精品解析：河南省河南省天立教育2025-2026学年九年级上学期开学数学试题

天立教育2025－2026学年秋期入学联合考试 九年级数学试题卷 本试题卷共6页，三大题，23小题，满分120分．考试时间100分钟． 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知一次函数的图象如图，则下列说法正确的是（ ） A. B. 当时， C. 函数值y随自变量x的增大而减小 D. 图象与y轴交于点 2. 数学课上，老师在黑板上画出了菱形，并以点为圆心，的长为半径画弧，交直线于点，连接，关于四边形的形状，让同学们进行讨论，小明认为：只有当时，四边形是菱形；小红认为：当时，四边形是正方形，小刚认为：四边形是菱形，且，与的度数无关，下列判断正确的是（　　） A. 小明和小红正确，小刚错误 B. 小红和小刚正确，小明错误 C. 小明和小刚错误，小红正确 D. 小明和小红错误，小刚正确 3. 已知菱形的周长为，两条对角线的和为6，则菱形的面积为(　　) A. 2 B. C. 3 D. 4 4. 规定表示不大于的最大整数，例如，，那么函数的图象为（    ） A. B. C. D. 5. 已知：平行四边形的顶点，点在轴的正半轴上，按以下步骤作图： ①以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，交于点． ②分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内相交于点 ③画射线，交于点，则点的坐标为（　　） A. B. C. D. 6. 如果最简二次根式与可以进行合并，则的值为（ ） A. 7 B. 16 C. 25 D. 81 7. 如图，在矩形中，，，动点从点出发，沿路线做匀速运动，那么面积的与点运动的路程之间的函数图像大致是（　　） A. B. C. D. 8. 平面直角坐标系中，过点（-2，3）的直线经过一、二、三象限，若点（0，），（-1，），（，-1）都在直线上，则下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 在中．是上一点，平分，且是的中点，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的是（ ） A. ①② B. ②④ C. ③④ D. ①②④ 10. 如图，E，F分别是平行四边形的边，上的点，与相交于点P，与相交于点Q，若，，，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 如图，正方形ABCD的边长为2，点E为边BC的中点，点P在对角线BD上移动，则PE+PC的最小值是_______． 12. 若最简二次根式与是同类二次根式，则x的值为_____． 13. 在四边形中，，给出下列4组条件：①，②，③，④．其中，不能得到“四边形是平行四边形”的条件是__________．（只填序号） 14. 为了响应学校“书香校园”建设，阳光班的同学们积极捐书，其中宏志学习小组的6名同学捐书册数分别是：5，7，x，8，4，6．已知他们平均每人捐6本，则这组数据的中位数是_____． 15. 矩形中，，是的中点，点在直线上，且，若与关于直线对称，则的长为__________． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 一条笔直的公路上依次有A、B、C三地，甲车从A地驶往C地，乙车从A地驶往B地，修好后立即以原速的两倍继续前进到达B地；如图是甲、乙两车与A地的距离y（千米）（小时）之间的大致图象． （1）求B、C两地之间的距离； （2）什么时候乙追上甲； （3）当两车相距40千米时，甲车行驶了多长时间． 17. 如图，在中，，，E，F分别为，的中点，过点B作的平行线与的延长线交于点D，连接，． （1）求证：四边形为菱形； （2）若，求四边形的面积． 18. 小明对菱形的作法非常感兴趣，他根据所学的知识，利用直尺和圆规，在内分别以，为圆心，以的长为半径画弧，分别交，于点，，快速地作出一个菱形，如图（）所示，根据小明的尺规作图过程，解决下列问题． （1）小明用到的作图依据是（ ） ．一组对边平行且相等的四边形是菱形 ．两组对边分别相等的四边形是菱形 ．有一组邻边相等的平行四边形是菱形 ．对角线互相垂直的平行四边形是菱形 （2）请在图（）内运用另一种尺规作图的方法作出菱形，并证明你的结论．（保留作图痕迹，不写作法） 19. 如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠DAB，已知CE＝6，BE＝8，DE＝10． （1）求BC的长； （2）若∠CBE＝36°，求∠ADC． 20. 某学校计划组织452人参加社会实践活动，与某汽车租赁公司接洽后，得知该公司有型和型两种客车，它们的载客量和租金如下表所示． A型客车 B型客车 载客量/（人辆） 45 26 租金/（元/辆） 400 240 经测算，租用型和型客车共13辆较为合理．