1.2.4二面角（一）学案-2025-2026学年高二上学期数学人教B版选择性必修第一册

该高中数学导学案聚焦“二面角（一）”，核心内容包括二面角及平面角的定义、范围，定义法与射影面积法求二面角大小。通过【基础自学】问题引领，引导学生阅读课本勾画关键词，结合生活实例搭建学习支架，衔接空间向量与面面关系，为空间几何度量学习奠定基础。 资料亮点在于【合作探究】中总结定义法“一作二证三求四答”步骤，【自学评测】与【课堂随测】分层设计（A组基础、B组提升），助力学生通过例习题实践深化理解。培养数学思维（推理、运算能力）与数学语言（符号表达、模型意识），提升空间几何问题解决能力。

选修一 高二数学 课时学案 编制人： 审核人： 班级 小组 姓名 使用时间 2025年 月 日 编号： 选修1-11 课题：二面角（一） 【课标要求】 1.能用向量语言表述平面与平面夹角、二面角以及垂直与平行关系； 2.运用向量的方法研究空间基本图形的位置关系和度量关系，感悟向量是研究几何问题的有效工具 【学习目标】 1.通过生活中的实例和自主学习中的问题引领，能说出二面角以及二面角的平面角的概念； 2.通过例1和例2，学会用定义法、射影面积法求二面角大小. 【基础自学】 阅读课本并用“～”勾画关键词思考并回答以下问题. 自学任务一：二面角及其度量（49至50页） 问题1.二面角的定义： 平面内的一条直线把一个平面分成两部分，其中的每一部分都称为一个 ，从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为 ，这条直线称为二面角的 ，这两个半平面称为 .棱为l，两个面分别为α，β的二面角，记作 . 问题2.二面角的平面角： 在二面角α－l－β的棱上任取一点O,在两个半平面内分别作射线OA⊥l，OB⊥l，则 叫做二面角α－l－β的平面角； 特别地，平面角是直角的二面角称为 . 问题3.二面角的平面角的范围： ； 两个平面夹角的范围：______________________. 自学任务二：二面角的求法（50至51页） 如图所示，设为二面角的半平面上一点，过点做半平面的垂线，设O为棱上一点. （1）判断是什么条件； （2）由二面角的平面角作法，你能得到什么结论？ 【自学评测】 1.判断正误： （1）二面角的取值范围为[0,]. （ ） （2）若平面α，β的法向量分别为, ，则<, >等于二面角的大小.（ ） （3）平面角是直角的二面角叫直二面角.( ) （4）任何一个二面角都有很多平面角.( ) 2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，二面角A-C1D1-C的平面角是（ ） A．∠AD1D B．∠AD1C C．∠AC1C D．∠D1C1C 【合作探究】 题型一：定义法求二面角 例1：在边长为1的菱形ABCD中,将菱形沿对角线AC折起,使折起后BD=1,则二面角 B-AC-D的余弦值为（ ） A. B. C. D. 变式1：如图，已知在一个二面角的棱上有两个点A,B，线段AC,BD分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB,AB=4，AC=6cm，BD=8，，求这个二面角的度数. 小结：定义法求二面角的步骤：（一作二证三求四答） 题型二：射影面积法求二面角 例2．如图所示的三棱锥中，面⊥面，, ，且，求二面角的大小. 小结：cosθ＝，其中S′为射影面积，S为原图形面积． 【课堂随测】 A组： 1. A,B是二面角的棱上两点,P是平面上一点,PB于B,PA与成45°角,PA与平面α成30°角,则二面角的大小是______. 2.正三棱锥S-ABC的棱长都为1，则侧面与底面的夹角的余弦值为______. 3．在300的二面角的一个面内有一个点，若它到另一个面的距离是10，则它到棱的距离是( ) A 5 B 20 C D 4.已知直二面角的棱上有A,B两点，，若AB=5,AC=3,BD=8,求CD的长. 5.如图,空间四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA=a,对角线AC=a，BD=,求二面角A-BD-C的大小. B组： 6.如图，已知AB是圆的直径，且AB=4，PA垂直于圆所在的平面，且,M是圆周上一点，且,求： （1）二面角A-BM-P的大小； （2）二面角A-BP-M的大小. 【课堂小结】 1.二面角及平面角的定义和范围？ 2.求二面角的方法？ 学科网（北京）股份有限公司 $$