1.1椭圆及其标准方程（7大题型）（题型专练）高二数学北师大版选择性必修第一册

1.1椭圆及其标准方程 题型一：椭圆的定义（一） 1．已知、，若，则点的轨迹方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆的定义求出、，即可求出，从而得到椭圆方程. 【详解】因为、且， 由椭圆的定义可知点的轨迹是以、为焦点的椭圆， 且、，解得，， 所以点的轨迹方程是. 故选：B 2．椭圆的两个焦点是和，椭圆上的点M到两个焦点的距离之和等于10，则椭圆的标准方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据椭圆定义可得a，根据焦点坐标可得c，然后由求出即可得方程. 【详解】由椭圆定义可知，，得， 又椭圆的两个焦点是和， 所以椭圆焦点在x轴上，且，所以， 所以，所求椭圆的标准方程为. 故选：C 3．已知动点满足，则动点M的轨迹方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由椭圆的定义，结合题意，可得焦点坐标，从而可得的值，可得答案. 【详解】由题意可得动点到与两点的距离之和为， 且，则动点的轨迹为椭圆， 易知，，，即方程为. 故选：C. 4．已知动点满足等式，则点的轨迹方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据动点满足等式，得到点A的轨迹是以为焦点的椭圆求解. 【详解】解：因为动点满足等式， 所以表示点A到点的距离之和为8，且， 所以点A的轨迹是以为焦点的椭圆， 其中：， 所以椭圆的方程是， 故选：D 5．若动点满足方程，则动点P的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据方程可以利用几何意义得到动点P的轨迹方程是以与为 焦点的椭圆方程，从而求出轨迹方程. 【详解】由题意得：到与的距离之和为，且， 故动点P的轨迹方程是以与为焦点的椭圆方程，故，， 所以，，所以椭圆方程为. 故选：C 题型二：椭圆的标准方程的应用 1．设P是椭圆上的动点，则P到该椭圆的两个焦点的距离之和为（ ） A． B． C． D．10 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用椭圆的定义求解即可. 【详解】椭圆的长半轴长，所以P到该椭圆的两个焦点的距离之和. 故选：C. 2．已知椭圆上有一点P到右焦点的距离为4，则点P到左焦点的距离为（ ） A．6 B．3 C．4 D．2 【答案】D 【分析】根据椭圆的定义即可求出. 【详解】由椭圆，得，即，设左焦点为，右焦点为， 则，因为，所以，即点到左焦点的距离为2. 故选:D. 3．设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（ ） A．1 B．2 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据条件得到，设，再利用椭圆的定义及条件得到且，即可求出结果. 【详解】因为椭圆，所以， 又因为，所以，即， 设，则①，且②， 由①②得到，即，所以， 故选：B. 4．已知，是椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，则的最大值是（ ） A． B．9 C．16 D．25 【答案】D 【分析】利用椭圆的定义及基本不等式可求答案. 【详解】解：由题意，，， ，当且仅当时，等号成立， 的最大值是25． 故选：D． 5．设为椭圆上的任意一点，，为其上、下焦点，则的最大值是（ ） A．4 B．6 C．9 D．12 【答案】C 【分析】利用椭圆的定义和基本不等式求解即可. 【详解】椭圆， 故， 故，当且仅当时，等号成立. 故选：C 题型三：椭圆中焦点三角形周长 1．已知椭圆，其左右焦点分别为.点是椭圆上任意一点，则的周长为（ ） A．2 B．4 C．6 D．以上答案均不正确 【答案】C 【分析】由椭圆的定义求解的周长. 【详解】由题意知：椭圆中， 所以的周长为 故选：C. 2．已知点是椭圆的左、右焦点，若过焦点的直线交椭圆于两点，则的周长为（ ） A．6 B．4 C． D．8 【答案】D 【分析】根据椭圆的定义求解． 【详解】根据椭圆方程可得，则，由椭圆的定义得，， ，所以的周长为. 故选：D. 3．椭圆的左右焦点为，经过的直线与椭圆C相交于A，B．若的周长为8，则（ ） A． B． C．2 D．4 【答案】D 【分析】由题意的周长，可得，结合，即得解. 【详解】由题意的周长， 解得，故. 故选：D 4．已知分别为椭圆的左、右焦点，直线与交于两点，则平行四边形的周长为（ ） A． B．8 C． D．16 【答案】C 【分析】由题意，根据椭圆的定义计算直接得出结果. 【详解】由题意知，，由椭圆的定义知， 四边形的周长为. 故选：C 5．已知，是椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于，两点，则的周长为_________，若，则______________. 【答案】20；8 【分析】根据椭圆的标准方程，求出a的值，由的周长是求出第一空， 第二空，结合，即可求解； 【详解】椭圆，∴， 的周长是， 所以 故答案为∶20，8 6．已知是椭圆的焦点，点是上的动点，则的取值范围为______________. 【答案】 【分析】根据椭圆标准方程可得焦点坐标，得出的表达式再由椭圆的范围利用二次函数性质可得出结果. 【详解】不妨取为椭圆的左焦点，设， 由椭圆可得，且满足，即； 因此， 又易知，所以可得， 所以的取值范围为. 故答案为： 题型四：椭圆中的关系 1．已知椭圆的一个焦点坐标为，则实数（ ） A．1 B． C．2 D．4 【答案】C 【分析】根据给定条件及椭圆标准方程形式，列式计算得解. 【详解】由椭圆的一个焦点坐标为，得. 故选：C 2．若椭圆的右焦点坐标为，则的值为（ ） A． B．或 C． D．或 【答案】C 【分析】根据、、的关系可求得的值. 【详解】因为椭圆的右焦点坐标为，则，，， 所以，. 故选：C. 3．若椭圆的两焦点为和，且椭圆过点，则椭圆方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意设出椭圆的标准方程，列出方程组求解出，，进而即可得出结果 【详解】根据题意可设椭圆的标准方程为：，. 则，解得：，， 所以椭圆的方程为. 故选：B. 4．求满足下列条件的椭圆的标准方程． (1)，，焦点在y轴上； (2)，． (3)经过点，两点； 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）根据求出，结合焦点位置即可求解椭圆标准方程. （2）根据求出，按照焦点位置分类求解即可. （3）由题意确定焦点位置及，即可得解. 【详解】（1）因为，，所以， 因为椭圆焦点在y轴上，所以其标准方程为：； （2）因为，，所以， 因为椭圆焦点位置不确定，所以其标准方程为：或； （3）由题意得P、Q分别是椭圆长轴和短轴上的端点，且椭圆的焦点在x轴上， 所以， 所以椭圆的标准方程为． 5．求满足下列条件的曲线的标准方程： (1)过三点、、的圆； (2)过两点、的椭圆． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）设出圆的一般方程，根据题意列方程组求出参数，然后化为标准方程即可； （2）设椭圆方程为，根据题意列方程组求出参数可得. 【详解】（1）设圆的方程为， 由题可得，解得， 所以圆的一般方程为， 化为标准方程得. （2）设椭圆方程为， 由题可得，解得， 所以所求椭圆标准方程为. 题型五：已知椭圆求参 1．“”是“曲线表示椭圆”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】本题考查的是对充分条件和必要条件的判断以及椭圆方程的特征. 【详解】曲线表示椭圆等价于，解得且， 所以“”是“曲线表示椭圆”的必要不充分条件. 故选：B． 2．已知曲线，设，q：曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则p是q的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】首先得到曲线C是焦点在x轴上的椭圆的充要条件是，再进一步判断即可. 【详解】曲线C是焦点在x轴上的椭圆的充要条件是，即． 所以当时，成立，所以p是q的充分条件， 反之当时，不一定成立．所以p是q的充分不必要条件． 故选：A． 3．曲线，则“”是“曲线表示椭圆”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据椭圆的标准方程，曲线表示椭圆求解的取值范围，再根据充分条件、必要条件进行判断即可. 【详解】若曲线表示椭圆，则，解得或， 则“”是“曲线表示椭圆”的必要不充分条件. 故选：B. 4．“”是“方程表示焦点在y轴上的椭圆”的（ ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分又非必要 【答案】B 【分析】由方程表示焦点在y轴上的椭圆得解出即可求解. 【详解】由题意有， 所以“”是“方程表示焦点在y轴上的椭圆”的必要非充分条件， 故选：B. 5．若方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由焦点在轴上的椭圆方程的特征求解即可． 【详解】，解得. 故选：D 题型一：椭圆的定义（二） 1．已知圆：和：，若动圆P与这两圆一个内切一个外切，记该动圆圆心的轨迹为M，则M的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设动圆半径为.根据圆与圆的位置关系可得，，再利用椭圆的定义得到该动圆圆心的轨迹为椭圆，进而可求得方程. 【详解】圆：和：的圆心和半径分别为， 由可知圆内含于圆内. 设动圆半径为， 由题意可得，， 两式相加可得， 故点P的轨迹为以为焦点的椭圆，其中， 所以， 所以椭圆方程为. 故选：C. 2．已知，是圆：上一动点，线段的垂直平分线交线段于点，则动点的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据椭圆的定义来求得正确答案. 【详解】由于线段的垂直平分线交线段于点， 所以， 所以点的轨迹是椭圆， 且，则， 所以的轨迹方程为. 故选：C 3．已知圆和，若动圆与这两圆一个内切一个外切，记该动圆圆心的轨迹为，则的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用椭圆定义得到该动圆圆心的轨迹为椭圆，进而得到的方程. 【详解】圆，圆心，半径， 圆，圆心，半径， 因为 所以圆在圆内， 所以动圆与圆内切与圆外切， 设动圆半径为r，圆心， 则，， 故， 所以动点的轨迹是以为焦点长轴长为的椭圆. 由， 解得， 所以， 又因为该椭圆的中心在原点，焦点在y轴上， 所以的方程为. 故选：C 4．已知动圆过点，并且在圆内部与其相切，则动圆圆心的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设动圆圆心为，半径为，根据两圆位置关系得到，再利用椭圆的定义，即可求解. 【详解】设动圆圆心为，半径为 因为圆的圆心为，半径为， 由题有，又动圆过点，得， 即，则到两定点的距离之和为， 由椭圆的定义可知，点在以为焦点，长轴长为的椭圆上， 因为，得到，所以动圆圆心的轨迹方程为， 故选：C. 5．已知圆A：内切于圆P，圆P内切于圆B：，则动圆P的圆心轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆的性质和椭圆的定义求得：，，再利用，，的关系求解方程即可. 【详解】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径， 设圆的半径为， 由于圆内切于圆，所以； 由于圆内切于圆，所以； 由于， 所以点的轨迹为以，为焦点，长轴长为的椭圆. 则，，所以，； 所以动圆的圆心的轨迹方程为. 故选：A 题型一：利用椭圆的定义求最值 1．点是椭圆上任一动点，定点，F为右焦点，则的最小值为（ ） A．1 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】利用椭圆的定义与三角形两边之差小于第三边的性质即可得解. 【详解】依题意，设为椭圆的左焦点， 因为椭圆，则，， 所以， 故选：D． 2．已知是椭圆的下焦点，为上一点，，则的最小值为（ ） A． B． C．4 D． 【答案】D 【分析】设为椭圆的上焦点，易知点在椭圆内，利用椭圆定义将转化为，当三点共线时，的最大值为，即可得解． 【详解】设为椭圆的上焦点，椭圆中，，则， 所以焦点坐标分别为，． 连接，由椭圆定义得． 由于，所以点在椭圆内． 如图所示，， 将代换为来求的最小值，也就是求的最大值， 当三点共线时，的最大值为， 所以的最小值为． 故选：D 3．已知是椭圆的左焦点，为上一点，，则的最小值为（ ） A． B． C．4 D． 【答案】D 【分析】根据椭圆的定义可：，得，当，，三点共线时取得最小值，进行求解即可． 【详解】解：设椭圆的右焦点为， 易知，， 由，得， 根据椭圆的定义可得：， 所以，当且仅当，，三点共线时等号成立， 所以的最小值为， 故选：D． 4．已知是椭圆的左焦点，为椭圆上任意一点，点，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】借助椭圆定义可得，再借助两点间距离公式计算即可得. 【详解】如图，取椭圆右焦点，则， 则由椭圆定义可知， 则， 当且仅当、、三点共线，且在之间时取等， 故的最大值为. 故选：A. 5．设为椭圆上一动点，分别为椭圆的左､右焦点，，则的最小值为（ ） A．8 B．7 C．6 D．4 【答案】B 【分析】利用椭圆的定义式，将转化为，结合图形分析判断得出的最小值，即得的最小值. 【详解】 如图，连接,因，则， 由图知，当三点共线，且点在之间时，的值最小， 最小值为,此时，的最小值为. 故选：B. 6．已知椭圆的左焦点为，点为上一点，若，则的最大值为__________． 【答案】 【分析】利用椭圆的定义，结合图形判断三点共线时，求得所求式的最大值. 【详解】由题可得，，则，故，设右焦点为，则， ，由椭圆的定义可得，则， 易得点在椭圆外，所以， 当且仅当三点共线且点在线段上时等号成立，所以的最大值为． 故答案为：. 13 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.1椭圆及其标准方程 题型一：椭圆的定义（一） 1．已知、，若，则点的轨迹方程是（ ） A． B． C． D． 2．椭圆的两个焦点是和，椭圆上的点M到两个焦点的距离之和等于10，则椭圆的标准方程是（ ） A． B． C． D． 3．已知动点满足，则动点M的轨迹方程是（ ） A． B． C． D． 