设租用型客车辆． （1）用含的代数式填写下表． 车量数/辆 载客量/人 租金/元 A型客车 B型客车 （2）采用怎样的租车方案可以使总的租车费用最低？最低为多少？ 21. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=∠C，求证：AB=CD． 22. 已知，如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，对角线的中点，对角线BD平分． （1）求证：四边形BEDF为菱形； （2）若AG//DB交CB的延长线于G，求证：四边形AGBD为矩形． 23. 皇家驿站今年五一期间吸引了各地的游客前来观光，驻马店特产“伏陈醋”和“小磨香油”等也大受欢迎．某经销商抓住商机，计划购进某种包装的“伏陈醋”和“小磨香油”共100瓶，已知购进10瓶“伏陈醋”和20瓶“小磨香油”共需620元，购进30瓶“伏陈醋”和40瓶“小磨香油”共需1360元． （1）每瓶“伏陈醋”和“小磨香油”的进价分别是多少元？ （2）结合游客的实际需求，该经销商决定购进“伏陈醋”的数量不超过“小磨香油”数量的，请你帮他计算如何进货才能使所花费用最少，最少费用是多少元？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天立教育2025－2026学年秋期入学联合考试 九年级数学试题卷 本试题卷共6页，三大题，23小题，满分120分．考试时间100分钟． 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知一次函数的图象如图，则下列说法正确的是（ ） A. B. 当时， C. 函数值y随自变量x的增大而减小 D. 图象与y轴交于点 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数图像的性质、一次函数与坐标轴交点问题等知识点，灵活运用一次函数性质成为解题的关键． 根据一次函数的性质逐项判断即可． 【详解】解：根据一次函数图像可知：函数值y随自变量x的增大而增大，，即A、C选项错误；由于k的值不确定，则一次函数与x轴交点坐标不确定，故B选项错误；当时，，即图象与y轴交于点，则D选项正确，符合题意． 故选：D． 2. 数学课上，老师在黑板上画出了菱形，并以点为圆心，的长为半径画弧，交直线于点，连接，关于四边形的形状，让同学们进行讨论，小明认为：只有当时，四边形是菱形；小红认为：当时，四边形是正方形，小刚认为：四边形是菱形，且，与的度数无关，下列判断正确的是（　　） A. 小明和小红正确，小刚错误 B. 小红和小刚正确，小明错误 C. 小明和小刚错误，小红正确 D. 小明和小红错误，小刚正确 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是菱形的判定与性质，正方形的判定，等边三角形的判定与性质，由菱形的性质证明，，由作图可得：，可得，再进一步的分析即可. 【详解】解：∵菱形， ∴，，， ∴，， 由作图可得：， ∴， ∴四边形为菱形；为等边三角形， ∴， ∴， ∴小明认为：只有当时，四边形是菱形；说法错误； 小刚认为：四边形是菱形，且，与的度数无关，说法正确； 当时，而， ∴四边形不是正方形， 小红认为：当时，四边形是正方形，说法错误； 故选D 3. 已知菱形的周长为，两条对角线的和为6，则菱形的面积为(　　) A. 2 B. C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据菱形周长求出边长，根据勾股定理求出AO2+BO2=5，利用公式变形得出（AO+BO）2=9，求出2AO•BO=4，即可． 【详解】解：如图 四边形ABCD是菱形，AC+BD=6，菱形的周长为， ∴AB=，AC⊥BD，AO=AC，BO=BD， ∴AO+BO=3， ∴AO2+BO2=AB2，（AO+BO）2=9， 即AO2+BO2=5，AO2+2AO•BO+BO2=9， ∴2AO•BO=4， ∴菱形的面积=AC•BD=2AO•BO=4； 故选：D． 【点睛】本题考查菱形的性质、勾股定理，完全平方公式变形应用；解题的关键是记住菱形的面积公式，记住菱形的对角线互相垂直． 4. 规定表示不大于的最大整数，例如，，那么函数的图象为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据的定义可将函数进行化简，即可得解． 【详解】解：由已知得：当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 由以上可得B、C、D不符合题意，选项符合题意， 故选：． 【点睛】本题考查函数的图象，解题的关键是正确理解的定义，然后对函数进行化简，本题属于中等题型． 5. 