江苏省如皋市2025-2026学年高三上学期期初质量调研数学试题

2025-一2026学年度高三年级质量调研 数学参考答案及评分标准 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合愿目要求的， 题号12345 67 选项BC B DAAC D 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，请把答案填 涂在答题卡相应位置上， 题号9 1011 选项AC BCD ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 125 13.4,+o) 14.64π；6 3 四、解答题：本题共5小题，共7刀分.解答过程写出文字说明、证明过程或者演算过程 15.(本小题满分13分)】 【解析T()因为∠AF0=120°，所以ke=√5， --号)得2-20r+30-0,期解与，多 [y2=2x 联立 号，号3分 6 |4F卡x+2=2p=4,得p=2. …5分 (儿何法亦可) (口)点M为地物线准线与x轴交点，所以M(号， 直线方程为x=侧y+号， y'=2px 联立 k=网+号？则-2mp-广=0，所以X+为=2mp,%=-p,…3分 则 kw+6w=光+五 码+++%) *++++⅓) +号+号（5+5+号 ++别 2m4+ply+为=0 m2丛+pm(y+y2) …13分 扫描全能王创建 所以k4+ka=0. 16.(本小题满分15分) 【解析】法一：(1)取PA的中点N,PB的中点M,连接FMMN, :4MCD是等边三角形，△MBC为直角三角形，且∠BAC=90°，∠ABC=30°， 不妨设AD=CD=AC=2, BC=4,E、F分别为BCPD的中点， FN=4D=l,8E=2, ∴GM=l, ∠DAC=60°，∠ACB=60° AD∥BC, FN∥GM, ,四边形FGMN为平行四边形， …4分 FG∥MN, :FGt面PAB,MNC面PAB,∴FG∥面PAB; …7分 (2):PA⊥面ABCD, PA⊥AB,PA⊥AC, 又：∠BAC=90°， “以A为原点，AC、AB、AP所在直线分别为x片z轴建立如图所示的空间直角坐 标系。 …9分 设AD=CD=AC=2,则A0,0,0),B(0,2N5,0),C(2,0,0)DL,5,0)nP(0,0,2) .DC=1,5,0),C乎=(-2,0,2) 设面PCD的一个法向量为i=(名，为z) DC.=0 x+3y=0 C.i=0 -2x+22=0 取y=-l,x=V5,z=5万=(N5,-l,V5) …12分 :AB⊥AC,PA⊥AC,.AC⊥面PAB,∴面PAB的法向量m=L,0,0),…13分 设面PAB与面PCD成的角为日， 扫描全能王创建 则cos8cos(%,m上m-月。 V2I m+-'+5 7 即面PB与平面PCD成角的余弦值为 ……15分 【解析】法二：(I)延长BA与CD交于点O,连接DE, 'A4CD是等边三角形，△4BC为直角三角形，且B4C=90°，之ABC=30°， RTACAB兰RT△CAg, :.Co=CB=2CD :.D为C2的中点，E为BC的中点， DE∥AQ,即：.DE∥AB, …4分 又F、G分别为PD、PE的中点， DE∥FG, AB∥FG. FG工面PAB,ABC面PAB,∴FG∥面PAB; …7分 (2)由(1)得，面PAB与平面PCD成角为二面角C-PQ-B, :PA⊥面ABCD, .PA⊥AC, 又：∠BAC=90°，∴AB⊥AC, PAOAB=A, ∴AC⊥平面PAB, …9分 ∴过A作AH⊥PO交PQ于点H,连接CH, .CH在平面PAB内的射影为AH, .CH⊥P2,∠HC为二面角C-PO-B的平面角. …12分 设AD=CD=AC=2,则PA=2, AH=5, CA 2 在RT△CAH中，tan∠CHA=, ∴.cos∠AHC= 2 7 即面PMB与平面PCD成角的余弦值为 …15分 7 扫描全能王创建 17.