专题2.1 认识有理数（高效培优讲义）数学北师大版2024七年级上册

专题2.1 认识有理数 教学目标 1.掌握正数和负数的概念. 2.能区分两种不同意义的量,会用符号表示正数和负数. 3.理解有理数的概念,懂得有理数的两种分类方法；会用分类讨论的思想对有理数进行分类. 教学重难点 1.重点：识别正数、负数,并能用正数、负数表示生活中具有相反意义的量 2.难点：用正数、负数正确地表示具有相反意义的量. 知识点01 正数和负数 正数的概念：大于0的数叫做正数. 负数的概念：在正数前面加上负号“—”的数叫做负数. 注：0既不是正数也不是负数，是正数和负数的分界线，是整数，自然数，有理数. （不是带“—”号的数都是负数，而是在正数前加“—”的数.） 【即学即练】 1.下列有理数中，，，，，，，，正数的个数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】正负数的定义 【分析】本题考查的是有理数中正数的定义，熟练掌握正数的定义是解题关键； 正数指的大于，根据定义逐一分析判断即可． 【详解】解：，，这个数是正数，既不是正数也不是负数； 故选：A 2.在中，负数的个数为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【知识点】正负数的定义 【分析】本题考查负数的认识，掌握负数的定义是解题的关键． 先明确负数的概念，然后依次判断所给数字是否为负数． 【详解】解：中，负数有，共 3个， 故选：C． 知识点02 相反意义的量 意义：在同一个问题上，用正数和负数表示具有相反意义的量. 【即学即练】 1.下列具有相反意义的两个量是（    ） A．向东走20米和向南走20米 B．盈利200元和赚了200元 C．零上和零下 D．支出30元和标价30元 【答案】C 【知识点】相反意义的量 【分析】本题考查了相反意义的量，解题的关键是理解相反意义的量． 根据相反意义的量依次进行判断即可得． 【详解】解：A、向东和向西具有相反意义，该选项错误，不符合题意； B、盈利和亏损具有相反意义，该选项错误，不符合题意； C、零上和零下是具有相反意义的量，该选项正确，符合题意； D、 支出和收入具有相反意义，该选项错误，不符合题意； 故选：C． 2.《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别以“正数”与“负数”来命名，若收入50元记作元，则支出20元记作 元． 【答案】 【知识点】相反意义的量 【分析】本题主要考查正数和负数的意义，相反意义的量，理解负数和正数是具有相反意义的量，是解题的关键，由于收入与支出是互为相反意义的量，由已知即可求解． 【详解】解：收入50元记作元，则支出20元记作元， 故答案为：． 知识点03 有理数的概念 概 念：整数和分数统称有理数. 整 数：正整数、0、负整数统称为整数. 分 数：正分数、负分数统称分数.（有限小数与无限循环小数都是有理数.） 注：正数和零统称为非负数，负数和零统称为非正数，正整数和零统称为非负整数，负整数和零统称为非正整数. 【即学即练】 1.下列说法中，错误的有（   ） ① 是负分数；② 不是整数；③ 非负有理数不包括；④ 不是有理数；⑤是最小的有理数；⑥正整数、负整数统称为有理数 ． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【知识点】有理数的定义、有理数的分类、带“非”字的有理数 【分析】本题主要考查了有理数的分类，根据有理数的两种分类方法判断即可． 【详解】解：① 是负分数，故①正确； ②是分数，不是整数，故②正确； ③非负有理数是大于或等于零的有理数，故③错误； ④是有理数，故④错误； ⑤没有最小的有理数，故⑤错误； ⑥有理数包括整数和分数，故⑥错误； 故选：D． 2.下列说法正确的有（   ） ①正有理数是正整数和正分数的统称； ②整数是正整数和负整数的统称； ③有理数是正整数、负整数、正分数、负分数的统称； ④0是偶数，但不是自然数； ⑤偶数包括正偶数、负偶数和零． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【知识点】有理数的分类 【分析】本题考查有理数的概念及分类，运用时注意分类的依据，还要做到不重不漏． 此题运用有理数的概念及分类（按正负分：正有理数，0和负有理数或正数、负数、0；按数的性质分：整数、分数）即可解答． 【详解】①正有理数是正整数和正分数的统称，正确； ②整数是正整数，零和负整数的统称，故不正确； ③有理数是正整数、负整数、零、正分数、负分数的统称，故不正确； ④0是偶数，也是自然数，故不正确； ⑤偶数包括正偶数、负偶数和零，正确． 综上所述，说法正确的有2个． 故选A． 知识点04 有理数的分类 两种分类： ⑴按正、负性质分类： ⑵按整数、分数分类： 正有理数 正整数 正整数 有理数 正分数 整数 0 零 有理数 负整数 负有理数 负整数 分数 正分数 负分数 负分数 【即学即练】 1.把下列各数填入图中相应的位置，并填写公共部分的名称． ，0，，，， 【答案】见解析 【知识点】有理数的分类 【分析】本题主要查了有理数的分类．根据有理数的分类解答即可． 【详解】解：如图： 2.将下列各数填入相应的集合内： 13.2，，12，0，，，， 整数集合：{                    ……} 正有理数集合：{               …… } 负有理数集合：{                ……} 【答案】见解析 【知识点】有理数的分类 【分析】本题考查有理数的分类，根据整数包括正整数，负整数和零，正有理数包括正整数和正分数，负有理数包括负整数和负分数，进行作答即可． 【详解】解：整数集合：{12，0，……} 正有理数集合：{13.2，12，……} 负有理数集合：{， ，，……}． 题型01 正数的识别 【典例1】下列各数中，正数是（   ） A． B． C．0 D．1 【答案】D 【知识点】正负数的定义 【分析】本题主要考查了正数和负数，掌握正数和负数的定义是解题的关键，正数都大于0，负数都小于0，0既不是正数也不是负数． 根据正数都大于0，注意判断即可． 