已知：平行四边形的顶点，点在轴的正半轴上，按以下步骤作图： ①以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，交于点． ②分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内相交于点 ③画射线，交于点，则点的坐标为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了作图复杂作图．也考查了坐标与图形性质和平行四边形的性质．交轴于点，如图，利用基本作图得到，再根据平行四边形的性质和平行线的性质得到，所以，设，则，，在中利用勾股定理得到，然后解方程求出，从而得到点坐标． 【详解】解：交轴于点，如图， 由作法得平分， ， 四边形为平行四边形， ∴， ， ， 设，则， ， ，， ， ， 在中，， 解得， 点坐标为． 故选：A． 6. 如果最简二次根式与可以进行合并，则的值为（ ） A. 7 B. 16 C. 25 D. 81 【答案】D 【解析】 【分析】同类二次根式的定义：化简为最简二次根式后，被开方数是相同的， 由此得到，求解即可．本题考查了乘方，同类二次根式的定义，正确理解题意，得到是解题的关键． 【详解】解：最简二次根式与可以合并， ， 解得：， ∴ 故选：D． 7. 如图，在矩形中，，，动点从点出发，沿路线做匀速运动，那么面积的与点运动的路程之间的函数图像大致是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据点在线段、线段两种情况确定随的变化规律，确定出当点与点重合时，可确定的最大值，即可判断． 【详解】解：当点在线段上运动时， ∵，线段的长度将随着点沿路线运动的过程中而增大， ∴的面积随点的增大而增大， 当点与点重合时， ∵，， ∴， 当点在线段上运动时，的底边，边上的高的长是， ∴， 即此时的面积为定值，不随点的变化而变化， ∴符合题意的是B选项所表示的图像． 故选：B． 【点睛】本题考查动点问题的函数图像，运用了分类讨论的思想．能根据点的不同位置确定出变化趋势，且求出特殊点的值是解题的关键． 8. 平面直角坐标系中，过点（-2，3）的直线经过一、二、三象限，若点（0，），（-1，），（，-1）都在直线上，则下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：根据直线l经过第一、二、三象限且过点（-2，3），所以y随x的增大而增大． 因为-2<-1<0，所以3<b<a，所以A、B、C均错； 又因点（c，-1）在直线l上，所以c<-2． 故选D． 【点睛】考点：一次函数的图象和性质． 9. 在中．是上一点，平分，且是的中点，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的是（ ） A. ①② B. ②④ C. ③④ D. ①②④ 【答案】C 【解析】 【分析】首先延长AD，交FE的延长线于点M，易证得△DEM≌△CEF，即可得EM＝EF，又由AE平分∠FAD，即可判定△AEM是等腰三角形，由三线合一的知识，可得AE⊥EF，进而可对各选项进行判断． 【详解】解：延长AD，交FE的延长线于点M， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠M＝∠EFC， ∵E是CD的中点， ∴DE＝CE， 在△DEM和△CEF中， ， ∴△DEM≌△CEF（AAS）， ∴EM＝EF， ∵AE平分∠FAD， ∴AM＝AF，AE⊥EF． 即AF＝AD+DM＝CF+AD；故③，④正确，②错误． ∵AF不一定是∠BAD的角平分线， ∴AB不一定等于BF，故①错误． 故选：C． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用． 10. 如图，E，F分别是平行四边形的边，上的点，与相交于点P，与相交于点Q，若，，，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、三角形的面积，解题的关键在于求出各三角形之间的面积关系． 连接、两点，过点作于点，根据平行四边形的面积与三角形的面积公式推出，由三角形的面积公式推出，，进一步推出，，根据、阴影部分的面积得出答案即可． 【详解】解：连接、两点，过点作于点，     ∵，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴的边上的高与的边上的高相等，的边上的高与的边上的高相等， ∴，， ∴，即， ，即， ∵，， ∴，， ∴， ∴阴影部分的面积． 故选：C． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 如图，正方形ABCD的边长为2，点E为边BC的中点，点P在对角线BD上移动，则PE+PC的最小值是_______． 【答案】 【解析】 【分析】要求PE+PC的最小值，PE，PC不能直接求，可考虑通过作辅助线转化PE，PC的值，从而找出其最小值求解． 【详解】解：如图，连接AE， ∵点C关于BD的对称点为点A， ∴PE+PC=PE+AP， 根据两点之间线段最短可得AE就是AP+PE的最小值， ∵正方形ABCD的边长为2，E是BC边的中点， ∴BE=1， ∴AE=． 故答案为：． 12. 若最简二次根式与是同类二次根式，则x的值为_____． 【答案】2． 【解析】 【分析】根据同类二次根式的定义得到x2﹣2＝2x﹣2，求解即可. 【详解】∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴x2﹣2＝2x﹣2， 解得：x1＝0，x2＝2， 当x＝0时与是无意义， 所以x＝0舍去， 故答案为：2. 【点睛】此题考查同类二次根式的定义，最简二次根式的定义，正确理解定义列得x2﹣2＝2x﹣2是解题的关键. 13. 在四边形中，，给出下列4组条件：①，②，③，④．其中，不能得到“四边形是平行四边形”的条件是__________．（只填序号） 【答案】② 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定直接判断即可． 【详解】①，则一组对边平行且相等，可得到四边形是平行四边形，不符合题意； ②，无法得到四边形是平行四边形，符合题意； ③，两组对边分别平行，可得到四边形是平行四边形，不符合题意； ④，则此两角都是的补角，而与为同旁内角互补，可推出，两组对边分别平行，可得到四边形是平行四边形，不符合题意； 故答案为：② 【点睛】此题考查平行四边形的判定定理，解题关键是熟练掌握所有平行四边形的判定定理． 14. 为了响应学校“书香校园”建设，阳光班的同学们积极捐书，其中宏志学习小组的6名同学捐书册数分别是：5，7，x，8，4，6．已知他们平均每人捐6本，则这组数据的中位数是_____． 【答案】6 【解析】 【分析】根据平均数可得x的值，根据中位数的定义可得答案. 【详解】由题意可得：＝6，可知：x＝6，将该数据从小到大排列得：4,5,6,6,7,8，故中位数为＝6，故答案为6. 【点睛】本题主要考查了平均数和中位数的基本概念，解本题的要点在于求出x 的值. 15. 矩形中，，是的中点，点在直线上，且，若与关于直线对称，则的长为__________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查轴对称的性质，矩形的性质，勾股定理，关键是要分两种情况讨论．分两种情况，如图①，由轴对称的性质得到，由勾股定理求出，得到，如图②，由轴对称的性质得到，由勾股定理求出，得到，即可得到的长为或． 【详解】解：如图①， 与关于直线对称， ， 四边形是矩形， ， ， ； 如图②， 与关于直线对称， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， 则的长为或． 故答案为：或． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 一条笔直的公路上依次有A、B、C三地，甲车从A地驶往C地，乙车从A地驶往B地，修好后立即以原速的两倍继续前进到达B地；如图是甲、乙两车与A地的距离y（千米）（小时）之间的大致图象． （1）求B、C两地之间的距离； （2）什么时候乙追上甲； （3）当两车相距40千米时，甲车行驶了多长时间． 【答案】（1）60千米 （2）出发后4.5小时 （3）或3.5或小时 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，主要利用了待定系数法求一次函数解析式，路程、速度、时间三者之间的关系． （1）根据题意，结合图象列式计算即可； （2）设乙t小时追上甲，根据甲行驶的路程＝乙行驶的路程，列出方程解答便可； （3）利用待定系数法分别求出时甲行驶的距离与x的关系式以及时，乙与A地距离与出发时间x之间的函数关系式，再列方程解答即可． 【小问1详解】 乙前面的速度为：（千米/小时）， 乙后来的速度为：（千米/小时）， （千米）， 答：B、C两地之间的距离为60千米； 【小问2详解】 甲的速度为：（千米/小时）， 设乙t小时追上甲， 根据题意得， 解得， 答：出发后4.5小时乙追上甲； 【小问3详解】 当时，两车距离小于40， ①当时， 设甲距离A地的距离y（千米）与出发时间x（小时）之间的关系式为， 代入可得， ， ，解得； ②当时， 由（1）可得，A、B两地之间的距离为：， 设乙与A地距离与出发时间x之间的函数关系式为， 代入和 得， 解得， ， 解方程得（不合题意，舍去）， 解方程得； ③当时， 解方程得． 答：当两车相距40千米时，甲车行驶了或3.5或小时． 17. 如图，在中，，，E，F分别为，的中点，过点B作的平行线与的延长线交于点D，连接，． （1）求证：四边形为菱形； （2）若，求四边形的面积． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵为中点， ∴， 在和中 ∴（ASA）， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵为中点，为中点， ∴， ∵， ∴， 即， ∴四边形为菱形； （2）四边形的面积为． 