10.2 实数-【绿卡初中创新题】2025-2026学年新教材八年级上册数学同步教案(华东师大版2024)

10.2 实数 课题 10.2 实数 授课类型 新授课 授课人 教学内容 课本P8-12 教学目标 1.了解实数的意义,能对实数按要求进行分类. 2.了解实数范围内,相反数、绝对值的意义. 3.了解数轴上的点与实数一一对应,能用数轴上的点来表示无理数. 4.通过类比的方法探索发现实数性质的过程,培养学生类比联想的能力,以及观察、分析、发现问题的能力. 5.通过类比学习实数的意义及分类,解决实数的有关问题. 6.积极参加数学活动,对数学产生探求新知识的欲望,增强学习数学的兴趣. 教学重难点 重点：解实数意义,能对实数进行分类;明确实数的运算规律. 难点：利用数轴上的点表示无理数.。 教学准备 多媒体课件 教与学互动设计（教学过程） 设计意图 1.创设情景，导入新课 教师展示课件。 怎样用两个面积为1的小正方形拼成一个面积为2的大正方形? 如图11-2-3,把两个小正方形沿对角线剪开,将所得的4个直角三角形拼在一起,就得到一个面积为2的大正方形.你知道这个大正方形的边长是多少吗?这个数是有理数吗? 图11-2-3 由操作导入,让学生感知到“非有理数”确实存在于我们的生活中,为引出无理数做准备. 2.实践探究，学习新知 【探究1】无理数的概念 教师活动：提出问题让学生思考并回答，然后再给出答案。 教师提问：在数学上已经证明,不是一个有理数,那么是怎样的数呢？ 教师引导：我们知道，有理数包括整数和分数，而任何一个分数写成小数只能化成有限小数或无限循环小数。即任何有限小数或无限循环小数都是有理数。 教师追问：除了有限小数和无限循环小数，还有哪类小数？ 学生回答：无限不循环小数。 教师总结：实际上,它是一个无限不循环小数.类似地,、圆周率π等也都不是有理数,它们都是无限不循环小数. 【归纳总结】 无限不循环小数叫做无理数.上面提到的,,π等都是无理数. 【探究2】实数的概念及分类 师生活动：先设计一个数集分类的活动，让学生对数集进行归类，再让学生尝试自主地进行实数的分类后进行交流。之后引导学生研究实数的其他相关概念和运算。 教师展示课件。 提出问题：把下列各数分别填入相应的集合内： ，，，，，，，，，，0，…（相邻两个3之间7的个数逐次增加1）。 学生活动：回顾有理数的概念和分类，无理数的概念和常见形式，认真思考后得出答案。 答案预设： 教师提问：在前面我们学了有理数和无理数，有理数是有限小数或无限循环小数，无理数是无限不循环小数，同学们也学会了对不同的数字进行分类。 在小学学了非负数，上初一引入了负数，数的范围扩充到有理数范围，那么引入无理数之后数的范围扩充到什么范围呢？ 教师引导：有理数和无理数统称为实数。 【归纳结论】 1.实数的定义：有理数和无理数统称为实数。 2.实数的分类 （2）按定义可以将实数分为： （2）无理数和有理数一样，也有正负之分。除了按照定义分类，从符号考虑，实数还可以分为正实数、0、负实数，即： 【探究3】实数与数轴上的点的对应关系 教师展示课件。 如图所示，认真观察，探讨下列问题： 师生活动：教师提出问题，学生先根据前面的知识独立思考，解答。然后再小组交流探讨，对基础较差的学生要适当引导，最终教师展示答题过程。 教师提问：如图，OA=OB，数轴上点A对应的数表示什么？它介于哪两个整数之间？ 答案预设： 数轴上点A对应的数是。 因为≈1.414，所以点A点A对应的数介于整数1和2之间。 教师追问：如果将所有有理数都标到数轴上，那么数轴被填满了吗？观察数轴，你能比较1，，2的大小吗？ 学生活动：经过上面两个题目的探究，学生认识到了数轴上点A表示的数是，点C表示的数是，它们是一个无理数，这表明有理数不能将整个数轴填满。进而观察到点A在表示数1和2的点之间，因此“数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大”在实数范围内仍然适用。 【归纳总结】 （1）每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数，即实数与数轴上的点是一一对应的。 （2）在数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大。 【探究4】 在实数范围内相反数、倒数、绝对值的意义 教师提问： （1）在有理数中，数-7的相反数是什么？绝对值是什么？倒数是什么？ （2）的相反数是什么？的倒数是什么？，0，的绝对值分别是什么？ 答案预设： （1）7；7；；（2）；；，0，。 教师追问：有理数范围内的一些概念是否适用于实数？ 答案预设：适用。 （1）是一个实数，它的相反数为 ，绝对值是 。 （2）如果，那么它的倒数为 。 学生活动：学生先独立思考，再同桌交流。 答案预设：（1）-a；。（2） 【归纳总结】 在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义，和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样。 【探究5】 实数的大小比较及运算 有关有理数的大小比较法则、运算法则以及运算律,对于实数也适用. 从有理数扩充到实数后,正数总可以开方.在实数范围内,任意一个正数有两个平方根,它们互为相反数;0的平方根是0;负数没有平方根.任意一个实数有且仅有一个立方根. 涉及无理数的大小比较和运算,通常可以取它们的近似值来进行. 通过数集分类活动，让学生对不同性质的数进行归类，进一步熟悉有理数和无理数的概念。激发学生对无理数、实数相关知识的求知欲。 学生动手填写，并进行小组交流讨论，对带根号的数是否是无理数有了进一步认识。 引导学生自主地进行实数的分类，领会分类的思想，明确实数的分类必须确定分类标准。 在实数概念形成的基础上对实数进行不同的分类。上面的数中有0，0不能放入正数、负数的任何一个集合中，学生容易遗漏，强调0也是实数，但它既不是正数也不是负数，应单独作一类。 通过归纳实数的分类，培养学生归纳概括能力。 从复习入手，类比有理数中的相关概念，建立实数的相反数、倒数和绝对值等概念，它们的意义和有理数范围内的意义是一致的。 通过类比有理数的运算律，探讨实数的运算律、运算法则，明确实数和有理数一样,有完全一样的运算法则和运算律。 对于实数的有关概念，学生印象可能还不够深刻。为此，设计了这个“想一想”，希望学生进一步理解相反数、绝对值、倒数等概念。教学中，如果学生有困难，可以引导学生从特例入手进行归纳。 探讨用数轴上的点来表示实数，将数和图形联系在一起，让学生进一步领会数形结合的思想，利用数轴也可以直观地比较两个实数的大小。 3.学以致用，应用新知 考点1 实数的分类 例 把下列各数填入相应的集合内： －，－，，，－，0，－π，－，－4.0，3.1010010001…(相邻两个1之间0的个数逐次加1)。 有理数集合：{　　　　　　　　　　…}； 无理数集合：{　　　　　　　　　　…}； 整数集合：{　　　　　　　　　 　…}； 分数集合：{　　　　　　　　　 　…}； 正实数集合：{　　　　　　　　　　…}； 负实数集合：{　　　　　　　　　　…}； 解：有理数集合：{－，，－，0，－，－4.0，…}； 无理数集合：{－，，－π，3.1010010001…(相邻两个1之间0的个数逐次加1)，…}； 整数集合：{－，0，…}； 分数集合：{－，，－，－4.0，…}； 正实数集合：{，，－，3.1010010001…(相邻两个1之间0的个数逐次加1)，…}； 负实数集合：{－，－，－π，－，－4.0，…}． 变式训练 下列实数是无理数的是(　　) A. B．1 C．0 D．－5 答案：A 考点2 实数的性质及运算 例 分别求下列各数的相反数、倒数和绝对值。 (1)；(2)；(3) 解：(1)因为＝－4，所以的相反数是4，倒数是－，绝对值是4。 (2)因为＝15，所以的相反数是－15，倒数是，绝对值是15。 (3)的相反数是－，倒数是，绝对值是。 变式训练 若实数a的相反数是－2，则a等于(　　) A．2 B．－2 C. D．0 答案：A 考点 实数与数轴 例 如图所示，数轴上A，B两点表示的数分别为－1和，点B关于点A的对称点为C，求点C所表示的实数。 解：因为数轴上A，B两点表示的数分别为－1和，所以点B到点A的距离为1＋，则点C到点A的距离为1＋，设点C表示的实数为x，则点A到点C的距离为－1－x，所以－1－x＝1＋，所以x＝－2－。 进一步考查学生对实数概念的理解。 。 通过例题让学生进一步理解在实数范围内相反数、绝对值、倒数的意义。 首先结合数轴和利用已知条件可以求出线段AB的长度，然后利用对称轴的性质即可求出点C所表示的实数，本题很好的帮助学生更深刻的理解实数与数轴之间的对应关系。 4.随堂训练，巩固新知 1．关于实数，下列说法错误的是（　　） A．有理数与无理数统称实数 B．实数与数轴上的点一一对应 C．无理数就是无限不循环小数 D．带根号的数都是无理数 答案：D 2.如图，两个实数互为相反数，在数轴上的对应点分别是点A，点B，则下列说法正确的是(　　) A．原点在点A的左边 B．原点在线段AB的中点处 C．原点在点B的右边 D．原点可以在点A或点B上 答案：A 3．已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，则+的值是（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．2 答案：C 4．如图，数轴上A，B两点表示的数分别为和5.1，则A，B两点之间表示整数的点共有（　　） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 答案：C 5．把下列各数写入相应的括号中：﹣，，0.618，，，，0，0.1212212221…（两个1之间依次增加一个2）。 （1）正实数：{　 　…}； （2）负实数：{　 　…}； （3）有理数：{　 　…}； （4）无理数：{　 　…}。 解：（1）正实数：{，0.618，，，0，0.1212212221…（两个1之间依次增加一个2）…}； （2）负实数：{﹣，…}； （3）有理数：{﹣，0.618，，…}； （4）无理数：{，，0，0.1212212221…（两个1之间依次增加一个2）…}。 6.已知|x|＝，y是11的平方根，且x＞y，求x+y的值。 解：因为|x|＝，y是11的平方根， 所以x=，y=， 因为x＞y， 所以x=，y=或x=，y=。 所以x+y=或x+y=。 。 5.课堂小结，自我完善 1.实数的定义：有理数和无理数统称为实数。 2.实数分类： 按定义分： 按正负类 3.实数的性质 在实数范围内,相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样. 4.实数的运算及化简 实数和有理数一样,可以进行加、减、乘、除、乘方运算,而且有理数的运算法则与运算律对实数仍然适用. 5.在数轴上表示无理数 每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示;反过来,数轴上的每一个点都表示一个实数.即实数和数轴上的点是一一对应的. 6.利用数轴比较实数的大小 在数轴上,右边的点表示的数比左边的点表示的数大. 正实数都大于0，负实数都小于0；正实数大于一切负实数；两个负实数相比较，绝对值大的反而小。 通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容。 6.布置作业 课本P12练习和P15习题。 课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率。 板书设计 10.2 实数 提纲掣领，重点突出。 教后反思 实数作为有理数的扩张，其具体研究内容和有理数完全类似，因此学习中，本课时设计中，十分关注前后知识之间的内在联系，关注运用类比的思想学习新的知识，这是本课设计中一个十分显著的特点。实际上，类似的问题在其他知识学习中同样存在，注意体会。 此外，根据学生的认知状况，借助类比学习实数有关知识，还可以有一些不同的尝试，如果学生整体认知水平较高，可以要求学生首先回忆有关有理数学习内容和顺序，并根据这个知识框架思考是否可以构建实数的有关顺序，思考在各个具体内容如何研究等问题，然后再打开书本比照学习。当然也可以首先提出一些思考的问题，让学生自学，整理有关框架，并和旧的框架建立联系等。教无定法，关键在于适应你的学生状况。 反思，更进一步提升。 学科网（北京）股份有限公司 $$