精品解析：海南省海口实验中学2024-2025学年高二上学期第二次阶段考试数学试题

海口实验中学2024-2025学年第一学期第二阶段考试 高二年级数学科试卷 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 已知点，则平面的法向量可以是（ ） A. B. C. D. 2. 已知直线：，直线：，若，则（ ） A. 2或 B. C. 4或 D. 4 3. 已知点，过点的直线与线段（含端点）有公共点，则直线的斜率的取值范围为（    ） A. B. C. D. 4. 直线与圆交于，两点，则面积为（ ） A. B. C. D. 5. 若数列为等差数列，为数列的前项和，，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 6. 在正方体中，分别是棱的中点，则点到直线的距离为（ ） A. B. 1 C. D. 7. 已知数列满足，则（ ） A. 2025 B. 2024 C. D. 8. 在1和11之间插入个数，使得这个数成等差数列．若这个数中第1个为，第个为，则的最小值是（ ） A. B. 2 C. D. 3 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法中，正确的有（   ） A. 直线在轴的截距是2 B. 直线的倾斜角为 C. 直线的方向向量是，则直线的斜率是 D. 点在直线上，直线方程为． 10. 已知直线与圆，则（ ） A. 当时，直线平分圆C B. 直线与圆C总有两个公共点 C. 直线被圆C截得的最短弦长为 D. 被圆C截得的弦长为的直线有且只有1条 11. 已知数列的前n项和为，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 使的最小正整数n为13 D. 的最小值为 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 两条平行直线与间的距离为________. 13. 等比数列的公比，其前项和为，且，则______. 14. 阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为. 阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，直线是两平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为____________. 四、解答题本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 直线经过两直线和的交点. （1）若直线与直线平行，求直线的方程； （2）若直线与直线垂直，求直线与坐标轴围成的三角形周长. 16. 已知圆关于直线对称，且过点． （1）求圆的圆心坐标和半径； （2）若过点的直线与圆交于，两点，且，求直线的方程． 17. 已知正项等差数列满足：且成等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足：，求数列的前项和. 18. 已知在四棱锥中，底面是边长为的正方形，是正三角形，平面，分别是的中点． （1）求证：平面； （2）线段上是否存在点，使得直线与平面所成角为？若存在，求线段的长度；若不存在，说明理由． 19. 已知数列是公差大于的等差数列，，，若数列前项和为，并满足，. （1）求数列，的通项公式. （2）若，求数列前项的和. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 海口实验中学2024-2025学年第一学期第二阶段考试 高二年级数学科试卷 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 已知点，则平面的法向量可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据法向量的求法求得正确答案. 【详解】，设平面的法向量为， 则，则，只有A选项符合. 故选：A 2. 已知直线：，直线：，若，则（ ） A. 2或 B. C. 4或 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线平行列式求得，并代入检验即可. 【详解】若，则，解得， 当时，直线：，直线：， 两直线重合，不合题意； 当时，直线：，直线：， 两直线平行，符合题意； 综上所述：. 故选：B. 3. 已知点，过点的直线与线段（含端点）有公共点，则直线的斜率的取值范围为（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出，再结合图形求出斜率的取值范围即可. 【详解】解：因为P，， 所以，   因为直线与线段AB（含端点）有公共点， 则或 故直线的斜率的范围为. 故选：D. 4. 直线与圆交于，两点，则面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆的方程写出圆心和半径，求圆心到直线的距离，几何法求，最后用三角形面积公式求面积. 【详解】由，可化为， 所以，圆心，其到的距离，又圆的半径为， 所以，则面积为. 故选：B 5. 若数列为等差数列，为数列的前项和，，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列的性质由得，由得，可求出数列前6项均为负值，可得结论. 【详解】由等差数列性质可得，即； 又，所以, 因此数列的公差，且前6项均为负值， 所以的最小值为前6项和，即为. 故选：B. 6. 在正方体中，分别是棱的中点，则点到直线的距离为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，求得各点的坐标，以及直线的方向向量，利用向量法直接求解即可. 【详解】 如图，以为原点，的方向为轴正方向建立空间直角坐标系，如下所示： 易知，，; 取， ， 则， 所以点到直线的距离为． 故选：C. 7. 已知数列满足，则（ ） A. 2025 B. 2024 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据累加法可得数列的通项公式，再根据裂项相消求和即可得答案. 【详解】由题意可得 ， 累加可得， ，所以， 故. 故选：D. 8. 在1和11之间插入个数，使得这个数成等差数列．若这个数中第1个为，第个为，则的最小值是（ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】由等差数列的性质可得，再利用“”的妙用求最小值. 【详解】由题可知，， 所以有， 当且仅当，即时等号成立， 此时满足，，所以的最小值是3. 故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法中，正确的有（   ） A. 直线在轴的截距是2 B. 直线的倾斜角为 C. 直线的方向向量是，则直线的斜率是 D. 点在直线上，直线方程为． 【答案】BCD 【解析】 【分析】A选项，根据截距的定义判断；B选项，先求出直线斜率，根据斜率和倾斜角关系求解；C选项，根据方向向量的定义判断；D选项，根据点在直线上，代入条件，化简判断. 【详解】A选项，取，则，即直线在轴的截距是，A选项错误； B选项，直线化为，直线的斜率是， 设倾斜角为，则，，B选项正确； C选项，根据方向向量的定义可知其正确； D选项，点在直线上，则，即， 直线可化为，D选项正确. 