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质得出，求出，证，推出，推出四边形是平行四边形，再求出即可； （2）求出，，推出，由勾股定理得出，求出，求出，，即可求出四边形的面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，E，F分别为，的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 解得：， ∵，， ∴，， ∴四边形的面积为： ． 即：四边形的面积为． 【点睛】本题考查了勾股定理，全等三角形的性质和判定，含30°角的直角三角形性质，菱形的性质和判定，三角形的面积，平行四边形的判定的应用，能综合运用定理进行推理是解此题的关键，题目综合性比较强，难度适中． 18. 小明对菱形的作法非常感兴趣，他根据所学的知识，利用直尺和圆规，在内分别以，为圆心，以的长为半径画弧，分别交，于点，，快速地作出一个菱形，如图（）所示，根据小明的尺规作图过程，解决下列问题． （1）小明用到的作图依据是（ ） ．一组对边平行且相等的四边形是菱形 ．两组对边分别相等的四边形是菱形 ．有一组邻边相等的平行四边形是菱形 ．对角线互相垂直的平行四边形是菱形 （2）请在图（）内运用另一种尺规作图的方法作出菱形，并证明你的结论．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】（1）C； （2）如图． 证明：由作图可知：，，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，菱形的判定，全等三角形的判定与性质，掌握菱形的判定方法是解题的关键． （）根据平行四边形的判定和性质，菱形的判定方法，结合作图分析即可； （）运用对角线互相垂直的平行四边形是菱形的方法作图即可． 【小问1详解】 解：根据作图，， ∵四边形是平行四边形， ∴，即， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是菱形， 用到的作图依据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，有一组邻边相等的平行四边形是萎形， 故选：C； 【小问2详解】 解：连接，作的中垂线交于，则四边形是菱形． 19. 如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠DAB，已知CE＝6，BE＝8，DE＝10． （1）求BC的长； （2）若∠CBE＝36°，求∠ADC． 【答案】（1）BC＝10；（2）126°． 【解析】 【分析】（1）依据DC∥AB，可得∠DEA＝∠EAB，依据AE平分∠DAB，可得∠DAE＝∠EAB，再根据∠DAE＝∠DEA，即可得到AD＝DE＝10，进而得出BC＝10； （2）依据勾股定理的逆定理即可得出∠BEC＝90°，再根据三角形内角和定理得出∠C的度数，进而得到∠ADC的度数． 【详解】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，DC∥AB， ∴∠DEA＝∠EAB， ∵AE平分∠DAB， ∴∠DAE＝∠EAB， ∴∠DAE＝∠DEA， ∴AD＝DE＝10， ∴BC＝10； （2）∵CE＝6，BE＝8，BC＝10， ∴CE2+BE2＝62+82＝100＝BC2， ∴△BCE是直角三角形，且∠BEC＝90°， ∴∠C＝90°﹣∠CBE＝90°﹣36°＝54°， ∵AD∥BC， ∴∠D＝180°﹣∠C＝180°﹣54°＝126°． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，解题时注意：平行四边形的对边相等，平行四边形的对角相等． 20. 某学校计划组织452人参加社会实践活动，与某汽车租赁公司接洽后，得知该公司有型和型两种客车，它们的载客量和租金如下表所示． A型客车 B型客车 载客量/（人辆） 45 26 租金/（元/辆） 400 240 经测算，租用型和型客车共13辆较为合理．设租用型客车辆． （1）用含的代数式填写下表． 车量数/辆 载客量/人 租金/元 A型客车 B型客车 （2）采用怎样的租车方案可以使总的租车费用最低？最低为多少？ 【答案】（1）； （2）租型车6辆、型车7辆时，总的租车费用最低，最低为4080元 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是：（1）根据数量关系得出代数式；（2）根据数量关系找出关于的函数关系式．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据数量关系找出一元一次不等式（或函数关系式）是关键． （1）根据“型车的载客量租的辆数满载人数”以及“租型车应付租金每辆的租金租的辆数”即可得出结论； （2）设租车的总费用为元，根据“总租金租型车的租金租型车的租金”即可得出关于的函数关系式，再根据共452人参加社会实践活动，列出关于的一元一次不等式，解不等式即可得出的取值范围，根据一次函数的性质即可解决最值问题． 