4．已知动点满足等式，则点的轨迹方程是（ ） A． B． C． D． 5．若动点满足方程，则动点P的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 题型二：椭圆的标准方程的应用 1．设P是椭圆上的动点，则P到该椭圆的两个焦点的距离之和为（ ） A． B． C． D．10 2．已知椭圆上有一点P到右焦点的距离为4，则点P到左焦点的距离为（ ） A．6 B．3 C．4 D．2 3．设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（ ） A．1 B．2 C．4 D．5 4．已知，是椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，则的最大值是（ ） A． B．9 C．16 D．25 5．设为椭圆上的任意一点，，为其上、下焦点，则的最大值是（ ） A．4 B．6 C．9 D．12 题型三：椭圆中焦点三角形周长 1．已知椭圆，其左右焦点分别为.点是椭圆上任意一点，则的周长为（ ） A．2 B．4 C．6 D．以上答案均不正确 2．已知点是椭圆的左、右焦点，若过焦点的直线交椭圆于两点，则的周长为（ ） A．6 B．4 C． D．8 3．椭圆的左右焦点为，经过的直线与椭圆C相交于A，B．若的周长为8，则（ ） A． B． C．2 D．4 4．已知分别为椭圆的左、右焦点，直线与交于两点，则平行四边形的周长为（ ） A． B．8 C． D．16 5．已知，是椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于，两点，则的周长为_________，若，则______________. 6．已知是椭圆的焦点，点是上的动点，则的取值范围为______________. 题型四：椭圆中的关系 1．已知椭圆的一个焦点坐标为，则实数（ ） A．1 B． C．2 D．4 2．若椭圆的右焦点坐标为，则的值为（ ） A． B．或 C． D．或 3．若椭圆的两焦点为和，且椭圆过点，则椭圆方程是（ ） A． B． C． D． 4．求满足下列条件的椭圆的标准方程． (1)，，焦点在y轴上； (2)，． (3)经过点，两点； 5．求满足下列条件的曲线的标准方程： (1)过三点、、的圆； (2)过两点、的椭圆． 题型五：已知椭圆求参 1．“”是“曲线表示椭圆”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．已知曲线，设，q：曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则p是q的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．曲线，则“”是“曲线表示椭圆”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．“”是“方程表示焦点在y轴上的椭圆”的（ ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分又非必要 5．若方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 题型一：椭圆的定义（二） 1．已知圆：和：，若动圆P与这两圆一个内切一个外切，记该动圆圆心的轨迹为M，则M的方程为（ ） A． B． C． D． 2．已知，是圆：上一动点，线段的垂直平分线交线段于点，则动点的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 3．已知圆和，若动圆与这两圆一个内切一个外切，记该动圆圆心的轨迹为，则的方程为（ ） A． B． C． D． 4．已知动圆过点，并且在圆内部与其相切，则动圆圆心的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 5．已知圆A：内切于圆P，圆P内切于圆B：，则动圆P的圆心轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 题型一：利用椭圆的定义求最值 1．点是椭圆上任一动点，定点，F为右焦点，则的最小值为（ ） A．1 B．3 C． D． 2．已知是椭圆的下焦点，为上一点，，则的最小值为（ ） A． B． C．4 D． 3．已知是椭圆的左焦点，为上一点，，则的最小值为（ ） A． B． C．4 D． 4．已知是椭圆的左焦点，为椭圆上任意一点，点，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 5．设为椭圆上一动点，分别为椭圆的左､右焦点，，则的最小值为（ ） A．8 B．7 C．6 D．4 6．已知椭圆的左焦点为，点为上一点，若，则的最大值为__________． 5 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$