【详解】解：A、，是负数，故A错误； B、，是负数，故B错误； C、0 既不是正数也不是负数，故C错误 D、，是正数，故D正确． 故选：D． 【变式1】在，，和2024这四个有理数中，正数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】正负数的定义 【分析】本题考查正数的定义，找出所有的正数即可得解，掌握正数的定义是解题的关键． 【详解】解：和2024是正数，共2个， 故选：B． 【变式2】有五个数：，，，，，其中正数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】正负数的定义 【分析】本题考查了对正数和负数定义的理解，难度不大，注意0既不是正数也不是负数． 根据正数和负数的定义判断即可，注意：0既不是负数也不是正数． 【详解】解：是正数，既不是负数也不是正数，是负数，是正数，是负数， 正数有2个， 故选B． 【变式3】在和2026这五个有理数中，正数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】正负数的定义 【分析】本题考查正数的定义，找出所有的正数即可得解，掌握正数的定义是解题的关键． 【详解】解：正数有：和2026，有2个正数． 故选：B． 题型02 负数的识别 【典例1】下列四个数中，是负数的是（    ） A．1 B． C．0 D． 【答案】B 【知识点】正负数的定义 【分析】本题考查负数的定义，小于0的数是负数，掌握负数的定义是解题的关键，据此即可解答． 【详解】解：， 则下列四个数中，是负数的是， 故选：B． 【变式1】在，0，，，，中，负数的个数有几个（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【知识点】正负数的定义 【分析】本题考查正数和负数，解题的关键是明确正数和负数在题目中实际含义．根据题目中的数据可以判断哪些数是负数，从而可以解答本题． 【详解】解：在，0，，，，中，负数有：，，，共3个， 故选：B． 【变式2】下列各数，，，，，，中负数有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【知识点】正负数的定义 【分析】本题考查了负数的定义，小于0的数为负数，据此进行逐个分析，即可作答． 【详解】解：依题意，，，，都是负数， ∴负数有个， 故选：C． 【变式3】下列四个数中，是负数的是（   ） A． B．0 C． D． 【答案】A 【知识点】正负数的定义 【分析】本题考查负数的定义，小于0的数是负数，据此即可解答． 【详解】解：∵，，， ∴这四个数中，是负数的是． 故选：A． 题型03 对0的理解 【典例1】下列说法正确的是（   ） A．既是正数，也是负数 B．表示没有 C．既不是正数，也不是负数 D．比负数小 【答案】C 【知识点】0的意义 【分析】本题考查了的意义，根据的意义逐一排除即可，正确理解的意义是解题的关键． 【详解】解：、既不是正数，也不是负数，原选项说法错误，不符合题意； 、可以表示没有，也可以表示其他，原选项说法错误，不符合题意； 、既不是正数，也不是负数，原选项说法正确，符合题意； 、比负数大，原选项说法错误，不符合题意； 故选：． 【变式1】下列说法正确的是（    ） A．是负分数 B．是负数，但不是整数 C．0是正数 D．是分数但不是正数 【答案】A 【知识点】0的意义、有理数的分类 【分析】本题主要考查了正负数的定义，分式的定义，0的意义，大于0的数叫做正数，小于0的数叫做负数，0既不是正数，也不是负数，据此结合分数的定义可得答案． 【详解】解：A、是负分数，原说法正确，故此选项符合题意； B、是负数，也是整数，原说法错误，故此选项不符合题意； C、0不是正数，原说法错误，故此选项不符合题意； D、是分数，也是正数，原说法错误，故此选项不符合题意； 故选：A． 【变式2】下列叙述中，正确的是（    ） A．0既不是正数也不是负数 B．0是正数 C．0是负数 D．0不是整数 【答案】A 【知识点】0的意义、有理数的分类 【分析】本题考查了的意义，有理数的分类，根据的意义逐项分析判断即可求解． 【详解】解：0既不是正数也不是负数，是整数 故选：A． 【变式3】下列对“0”的说法正确的个数是（    ） ①0是正数与负数的分界；②0只表示“什么也没有”；③0可以表示特定的意义，如；④0是正数． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】0的意义 【分析】本题考查了正数和负数，根据0的意义，逐一判断即可解答． 【详解】①因为正数大于0，负数小于0，所以0是正数与负数的分界，故①正确； ②0除了表示 “什么也没有”，还可以表示其他意义，如等，故②错误； ③0可以表示特定的意义，如，故③正确； ④0既不是正数，也不是负数，故④错误， 综上所述：正确的有①③，共2个， 故选：B． 题型04 相反意义的量 【典例1】如果米表示上升米， 那么下降米表示为 米． 【答案】 【知识点】相反意义的量 【分析】本题考查了相反意义的量，根据相反意义的量进行解答即可． 【详解】解：米表示上升米， 那么下降米表示为米， 故答案为：． 【变式1】若逆时针转50度记为度，则顺时针转20度记为 度． 【答案】 【知识点】相反意义的量 【分析】此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．根据逆时针旋转为正，则顺时针旋转为负解答． 【详解】解：逆时针转50度记为度，则顺时针转20度记为度． 故答案为． 【变式2】我国古代数学著作《九章算术》中提出了正数，负数的概念．若水库的水位升高时，水位变化记作，则水库的水位下降时，水位变化记作 ． 【答案】 【知识点】相反意义的量 【分析】本题考查了正负数表示相反意义的量的运用，理解题意，掌握相反意义的量的运用是关键． 根据正数和负数表示具有相反意义的量，即可解答． 【详解】解：∵水库的水位升高时，水位变化记作， ∴水库的水位下降时，水位变化记作， 故答案为：． 【变式3】一种袋装食品的标准净重为，质监部门工作人员为了了解该种食品每袋净重与标准净重的误差，把食品净重记为，那么食品净重就记为 ． 【答案】 【知识点】相反意义的量 【分析】本题考查了正数和负数，根据正数和负数是一组相反意义的量即可求得答案，理解正数和负数是一组相反意义的量是解题的关键． 【详解】解：∵食品净重记为， ∴食品净重就记为， 故答案为：． 题型05 正负数的实际应用 【典例1】星星矿泉水标注的容量是550毫升，在抽检中测得实际容量超出了2毫升，记作毫升，毫升表示什么？你知道矿泉水瓶上标注的“550毫升（毫升）”是什么意思吗？ 【答案】毫升表示实际容量比标注容量少了2毫升，550毫升（毫升）表示合理的误差范围 【知识点】正负数的实际应用 【分析】本题考查了正负数的意义，此题首先要知道以谁为标准，规定超出标准的为正，低于标准的为负，由此用正负数解答问题．此题主要用正负数来表示具有意义相反的两种量：选550毫升为标准记为0，超过实际容量部分为正，不足实际容量的部分为负，直接得出结论即可． 【详解】解：毫升表示实际容量比标注容量少了2毫升.550毫升（毫升）表示合理的误差范围，也就是最多不超过555（毫升），最少不少于（毫升）， 【变式1】某百货商店的每个月的营业成本是12万元，去年上半年月收入分别是： 1月：13万元， 2月：16万元， 3月：11万元，4月：17万元，5月：12万元， 6月：10万元 (1)你会用正负数表示百货商店的盈亏情况吗？ 月份 一月 二月 三月 四月 五月 六月 盈亏情况（万元） (2)哪个月的营业状况最好？哪个月的营业状况最差？ 【答案】(1)见解析 (2)四月的营业状况最好，六月的营业状况最差 【知识点】正负数的实际应用 【分析】本题主要考查了正数和负数的意义，在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． （1）根据正负数表示具有相反意义的两种量，再结合题意即可解答； （2）根据（1）中表格数据可得答案． 【详解】（1）解：用正负数表示百货商店的盈亏情况如下： 月份 一月 二月 三月 四月 五月 六月 盈亏情况（万元） 0 （2）解：根据（1）中的百货商店的盈亏情况表可知，四月的营业状况最好，六月的营业状况最差． 【变式2】初中生佳佳为了美观，总是不喜欢穿厚裤子．妈妈规定；每天最低气温在以下或者最高气温在以下，必须穿保暖裤．按照本地天气预报，周一到周日佳佳有几天必须要穿保暖裤？分别是哪几天？ 周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日 最高气温（） 最低气温（） 【答案】周一到周日佳佳有天必须要穿保暖裤，分别周三、周四、周五、周六 【知识点】正负数的实际应用 【分析】本题考查了有理数的应用，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 对周一到周日的气温数据逐一比对，即可得到答案． 【详解】解：根据表格数据得， 周一：最高气温，最低气温，故佳佳可以不穿保暖裤； 周二：最高气温，最低气温，故佳佳可以不穿保暖裤； 周三：最高气温，故佳佳必须穿保暖裤； 周四：最高气温，最低气温，故佳佳必须穿保暖裤； 周五：最高气温，最低气温，故佳佳必须穿保暖裤； 周六：最高气温，最低气温，故佳佳必须穿保暖裤； 周日：最高气温，最低气温，故佳佳可以不穿保暖裤； 周一到周日佳佳有天必须要穿保暖裤，分别周三、周四、周五、周六． 【变式3】生活情境·营业额某超市今年上半年的营业额与去年同月营业额相比的增长率如下表所示．请根据表格信息回答下列问题： 月份 1 2 3 4 5 6 比去年同月增长 0 0.2 0.3 0.4 (1)该超市今年上半年的营业额与去年同月营业额相比，哪几个月是增长的？ (2)今年1月和4月比去年同月增长率是负数表示什么意思？ (3)今年上半年与去年上半年同月相比，营业额没有增长的是哪个月？ 【答案】(1)3月、5月、6月 (2)今年1月和4月的营业额与去年1月和4月的营业额相比降低； (3)月，月，月 【知识点】正负数的实际应用 【分析】本题考查了正数，负数的应用，熟练掌握正数和负数的意义是解题的关键． （1）找出表格中增长率为正数的即可得到答案； （2）根据负数的意义即可得到答案； （3）找出表格中增长率为负数和的即可得出的． 【详解】（1）解：∵是正数， ∴月，月，月是增长的； （2）解：今年月和月相比去年同月增长率是负数表示营业额下降； （3）解：∵和是负数，表示不变， ∴营业额没有增长的是月． 题型06 有理数概念的理解 【典例1】下列说法：①可以写成分数形式的数称为有理数；②有理数不是正数就是负数；③非负数就是正数和0；④0是最小的整数．其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【知识点】有理数的定义、有理数的分类 【分析】本题考查的是有理数的分类与定义，据有理数定义及其分类解答即可． 【详解】解：①可以写成分数形式的数称为有理数，故①正确； ②有理数不是正数就是负数或，故②不正确； ③非负数就是正数和0，故③正确； ④没有最小的整数，故④不正确． 正确的有①③； 故选：C． 【变式1】下列说法正确的是（    ） A．正整数和负整数统称为整数 B．整数和分数统称为有理数 C．非负有理数就是正有理数 D．零表示不存在，所以零不是有理数 【答案】B 【知识点】有理数的定义、有理数的分类 【分析】本题考查了整数和有理数，根据整数和有理数的定义逐项判断即可求解，掌握整数和有理数的定义是解题的关键． 【详解】解：、正整数、、负整数统称为整数，该选项说法错误，不合题意； 、整数和分数统称为有理数，该选项说法正确，符合题意； 、非负有理数就是和正有理数，该选项说法错误，不合题意； 、零是有理数，该选项说法错误，不合题意； 故选：． 【变式2】下列说法中正确的是（　　） A．最小的有理数是0 B．正整数集合与负整数集合合在一起就构成整数集合 C．分数分为正分数和负分数 D．非负整数即为正整数 【答案】C 【知识点】有理数的分类、有理数的定义 【分析】本题主要考查了有理数的分类，有理数的概念；根据没有最小的有理数，由此即可判断A；整数集合包括正整数，负整数和0，由此即可判断B；分数分为正分数和负分数，由此可判断C；非负整数包括0和正整数，由此即可判断D． 【详解】解：A、没有最小的有理数，原说法错误，不符合题意； B、整数集合包括正整数，负整数和0，原说法错误，不符合题意； C、分数分为正分数和负分数，原说法正确，符合题意； D、非负整数即为正整数和0，原说法错误，不符合题意； 故选C． 【变式3】下列说法中正确的是（   ） A．0不是有理数 B．在有理数中有最小的数 C．有理数不是整数就是分数 D．若是有理数，则一定是负数 【答案】C 【知识点】有理数的定义、有理数的分类 【分析】本题主要考查了有理数的分类，有理数的定义．有理数可以分为正数、0、负数或分为正有理数、0、负有理数，整数和分数统称有理数，根据上面两种分类方法去判断正误即可． 【详解】解：A、0是有理数，故A错误，不符合题意； B、在有理数中没有最小的数，故B错误，不符合题意； C、有理数不是整数就是分数，故C正确，符合题意； D、a是有理数，则不一定是负数，如时，，故D错误，不符合题意． 故选：C． 题型07 有理数的分类 【典例1】把下列各数分别填入相应的集合内． ，，，，，0． (1)正有理数集合：{                                } (2)负有理数集合：{                                } (3)整数集合：{                                } 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的分类，整数和分数统称为有理数，正数大于零，负数小于零，据此即可求解； 【详解】（1）解：正有理数集合：{} （2）解：负有理数集合：{} （3）解：整数集合：{ } 【变式1】将下列各数填入相应的集合中．0.6，，，，0，，，，． 自然数集合：{ …}；负整数集合：{ …}； 正分数集合：{ …}；有理数集合：{ …}． 【答案】见解析 【分析】本题考查有理数的分类，根据有理数的分类进行作答即可． 【详解】解：自然数集合：； 负整数集合：； 正分数集合：； 有理数集合：． 【变式2】把下列各数填在相应的大括号里： ，，，，，，，，． 正整数集合：{                        }； 负整数集合：{                        }； 正分数集合：{                        }； 负分数集合：{                        }． 【答案】，；；，；，， 【分析】本题考查了有理数的分类，根据正整数、负整数、正分数和负分数的定义解答即可求解，掌握有理数的有关定义是解题的关键． 【详解】解：正整数集合：{，，}； 负整数集合：{，}； 正分数集合：{，，}； 负分数集合：{，，，}； 故答案为：，；；，；，，． 【变式3】把下面的有理数填在相对应的集合内：，，，，，，，，， 正数集合：｛                            … ｝ 负数集合：｛                            … ｝ 整数集合：｛                            … ｝ 分数集合：｛                            … ｝ 【答案】正数集合：｛， ， ，， …｝， 负数集合：｛，，，，…｝， 整数集合：｛，，，，，… ｝， 分数集合：｛，，，， …｝ 【分析】本题考查了有理数的分类，熟练掌握有理数的分类是解题的关键． 根据正数、负数、整数、分数的定义即可得到答案． 【详解】解：正数集合：｛， ， ，， …｝， 负数集合：｛，，，，…｝， 整数集合：｛，，，，，… ｝， 分数集合：｛，，，， …｝． 题型08 带“非”字的有理数 【典例1】把下列各数分别填在相应的集合内： 、、、、、、、、， 正数集合{_______} 负分数集合{_______} 非负整数集合{_______} 【答案】、、、、 、 、、、 【分析】本题主要考查有理数的分类，理解正数、负分数、非负整数的概念及识别，掌握有理数分类是解题的关键． 正数包括正整数、正分数；负分数包括负分数、负小数；非负整数包括正整数和0，由此即可求解． 【详解】解：、、、、、、、、 正数集合{、、、、}； 负分数集合{、}； 非负整数集合{、、、}； 故答案为：、、、、；、；、、、． 【变式1】把下列各数填入相应的集合中： ，，，0.618，，0，，，． 正数集合：{        …}； 分数集合：{        …}； 非负整数集合：{        …}． 【答案】，0.618，，，；，，0.168，，；0，． 【分析】本题考查了有理数的分类，熟练掌握有理数的分类方式是解答本题的关键．有理数可分为整数和分数，整数分正整数，零和负整数；分数分正分数和负分数．有理数也可分为正有理数，零和负有理数，正有理数分为正整数和正分数，负有理数分为负整数和负分数． 【详解】解：正数集合：{，0.618，，，，…}． 分数集合：{，，0.168，，，…}． 非负整数集合：{0，，…}． 故答案为：，0.618，，，；，，0.168，，；0，． 【变式2】把下列各数填在相应的表示集合的大括号里． ，，6，，0， 正有理数集合{                    …}； 负有理数集合{                    …}； 整数集合{                    …}； 非负整数集合{                    …}． 【答案】见解析 【分析】本题考查有理数的分类，根据整数包括正整数和负整数和0，分数包括正分数和负分数，非负整数包括正整数和0，负有理数为小于0的有理数数，进行作答即可． 【详解】解：正有理数集合{，6，，…}； 负有理数集合{，，…}； 整数集合{ 6，，0， …}； 非负整数集合{ 6，0，…} 【变式3】请把下面的有理数填在相应的集合内： 1，，，，0，，，． 正有理数集合：{____________________________…}． 负整数集合：{____________________________…}． 正分数集合：{____________________________…}． 非负整数集合：{____________________________…}． 【答案】见解析 【分析】本题考查了有理数的分类，注意整数和正数的区别，注意0是整数，但不是正数．根据有理数的分类填写即可． 【详解】解：正有理数集合：； 负整数集合：； 正分数集合：； 非负整数集合：． 一、单选题 1．下列四个数中最小的数是（　　） A． B．0 C． D．1 【答案】A 【分析】本题主要考查有理数的大小比较，熟练掌握有理数的大小比较是解题的关键．根据负数正数进行判断即可． 【详解】解：根据负数正数可得， 故选A． 2．有理数，0，1，中，正整数有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查正整数，熟练掌握正整数的定义是解题的关键． 根据正整数的定义进行判断即可． 【详解】解：正整数需满足正数以及整数， 是负数不符合题意； 0既不是正数也不是负数，不符合题意； 1是正整数； 不是整数，不符合题意； 故正整数有1个． 故选：A． 3．有理数1.7，，0，，，，负整数有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了负整数的定义，即正整数前加负号；根据负整数的定义，需满足两个条件：①是负数；②是整数；逐一判断各数是否符合条件即可． 【详解】解：1.7是正数且含小数部分，不符合负整数条件； 是负数，且无小数或分数部分，是负整数； 0既不是正数也不是负数，不符合； 是带分数形式，含分数部分，不是整数； 是负小数，但非整数； 是分数，化简为，含小数部分，非整数； 综上，只有是负整数，共1个； 故选：A． 4．中国古代数学著作《九章算术》“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数．如果水位上升3米记作米，那么水位下降8米记作（   ）米． A． B．11 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正负数的实际应用，结合题中所给的信息解答是解答的关键． 根据题意向上为正，下降为负结合负数的定义解答即可． 【详解】解：由题意，水位上升3米记作+3米，则水位下降应记为负数． 下降8米即与上升方向相反，数值为8米， 故记作米． 故选C． 5．在，，，中，有理数有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查有理数的识别，根据整数和分数统称为有理数，进行判断即可． 【详解】解：在，，，中，有理数有，，共2个； 故选B． 6．我国古代用算筹记数，表示数的方式有纵、横两种（如图），记数规则为：个位、百位、万位数用纵式表示；十位、千位数用横式表示；“0”用空位来代替．发现负数后，数学家还创造了在这个数的最后一个码上加一斜杠表示负数．如算筹“”表示的数为，则算筹“”表示的数为（   ） A．6037 B． C．637 D． 【答案】B 【分析】本题考查有理数，根据算筹记数的规则即可求解． 【详解】解：个位上的数上有斜线， 这个数是负数， 是横式，不能表示百位数， 表示千位上的数，百位上的数为0， 根据数筹表示数的方法可知，算筹“”表示的数为． 故选B． 二、填空题 7．气温上升计作，则表示的意义是 ． 【答案】气温下降 【分析】此题主要考查了正负数的意义，正数和负数是一组具有相反意义的量，据此即可求得答案． 【详解】解：根据正负数表示的意义，温上升计作，则表示的意义是气温下降． 故答案为：气温下降． 8．大于0的数叫 ，小于0的数叫 ， 既不是正数也不是负数． 【答案】 正数 负数 0 【分析】该题主要考查了正负数的定义，我们通常选0为参照． 通常，我们选0为参照，大于0的数叫作正数，小于0的数叫作负数，0既不是正数也不是负数． 【详解】解：大于0的数叫作正数，小于0的数叫作负数，0既不是正数也不是负数． 故答案为：正数；负数；0． 9．负数的概念最早出现在中国古代著名的数学专著《九章算术》中，负数与对应的正数“数量相等，意义相反”．若气温上升记作，则气温下降记作 ℃． 【答案】 【分析】本题考差了相反数的意义，直接根据相反数的意义作答即可. 【详解】解：若气温上升记作，则气温下降记作℃ 故答案为：． 10．在“，35，，，，0，，”这8个数中，正数有 个，负数有 个． 【答案】 5 2 【分析】本题考查正数与负数的定义，熟练掌握定义是解题的关键． 根据正数与负数的定义，直接作答即可． 【详解】解：正数有35，，，，，共5个； 负数有，共2个． 故答案为：5：2． 11．张师傅要从加工出来的6个圆形机器零件中选取2个质量好的拿去使用，经过检验，比规定直径长的记为正数，比规定直径短的记为负数，记录如下（单位：毫米）：，．你认为张师傅会拿走 ， 两个零件． 【答案】 【分析】本题主要考查绝对值的应用，在机器加工时，每个产品不可能做得与标准规格完全一样，绝对值越小说明越接近规定标准．据此解答即可． 【详解】解：利用数据的绝对值的大小来判断零件的质量，绝对值越小说明越接近规定标准， ∵， ∴张师傅会拿走和两个零件． 12．在，，，，，中，分数的个数为 ，整数的个数为 ，非负数的个数为 ． 【答案】 4 2 3 【分析】本题考查了有理数的分类，根据有理数的分类进行解答即可，熟练掌握分数、整数、非负数的概念是解题的关键． 【详解】解：在，，，，，中，分数有，，，，共4个；整数有0，，共2个；非负数有0，，，共3个， 故答案为：4；2；3． 三、解答题 13．把下列各有理数填在相应的集合内： 3，，0，π，，0.45，120，，， 正有理数集合：{               …}． 负有理数集合：{               …}． 整数集合：{               …}． 【答案】见解析 【分析】本题考查有理数数的分类，根据有理数是整数和分数的统称，正数大于零，负数小于零逐个分析归类即可． 【详解】解：在3，，0，π，，0.45，120，，，中， 正有理数集合：{3，，0.45，120，…}． 负有理数集合：{，，…}． 整数集合：{3，0，120，…}． 14．某班同学的标准身高为170cm，如果用正数表示身高高于标准身高的高度．那么： (1)5cm和cm各表示什么？ (2)身高低于标准身高10cm和高于标准身高8cm各怎么表示？ (3)既不高于标准身高，也不低于标准身高怎么表示？ 【答案】(1)5cm表示比标准身高高5cm；cm表示比标准身高低13cm (2)身高低于标准身高10cm表示为cm；身高高于标准身高8cm表示为cm (3)既不高于标准身高，也不低于标准身高表示为0 【分析】（1）用正数表示身高高于标准身高的高度，则用负数表示身高低于标准身高的高度，据此作答即可； （2）用正数表示身高高于标准身高的高度，则用负数表示身高低于标准身高的高度，据此作答即可； （3）根据题意作答即可． 【详解】（1）5cm表示比标准身高高5cm；cm表示比标准身高低13cm； （2）身高低于标准身高10cm表示为cm；身高高于标准身高8cm表示为cm； （3）既不高于标准身高，也不低于标准身高表示为0． 【点睛】本题考查了用正负数表示具有相反意义的量，准确理解题意是解题的关键． 15．把下列各数对应的序号填在相应的大括号内． ①，②，③，④0，⑤0.01，⑥，⑦，⑧3.14，⑨100． 正数集合{ }； 整数集合{ }； 负分数集合{ }； 非负整数集合{ }． 【答案】正数集合{②⑤⑧⑨}； 整数集合{③④⑥⑨}； 负分数集合{①⑦}； 非负整数集合{④⑨} 【分析】本题考查有理数的分类，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握；根据有理数的分类进行分类即可． 【详解】解：正数集合{②⑤⑧⑨}； 整数集合{③④⑥⑨}； 负分数集合{①⑦}； 非负整数集合{④⑨}． 16．如图，下面两个圈分别表示负数集和分数集， (1)请你把下列各数填入它所在的数集的圈里； 2016，，，，，，，， (2)如图，这两个圈的重叠部分表示什么数的集合？ 【答案】(1)见解析 (2)这两个圈的重叠部分表示负分数集合 【分析】此题考查了有理数的分类． （1）根据负数和分数的定义填表即可； （2）根据负分数的定义即可得出答案． 【详解】（1）解：根据题意如图： （2）解：这两个圈的重叠部分表示既是负数又是分数，也就是负分数集合． 17．科技改变生活，当前网络销售日益盛行，许多农商采用网上销售的方式进行营销，实现脱贫致富．小王把自家种的苹果放到网上销售，计划每天销售千克，但实际每天的销售量与计划销售量相比有增减，超过计划量记为正，不足计划量记为负．下表是小王第一周苹果的销售情况： 星期 一 二 三 四 五 六 日 苹果销售超过或不足计划量情况（单位：千克） (1)小王第一周实际销售苹果超过或不足多少千克？实际销售苹果的总量是多少千克？ (2)若小王按元千克进行苹果销售，成本为元千克，且平均运费为1元千克，则小王第一周销售苹果的利润一共多少元？ 【答案】(1)超过千克，实际销售苹果的总量为千克； (2)利润一共为元． 【分析】（）先计算出第一周实际销售的量比第一周计划销售的量是多多少，再加上第一周计划的销售量即可求得实际销售的总量； （）求出每千克苹果的利润，则可求得第一周销售苹果的总利润． 【详解】（1）由题意有：（千克）， ∴小王第一周实际销售苹果超过千克， ∴小王第一周实际销售苹果的总量为：（千克）， 答：小王第一周实际销售苹果超过千克，实际销售苹果的总量为千克． （2）由题意有： 每千克苹果的利润为：（元）， ∴小王第一周销售苹果的利润一共为：（元）， 答：小王第一周销售苹果的利润一共为元． 【点睛】此题考查了正数和负数，有理数的混合运算，解题的关键是读懂题意，列式计算并掌握相关运算法则． 18．某超市2021年上半年的营业额与2020年同月营业额相比的增长率如下表所示．请根据表格信息回答下列问题： 月  份 1 2 3 4 5 6 比上年同月增长% 1.8 0 0.2 1.5 0.3 0.4 (1)该超市2021年上半年的营业额与2020年同月营业额相比，哪几个月是增长的？ (2)2021年1月和4月比上年同月增长率是负数表示什么意思？ (3)2021年上半年与2020年上半年同月相比，营业额没有增长的是哪几个月？ 【答案】(1)3月，5月，6月是增长的 (2)负数表示降低，营业额下降 (3)没有增长的是1月，2月，4月 【分析】（1）根据正数表示增长，可得负数表示降低； （2）根据正数表示增长，可得负数表示降低； （3）根据正数表示增长，可得负数表示降低，0表示不变． 【详解】（1）由正数表示增长，该超市2021年上半年的营业额与2020年同月营业额相比，3月、5月、6月是增长的； （2）由负数表示降低，可得2021年1月和4月比上年同月增长率是负数，表示降低，营业额下降； （3）2021年上半年与2020年上半年同月相比，营业额没有增长即比上年同月增长%为0的有2月、1月、4月． 【点睛】本题考查了正数和负数，相反意义的量用正数和负数表示． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.1 认识有理数 教学目标 1.掌握正数和负数的概念. 2.能区分两种不同意义的量,会用符号表示正数和负数. 3.理解有理数的概念,懂得有理数的两种分类方法；会用分类讨论的思想对有理数进行分类. 教学重难点 1.重点：识别正数、负数,并能用正数、负数表示生活中具有相反意义的量 2.难点：用正数、负数正确地表示具有相反意义的量. 知识点01 正数和负数 正数的概念： 叫做正数. 负数的概念：在正数前面加上 的数叫做负数. 注：0既不是正数也不是负数，是正数和负数的分界线，是整数，自然数，有理数. （不是带“—”号的数都是负数，而是在正数前加“—”的数.） 【即学即练】 1.下列有理数中，，，，，，，，正数的个数为（　　） A． B． C． D． 2.在中，负数的个数为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 知识点02 相反意义的量 意义：在同一个问题上，用 和 表示具有相反意义的量. 【即学即练】 1.下列具有相反意义的两个量是（    ） A．向东走20米和向南走20米 B．盈利200元和赚了200元 C．零上和零下 D．支出30元和标价30元 2.《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别以“正数”与“负数”来命名，若收入50元记作元，则支出20元记作 元． 知识点03 有理数的概念 概 念： 和 统称有理数. 整 数： 统称为整数. 分 数： 统称分数.（有限小数与无限循环小数都是有理数.） 注：正数和零统称为非负数，负数和零统称为非正数，正整数和零统称为非负整数，负整数和零统称为非正整数. 【即学即练】 1.下列说法中，错误的有（   ） ① 是负分数；② 不是整数；③ 非负有理数不包括；④ 不是有理数；⑤是最小的有理数；⑥正整数、负整数统称为有理数 ． A．个 B．个 C．个 D．个 2.下列说法正确的有（   ） ①正有理数是正整数和正分数的统称； ②整数是正整数和负整数的统称； ③有理数是正整数、负整数、正分数、负分数的统称； ④0是偶数，但不是自然数； ⑤偶数包括正偶数、负偶数和零． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 知识点04 有理数的分类 两种分类： ⑴按 分类： ⑵按 分类： 正有理数 正整数 正整数 有理数 正分数 整数 0 零 有理数 负整数 负有理数 负整数 分数 正分数 负分数 负分数 【即学即练】 1.把下列各数填入图中相应的位置，并填写公共部分的名称． ，0，，，， 2.将下列各数填入相应的集合内： 13.2，，12，0，，，， 整数集合：{                    ……} 正有理数集合：{               …… } 负有理数集合：{                ……} 题型01 正数的识别 【典例1】下列各数中，正数是（   ） A． B． C．0 D．1 【变式1】在，，和2024这四个有理数中，正数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】有五个数：，，，，，其中正数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式3】在和2026这五个有理数中，正数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型02 负数的识别 【典例1】下列四个数中，是负数的是（    ） A．1 B． C．0 D． 【变式1】在，0，，，，中，负数的个数有几个（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式2】下列各数，，，，，，中负数有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式3】下列四个数中，是负数的是（   ） A． B．0 C． D． 题型03 对0的理解 【典例1】下列说法正确的是（   ） A．既是正数，也是负数 B．表示没有 C．既不是正数，也不是负数 D．比负数小 【变式1】下列说法正确的是（    ） A．是负分数 B．是负数，但不是整数 C．0是正数 D．是分数但不是正数 【变式2】下列叙述中，正确的是（    ） A．0既不是正数也不是负数 B．0是正数 C．0是负数 D．0不是整数 【变式3】下列对“0”的说法正确的个数是（    ） ①0是正数与负数的分界；②0只表示“什么也没有”；③0可以表示特定的意义，如；④0是正数． A．1 B．2 C．3 D．4 题型04 相反意义的量 【典例1】如果米表示上升米， 那么下降米表示为 米． 【变式1】若逆时针转50度记为度，则顺时针转20度记为 度． 【变式2】我国古代数学著作《九章算术》中提出了正数，负数的概念．若水库的水位升高时，水位变化记作，则水库的水位下降时，水位变化记作 ． 【变式3】一种袋装食品的标准净重为，质监部门工作人员为了了解该种食品每袋净重与标准净重的误差，把食品净重记为，那么食品净重就记为 ． 题型05 正负数的实际应用 【典例1】星星矿泉水标注的容量是550毫升，在抽检中测得实际容量超出了2毫升，记作毫升，毫升表示什么？你知道矿泉水瓶上标注的“550毫升（毫升）”是什么意思吗？ 【变式1】某百货商店的每个月的营业成本是12万元，去年上半年月收入分别是： 1月：13万元， 2月：16万元， 3月：11万元，4月：17万元，5月：12万元， 6月：10万元 (1)你会用正负数表示百货商店的盈亏情况吗？ 月份 一月 二月 三月 四月 五月 六月 盈亏情况（万元） (2)哪个月的营业状况最好？哪个月的营业状况最差？ 月份 一月 二月 三月 四月 五月 六月 盈亏情况（万元） 0 【变式2】初中生佳佳为了美观，总是不喜欢穿厚裤子．妈妈规定；每天最低气温在以下或者最高气温在以下，必须穿保暖裤．按照本地天气预报，周一到周日佳佳有几天必须要穿保暖裤？分别是哪几天？ 周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日 最高气温（） 最低气温（） 【变式3】生活情境·营业额某超市今年上半年的营业额与去年同月营业额相比的增长率如下表所示．请根据表格信息回答下列问题： 月份 1 2 3 4 5 6 比去年同月增长 0 0.2 0.3 0.4 (1)该超市今年上半年的营业额与去年同月营业额相比，哪几个月是增长的？ (2)今年1月和4月比去年同月增长率是负数表示什么意思？ (3)今年上半年与去年上半年同月相比，营业额没有增长的是哪个月？ 题型06 有理数概念的理解 【典例1】下列说法：①可以写成分数形式的数称为有理数；②有理数不是正数就是负数；③非负数就是正数和0；④0是最小的整数．其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式1】下列说法正确的是（    ） A．正整数和负整数统称为整数 B．整数和分数统称为有理数 C．非负有理数就是正有理数 D．零表示不存在，所以零不是有理数 【变式2】下列说法中正确的是（　　） A．最小的有理数是0 B．正整数集合与负整数集合合在一起就构成整数集合 C．分数分为正分数和负分数 D．非负整数即为正整数 【变式3】下列说法中正确的是（   ） A．0不是有理数 B．在有理数中有最小的数 C．有理数不是整数就是分数 D．若是有理数，则一定是负数 题型07 有理数的分类 【典例1】把下列各数分别填入相应的集合内． ，，，，，0． (1)正有理数集合：{                                } (2)负有理数集合：{                                } (3)整数集合：{                                } 【变式1】将下列各数填入相应的集合中．0.6，，，，0，，，，． 自然数集合：{ …}；负整数集合：{ …}； 正分数集合：{ …}；有理数集合：{ …}． 【变式2】把下列各数填在相应的大括号里： ，，，，，，，，． 正整数集合：{                        }； 负整数集合：{                        }； 正分数集合：{                        }； 负分数集合：{                        }． 【变式3】把下面的有理数填在相对应的集合内：，，，，，，，，， 正数集合：｛                            … ｝ 负数集合：｛                            … ｝ 整数集合：｛                            … ｝ 分数集合：｛                            … ｝ 题型08 带“非”字的有理数 【典例1】把下列各数分别填在相应的集合内： 、、、、、、、、， 正数集合{_______} 负分数集合{_______} 非负整数集合{_______} 【变式1】把下列各数填入相应的集合中： ，，，0.618，，0，，，． 正数集合：{        …}； 分数集合：{        …}； 非负整数集合：{        …}． 【变式2】把下列各数填在相应的表示集合的大括号里． ，，6，，0， 正有理数集合{                    …}； 负有理数集合{                    …}； 整数集合{                    …}； 非负整数集合{                    …}． 【变式3】请把下面的有理数填在相应的集合内： 1，，，，0，，，． 正有理数集合：{____________________________…}． 负整数集合：{____________________________…}． 正分数集合：{____________________________…}． 非负整数集合：{____________________________…}． 一、单选题 1．下列四个数中最小的数是（　　） A． B．0 C． D．1 2．有理数，0，1，中，正整数有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 3．有理数1.7，，0，，，，负整数有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 4．中国古代数学著作《九章算术》“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数．如果水位上升3米记作米，那么水位下降8米记作（   ）米． A． B．11 C． D． 5．在，，，中，有理数有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 6．我国古代用算筹记数，表示数的方式有纵、横两种（如图），记数规则为：个位、百位、万位数用纵式表示；十位、千位数用横式表示；“0”用空位来代替．发现负数后，数学家还创造了在这个数的最后一个码上加一斜杠表示负数．如算筹“”表示的数为，则算筹“”表示的数为（   ） A．6037 B． C．637 D． 二、填空题 7．气温上升计作，则表示的意义是 ． 8．大于0的数叫 ，小于0的数叫 ， 既不是正数也不是负数． 9．负数的概念最早出现在中国古代著名的数学专著《九章算术》中，负数与对应的正数“数量相等，意义相反”．若气温上升记作，则气温下降记作 ℃． 10．在“，35，，，，0，，”这8个数中，正数有 个，负数有 个． 11．张师傅要从加工出来的6个圆形机器零件中选取2个质量好的拿去使用，经过检验，比规定直径长的记为正数，比规定直径短的记为负数，记录如下（单位：毫米）：，．你认为张师傅会拿走 ， 两个零件． 12．在，，，，，中，分数的个数为 ，整数的个数为 ，非负数的个数为 ． 三、解答题 13．把下列各有理数填在相应的集合内： 3，，0，π，，0.45，120，，， 正有理数集合：{               …}． 负有理数集合：{               …}． 整数集合：{               …}． 14．某班同学的标准身高为170cm，如果用正数表示身高高于标准身高的高度．那么： (1)5cm和cm各表示什么？ (2)身高低于标准身高10cm和高于标准身高8cm各怎么表示？ (3)既不高于标准身高，也不低于标准身高怎么表示？ 15．把下列各数对应的序号填在相应的大括号内． ①，②，③，④0，⑤0.01，⑥，⑦，⑧3.14，⑨100． 正数集合{ }； 整数集合{ }； 负分数集合{ }； 非负整数集合{ }． 16．如图，下面两个圈分别表示负数集和分数集， (1)请你把下列各数填入它所在的数集的圈里； 2016，，，，，，，， (2)如图，这两个圈的重叠部分表示什么数的集合？ 17．科技改变生活，当前网络销售日益盛行，许多农商采用网上销售的方式进行营销，实现脱贫致富．小王把自家种的苹果放到网上销售，计划每天销售千克，但实际每天的销售量与计划销售量相比有增减，超过计划量记为正，不足计划量记为负．下表是小王第一周苹果的销售情况： 星期 一 二 三 四 五 六 日 苹果销售超过或不足计划量情况（单位：千克） (1)小王第一周实际销售苹果超过或不足多少千克？实际销售苹果的总量是多少千克？ (2)若小王按元千克进行苹果销售，成本为元千克，且平均运费为1元千克，则小王第一周销售苹果的利润一共多少元？ 18．某超市2021年上半年的营业额与2020年同月营业额相比的增长率如下表所示．请根据表格信息回答下列问题： 月  份 1 2 3 4 5 6 比上年同月增长% 1.8 0 0.2 1.5 0.3 0.4 (1)该超市2021年上半年的营业额与2020年同月营业额相比，哪几个月是增长的？ (2)2021年1月和4月比上年同月增长率是负数表示什么意思？ (3)2021年上半年与2020年上半年同月相比，营业额没有增长的是哪几个月？ 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$