 提问：针对本节课的关键词尺规作图，你能说说学到了哪些知识吗？ ▶ 引导学生从过直线外一点作平行线和过直线外一点作垂线两方面总结 ▶ 展示知识框架图：尺规作图→过直线外一点作平行线（构造同位角）+过直线外一点作垂线（构造等腰→三线合一）+综合应用（作直角三角形） ▶ 强调：所有复杂尺规作图都由基本作图组合而成 【学生活动】 ▶ 总结：学会了用尺规过直线外一点作平行线（原理：同位角相等）和作垂线（原理：等腰三角形性质） ▶ 体会尺规作图的分解思想：大问题→小步骤→基本作图 ▶ 整理本节知识框架 【设计意图】通过归纳总结，让学生明确两种重要尺规作图的方法和原理，建立课时2的知识框架。 四、板书设计 +----------------------------------------+ | 2.3 尺规作图 课时2 作已知直线的平行线或垂线 | | 一、作平行线（同位角相等） | | 过P作MN交l于N→作等角→连PQ | | 二、作垂线（等腰三角形性质） | | 画弧得M、N→作中垂线→连PQ | | 三、综合应用：作直角三角形 | | 作直角+截边长+画弧得斜边 | +----------------------------------------+ 五、教学反思 本节课以基本作图复习为起点，顺利衔接到平行线和垂线的尺规作图。 作平行线的教学从三角板法过渡到尺规法，用熟悉的操作方法引出背后的同位角原理，降低了认知难度。学生能够理解尺规作平行线本质上就是构造同位角相等。 作垂线的教学设计了从已学例题→发现方法→尺规操作的路径。等腰三角形三线合一的性质是垂线作图的灵魂，教学中注重了原理的剖析，学生能掌握核心方法。 直角三角形作图是两种作图的综合练习，考查了学生的分析能力和综合运用能力。三道路练习层次分明（平行线→垂线→三角形），覆盖了本课全部核心技能。 部分学生在练习3（作等腰三角形）时对点B的确定方法存在困难，后续需要补充等腰三角形对称性的专项训练。 学科网（北京）股份有限公司 $