(本小题满分15分) 【解析】(1)定义域为R,'(对e, …1分 ①当a≤0时，f'x)<0,f国在R上单调递减，无极值； …3分 @当>0时，令f<0得x<n令>0得加后： 所以/在（∞，h】上单调递减，在。网上单调递增， 所以档x=-na时，函数fx)有极小值为1+血a,无极大值. …7分 (2)由(1)得，f(x=f-ha=l+na, …8分 要证f间>2g-心+号，即证1+ha>2加a-d+号，即证-宁也a>0恒成立。 ◆(@=d-haa>0,则(a=2a-12a …10分 令钩<0，则<a<号；令5间20，则a>5； 所以4回在Q吗上单清强减，在侣上单两乳 …13分 a图写-士9-hi>0,题0立 所以当a>0时，>2血a+号恒成立。 8…15分 18.(本小题满分17分) 【解析】(1)由题意a+c=3, 又因为△PF瓦为等边三角形，所以a=2c, …2分 所以c=1,a=2, 因为6=a2-c2=3, 房烈c的方程务子1 4分 (2)法一：设直线N的斜率为k,则直线BM的斜率为3驮，设M(:,),N(,), 则直线AN的方程为y=k(+2),直线BM的方程为y=k(x-2). 所以 3+4y-2,化简得6+4k2+16kx+16k2-12=0 y=k(x+2) 扫描全能王创建 6-8k2 2= 因为A(-2,0),所以 3+4k2 即N5-8k12k 12k #**“6分 = 3+4'3+4) 3+4k2 同理可得M242-2-12 1+12k2'1+12k2 ……8分 12k -12k 3+4k21+12k2 12k16k2+4)4k 6-8k2242-2 120-16k)1-4k2 10分 3+4h21+12k2 所以直线MN的方程为y 3+4限4g6-5-8 12k 4k 3+4k, 由对称性，令y=0得，x= 器+- 43+4状2=1 所以直线1过定点(1,0)，即右焦点F2, 2分 法二：()证明：设M(,)，N(名，2)又A(-2,0),B(2,0 所以形侧在2w之 -2,w=为 +2 此时，kwkw=X片。= 名+2为-2x2-4' 又于+片1，则=30-子-4-)，代入上试可得， 4 3 3 kwku=一4 6分 因为如=3改m,所以wkw=-号 设直线MN的方程为x=my+t, [x=my+t 联立任+兰-l'得3m+9y+6m+3-12=0, 43 6mt 所以 y+4=3m㎡2+4 …8分 y= 32-12 3m2+4 8 又 x+为=3m2+4 42-12m2’ 5= 3m2+4 扫描全能王创建 2+2+6+可 由大wkw=A。为 yy 32-12 1 化简得4+160+6- 即+t-2=0,解得1=1或1=-2（舍）， 所以直线1过定点(1,0)，即右焦点E: 12分 间由同wX-%64+m--18要 3m2+4 14分 令人=Vm2+1,则m2=2-1, 18入18 则Sa3n2+13孔+元 因为y=31+片在，o)上单调递增， 故入=1时，Sw四的最大值为号， 此时m=0,直线P的方程为x=1, 17分 19.(本小题满分17分) 【懈折1)当M@0时，s=-+G-0=r-x+1=-护+子， 当且仅当x=2时取等号， 故对于点M(L,O),存在点P 使得该点是M(L,0)在f(x)的最近 点” …4分 (2)由题设可得s(x)=(x-2+(血x+1)2, 则-2g-220-2-2+竖. x 5分 设p=x-2+血x+1 xx 子1 p)=l+上血x】 x2, 设g()=x2-血x, 9冈=2x-122- xx 6 扫描全能王创建 当0<<马时，树<0，散9树在 上为减函数， 当x>5时，g>0,故9因在 ”22 …7分 所以px>0,p()在(0，+)上单调递增且p)=0, 即s()在(0，+∞)上单调递增且s(0)=0, 所以当0<x<1时，s(x)<0, 当x>1时，s(x)>0; 所以s(x)在(0,1)上单调递减，1，+∞)上单调递增， 故s(x)=s(0)=2,此时P(山，0)， 9分 面f()-=士k=∫0=1，故f(问在点P处的切线方程为y=x1 =0+=-1,故kok=-1,故直线MP与)=（冈在点P处的切线垂 而kwe1-2 直. …10分 (3)设(=(x-t+12+(f(x)-f()+g(}2, (x)=(x-t-12+(f(x)-f(-gc}, 面（✉）=2(x-t+0+2(x)-f()+g(》f'(x), ()=2(x-t-1)+2f(x)f)-g)f'(x), 若对任意的teR,存在点P同时是M,M2在f(x)的最近点”， 设P(x),则既是(x)的最小值点，也是z(x)的最小值点， 因为两函数的定义域均为R,则，也是两函数的极小值点， 则存在，使得'(x)=2(x)=0, 即（名）=2-t+1)+2f')U∫)+g)上0① 扫描全能王创建 3'()=2(x%--刂+2f([爪x-f0-g(可=② 由①②相减得4+4g0:'()=0,即1+了'(x)g(0=0, 即/(<)=，又因为函数8树在定文接R上恒正， 则/-=的0恒度之， 接下来证明x,=t, 因为既是5(x)的最小值点，也是3(x)的最小值点， 则(x)≤s(0,52(x)≤x0, 即(。-t+1+(f(x)-f)+≤1+，® (x。-t-1+(f)-f)-奶s1,④ ③+④得2(%-}+2+2U6上f0]'+2g0≤2+2g钩 即(-+〔kf)≤0，因为(-)≥0，(f(x)-f≥0 「x-1=0 则/6)-间=0，解得6=， 则了付=-<0恒成立，因为：的任意性，则了冈)严格单调递减。 3() …17分 扫描全能王创建2025一2026学年度高三年级质量调研 数 学 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一 项符合题目要求.请把答案填涂在答题卡相应位置上， 1.若直线4：x+y+8=0与直线4：（⑦-2）x+3y+31=0平行，则1=（) A.-1 B3-1或3 C. D.3 2.已知α，B,Y是三个不同的平面，1是一条直线，则下列说法正确的是（) A.若a⊥Y,B⊥y,则a∥B B.若l∥a,l∥B,则a∥B C.若l⊥a,I⊥B,则a∥B D.若I∥a,a∥B,则l∥B 3.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,点M在C上，若M到直线x=-2的距离为4，则MF= () A.2 B.3 C.4 D.5 4.用一个平行于圆锥底面的平面截圆锥，截得的圆台上底面的半径为1，下底面的半径为2， 侧面积为3√5π，则该圆锥的母线长为() A.2 B.√5 C.4 D.25 5.已知双曲线C:二-片=1(@>0，b>0)的焦距为4，焦点到渐近线的距离为、6，则 该双曲线的渐近线方程为() A,y=土x B.y= 2 C.y=tx D.y=tV3x 6.若函数f(x)满足：f(2x-1)为偶函数，f(x+)为奇函数，当x∈[-l,)时，f(x)Hx, 则)=() A:克 B.0 C. D. 7.已知a=h号，b=号，c=e,则（) A.c<a<b B.a<c<b C.a<b<c D.b<c<a 扫描全能王创建 8.双曲线C:x上 916 =1的右支上一点P在第一象限，F,F分别为双曲线C的左、右焦点， M为△PFF的内心，若内切圆M的半径为1，则直线PF的斜率为() A.名 B.方 c.器 D.9 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，请把答案填 涂在答题卡相应位置上， 9.下列说法正确的是() A.若幂函数f(x)的图象过点(4,2)，则f(2)=V2 B.若函数f(x-1)的定义域为[-1,2]，则函数f(x+2)的定义域为2,5 C.若函数f(x)=x2-ax+4在(1,2)上只有一个零点，则实数a的范围为(4,5) D.函数f=cosx+x,x-受引的单调增区间为-若引 10.在平面直角坐标系xOy中，已知圆0：x2+y2=16,点M(-2,0),则下列说法正确的是() A.若圆O上恰有3个点到直线x+√3y+b=0的距离为2，则b=4 B.直线x+√5y+b=0与圆交于点AB,若AB=4,则b=士4√月 C.点P在直线2x+y+10=0上运动，过点P作圆O的两条切线，切点分别为4、B 则点M到直线AB的距离的最大值为2 D.过点M的直线与圆交于AB,若MA=2MB,则AB的长为3V6 11.已知正方体ABCD-ABC,D的棱长为4，动点P在正方体表面ABC,D上（不包括边界）， 则下列说法正确的是() A.存在点P,使得CP∥面ABD B.存在点P,使得AP⊥面ABD C,若与C的夹角为？，则点P的轨迹长度为： D.若M为面CCDD的中心，则AP+PM的最小值为2√4 高三数学第2页共4页 6】 扫描全能王创建 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 2.精圆子+若-Q>b0的左、右焦点分别为R,尽，P是椭圆上一点，直线P听的斜 率为2，∠FPE=90°，则椭圆的离心率为 13.已知函数f(x)=e-e-2sinx+1,则满足f(2m-1)+f(m-2)>2的实数m的取值范围 是 14.四棱锥P-ABCD的所有顶点都在同一个球面上，AB=AD=6,∠BAD=号， PA=PB=PC=PD=4,则其外接球的表面积为 一；若CB=CD,则过BD的中 点作直线与球O相交的最短弦长为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答过程写出文字说明、证明过程或者演算过程. 15.(本小题满分13分) 已知O为坐标原点，过抛物线C：y2=2r的焦点F的直线交抛物线C于A,B两点（点 A在第一象限)· (1)若∠AF0=120°，|AF=4,求P的值； (2)设点M为抛物线准线与x轴交点，求k+ka· 16.(本小题满分15分) 四棱锥P-ABCD中，△ACD是等边三角形，△ABC为直角三角形，且∠BAC=90°， ∠ABC=30°，E为BC的中点. (I)F为PD的中点，G为PE的中点，证明：FG∥面PAB; (2)若PA⊥面ABCD,PA=AC,求面PAB与面PCD所成角的余弦值. E 高三数学第3页共4页 扫描全能王创建 17.(本小题满分15分) 已知函数f(x)=ae-x, (1)求函数f(x)的极值； (2）证明：当a>0时，f(x)>2na-a2+3 18.(本小题满分17分) 知横圆C:子+片Q>b>0,B,B分别是左、右焦点，P是椭圆C上一点， 的最大值为3，当P为椭圆上顶点时，△PFE为等边三角形. (1)求椭圆C的标准方程； (2)设A,B分别是椭圆C的左、右顶点，若直线1与C交于点M,N，,且kM=3kw, ()证明：直线l过定点； (ii)求△AMN面积的最大值. 19.(本小题满分17分) 对于一个函数f(x)和一个点M(a,b),令s(x)=(x-a+Uf(x)-b,若P(x,f(x》是 s(x)取到最小值的点，则称P是M在f(x)的“最近点”. ()对于fx)=F,求证：对于点M10),存在点P,使得点P是M在f(x)的“最近点“， (2)对于f(x)=血xM(2,-1),请判断是否存在一个点P,它是M在f(x)的最近点“；且 直线MP与y=f(x)在点P处的切线垂直； (3)已知y=f(x)在定义域R上存在导函数f(x),且函数g(x)在定义域R上恒正，设点 M,(-lfO)-g),M+LfO)+g().若对任意的t∈R,存在点P同时是M,M2 在f(x)的“最近点”，试判断f(x)的单调性. 扫描全能王创建