【小问1详解】 解：设租用型客车辆，则租用型客车辆， 型车的载客量，租金为． 故答案为：；． 【小问2详解】 设租车的总费用为元，则有：． 由已知得：， 解得：． 在中， 当时，取最小值，最小值为4080元． 故租型车6辆、型车7辆时，总的租车费用最低，最低为4080元． 21. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=∠C，求证：AB=CD． 【答案】见解析 【解析】 【分析】过点D作DF∥AB，易证四边形ABFD是平行四边形，所以AB=DF，再利用已知条件可证明DF=DC，进而可得AB=CD． 【详解】过点D作DF∥AB， ∵AD∥BC， ∴四边形ABFD是平行四边形， ∴AB=DF，∠DFC=∠B， ∵∠B=∠C， ∴∠DFC=∠C， ∴DF=DC， ∴AB=CD． 【点睛】此题考查平行四边形的判定和性质以及等腰三角形的判定和性质，解题的关键是正确作出辅助线构造平行四边形． 22. 已知，如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，对角线的中点，对角线BD平分． （1）求证：四边形BEDF为菱形； （2）若AG//DB交CB的延长线于G，求证：四边形AGBD为矩形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）由四边形ABCD是平行四边形，即可得AD=BC，AB∥CD，又由E、F分别为边AB、CD的中点，可得四边形DEBF是平行四边形，证出DE=BE可得出答案； （2）连接EF交BD于点O，由菱形的性质得出EF⊥DB，OD=OB，证明∠ADB=90°，由矩形的判定可得出结论． 【小问1详解】 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD=BC，ABCD， ∵E、F分别为边AB、CD的中点， ∴DF=EB，DFEB， ∴四边形DEBF是平行四边形， ∵DB平分∠EDF， ∴∠EDB=∠FDB， ∵DFEB， ∴∠FDB=∠EBD， ∴DE=BE， 又∵四边形DEBF是平行四边形， ∴四边形DEBF是菱形． 【小问2详解】 证明：连接EF交BD于点O， ∵四边形DEBF是菱形， ∴EF⊥DB，OD=OB， 又∵E为AB的中点， ∴OEAD， ∴AD⊥BD， ∴∠ADB=90°， ∵ADBG，AGBD， ∴四边形AGBD为平行四边形， ∵∠ADB=90°， ∴四边形AGBD为矩形． 【点睛】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握矩形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键． 23. 皇家驿站今年五一期间吸引了各地的游客前来观光，驻马店特产“伏陈醋”和“小磨香油”等也大受欢迎．某经销商抓住商机，计划购进某种包装的“伏陈醋”和“小磨香油”共100瓶，已知购进10瓶“伏陈醋”和20瓶“小磨香油”共需620元，购进30瓶“伏陈醋”和40瓶“小磨香油”共需1360元． （1）每瓶“伏陈醋”和“小磨香油”的进价分别是多少元？ （2）结合游客的实际需求，该经销商决定购进“伏陈醋”的数量不超过“小磨香油”数量的，请你帮他计算如何进货才能使所花费用最少，最少费用是多少元？ 【答案】（1）每瓶“伏陈醋”的进价是12元，每瓶“小磨香油”的进价是25元 （2）购进“伏陈醋”40瓶，“小磨香油”60瓶，才能使所花费用最少，最少费用是1980元 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组和一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程组和函数关系式． （1）设每瓶“伏陈醋”的进价是元，每瓶“小磨香油”的进价是元，可得：，即可解得每瓶“伏陈醋”的进价是12元，每瓶“小磨香油”的进价是25元； （2）设购进“伏陈醋” 瓶，由购进“伏陈醋”的数量不超过“小磨香油”数量的，得，，设他所花费用为元，则，由一次函数性质可得答案． 【小问1详解】 设每瓶“伏陈醋”的进价是元，每瓶“小磨香油”的进价是元， 根据题意得：， 解得， 每瓶“伏陈醋”的进价是12元，每瓶“小磨香油”的进价是25元； 【小问2详解】 设购进“伏陈醋” 瓶，则购进“小磨香油” 瓶， 购进“伏陈醋”的数量不超过“小磨香油”数量的， ， 解得：， 设他所花费用为元， 根据题意得， ， 随增大而减小， 当时，取最小值（元， 此时， 购进“伏陈醋”40瓶，“小磨香油”60瓶，才能使所花费用最少，最少费用是1980元． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $