专题2.4 有理数的加减运算（高效培优讲义）数学北师大版2024七年级上册

专题2.4 有理数的加减运算 教学目标 1. 理解有理数加减法运算法则，熟练掌握有理数的加减运算，提升运算准确性与速度。 2. 掌握加法交换律、结合律等运算律，能在有理数运算中灵活运用，简化运算过程。 3. 学会运用有理数的加减运算解决实际问题，增强数学应用意识与问题解决能力。 教学重难点 1.重点 （1）有理数加法和减法的运算法则，包括同号、异号两数相加以及减法转化为加法的规则。 （2）熟练运用有理数加减法解决实际问题，如行程问题、温度变化、财务收支等场景。 2.难点 （1）有理数减法转化为加法的理解，尤其是对减去一个数等于加上它的相反数这一概念的掌握。 （2）在有理数加减混合运算中，准确处理符号，合理运用运算律优化运算顺序，避免运算错误。 知识点01 有理数的加法法则 ⑴同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加. ⑵绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.互为相反数的两个数相加得0. ⑶一个数同0相加，仍得这个数. 【即学即练】计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【知识点】有理数加法运算 【分析】本题考查了有理数的加法，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）根据有理数的加法法则计算即可得解； （2）根据有理数的加法法则计算即可得解； （3）根据有理数的加法法则计算即可得解； （4）根据有理数的加法法则计算即可得解； （5）根据有理数的加法法则计算即可得解． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：． 知识点02 有理数的加法运算定律 （1）加法交换律：两数相加，交换加数的位置，和不变.即a＋b=b＋a； （2） 加法结合律：在有理数加法中，三个数相加，先把前两个数相加或者先把后两个数相加，和不变.即a＋b＋c=（a＋b）＋c=a＋（b＋c）； 【即学即练】计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)10 (2) (3) 【知识点】有理数加法运算律 【分析】本题考查了有理数的加法运算，掌握计算法则，灵活运用简便计算的方法是解决本题的关键． （1）利用加法交换律和结合律运算即可； （2）利用加法交换律和结合律运算即可； （3）利用加法交换律和结合律运算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式． 知识点03 有理数的减法法则 减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数.即a－b=a＋（﹣）b 【即学即练】1．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】有理数的减法运算 【分析】本题考查有理数的减法，解题的关键是熟练运用有理数的减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数． （1）根据有理数的减法法则计算即可； （2）根据有理数的减法法则计算即可； （3）根据有理数的减法法则计算即可； （4）根据有理数的减法法则计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 题型01 有理数的加法运算 【典例1】计算下列各题： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3)0 (4) 【分析】本题主要考查了有理数加法运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键． （1）根据有理数加法法则求解即可； （2）根据有理数加法法则求解即可； （3）根据有理数加法法则求解即可； （4）根据有理数加法法则求解即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式． 【变式1】计算： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1) (2) (3) (4)0 (5) (6) 【分析】本题考查了有理数的加法运算，熟练掌握运算法则和运算律是解答本题的关键． （1）（2）（3）（4）利用加法法则计算即可； (5）（6）利用加法交换律和结合律计算即可； 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： （5）解： （6）解： 【变式2】计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)8 (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题主要考查了有理数加法运算，熟练掌握有理数加法运算法则，是解题的关键． （1）根据有理数加法运算法则进行计算即可； （2）根据有理数加法运算法则进行计算即可； （3）根据有理数加法运算法则进行计算即可； （4）根据有理数加法运算法则进行计算即可； （5）根据有理数加法运算法则进行计算即可； （6）根据有理数加法运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：； （6）解： ． 【变式3】计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)3 (2) (3) (4)0 (5) (6) 【分析】本题考查了有理数的加法运算，同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；异号两数相加，绝对值相等时，和为零，绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大数的绝对值减去较小数的绝对值． （1）根据有理数的加法运算法则计算即可； （2）根据有理数的加法运算法则计算即可； （3）根据有理数的加法运算法则计算即可； （4）根据有理数的加法运算法则计算即可； （5）根据有理数的加法运算法则计算即可； （6）根据有理数的加法运算法则计算即可． 【详解】（1）解：； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 题型02 有理数加法中的符号问题 【典例2】如果两数和为正数、下列说法中正确的是（    ） A．两个加数都是正数 B．一个加数是正数，另一个加数是负数 C．两个加数的差是正数 D．绝对值数较大的加数必是正数 【答案】D 【分析】根据有理数的加法计算法则可知，两数相加时，符号取绝对值大的数的符号，因为结果为正数，则其中大的那个加数的符号为正，据此可得答案． 【详解】解：∵两数和为正数， ∴绝对值大的数的符号为正， 故选D． 【点睛】本题主要考查了有理数的加法计算法则，熟知两数相加时，符号取绝对值大的数的符号是解题的关键． 【变式1】下列说法中正确的是（    ） A．两数相加，其和大于任何一个加数 B．异号两数相加，其和小于任何一个加数 C．绝对值相等的异号两数相加，其和一定为零 D．两数相加，取较小一个加数的符号作为结果的符号 【答案】C 【分析】根据有理数的加法分别分析各个选项，然后得出结论即可． 【详解】解：A选项，两数相加，其和大于任何一个加数，说法错误，例如：两个负数相加，故不符合题意； B选项，异号两数相加，其和小于任何一个加数，说法错误，如果和为正数，就不满足题干要求，故不符合题意； C选项，绝对值相等的异号两数相加，其和一定为零，说法正确，故符合题意； D选项，两数相加，取绝对值较大一个加数的符号作为结果的符号，原说法错误，故不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查有理数加法的知识，熟练掌握有理数加法是解题的关键． 【变式2】两个有理数的和为负数，那么这两个数一定（　　） A．都是负数 B．至少有一个是负数 C．有一个是0 D．绝对值不相等 【答案】B 【分析】根据有理数加法法则分析判断即可． 【详解】解：根据有理数加法法则可知，如果两个有理数的和为负数，可有三种情况：同负；一正一负且负数的绝对值大于正数的绝对值；一个负数和0．显然三种情况中，至少一个为负数． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了有理数加法法则，理解并掌握有理数加法法则是解题关键． 【变式3】下列说法正确的是（　　） A．若 ，则 B．a为任何有理数，则必为负数 C．两个有理数的和为负数，则这两个数中至少有一个是负数 D．若，则a为非负数 【答案】C 【分析】根据绝对值的意义，有理数的加法法则，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，∴若，则，选项不正确，不符合题意； B、a为任何有理数，则必为非负数，选项错误，不符合题意； C、两个有理数的和为负数，则这两个数中至少有一个是负数，选项正确，符合题意； D、若 ，则a为非正数，选项错误，不符合题意； 故选C． 【点睛】本题考查绝对值得非负性，以及有理数的加法法则．熟练掌握相关知识点是解题的关键． 题型03 有理数加法运算律 【典例3】计算： (1)； (2)． 【答案】(1)0 (2) 【分析】本题考查了有理数的加法法则和运算律的运用．正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用加法交换律和结合律进行简便运算，即可作答． （2）运用加法交换律和结合律进行简便运算，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式1】计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)1． 【分析】本题考查了有理数的加法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据有理数的加法运算法则计算； （2）根据有理数的加法运算法则计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式2】计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)10 (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的加法运算，掌握计算法则，灵活运用简便计算的方法是解决本题的关键． （1）利用加法交换律和结合律运算即可； （2）利用加法交换律和结合律运算即可； （3）利用加法交换律和结合律运算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式． 【变式3】阅读第①小题的计算方法，再计算第②小题． ① 解：原式 ． 上述这种方法叫作拆项法．灵活运用加法的交换律、结合律可使运算简便． ②仿照上面的方法计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加法交换律及结合律，熟练掌握有理数的加法交换律及结合律是解题的关键，把变形为，再利用有理数的加法法则求解即可． 【详解】解：原式 ． 题型04 有理数加法在生活中的应用 【典例4】2024年国庆节，全国放假七日，高速公路免费通行，各地风景区游人如织．位于贵州遵义的乌江寨国际旅游度假区，在10月1日的景区接待游客人数为1.2万人次，接下来的六天中，每天的游客人数变化如下表（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数）． 日期 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 10月6日 10月7日 人数变化（万人） (1)10月3日的接待游客人数为__________万人次． (2)国庆假期里，游客人数最多的是10月__________日，达到__________万人次；游客人数最少的是10月__________日，达到__________万人次． (3)请问该景区在这国庆期间一共接待了多少人次游客？ 【答案】(1)5.9 (2)4，6.8，1，1.2 (3)该景区在这国庆期间一共接待了28.1万人次游客 【分析】本题考查了正数和负数，掌握有理数的加法计算是解题关键． （1）根据有理数的加法，可得答案； （2）分别计算2日到7日的游客人数即可判断； （3）将1日到7日的游客人数相加即可． 【详解】（1）解：10月3日的接待游客人数为万人次， 故答案为：； （2）解：因为10月2日的游客人次：（万） 10月3日的游客人次：（万） 10月4日的游客人次：（万） 10月5日的游客人次：（万） 10月6日的游客人次：（万） 10月7日的游客人次：（万） ∴国庆假期里，游客人数最多的是10月4日，达到6.8万人次；游客人数最少的是10月1日，达到1.2万人次， 故答案为：4，6.8，1，1.2； （3）解：（万） 答：该景区在这国庆期间一共接待了28.1万人次游客． 【变式1】有6筐白菜，以每筐25千克为标准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，称后的纪录如下： 编号 1 2 3 4 5 6 超过（或不足） 2 1 回答下列问题： (1)这6筐白菜中最接近标准重量的这筐白菜重 千克； (2)与标准重量比较，6筐白菜总计超过或不足多少千克？ 【答案】(1) (2)与标准重量比较，6筐白菜总计不足1千克 【分析】本题主要考查了有理数加法的实际应用，有理数比较大小的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）超过或不足的重量的绝对值最小的那筐白菜最接近标准重量，据此求解即可； （2）把这6筐白菜超过或不足的重量相加，若结果为正，则与标准重量比较是超过，计算结果即为超过的重量，若结果为0，则等于标准重量，若结果为负，则与标准重量比较是不足，计算结果的绝对值即为不足的重量，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴这6筐白菜中最接近标准重量的这筐白菜是编号为4的白菜， ∴这6筐白菜中最接近标准重量的这筐白菜重千克； （2）解： 千克， 答：与标准重量比较，6筐白菜总计不足1千克． 【变式2】无人机社团课上，悠悠同学在操纵一架无人机进行功能测试，无人机从地面起飞后的高度变化情况如下表： 操作次数 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 高度变化 上升 下降 下降 上升 下降 记作 (1)请你依据表格中的信息计算无人机飞行中的最大高度是多少？ (2)五次操作后，无人机共飞行了多少？ 【答案】(1)无人机飞行中的最大高度是 (2)五次操作后，无人机共飞行了 【分析】本题主要考查了正负数的意义、有理数加法运算、绝对值的应用等知识，理解相关知识并灵活运用是解题关键． （1）结合正数和负数的意义，利用有理数加法法则求得每次操作后的飞行高度，即可获得答案； （2）将每次飞行操作的飞行高度取绝对值并相加，即可获得答案． 【详解】（1）第1次操作后：， 第2次操作后：， 第3次操作后：， 第4次操作后：， 第5次操作后：， 所以，无人机飞行中的最大高度是； （2）由题可知：， 所以五次操作后，无人机共飞行了． 【变式3】2024国庆假期，全国从10月1日到7日放假7天，各地景区游人如织，西安文旅市场热度不减．据统计，西安位列国庆假日“热门目的地”第二、“高铁游热门目的地”第五、“入境游热门目的地”第八，世界人文之都魅力进一步彰显．在9月30日西安城墙的游客人数为0.9万人，接下来的七天中，每天的游客人数变化如下表（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数）． 日期 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 10月6日 10月7日 人数变化（万人） (1)七天假期里，游客人数最多的是10月_____日，达到_____万人．游客人数最少的是10月_____日，达到_____万人． (2)请问西安城墙在这七天内一共接待了多少游客？ (3)如果你爸妈的朋友也打算明年国庆节来逛西安城墙，你对他们出行的日期有何建议？为什么这么建议？ 【答案】(1) (2)万 (3)最好在十一后几天出行，人数较少（答案不唯一） 【分析】本题考查正数与负数，有理数的加减；准确理解题意，利用正数负数求出每天的人数是解题的关键． （1）分别求出每天的人数，即可求解； （2）求出每天人数，再求和得出结果； （3）最好在十一后几天出行，人数较少． 【详解】（1）解：10月1日游客：（万人）， 10月2日游客：（万人）， 10月3日游客：（万人）， 10月4日游客：（万人）， 10月5日游客：（万人）， 10月6日游客：（万人）， 10月7日游客：（万人）， 由此可知人数最多的是2号，万人， 人数最少的是7号，万人， 故答案为； （2）解：万人， ∴在这八天内一共接待了万游客； （3）解：最好在十一后几天出行，人数较少． 题型05 有理数的减法运算 【典例5】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】本题考查了有理数的减法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据有理数的减法运算法则计算即可； （2）根据有理数的减法运算法则计算即可； （3）根据有理数的减法运算法则计算即可； （4）根据有理数的减法运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式1】计算 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)； (9)． 【分析】本题考查了有理数的加减法，掌握有理数的加减法法则是解题的关键． （1）根据有理数的减法则运算即可； （2）根据有理数的减法则运算即可； （3）根据有理数的减法则运算即可； （4）根据有理数的减法则运算即可； （5）根据有理数的减法则运算即可； （6）根据有理数的减法则运算即可； （7）根据有理数的减法则运算即可； （8）根据有理数的减法则运算即可； （9）根据有理数的加法则运算即可； 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：； （6）解：； （7）解：； （8）解：； （9）解：； 【变式2】计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】本题考查了有理数的减法，熟练掌握减法计算法则是解题的关键． （1）根据有理数的减法法则计算即可； （2）根据有理数的减法法则计算即可； （3）根据有理数的减法法则计算即可； （4）根据有理数的减法法则计算即可； （5）根据有理数的减法法则计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：． 【变式3】计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1) (2)3 (3) (4) (5) 【分析】本题主要考查了有理数减法运算，求一个数的绝对值，熟练掌握有理数减法运算法则，是解题的关键． （1）根据有理数的减法运算法则，“减去一个数等于加上这个数的相反数”进行计算即可； （2）根据有理数减法运算法则进行计算即可； （3）根据有理数的减法运算法则，进行计算即可 （4）根据有理数减法运算法则进行计算即可； （5）根据有理数减法运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： （5）解： ． 题型06 有理数的加减混合运算中去括号问题 【典例6】算式写成省略加号的和式，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了省略加法和括号的形式，熟练掌握去括号法则是解题的关键． 利用去括号法则省略括号后即可得出答案． 【详解】解：， 故选：D． 【变式1】把写成省略加号和的形式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数的加法，先将原式整理为，再写出省略加号的形式即可． 【详解】原式 ． 故选：A． 【变式2】将式子改写成省略括号的形式为(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接利用有理数的加减运算法则化简得出答案． 【详解】解：， 故选：B． 【点睛】此题主要考查了有理数的加减运算，熟练掌握去括号法则及正确去括号是解题关键． 【变式3】为计算简便，把写成省略括号和加号的和的形式，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数的加法，括号前是“”，可以直接去掉，不变号，括号前是“”，去掉“”和括号，括号内变号，即可解答． 【详解】原式． 故选：A． 题型07 有理数的加减混合运算 【典例7】计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2)11 【分析】本题考查有理数的加减混合运算，关键是掌握有理数加减的运算法则． （1）先把减法化为加法，再用加法运算律计算即可； （2）先把减法化为加法，再用加法运算律计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： 【变式1】计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】此题主要考查有理数的运算，解题的关键是熟知其运算法则．有理数的加减法和运算律的应用，注意简便运算． （1）根据有理数的加减混合运算法则，加法的交换律与结合律，即可求解； （2）根据有理数的加减混合运算法则，加法的交换律与结合律，即可求解． 【详解】（1）原式 ； （2）原式 ． 【变式2】计算： (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查有理数的加减混合运算、加法运算律等知识点，掌握相关运算法则和运算定律是解题的关键． （1）根据有理数的加减运算法则进行计算即可； （2）根据加法交换律和结合律进行简便计算即可； （3）先进行绝对值运算，再运用有理数加减法运算法则求解即可； （4）根据加法交换律和结合律进行简便计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 【变式3】计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)8 (2) (3) 【分析】本题考查有理数的加减法的混合运算，熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键， （1）将分母相同的项利用同分母分数加减法的运算法则进行计算，然后再利用异分母分数的运算法则计算即可得到答案； （2）利用实数的运算法则，先算括号里面的，再计算即可得到答案； （3）先去括号，再将分母相同的项利用同分母分数加减法的运算法则进行计算，然后再利用异分母分数的运算法则计算即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 题型08 有理数的加减中的简便运算 【典例8】计算：； 【答案】 【分析】该题考查了有理数的加减混合运算，解题的关键是掌握有理数的混合运算的运算法则． 原式化简多重符号后，利用加减法计算法则即可得到结果； 【详解】解： 【变式1】计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算． （1）先去括号，再计算减法即可； （2）先去括号，再根据交换律分别计算，最后计算加法即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 【变式2】计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的加法运算，熟记法则是解决此题的关键，利用运算律可使计算简化． （1）先把互为相反数的两数结合，然后利用有理数的加减法解题即可； （2）把互为相反数的两数结合，然后利用有理数的加减法解题即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 【变式3】计算： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序． （1）先去绝对值符号，然后从左向右依次计算即可； （2）将分母相同的两个数，和为整数的两个数分别结合为一组求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型09 有理数的加减混合运算的应用 【典例9】流花河的警戒水位是米，下表记录的是今年某一周内的水位变化情况，取河流的警戒水位作为0点，并且上周末（星期日）的水位达到警戒水位，正号表示水位比前一天上升，负号表示水位比前一天下降． 星期 一 二 三 四 五 六 日 水位变化（米） 注：正号表示水位比前一天上升，负号表示水位比前一天下降 (1)请在下表中填写本周流花河每天的实际水位高度情况： 星期 一 二 三 四 五 六 日 实际高度/米 (2)本周哪一天河流的水位最高？哪一天河流的水位最低？它们位于警戒水位之上还是之下？与警戒水位的距离分别是多少米？ 【答案】(1)见解析 (2)星期二的河流的水位最高，星期一的河流的水位最低，它们都位于警戒水位之上，与警戒水位的距离分别是米 【分析】本题主要考查正负数的实际应用，有理数的减法法则； （1）根据正负数进行加减运算即可； （2）根据有理数的减法法则进行计算即可． 【详解】（1）解： 星期 一 二 三 四 五 六 日 实际高度/米 74 （2）解：由（1）可知：星期二的河流的水位最高，星期一的河流的水位最低， ∵戒水位是米， ∴，， ∴它们都位于警戒水位之上， ∴，， ∴与警戒水位的距离分别是米． 【变式1】足球比赛中，根据场上攻守形势，守门员会在门前来回跑动，如果以球门线为基准，向前跑记作正数，返回则记作负数，一段时间内，某守门员的跑动情况记录如下（单位：）：，，，，，，，．（假定开始计时时，守门员正好在球门线上） (1)守门员最后是否回到球门线上？ (2)守门员离开球门线的最远距离达多少米？ (3)如果守门员离开球门线的距离超过（不包括），则对方球员挑射极可能造成破门．问：在这一时间段内，对方球员有几次挑射破门的机会？简述理由． 【答案】(1)守门员最后回到了球门线上； (2)25米； (3)4次，理由见解析． 【分析】本题考查正负数的实际应用，有理数加减法的实际应用，有理数大小比较的实际应用．理解题意，理解本题中正负数的意义是解题关键． （1）将记录的数字相加，若结果为0，则守门员回到了球门线上，否则没有； （2）求出每次离球门的距离即可得到答案； （3）根据题意，结合（2）找出守门员离开球门线的距离超过的数据即可． 【详解】（1）解：根据题意得：米， ∴守门员最后回到了球门线上； （2）解：第一次跑距离开球门线10米 ； 第二次跑距离开球门线（米）； 第三次跑距离开球门线（米）； 第四次跑距离开球门线（米）； 第五次跑距离开球门线（米）； 第六次跑距离开球门线（米）； 第七次跑距离开球门线（米）； 第八次跑距离开球门线（米）．                                ∴守门员离开球门线的最远距离为25米； （3）解：对方球员有4次挑射破门的机会，理由如下： 由（2）可知守门员每次离开球门线的距离分别为：10米，8米，13米，25米，19米，10米，14米，0，则符合题意的有：13，25，19，14． ∴对方球员有4次挑射破门的机会． 【变式2】财商教育有助于培养孩子的独立生活能力和积极向上的价值观、社会责任感．小昆在妈妈的协助下，通过售卖废报纸、饮料瓶，转卖二手书，义卖闲置物品等方式获得一定收入，并用于购买学习用具和一些日常所需品．为了更好的理财，他每周做一次收支记录，其中一个月的收入和支出记录如下（收入用“”，支出用“”，单位：元）： ，，，，，，，． (1)小昆这个月是超支了还是有结余？如果超支，超支了多少？如果结余，结余了多少？ (2)若规定：收入元，支出元，经手金额为元，则小昆这个月经手总金额离元超过或不足多少元？ 【答案】(1)小昆这个月有结余，结余了元； (2)不足元 【分析】（） 把各数相加，求出和，再根据正负数的意义即可判断求解； （）求出各数绝对值的和，再利用有理数的减法即可判断求解； 本题考查了有理数加法和减法的实际应用，正负数的意义的实际应用，绝对值的意义，根据题意正确列出算式是解题的关键． 【详解】（1）解：， 答：小昆这个月有结余，结余了元； （2）解：， ∵， ∴小昆这个月经手总金额离元不足元． 【变式3】如图是流花河的水文资料（单位：m），如表是今年雨季流花河一周内的水位变化情况（上周末的水位达到警戒水位）． 星期 一 二 三 四 五 六 日 水位变化m 注：正号表示水位比前一天上升，负号表示水位比前一天下降． (1)若取河流的警戒水位作为0点，那么图中平均水位可以记作 m； (2)请通过计算说明本周哪一天河流的水位最高？最高水位为多少米？ (3)与上周末相比，本周末河流水位是上升了还是下降了？上升或下降了多少米？ 【答案】(1) (2)周二；34.41米 (3)上升；米 【分析】本题考查正负数的实际应用，有理数加减的实际应用，理解题意，正确列出算式是解题关键． （1）用平均水位减警戒水位即可； （2）根据正负数的意义分别算出这一周每天的水位然后比较即可得到答案； （3）比较本周末水位和上周末水位，再相减即可． 【详解】（1）解：如果取河流的警戒水位作为0点，那么平均水位记作； 故答案为：； （2）解：周一：， 周二：， 周三：， 周四：， 周五：， 周六：， 周日：， 所以本周二河流的水位最高，最高水位为； （3）解：因为上周末的水位达到警戒水位即为，本周末的水位达到， ， 所以与上周末相比，本周末河流水位上升了，上升了． 题型10 根据点在数轴的位置判断式子的正负 【典例10】已知有理数，在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了根据点在数轴的位置判断式子的正负，有理数的加减法运算，相反数．根据数轴确定有理数的大小关系是解题的关键． 【详解】解：由数轴得，， ∴， ∴D正确，符合题意；A、B、C均错误，不符合题意， 故选：D． 【变式1】有理数在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查数轴，绝对值的意义，相反数，有理数的减法．根据一对相反数在数轴上的位置特点，可知，再由数轴上的点右边的数总是大于左边的数，有理数减法法则逐一判断即可得解． 【详解】解：根据数轴可得：，且， ∴，，，， 则四个选项，选项A符合题意． 故选：A． 【变式2】数轴上表示，，的点如图所示，下列式子中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数的大小比较，有理数的加减，数轴的应用，熟练掌握其运算法则是解决此题的关键．从数轴得出，，进而逐一判定即可． 【详解】解：从数轴可知：，， ∴A、，本选项错误，不符合题意； B、，本选项正确，符合题意； C、，本选项错误，不符合题意； D、，本选项错误，不符合题意； 故选：． 【变式3】有理数a，b，c在数轴一所对应的点如图所示．则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查根据数轴判断式子的符号，根据有理数a，b，c在数轴上所对应点的位置得出，逐项判断可得答案． 【详解】解：由数轴知，，可得： ，故A选项结论错误； ，故B选项结论正确； ，故C选项结论错误； ，故D选项结论错误； 故选B． 题型11 新定义下的有理数加减混合运算 【典例11】定义一种新运算：规定，例如．计算以下式子 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数的加减计算，新定义，正确理解新定义是解题的关键． （1）根据新定义计算求解即可； （2）先根据新定义计算出，再计算出的结果即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，； （2）解：， ∴． 【变式1】对于有理数定义一种新运算，．例：． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）根据新定义运算法则，把问题转化为基础的绝对值化简，有理数加减混合运算计算即可； （2）根据新定义运算法则，把问题转化为基础的绝对值化简，有理数加减混合运算计算即可． 本题考查了新定义运算，绝对值化简，有理数加减混合运算，理解定义，规范解答时解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【变式2】用“”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定．如 ． (1)计算：； (2)计算：． 【答案】(1) (2)28 【分析】本题考查了有理数的混合运算，理解新定义运算是关键． （1）根据新定义，以及有理数的混合运算的运算方法，求出的值是多少即可； （2）首先根据新定义，以及有理数的混合运算的运算方法，先求和，再计算即可． 【详解】（1）解：☆ ． 故答案为：； （2）解： ． 【变式3】对于有理数、定义一种新运算“”，规定：． 例如：． (1)填空：______，______，______； (2)若，则的结果为______； (3)判断“”运算是否满足交换律并说明理由． 【答案】(1)，，； (2)； (3)“”运算满足交换律，理由见解析 【分析】本题考查有理数和实数的知识，解题的关键是根据题目新定义运算，有理数的加减运算，进行解答，即可． （1）根据有理数、定义一种新运算“”，规定：，进行计算，即可； （2）新运算的规定计算，即可； （3）新运算的规定计算，验证是否满足交换律，即可． 【详解】（1）解：∵有理数、定义一种新运算“”，规定：， ∴； ； ； 故答案为：，，． （2）解：∵有理数、定义一种新运算“”，规定：， ∴当时，， ∴． （3）解：“”运算满足交换律，理由如下： 当时，， 此时，； 当，，， 此时：； 当时，，， 此时：； 综上：， ∴“”运算满足交换律． 一、单选题 1．计算：（    ） A． B．5 C． D．1 【答案】C 【分析】本题考查有理数的加法．根据有理数的加法运算法则求解即可． 【详解】解：， 故选：C． 2．把写成省略括号的和的形式是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数加减混合运算，根据有理数加法法则、减法法则将括号前的符号与括号内的数结合，改写为省略括号的和的形式即可； 【详解】解： ， ， 故选D． 3．为监测某水库雨季期间的水位高度，表一记录了该水库连续三天的水位变化情况（记水位上涨为正，单位：），这三天水位上涨的高度可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了正负数的实际应用，有理数加法的应用，把水库连续三天的水位变化情况相加即可． 【详解】解：这三天水位上涨的高度可表示为， 故选：C 4．我国是最早认识负数并进行相关运算的国家，魏晋时期的数学家刘徽在其著作《九章算术注》中，用不同颜色的算簿（小棍形状的记数工具）分别表示正数和负数，如图①表示的是的运算过程．按照这种方法，图②中表示的算式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正数和负数，有理数的加法运算，解题关键能够类比题干中的信息从而解决问题．观察图①发现上半部分是白色的表示负数，黑色的表示正数，即可得出图2表示的算式． 【详解】解：按照这种方法，图②中表示的算式是， 故选：C． 5．实数在数轴上对应的点的位置如图所示，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数轴上的点判定式子的符号，掌握数轴的特点是解题的关键． 根据题意，，由此即可求解． 【详解】解：由题意可得，， ∴，故A选项错误，不符合题意； ，故B选项错误，不符合题意； ，故C选项错误，不符合题意； ，故D选项正确，符合题意； 故选：D ． 二、填空题 6．计算： ． 【答案】3 【分析】本题考查了有理数的减法运算，根据有理数的减法运算法则进行计算，即可作答． 【详解】解：， 故答案为：3． 7．若是最小的正整数，是到原点的距离等于2的负数，是最大的负整数，则的值为 ． 【答案】0 【分析】本题主要考查了有理数的加减混合运算，数轴，绝对值的意义，解题的关键是利用已知条件分别求得，，的值．利用已知条件分别求得，，的值即可得出结论． 【详解】解：是最小的正整数， ； 是到原点的距离等于2的负数， ； 是最大的负整数， ． ． 故答案为：0． 8．在虚拟环境中，输入“”可以让虚拟机器人向右走2格，输入“”可以让虚拟机器人向左走2格，如图，虚拟机器人在起点O处，若先输入“”，再输入“”，则虚拟机器人会走到数字 的位置上． 【答案】 【分析】先确定每次输入指令后机器人的移动方向和格数，通过有理数的加法计算最终位置．本题主要考查有理数的加法在实际情境中的应用，理解正负数表示的移动方向，熟练进行有理数加法运算是解题的关键． 【详解】解：输入“”，机器人从原点O向右走格，此时位置是． 再输入“”，机器人从的位置向左走格，位置变为 ． 故答案为：． 9．规定图形表示运算，图形表示运算，则＋= ．（直接写出答案） 【答案】0 【分析】此题考查了有理数的加减混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．根据题中的新定义化简，计算即可得到结果． 【详解】解：， 故答案为：0． 10．若A、B是数轴上两点，点A到原点的距离是6个单位长度，点B到点A的距离也是6个单位长度，则点B表示的数是 ． 【答案】或0或12 【分析】本题主要考查数轴上两点间的距离，数轴上点表示的数，解题的关键是掌握分类讨论思想的运用，避免漏解． 分点A在原点的左边和右边两种情况，每种情况再分点B在点A的左边和两边两种情况，即可求解． 【详解】解：当点A在原点的左边时，点A表示的数是． 点B在点A的左边时，点B表示的数为：， 点B在点A的右边时，点B表示的数为：； 当点A在原点的右边时，点A表示的数是6． 点B在点A的左边时，点B表示的数为：， 点B在点A的右边时，点B表示的数为：； 综上可知，点B表示的数是或0或12． 故答案为：或0或12． 三、解答题 11．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算； （1）根据有理数的加减法法则计算即可； （2）根据加法交换律和结合律以及有理数的加减法法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 12．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3)39 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序． （1）根据有理数的加减混合运算法则求解即可； （2）根据有理数的加减混合运算法则求解即可； （3）根据有理数的加减混合运算法则求解即可． 【详解】（1）原式 ； （2）原式 ； （3）原式 ． 13．计算． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)29 (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握运算法则与运算律是解题关键． （1）先去括号、化简绝对值，再计算加法即可得； （2）先去括号，再计算加减法即可得； （3）先去括号，再利用加减法的结合律计算即可得； （4）先去括号，再利用加减法的交换律与结合律计算即可得． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． （4）解：原式 ． 14．已知，，且，求的值． 【答案】或 【分析】本题主要考查了化简绝对值、代数式求值等知识点，根据题意求得或、成为解题的关键． 根据绝对值的意义并结合已知条件分别求得a、b的值，然后代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴或， ∵， ∴或， ∵， ∴或、， ∴或． 答：的值为或． 15．阅读理解下题的计算方法，并解决问题： 计算：． 解：原式 ． 上面的方法叫作拆项法，按此方法计算： ． 【答案】 【分析】本题考查有理数加法运算，理解阅材料内容中的做拆项法，按照拆项法应用有理数的混合运算计算即可． 【详解】解：原式 ． 16．有理数，，在数轴上对应点的位置如图所示，已知． (1)原点在的______（填“左侧”或“右侧”）； (2)用“”“”或“＝”填空： ①______；②______0；③______0； (3)若每个单位长度为2，求的值． 【答案】(1)右侧 (2)>，>，> (3)10 【分析】本题考查了数轴，绝对值，有理数的大小比较，解题的关键是掌握数轴知识，绝对值的定义，有理数的大小比较． （1）根据相反数的定义可得原点位于数a和c的中间，据此解答即可； （2）根据绝对值的定义，有理数的加减运算比较大小； （3）根据题意确定a、b、c表示的数，代入数据计算． 【详解】（1）解：∵， ∴原点位于数a和c的中间， ∴原点在b的右侧． 故答案为：右侧； （2）解：由（1）可知，， ；；； 故答案为：>，>，>； （3）解：∵，，，， ∴ ． 17．足球比赛中，根据场上攻守形势，守门员会在门前来回跑动，如果以球门线为基准，向前跑记作正数，返回则记作负数，一段时间内，某守门员的跑动情况记录如下（单位：m）：，，，，，，，．（假定开始计时时，守门员正好在球门线上） (1)守门员最后是否回到球门线上？ (2)守门员离开球门线的最远距离达多少米？ (3)如果守门员离开球门线的距离超过10m（不包括10m），则对方球员挑射极可能造成破门，问：在这一时间段内，对方球员有几次挑射破门的机会？简述理由． 【答案】(1)守门员最后回到了球门线上； (2)26米； (3)4次，理由见解析． 【分析】本题考查正负数的实际应用，有理数加减法的实际应用，有理数大小比较的实际应用．理解题意，理解本题中正负数的意义是解题关键． （1）将记录的数字相加，即可作出判断； （2）求出每次离球门的距离，判断即可； （3）根据题意，结合（2）找出守门员离开球门线的距离超过的数据即可． 【详解】（1）解：根据题意得：米， 则守门员最后回到了球门线上； （2）解：第一次跑距离开球门线10米 ； 第二次跑距离开球门线米； 第三次跑距离开球门线米； 第四次跑距离开球门线米； 第五次跑距离开球门线米； 第六次跑距离开球门线米； 第七次跑距离开球门线米； 第八次跑距离开球门线米．                                则守门员离开球门线的最远距离为26米； （3）解：由（2）可知守门员每次离开球门线的距离分别为：10，8，13，26，19，10，14，0，则符合题意的有：13，26，19，14． 故对方球员有4次挑射破门的机会． 18．数轴是规定了原点、正方向、单位长度的直线，我们可以根据需要，“规定”原点的位置；也可以根据需要，“规定”单位长度的大小；还可以根据需要，“规定”正方向．在一条不完整的数轴上，从左到右有A，B，C，其中，，如图所示，设A，B，C所对应数的和是p． (1)若以点C为原点，则A、B对应的数分别为 ， ， ． (2)若原点为O，且，求p． (3)若以中点为原点，单位长度为建立数轴，则 ．（用含n的代数式表示） 【答案】(1)；； (2)；63 (3) 【分析】（1）确定原点，找到各点表示的数，相加即可； （2）分情况讨论：原点O在点C的右侧时，原点O在点C的左侧时，找到各点表示的数，相加即可； （3）确定原点，单位长度为，表示各数，相加即可． 本题考查了数轴上点的坐标表示以及原点位置变化对应点坐标的影响． 【详解】（1）若以点C为原点，因为 则A表示的数是，B表示的数为， ∴． （2）原点O在点C的右侧时， ∵， ∴C表示的数是，B表示的数是，A表示的数是， ∴． 原点O在点C的左侧时， ∵， ∴C表示的数是，B表示的数是，A表示的数是， ∴． （3）以A，B中点为原点，单位长度为，， ∴点A对应，点B对应，点C对应， ∴． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.4 有理数的加减运算 教学目标 1. 理解有理数加减法运算法则，熟练掌握有理数的加减运算，提升运算准确性与速度。 2. 掌握加法交换律、结合律等运算律，能在有理数运算中灵活运用，简化运算过程。 3. 学会运用有理数的加减运算解决实际问题，增强数学应用意识与问题解决能力。 教学重难点 1.重点 （1）有理数加法和减法的运算法则，包括同号、异号两数相加以及减法转化为加法的规则。 （2）熟练运用有理数加减法解决实际问题，如行程问题、温度变化、财务收支等场景。 2.难点 （1）有理数减法转化为加法的理解，尤其是对减去一个数等于加上它的相反数这一概念的掌握。 （2）在有理数加减混合运算中，准确处理符号，合理运用运算律优化运算顺序，避免运算错误。 知识点01 有理数的加法法则 ⑴同号两数相加，取 ，并把绝对值 . ⑵绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值 的加数的 ，并用较大的绝对值 较小的绝对值.互为相反数的两个数相加 . ⑶一个数同0相加，仍得 . 【即学即练】计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 知识点02 有理数的加法运算定律 （1）加法交换律：两数相加， 的位置，和不变.即a＋b=b＋a； （2） 加法结合律：在有理数加法中，三个数相加，先把前两个数相加或者先把后 相加，和不变.即a＋b＋c=（a＋b）＋c=a＋（b＋c）； 【即学即练】计算： (1)； (2)； (3)． 知识点03 有理数的减法法则 减法法则： 一个数，等于 .即a－b=a＋（﹣）b 【即学即练】1．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型01 有理数的加法运算 【典例1】计算下列各题： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式1】计算： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【变式2】计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【变式3】计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 题型02 有理数加法中的符号问题 【典例2】如果两数和为正数、下列说法中正确的是（    ） A．两个加数都是正数 B．一个加数是正数，另一个加数是负数 C．两个加数的差是正数 D．绝对值数较大的加数必是正数 【变式1】下列说法中正确的是（    ） A．两数相加，其和大于任何一个加数 B．异号两数相加，其和小于任何一个加数 C．绝对值相等的异号两数相加，其和一定为零 D．两数相加，取较小一个加数的符号作为结果的符号 【变式2】两个有理数的和为负数，那么这两个数一定（　　） A．都是负数 B．至少有一个是负数 C．有一个是0 D．绝对值不相等 【变式3】下列说法正确的是（　　） A．若 ，则 B．a为任何有理数，则必为负数 C．两个有理数的和为负数，则这两个数中至少有一个是负数 D．若，则a为非负数 题型03 有理数加法运算律 【典例3】计算： (1)； (2)． 【变式1】计算： (1)； (2)． 【变式2】计算： (1)； (2)； (3)． 【变式3】阅读第①小题的计算方法，再计算第②小题． ① 解：原式 ． 上述这种方法叫作拆项法．灵活运用加法的交换律、结合律可使运算简便． ②仿照上面的方法计算：． 题型04 有理数加法在生活中的应用 【典例4】2024年国庆节，全国放假七日，高速公路免费通行，各地风景区游人如织．位于贵州遵义的乌江寨国际旅游度假区，在10月1日的景区接待游客人数为1.2万人次，接下来的六天中，每天的游客人数变化如下表（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数）． 日期 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 10月6日 10月7日 人数变化（万人） (1)10月3日的接待游客人数为__________万人次． (2)国庆假期里，游客人数最多的是10月__________日，达到__________万人次；游客人数最少的是10月__________日，达到__________万人次． (3)请问该景区在这国庆期间一共接待了多少人次游客？ 【变式1】有6筐白菜，以每筐25千克为标准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，称后的纪录如下： 编号 1 2 3 4 5 6 超过（或不足） 2 1 回答下列问题： (1)这6筐白菜中最接近标准重量的这筐白菜重 千克； (2)与标准重量比较，6筐白菜总计超过或不足多少千克？ 【变式2】无人机社团课上，悠悠同学在操纵一架无人机进行功能测试，无人机从地面起飞后的高度变化情况如下表： 操作次数 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 高度变化 上升 下降 下降 上升 下降 记作 (1)请你依据表格中的信息计算无人机飞行中的最大高度是多少？ (2)五次操作后，无人机共飞行了多少？ 【变式3】2024国庆假期，全国从10月1日到7日放假7天，各地景区游人如织，西安文旅市场热度不减．据统计，西安位列国庆假日“热门目的地”第二、“高铁游热门目的地”第五、“入境游热门目的地”第八，世界人文之都魅力进一步彰显．在9月30日西安城墙的游客人数为0.9万人，接下来的七天中，每天的游客人数变化如下表（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数）． 日期 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 10月6日 10月7日 人数变化（万人） (1)七天假期里，游客人数最多的是10月_____日，达到_____万人．游客人数最少的是10月_____日，达到_____万人． (2)请问西安城墙在这七天内一共接待了多少游客？ (3)如果你爸妈的朋友也打算明年国庆节来逛西安城墙，你对他们出行的日期有何建议？为什么这么建议？ 题型05 有理数的减法运算 【典例5】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式1】计算 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) 【变式2】计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【变式3】计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 题型06 有理数的加减混合运算中去括号问题 【典例6】算式写成省略加号的和式，正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】把写成省略加号和的形式为（    ） A． B． C． D． 【变式2】将式子改写成省略括号的形式为(   ) A． B． C． D． 【变式3】为计算简便，把写成省略括号和加号的和的形式，正确的是（   ） A． B． C． D． 题型07 有理数的加减混合运算 【典例7】计算： (1)． (2)． 【变式1】计算： (1)； (2)． 【变式2】计算： (1)； (2)； (3)； (4) 【变式3】计算： (1)； (2)； (3)． 题型08 有理数的加减中的简便运算 【典例8】计算：； 【变式1】计算： (1)； (2)． 【变式2】计算 (1) (2) 【变式3】计算： (1) (2)． 题型09 有理数的加减混合运算的应用 【典例9】流花河的警戒水位是米，下表记录的是今年某一周内的水位变化情况，取河流的警戒水位作为0点，并且上周末（星期日）的水位达到警戒水位，正号表示水位比前一天上升，负号表示水位比前一天下降． 星期 一 二 三 四 五 六 日 水位变化（米） 注：正号表示水位比前一天上升，负号表示水位比前一天下降 (1)请在下表中填写本周流花河每天的实际水位高度情况： 星期 一 二 三 四 五 六 日 实际高度/米 (2)本周哪一天河流的水位最高？哪一天河流的水位最低？它们位于警戒水位之上还是之下？与警戒水位的距离分别是多少米？ 星期 一 二 三 四 五 六 日 实际高度/米 74 【变式1】足球比赛中，根据场上攻守形势，守门员会在门前来回跑动，如果以球门线为基准，向前跑记作正数，返回则记作负数，一段时间内，某守门员的跑动情况记录如下（单位：）：，，，，，，，．（假定开始计时时，守门员正好在球门线上） (1)守门员最后是否回到球门线上？ (2)守门员离开球门线的最远距离达多少米？ (3)如果守门员离开球门线的距离超过（不包括），则对方球员挑射极可能造成破门．问：在这一时间段内，对方球员有几次挑射破门的机会？简述理由． 【变式2】财商教育有助于培养孩子的独立生活能力和积极向上的价值观、社会责任感．小昆在妈妈的协助下，通过售卖废报纸、饮料瓶，转卖二手书，义卖闲置物品等方式获得一定收入，并用于购买学习用具和一些日常所需品．为了更好的理财，他每周做一次收支记录，其中一个月的收入和支出记录如下（收入用“”，支出用“”，单位：元）： ，，，，，，，． (1)小昆这个月是超支了还是有结余？如果超支，超支了多少？如果结余，结余了多少？ (2)若规定：收入元，支出元，经手金额为元，则小昆这个月经手总金额离元超过或不足多少元？ 【变式3】如图是流花河的水文资料（单位：m），如表是今年雨季流花河一周内的水位变化情况（上周末的水位达到警戒水位）． 星期 一 二 三 四 五 六 日 水位变化m 注：正号表示水位比前一天上升，负号表示水位比前一天下降． (1)若取河流的警戒水位作为0点，那么图中平均水位可以记作 m； (2)请通过计算说明本周哪一天河流的水位最高？最高水位为多少米？ (3)与上周末相比，本周末河流水位是上升了还是下降了？上升或下降了多少米？ 题型10 根据点在数轴的位置判断式子的正负 【典例10】已知有理数，在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的（   ） A． B． C． D． 【变式1】有理数在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】数轴上表示，，的点如图所示，下列式子中正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】有理数a，b，c在数轴一所对应的点如图所示．则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 题型11 新定义下的有理数加减混合运算 【典例11】定义一种新运算：规定，例如．计算以下式子 (1) (2) 【变式1】对于有理数定义一种新运算，．例：． (1)求的值； (2)求的值． 【变式2】用“”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定．如 ． (1)计算：； (2)计算：． 【变式3】对于有理数、定义一种新运算“”，规定：． 例如：． (1)填空：______，______，______； (2)若，则的结果为______； (3)判断“”运算是否满足交换律并说明理由． 一、单选题 1．计算：（    ） A． B．5 C． D．1 2．把写成省略括号的和的形式是（  ） A． B． C． D． 3．为监测某水库雨季期间的水位高度，表一记录了该水库连续三天的水位变化情况（记水位上涨为正，单位：），这三天水位上涨的高度可表示为（   ） A． B． C． D． 4．我国是最早认识负数并进行相关运算的国家，魏晋时期的数学家刘徽在其著作《九章算术注》中，用不同颜色的算簿（小棍形状的记数工具）分别表示正数和负数，如图①表示的是的运算过程．按照这种方法，图②中表示的算式是（   ） A． B． C． D． 5．实数在数轴上对应的点的位置如图所示，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．计算： ． 7．若是最小的正整数，是到原点的距离等于2的负数，是最大的负整数，则的值为 ． 8．在虚拟环境中，输入“”可以让虚拟机器人向右走2格，输入“”可以让虚拟机器人向左走2格，如图，虚拟机器人在起点O处，若先输入“”，再输入“”，则虚拟机器人会走到数字 的位置上． 9．规定图形表示运算，图形表示运算，则＋= ．（直接写出答案） 10．若A、B是数轴上两点，点A到原点的距离是6个单位长度，点B到点A的距离也是6个单位长度，则点B表示的数是 ． 三、解答题 11．计算： (1)； (2)． 12．计算： (1)； (2)； (3)． 13．计算． (1)； (2)； (3)； (4)． 14．已知，，且，求的值． 15．阅读理解下题的计算方法，并解决问题： 计算：． 解：原式 ． 上面的方法叫作拆项法，按此方法计算： ． 16．有理数，，在数轴上对应点的位置如图所示，已知． (1)原点在的______（填“左侧”或“右侧”）； (2)用“”“”或“＝”填空： ①______；②______0；③______0； (3)若每个单位长度为2，求的值． 17．足球比赛中，根据场上攻守形势，守门员会在门前来回跑动，如果以球门线为基准，向前跑记作正数，返回则记作负数，一段时间内，某守门员的跑动情况记录如下（单位：m）：，，，，，，，．（假定开始计时时，守门员正好在球门线上） (1)守门员最后是否回到球门线上？ (2)守门员离开球门线的最远距离达多少米？ (3)如果守门员离开球门线的距离超过10m（不包括10m），则对方球员挑射极可能造成破门，问：在这一时间段内，对方球员有几次挑射破门的机会？简述理由． 18．数轴是规定了原点、正方向、单位长度的直线，我们可以根据需要，“规定”原点的位置；也可以根据需要，“规定”单位长度的大小；还可以根据需要，“规定”正方向．在一条不完整的数轴上，从左到右有A，B，C，其中，，如图所示，设A，B，C所对应数的和是p． (1)若以点C为原点，则A、B对应的数分别为 ， ， ． (2)若原点为O，且，求p． (3)若以中点为原点，单位长度为建立数轴，则 ．（用含n的代数式表示） 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$