1.3正方形的性质与判定 同步练习 2024-2025学年北师大版数学九年级上册

1.3正方形的性质与判定 同步练习 2024-2025学年北师大版数学九年级上册 一、选择题 正方形具有而矩形没有的性质是 A．对角线互相平分 B．对边相等 C．对角线相等 D．每条对角线平分一组对角 在四边形 中，，如果再添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，这个条件可以是 A． B． C． D． 如图，正方形 和正方形 中，点 在 上，，， 是 的中点，那么 的长是 A． B． C． D． 如图，在正方形 中，点 ， 分别在 ， 上， 平分 ，，垂足为点 ，则 的度数为 A． B． C． D． 如图，在正方形 中，点 ， 分别在边 ， 上，且 ．连接 ，， 与 交于点 ．下列结论错误的是 A． B． C． D． 如图，将一边长为 的正方形纸片 的顶点 折叠至 边上的点 ，使 ，折痕为 ，则 的长为 A． B． C． D． 正方形 中，点 ， 分别在 ， 边上， 是等边三角形．以下结论：① ；② ；③ ；④ 的垂直平分线是直线 ．正确结论个数有 个． A． B． C． D． 如图，点 在正方形 外，连接 ，，，过点 作 的垂线交 于点 ．若 ，．则下列结论不正确的是 A． B．点 到直线 的距离为 C． D． 二、填空题 正方形边长为 ，则对角线的长为 ． 如图，以 为边在正方形内部 内部作等边 ，连接 ，，则 ． 如图：在正方形 中，，将 绕点 顺时针旋转得到 ，此时 与 交于点 ，则 的长度为 ． 如图所示，在正方形 中，以 为边向正方形外作等边三角形 ，连接 ， 交于点 ，连接 ，那么 是 度． 如图，正方形 的对角线相交于点 ，对角线长为 ，过点 任作一条直线分别交 ， 于 ，，则阴影部分的面积是 ． 如图，正方形 的周长为 ，点 ， 分别在边 ， 上，若 ，则 的周长等于 ． 如图，正方形 的面积为 ， 是等边三角形，点 在正方形 内，在对角线 上有一点 ，使 的和最小，则这个最小值为 ． 三、解答题 如图，正方形 中， 为 上一点，，将 绕点 顺时针旋转 得到 ，连接 ，． (1) ． (2) 求 的长． 如图，正方形 的边长为 ， 为 边上的一个动点（点 与 ， 不重合)，以 为一边向正方形 外作正方形 ，连接 交 的延长线于 ． (1) 求证：① ；② ． (2) 试问当点 运动到什么位置时， 垂直平分 ？请说明理由． 如图，正方形 中，，点 在边 上，且 ，将 沿 对折至 ，延长 交边 于点 ，连接 ，． (1) 证明：． (2) 求 的长． (3) 求 的面积． 如图①，正方形 的对角线 ， 交于点 ，点 是 上一点，且 ，连接 ，作 于点 ． (1) 求 的度数． (2) 若 ，求 的长度． (3) 如图②，将 绕点 逆时针旋转，使点 落在 上的点 处，点 落在点 处，连接 ，，判断 的形状并证明． 答案 一、选择题（共8题） 1. 【答案】D 【解析】A．正方形和矩形对角线都互相平分，故A不符合题意． B．正方形和矩形的对边都相等，故B不符合题意． C．正方形和矩形对角线都相等，故C不符合题意． D．正方形对角线平分对角，而矩形对角线不一定平分对角，故D符合题意． 2. 【答案】C 【解析】由 可判定为矩形，因此再添加条件：一组邻边相等即可定为正方形． 3. 【答案】D 【解析】如图，连接 ，， 正方形 和正方形 中，，， ，，， ， 由勾股定理得： 是 的中点， ． 4. 【答案】A 【解析】 平分 ，且 ，， ， 在 和 中， ， ， ， ， 在 和 中， ， ， ， ， ． 5. 【答案】C 【解析】 正方形 中， ，， 在 与 中， ， ，，， ，， ，， ，故ABD正确； ，． 故选：C． 6. 【答案】B 【解析】方法一： 如图 ，作 ， 则 ， 易证 ， ． 方法二： 如图 ，过 点作 ， 可证四边形 为平行四边形，， 可证 ， ， ， ． 7. 【答案】C 【解析】 四边形 是正方形， ，， 是等边三角形， ，， ，， ， ， ， ，故①正确； ， ，故②正确； ，， ，， ， ，故③错误； ，， 垂直平分 ，故④正确． 8. 【答案】B 【解析】在正方形 中，， ， ， 又 ， ， 在 和 中， ，故A正确； ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， ，故C正确； ， ， 在 中，， 故D正确； 过点 作 交 的延长线于 ， ， 是等腰直角三角形， ， 即点 到直线 的距离为 ，故B错误． 二、填空题（共7题） 9. 【答案】 【解析】 正方形边长为 ， 对角线长为 ， 故答案为：． 10. 【答案】 【解析】 在正方形 中 是等边三角形， ，， ， ， ， ． 11. 【答案】 【解析】依题可知 ， 为等腰直角三角形， ，． 12. 【答案】 【解析】 四边形 是正方形， ，，，， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ，， ，， ， ， ． 13. 【答案】 【解析】 ， 是正方形 的对角线， ， ， ，，， ， 即 ， 四边形 是正方形， 为正方形 对角线交点， 又 ， 14. 【答案】 【解析】 四边形 为正方形， ，， 把 绕点 顺时针旋转 可得到 ， 如图， ，，，， 点 在 的延长线上， ， ， ， 在 和 中， ，，， ， ，而 ， ， 的周长 ． 15. 【答案】 【解析】连接 ． 正方形 ， ，， ， 关于 对称， 即 关于 的对称点是 ， 连接 交 于 ， 则此时 的值最小， ， 关于 对称， ， ， 等边三角形 ， ， 正方形 的面积为 ， ， ． 三、解答题（共4题） 16. 【答案】 (1) (2) 过 作 交 的延长线于 ，则 ． 正方形 ， ，， ，． ， ， ． 在 和 中， ， ，， ， ， ． ， ． ． 【解析】 (1) 绕点 顺时针旋转 得到 ， ，． ， ． 17. 【答案】 (1) 在正方形 中，，， 在正方形 中，，， 在 和 中， ． ， ， ， ， ． (2) 连接 ， 垂直平分 ， ， 设 ， ，， ，， ， ，解得 ， 时， 垂直平分 ． 18. 【答案】 (1) 沿 对折至 ， ，， 又 为正方形， ，， 在 和 中， ． (2) 设 ， 正方形 中，， ， ， 又 ， ，， 又 ， ， 又 ， ， ， 在 中，， ， ， ． (3) 由（）得 ， 又 ，， 在 和 中， 为 底边 上的高， ， ， ， 19. 【答案】 (1) 四边形 是正方形， ，， ， ， ， ． (2) ，， ， ， ， ， ， ． (3) 绕点 逆时针旋转得到 ， ，， ，， 在 和 中， ， ， ， ， ， ，即 是等腰直角三角形． 学科网（北京）股份有限公司 $$