故选：BCD 10. 已知直线与圆，则（ ） A. 当时，直线平分圆C B. 直线与圆C总有两个公共点 C. 直线被圆C截得的最短弦长为 D. 被圆C截得的弦长为的直线有且只有1条 【答案】ABD 【解析】 【分析】A.又圆的圆心是否在直线上判断；B.根据直线过定点，由定点P与圆的位置关系判断；C.由圆心和定点的连线与直线l垂直时，直线被圆C截得的弦长最短判断；D.由被圆C截得的弦长为求得圆心到直线的距离求解判断. 【详解】A.当时，直线，圆的圆心在直线上，所以直线平分圆C，故正确； B. 直线过定点，且，则定点在圆内，所以直线与圆C总有两个公共点，故正确； C.直线被圆C截得的最短弦长时，圆心和定点的连线与直线l垂直，又， 直线被圆C截得的最短弦长为，故错误； D. 当被圆C截得的弦长为时，圆心到直线的距离为，解得，所以这样的直线有且只有1条，故正确； 故选：ABD 11. 已知数列的前n项和为，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 使的最小正整数n为13 D. 的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对A，根据与关系，求出通项判断；对B，利用裂项求和得解可判断；对C，令求得答案；对D，求出，利用对勾函数单调性求最值. 【详解】对于A，由，当时，， 当时，， ，故A错误； 对于B，因为，， 所以，故B正确； 对于C，由，即，解得，故C正确； 对于D，，时，， 因为函数在上单调递减，在上单调递增， ∴当或4时，取得最小值为，故D正确． 故选：BCD. 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 两条平行直线与间的距离为________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用平行直线的距离公式求距离. 【详解】由题设，即为， 所以两直线距离. 故答案为： 13. 等比数列的公比，其前项和为，且，则______. 【答案】## 【解析】 【分析】由题意可得，可得，解方程即可得出答案. 【详解】因为，所以， 所以，解得：，， . 故答案为：. 14. 阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为. 阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，直线是两平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为____________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得平面的法向量，同理可得平面的法向量以及的法向量，进而求得直线的一个方向向量，再利用向量的夹角公式即可得解. 【详解】平面的方程为，可得平面的法向量为， 平面的法向量为的法向量为， 设直线的方向向量为，则，即， 令，则， 设直线与平面所成角，， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 故答案为：. 四、解答题本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 直线经过两直线和的交点. （1）若直线与直线平行，求直线的方程； （2）若直线与直线垂直，求直线与坐标轴围成的三角形周长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意求得两直线交点坐标，利用直线平行求得直线的斜率，进而可求直线的方程. （2）求得直线的方程，计算可求线与坐标轴围成的三角形周长. 【小问1详解】 由题意联立，解得，即直线过点， 直线的斜率为， 又直线与直线平行，所以直线的斜率为， 由直线的点斜式方程可得直线的方程为，即 【小问2详解】 由直线，可得，所以直线的斜率， 由（1）知直线过点，所以直线的方程为， 令，可得，所以直线与的交点， 令，可得，所以直线与的交点， 所以，又， 所以直线与坐标轴围成的三角形周长为. 16. 已知圆关于直线对称，且过点． （1）求圆的圆心坐标和半径； （2）若过点的直线与圆交于，两点，且，求直线的方程． 【答案】（1）圆心坐标为，半径为. （2）直线的方程为：或. 【解析】 【分析】(1) 圆关于直线对称得到，代入点, 即可得到答案； (2)结合第一问可得圆心到直线的距离，分类讨论直线的斜率是否存在，结合点到直线的距离公式运算求解. 【小问1详解】 圆化为标准方程 ， 因为圆关于直线对称，所以，所以， 因为圆过点，所以，所以,所以， 所以圆的方程为：，圆心坐标为，半径为. 【小问2详解】 圆心到直线的距离， 当直线的斜率不存在时,直线方程为,符合题意; 当直线的斜率存在时,设直线的方程为，即， 所以，得， 所以直线的方程为，即. 综上，直线的方程为：或. 17. 已知正项等差数列满足：且成等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足：，求数列的前项和. 【答案】（1）或 （2）或 【解析】 【分析】（1）由题意，根据等差数列的通项公式建立方程，解得或，结合等差数列的通项公式即可求解； （2）由（1），结合等差、等比数列前项求和公式计算即可求解. 【小问1详解】 设正项等差数列的公差为，由成等比数列， 得，则， 又，即，解得或， 当时， 当时， 所以数列的通项公式为或. 【小问2详解】 由题意得，当时，，则， 所以数列的前项和； 当时，，则，且， 故是以2为首项，4为公比的等比数列， 则， . 故数列的前项和或. 18. 已知在四棱锥中，底面是边长为的正方形，是正三角形，平面，分别是的中点． （1）求证：平面； （2）线段上是否存在点，使得直线与平面所成角为？若存在，求线段的长度；若不存在，说明理由． 【答案】（1）证明:为正三角形，为中点，； 平面，平面，； 平面，，平面； （2）不存在；理由如下： 连接，则，， 则以为原点，为轴，可建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， ，，， 设线段上是否存在点，使得直线与平面所成角为，且， ，，； 设平面的法向量， 则，令，则，，， ， 整理可得：，方程无解， 不存在这样的点. 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直性质和等腰三角形三线合一可得，，由线面垂直的判定定理可证得结论； （2）以为坐标原点可建立空间直角坐标系，设，利用表示出，利用线面角的向量求法可构造方程，由方程无解可知不存在. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 不存在这样的点，理由略. 19. 已知数列是公差大于的等差数列，，，若数列前项和为，并满足，. （1）求数列，的通项公式. （2）若，求数列前项的和. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）设出等差数列公差，根据题干条件列方程求出公差，得到通项，根据多写一项，作差，利用构造法求解； （2）根据错位相减法进行计算. 【小问1详解】 设等差数列公差为，， 整理可得，解得（负值舍去）， 则； 时，，解得， 当，， 整理可得，则， 又，则是首项为，公比为的等比数列， 则， 于是. 【小问2详解】 由（1）得，， 则， ， ， 即 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $