专题03 无理数与实数（专项训练）数学新教材华东师大版八年级上册

**基本信息** 以“概念辨析-技能应用-综合创新”为主线，通过9类题型系统构建无理数与实数的认知体系，融合抽象能力与运算能力培养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |常考题型|9类45题|无理数概念辨析法、估算夹逼法、整数部分分离法、实数比较分式法、规律归纳法|从无理数概念生成，到大小估算、整数部分计算（概念应用），再到数轴表示、混合运算（技能提升），最终通过程序设计、新定义、规律题实现综合创新| |综合攻坚|15题|跨情境问题转化、数学建模|整合基础概念与运算技能，通过模拟题强化知识迁移，培养推理意识与应用能力|

的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题03无理数与实数 内容概览 目常考题型精准突破 题型1无理数概念 题型2无理数的大小估算（高频） 题型3无理数整数部分的有关计算（重） 题型4实数与数轴 题型5实数的大小比较（重） 题型6实数的混合运算（重） 题型7程序设计与实数运算（高频） 题型8新定义下实数运算（重） 题型9与实数运算有关的规律题（重） 目综合攻坚知能拔高 常考题型精准突破 ◆题型1无理数概念 1.在下列实数中，是无理数的为() B.3.1 c.-6 D.V36 2.在实数25、元、4中，无理数有个。 3.下列各数中，无理数的个数有() -0.3,4,-16,-元，2.010101.…（每相邻两个1之间有1个0），3.1415926,64,5， 76.0123456..(小数部分由连续的整数组成) A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 4.下列实数中是无理数的数是() A.-5 B.3.1415926 C.π-3 D.8 5.下列实数中的无理数是() 1/9 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.0.7 B.2 C.π D.8 ◆题型2无理数的大小估算 6.大于3的最小整数为 7.无理数6位于()之间. A.1和2 B.2和3 C.3和4 D.4和5 8.估算无理数21在哪两个数之间，其中最精确的是() A.4<V21<5 B.4<V21<4.5 c.4.5<V21<5 D.5<V21<6 9.满足-3<x<V6的所有整数的和是() A.0 B.2 C.3 D.5 10.若m为正整数，且满足m<V21<m+1,m2的值是 ◆题型3无理数整数部分的有关计算 11.3-3的小数部分是a,则a等于. 12.实数a,b是连续整数，如果a<V26<b,那么a+b的值是() A.9 B.7 C.8 D.11 13.阅读理解：V4<V6<V9,∴.2<V6<3, ∴.6的整数部分为2，小数部分为V6-2. :1</6-1<2, ∴.6-1的整数部分为1，V6-1的小数部分为V6-2. 解决问题：己知a是V35-4的小数部分，b是V35-4的整数部分. 求： (1)a,b的值； (2)(a+5)2-(-b)3的平方根 14.若n<V65<n+1,且n是正整数，则n=() A.6 B.7 C.8 D.9 15.12的整数部分为 ◆题型4实数与数轴 219 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 16.如图，若数轴上的点A,B,C,D分别表示数-1,1,2,3，则表示数6-V17的点应在() A O B C D -10123 A.点A与点0之间 B.点O与点B之间 C.点B与点C之间 D.点C与点D之间 17.如图，数轴上点A表示的实数是 ■N -2 0 1A2 18.实数a,b在数轴上对应的点的位置如图所示，则a-b0.(填“>”“<”或“=) b -10123 19.教材上有这样一个探究：把两个边长均为1dm的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角 形拼在一起，就得到一个面积为2dm的大正方形.所得到的面积为2dm的大正方形的边长就是原先边长 为1dm的小正方形的对角线长.因此，可得原小正方形的对角线长为 由此，我们得到了一种在 数轴上画出无理数所对应的点的方法：如图②，以单位长度为边长画一个正方形，以点C为圆心，正方形 的对角线长为半径画弧，与数轴交于A,B两点，则点A表示的数为 -3 -2-1A0 2B3 ① ② 20.如图，估计30的值可能是() 十0十支4,56P与g A.A点 B.B点 C.C点 D.D点 ◆题型5实数的大小比较 21.比较大小：4 401-5 3.75(填>，=，<) 22.大于-23且小于3V2的整数的个数有() A.9 B.8 c.7 D.6 11 23.对于分式，6，若a>b0,则片<当分子是1，分母为正数时，分母变小，分式的值变大，分母 319 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 变大，分式的值变小.利用这个结论，完成下列问题， (1)比较下列式子的大小关系： n+1 1(n0): 1,1.1 3 ②2+丽4 -2 ®品+++++ 1011121819 1 1,1,1 (2)求证：1+ 23a++1 >10 V99V100 8尼知三个正整数a,b,c清足a<b<c,+2+上1，求a,b,c a b c 24.在低温实验中，甲设备的温度下限是-5℃，乙设备的温度下限是-2℃，比较：-5 -2. (填“>”“<”或“=”) 25.在实数-5，-V7,0,元，V8中，最小的是 ◆题型6实数的混合运算 26.计算： a-+966-6 27.计算：-64+2-5+V182, 28.计算： (1)-2×-27+l2-V5--57 (2)x2-16=0: (3)(x-2)3=-125. 29.计算与解方程组： (①)计算：(-12026+9+-2+3-27. 2x-y=3① (2)解方程组： x+y=6② 30.计算： (1)9-22+27--2: 419 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2/81--63-5-2: ◆题型7程序设计与实数运算 31. 在如图所示的运算程序中，若输入x的值是64，则输出y的值是() 是有理数 取算术 是有理数 是无理数 输入x 平方根 取立方根 输出y 是无理数 A.V2 B.i 2 c.3 D.3 32. 小明编写了一个程序，如图.若输入x=8,则输出的数为 2取立方根 取算术 输入x 取倒数 平方根 输出 33 个数值转换器，如图所示： 是无理数 输入x 取算术平方根 输出y 是有理数 其中x为非负有理数. 例如当输入的x为3或9时，输出的y的值都是V3.若输入有理数x的值后，始终输 不出y的值，则x的值可能是 (请写出所有可能的结果)， 34.小吴是一个编程爱好者，他设计了一个如图所示的程序运算，如果输入的值是8，那么输出的结果是 2,当输入x的值是64时， 输出y的值是() 否 输入x 取立方根 是有理数 是 取算术平方根 是否为无理数 输出y A.2 B.±2 C.2 D.±2 35.在如图所示的运算程序中，输入x的值是64时， 输出的y值是() 是有理数 是有理数 是无理数 输入x值 取算术 取立方根 输出y 平方根 是无理数 A.2 B.2 C.2 D.8 519 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆题型8新定义下实数运算 36.对于任意的实数m,n,规定m※n=乙，若要使a※b的计算结果一定为负数，则②中的不等号一定是 () A.> B.< C.≤ D.2 37.规定用符号[m]表示一个实数m的整数部分，例如[号]=0，[5.36]=5，按此规定[5+1]=() A.1 B.2 C.3 D.4 38.对于实数P,我们规定：用P表示不小于P的最小整数.例如：4=2，{3=2，现在对72进行 第一次 第二次 第三 如下操作：72”一72=9”一{/9=3”一{3=2，即对72只需进行3次操作后变为2.类比上述操作： 对36只需进行 次操作后变为2， 39.对于实数a,如果我们规定：用符号a表示不大于Va的最大整数，则称a为a的根整数.例如： 1V4=2,RV5=2. (1)仿照以上算法计算：V25=,7列= 8 (2)若6=1，写出满足题意的b的整数值 (3)计算：-1o-/5 40.用“※”定义新运算，对于任意非负实数a,b,都有a※b=a2b-Vb,例如2※4=2×4-√4=14， 那么3※9=() A.27 B.72 C.78 D.84 ◆题型9与实数运算有关的规律题 41.对于完全平方数，其算术平方根能够直接算出，如4=2；而非完全平方数的算术平方根无法直接笔 算得出，借助计算器是可行的求解途径，如5≈2.236.除此之外，我们还能依托数字间存在的内在规律 与关联，推导求出对应算术平方根.请你观察下表： 20 a 0.2 2 20 0 0.4472 1.414 4.472 利用这一规律，计算V200≈ 23V45V6V7 42.有一组数据按如下规律排列： 2’48163264,则第2026个数是() 619 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 V2025 V2026 V2026 V2027 A.20西 B.22025 C. 22026 D. 22026 43.观察下列等式： 第1个等式： 12 第2个等式： 1223 第3个等式： 34 11 第4个等式： 1+1 … 按照以上规律，解决下列问题： (1①)写出第7个等式： (2)写出第n个等式： (用含n的等式表示) (3)根据上面的结论计算： 1,1 202522026 44.观察下列等式： 第1个等式为：+75-1：第2个等式为：2阳52，第3个等式为：3225， 1 根据等式所反映的规律，解答下列问题： (1)第4个等式为 (2)猜想：第n个等式为(n为正整数) ③)根据你的猜想，计算：1+92+2+5+· 2022+2023 V2023 231567 45.已知一列数： 2,4,416 32,64,…,根据其规律，第35个数是一 综合攻坚知能拔高 一、单选题 1.(2022河北衡水模拟预测)如图，在正方形ABCD中，顶点A,B分别与数轴上表示数1,3的点重合. 将正方形ABCD绕点A顺时针旋转一周，正方形ABCD的边与数轴的交点所表示的数中，最大的数为 () 719 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D -3-2-10123456 A.5 B.2V2-1 c.2V2+1 D.9 2.(25-26七年级下·云南曲靖·期末)下列说法正确的是() A.4的平方根是±2 B.无限小数都是无理数 C.带根号的数都是无理数 D.有理数与数轴上的点一一对应 3.(21-22八年级上山东青岛·期中)下列各数中是无理数的有() 22 028，-,号，-25,95,9.3.1415,9.01Z456 (小数部分由相继的非负整数组成) A.3个 B.4个 c.5个 D.6个 4.(25-26八年级下浙江丽水期末)新定义运算：a*b=a+Vb,a,b是任意实数，则下列结论正 确的是() A.3*5=34 B.2 *a2 a C.a b=b a D.2a+b=2*a+2*b 5.（25-26七年级下·北京·期末)有下面四个推断： ①两个无理数的和一定是无理数： ②两个无理数的积一定是无理数： ③一个有理数与一个无理数的和一定是无理数； ④一个有理数与一个无理数的积一定是无理数. 上述推断中，正确的有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 6.(25-26八年级下·辽宁大连·期末)如图，在数轴上有A,B,C,D四个点，则下列说法正确的是( ) A B C D -2-10123 A.点A表示的数可能是-V3 B.点B表示的数可能是√2 C.点C表示的数可能是V/5 D.点D表示的数可能是V7 7.(25-26七年级下·福建福州期末)将图1中的5个边长为1的小正方形剪拼成图2中的大正方形 819 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ABCO,将正方形ABCO的顶点O与数轴的原点重合，以O为圆心，OF和OA的长为半径画弧分别与数轴 的正半轴交于点D,E,则DE的长为() B D 图1 图2 A.V2 B.1 c.5 D.V5-1 二、填空题 8.(25-26八年级下·内蒙古呼伦贝尔期末)我们知道实数与数轴上的点一一对应，如图，正方形的边长 为1，以数轴上表示数1的点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，与数轴负半轴交于点P,则点P表示 的实数为 0 ，.(25.26七年级下山东滨州期末)计算：-3-话-0.125+4-6 10.(25-26七年级下·甘肃定西期末)如图，在数轴上，-只V2与V5之间的整数的个数是 -√20 11.(22-23七年级下.山东日照·阶段检测)规定一种新的运算：a△b=a+a-b,如3△4=32+3-4=8， 则-3△V2= 三、解答题 12.(25-26七年级下.甘肃定西期末)计算：-8-3-2+V/9-2只3 13.(25-26七年级下·云南曲靖·阶段检测)计算：9-1-V3+-2?--27 14.(25-26七年级下·江苏无锡阶段检测)先化简，再求值：x-22-x-4x3=x,其中x=-3. 15.（21-22七年级下·河南濮阳·期中)计算下列各题： (1)已知2a-1的平方根是±3,4是3a+b-1的算术平方根，求5a+b的立方根： (②)如果2+/2a-1-V2b=5,其中，b为有理数，求3a的平方根. 919函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题03无理数与实数 常考题型精准突破 ◆题型1无理数概念 1.C 2.2 3.B 4.C 5.C ◆题型2无理数的大小估算 6.2 7.B 8.C 9.B 10.16 ◆题型3无理数整数部分的有关计算 11.2-V3 12.D 13.1)a=P/35-5,b=1 (2)±6 14.C 15.2 ◆题型4实数与数轴 16.C 17.-1+V55-1 18.< 19. 2dm 1-V2 1/4 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 20.C ◆题型5实数的大小比较 21.> 22.B 23.(1)①<②<③< (2)证明：.V100>V99>V98>.…>V2>1,且V100=10, 23V4V9910010101010'10: >1×100=10: 10 (3)a=2,b=5,c=10或a=3,b=4,c=6: 24.< 25.-5 ◆题型6实数的混合运算 26.(1)π-2 (2)-1 27.9V5-3 28.(1)只5-1 (2)x=±4 (3)x=-3 29.(1)3 到 30.(1)0 (2)17-V5 ◆题型7程序设计与实数运算 31.A 32.2 33.0或1 214 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 34.C 35.B ◆题型8新定义下实数运算 36.B 37.C 38.3 39.(1)5,2,1 (2)1,2,3 (3)-5 40.C ◆题型9与实数运算有关的规律题 41.14.14 42.D 43.(1) 0字g号日 V172 (2) 1+1+1 =1+1-1 n2 (n+1) nn+1 (n为正整数) (3) 2025×2027 2026 1 4.(12+95 =V5-2 (2n+n+ =Vn+1-Vn (3)-1 45. 3 24 综合攻坚知能拔高 314 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1.c 2.A 3.B 4.C 5.A 6.D 7.D 8.1-V2/-PV2+1 9.1 10.4 11. 6-V2/-9V2+6 12.-7-V3 13.11-V3 14.5x2-4x+3,18+4V3 15.(1)3 (2)±V5 414 专题03 无理数与实数 常考题型·精准突破 题型1 无理数概念 题型2 无理数的大小估算（高频） 题型3 无理数整数部分的有关计算（重） 题型4 实数与数轴 题型5 实数的大小比较（重） 题型6 实数的混合运算（重） 题型7 程序设计与实数运算（高频） 题型8 新定义下实数运算（重） 题型9 与实数运算有关的规律题（重） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1无理数概念 1．在下列实数中，是无理数的为（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据无理数是无限不循环小数，有理数是整数和分数的统称，据此逐项判断即可． 【详解】解：A．是分数，属于有理数； B．是有限小数，属于有理数； C．是开方开不尽的数，是无限不循环小数，属于无理数； D．， 是整数，属于有理数． 2．在实数、、中，无理数有________个． 【答案】2 【详解】解：，是整数，属于有理数； 是无限不循环小数，属于无理数； 开立方后是无限不循环小数，属于无理数， 因此无理数共有个． 3．下列各数中，无理数的个数有（     ） ，，，，（每相邻两个1之间有1个），，，， （小数部分由连续的整数组成） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】无理数是无限不循环小数，有理数是分数和整数的统称，据此逐一判断即可． 【详解】解：，， 则无理数有，，， 小数部分由连续的整数组成，共4个． 4．下列实数中是无理数的数是（     ） A． B．3.1415926 C． D． 【答案】C 【详解】解：A、是整数，属于有理数，不符合题意； B、是有限小数，属于有理数，不符合题意； C、是无限不循环小数，因此也是无理数，符合题意； D、，是整数，属于有理数，不符合题意． 5．下列实数中的无理数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】无理数即无限不循环小数，掌握常见无理数的类型即可解题． 【详解】解：A选项：是有限小数，属于有理数，故A选项不符合题意； B选项：是分数，属于有理数，故B选项不符合题意； C选项：是无限不循环小数，属于无理数，故C选项符合题意； D选项：，是整数，属于有理数，故D选项不符合题意． ◆题型2 无理数的大小估算 6．大于的最小整数为________． 【答案】 【分析】先确定的取值范围，即可得到大于的最小整数． 【详解】解：∵，，且， ∴， ∴大于的最小整数为． 7．无理数位于（     ）之间． A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】本题使用夹逼法，通过比较被开方数与相邻整数平方的大小，确定无理数的范围． 【详解】∵ ，， 又∵ ， ∴ ， 即 ， 因此位于和之间． 8．估算无理数在哪两个数之间，其中最精确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用平方后比较大小的方法，逐步缩小的范围，得到最精确的区间即可． 【详解】解：∵ ，，，， ∴ ， 观察四个选项，选项C符合题意． 9．满足的所有整数的和是（     ） A．0 B．2 C．3 D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查无理数大小的估算，解题的关键是掌握算术平方根的定义．估算和的取值范围，确定符合条件的整数后求和． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴满足的整数为， ∴这些整数的和为． 10．若为正整数，且满足，的值是_____． 【答案】 【分析】本题考查无理数大小的估算，有理数的乘方计算，确定所在的整数范围是解题关键，通过比较相邻完全平方数得到的范围，进而求出的值，再计算即可． 【详解】解：，， ， ，且为正整数， ， 则． ◆题型3 无理数整数部分的有关计算 11．的小数部分是，则等于__． 【答案】 【详解】， ， ， ， 的小数部分． 12．实数a，b是连续整数，如果 那么的值是（     ） A．9 B．7 C．8 D．11 【答案】D 【分析】找到与26相邻的两个完全平方数，确定的范围，进而得到连续整数和的值，计算即可． 【详解】解：， ，即 ， ，且，是连续整数， ，， ． 13．阅读理解：，， 的整数部分为，小数部分为． ， 的整数部分为，的小数部分为． 解决问题：已知是的小数部分，是的整数部分． 求： (1)，的值； (2)的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）先估算的取值范围，再推出的整数部分与小数部分，小数部分的拆分方法：无理数整数部分+小数部分（小数部分）． （2）把、代入代数式求值，最后求该结果的平方根． 【详解】（1）解：， ， 两边同时减4： ，即， 根据整数部分定义：的整数部分． ∴； （2）解： ， 一个正数有两个互为相反数的平方根， ， 的平方根为． 14．若，且n是正整数，则（     ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】估算出即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ∵，且是正整数， ∴． 15．的整数部分为_________． 【答案】 【分析】通过比较被开方数与相邻整数的立方大小，确定的取值范围，即可得到其整数部分． 【详解】解：，， 又， ， 即， 的整数部分为． ◆题型4 实数与数轴 16．如图，若数轴上的点，，，分别表示数，，，，则表示数的点应在（     ） A．点与点之间 B．点与点之间 C．点与点之间 D．点与点之间 【答案】C 【详解】解：， ， ， ， 表示数的点应在点与点之间． 17．如图，数轴上点A表示的实数是______． 【答案】/ 【分析】由图可知直角三角形的斜边长为，则点A表示的数可确定． 【详解】解：由勾股定理得直角三角形的斜边长为， ∴点A表示的数为． 18．实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，则____0．（填“＞”“＜”或“=”） 【答案】 【分析】根据数轴上点的位置得到，再利用不等式的性质求解即可． 【详解】解：由数轴可得， ∴． 19．教材上有这样一个探究：把两个边长均为的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就得到一个面积为的大正方形．所得到的面积为的大正方形的边长就是原先边长为的小正方形的对角线长．因此，可得原小正方形的对角线长为________；由此，我们得到了一种在数轴上画出无理数所对应的点的方法：如图②，以单位长度为边长画一个正方形，以点C为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，与数轴交于A，B两点，则点A表示的数为________． 【答案】 【分析】根据正方形面积公式及勾股定理求出对角线长，结合数轴上点的位置关系及两点间距离公式求解． 【详解】解：∵两个边长为的小正方形拼成的面积为的大正方形的边长就是原先边长为的小正方形的对角线长， ∴原小正方形的对角线长为； 由图可知，点表示的数为，圆的半径为 ∵点在点的左侧， ∴点表示的数为． 20．如图，估计的值可能是（     ） A．A点 B．B点 C．C点 D．D点 【答案】C 【分析】先估算 的取值范围，再结合数轴上各点的位置进行判断即可. 【详解】解：， ， ， 观察数轴可知： 点在与之间，点在与之间，点在与之间，点在与之间， 估计的值可能是点. ◆题型5 实数的大小比较 21．比较大小：_____(填，， 【答案】 【详解】解：∵，， ∴． 故答案为：． 22．大于且小于的整数的个数有（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过平方法比较平方数的大小，确定两个无理数的取值范围，再统计范围内的整数个数． 【详解】解：， 又， ， ， ，， 满足条件的整数有、、、0、1、2、3、4，共8个． 23．对于分式，，若，则，当分子是1，分母为正数时，分母变小，分式的值变大，分母变大，分式的值变小．利用这个结论，完成下列问题． (1)比较下列式子的大小关系： ①________（）； ②________； ③________1． (2)求证：． (3)已知三个正整数，，满足，，求，，． 【答案】(1)①  ②③ (2)证明：，且， ； ； (3)，，或，，； 【分析】（1）①根据，利用结论，求解即可； ②根据，解答即可； ③，求解即可． （2）根据分母最大为10，结合性质，证明即可． （3）根据结论，转化成不等式，求整数解，解答即可； 【详解】（1）①解：，； ②解：， ； ③解：分母最大为19，最小为10， ． （2）略 （3）解：， ， ， ， ， 根据题意，得，，是三个正整数， 或； 当时，则， ， ， 或或， 当时，，不成立，舍去； 当时，，不成立，舍去； 当时，， ， 解得；满足且都是正整数； 当时，则， 故， ， 或， 当时，，不成立，舍去； 当时，， ， ， 解得；满足且都是正整数； 故，，或，，； 24．在低温实验中，甲设备的温度下限是℃，乙设备的温度下限是 ℃，比较：__________．（填“＞”“＜”或“＝”） 【答案】＜ 【分析】先比较正数与的大小，再根据两个负数比较大小的法则，判断与的大小关系． 【详解】解：， ，即， ， 根据两个负数比较大小，绝对值大的数反而小，可得． 25．在实数，，，，中，最小的是________． 【答案】 【分析】先根据正负性判断，负数小于0和正数，再比较两个负数的大小，利用“绝对值大的负数反而小”得到结果. 【详解】解：对给出的数按正负分类：负数为，；非负数为，，； ∵负数小于所有非负数， ∴最小的数一定在和中； ∵，，， ∴根据两个负数比较大小，绝对值大的数反而小，可得， 因此最小的数是. ◆题型6 实数的混合运算 26．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】根据求平方根、立方根的计算方法，进行实数的四则混合运算． 【详解】（1）解： （2）解： 27．计算：． 【答案】 【详解】解：原式 ． 28．计算： (1) (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解： （2）解： 移项得：， 直接开平方得：； （3）解： 开立方得：， 解得：． 29．计算与解方程组： (1)计算：． (2)解方程组： 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ①②得， 解得， 把代入①式解得， 该方程组的解为． 30．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． ◆题型7 程序设计与实数运算 31．在如图所示的运算程序中，若输入的值是，则输出的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据流程图，列出算式进行计算即可． 【详解】解：当输入的值是时，取算术平方根得， 8是有理数，再取立方根得， 2是有理数，再取算术平方根得， 由于是无理数， 所以输出的值是． 32．小明编写了一个程序，如图．若输入，则输出的数为___________． 【答案】 【分析】根据流程图和实数运算法则即可求解． 【详解】解：输入， 则， 然后， 4的倒数为， 然后得到， ∴输出的数为． 33．一个数值转换器，如图所示： 其中为非负有理数．例如当输入的为3或9时，输出的的值都是．若输入有理数的值后，始终输不出的值，则的值可能是______________（请写出所有可能的结果）． 【答案】0或1 【分析】根据数值转换器的规则，分析始终输不出值的情况即可得解． 【详解】解：在非负有理数中，当时，，无论开多少次平方，结果始终是， 故始终输不出的值． 当时，，同样无论开多少次平方，结果始终是， 也始终输不出的值． 综上，的值可能是0或1． 34．小吴是一个编程爱好者，他设计了一个如图所示的程序运算，如果输入的值是，那么输出的结果是，当输入的值是时，输出的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据立方根和算术平方根的定义，并结合流程图计算即可得出结果． 【详解】解：当输入的值是时，，为有理数，再取立方根为，为无理数， 故输出的值是． 35．在如图所示的运算程序中，输入x的值是64时，输出的y值是（     ） A． B． C．2 D．8 【答案】B 【分析】根据算术平方根，立方根，无理数等内容，按照程序框图求解即可． 【详解】解：输入x的值是64时，取算术平方根可得，， 是有理数，则取立方根，可得， 是有理数，则取算术平方根，可得， 为无理数，则输出， 即． ◆题型8 新定义下实数运算 36．对于任意的实数，规定，若要使的计算结果一定为负数，则②中的不等号一定是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】算术平方根的被开方数需满足非负， ∴， 走①对应的分支，且此时运算结果，不可能为负数； 要使运算结果一定为负，只能走②对应的分支，此时， 即． 37．规定用符号表示一个实数的整数部分，例如，，按此规定（     ） A．1 B． 2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】先确定，再根据新定义解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 38．对于实数，我们规定：用表示不小于的最小整数．例如：，，现在对进行如下操作：，即对只需进行次操作后变为．类比上述操作：对只需进行________次操作后变为． 【答案】 【分析】理解题目给出的新定义，用表示不小于的最小整数，按照操作规则逐步计算即可得到结果． 【详解】解：根据题意，对36逐步进行操作： ∵ ， ∴ 可得第一次操作结果； ∵，， ∴ ，可得第二次操作结果； ∵， ∴，可得第三次操作结果． 39．对于实数a，如果我们规定：用符号表示不大于的最大整数，则称为a的根整数．例如：，． (1)仿照以上算法计算：________，________，________； (2)若，写出满足题意的b的整数值________； (3)计算： 【答案】(1)5，2，1 (2)1，2，3 (3) 【分析】（1）根据题意列出不等式，求最大整数解即可； （2）根据题意由，确定的范围，找出整数值即可； （3）根据题意分别求出及的值，代入计算即可． 【详解】（1）解：, ； , ， ； ， ． （2）解：， ， ， 又∵为整数， ． （3）解：， ,， ，， 原式． 40．用“※”定义新运算，对于任意非负实数a，b，都有，例如，那么（     ） A．27 B．72 C．78 D．84 【答案】C 【分析】根据题意可得，据此计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴ ． ◆题型9 与实数运算有关的规律题 41．对于完全平方数，其算术平方根能够直接算出，如；而非完全平方数的算术平方根无法直接笔算得出，借助计算器是可行的求解途径，如．除此之外，我们还能依托数字间存在的内在规律与关联，推导求出对应算术平方根．请你观察下表： … 0.2 2 20 200 … … 0.4472 1.414 4.472 ？ … 利用这一规律，计算________． 【答案】14.14 【分析】先观察表格中被开方数与对应算术平方根的变化规律，得到被开方数小数点向右移动两位，算术平方根小数点向右移动一位，结合即可求出的近似值． 【详解】解：观察表格数据可得： 当被开方数扩大为原来的倍时，其算术平方根扩大为原来的倍． ，， ． 42．有一组数据按如下规律排列：则第2026个数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别找出数据分子和分母的变化规律，推导出第个数的通用表达式，再代入计算即可得到结果． 【详解】观察已知数据找规律： 第个数为 ， 第个数为 ， 第个数为 ， … ∴ 归纳可得，第个数为， 当时，代入得：第个数为 ． 43．观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：；…… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第个等式：______________________________； (2)写出第个等式：______________________________；（用含的等式表示） (3)根据上面的结论计算： ． 【答案】(1) (2) （为正整数） (3) 【分析】（1）根据规律写出第个等式； （2）根据规律写出第个等式； （3）根据规律把各项展开，再根据运算法则进行计算． 【详解】（1）解：第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， ， 第个等式：； （2）解：第个等式：（为正整数）； （3）解： ． 44．观察下列等式： 第1个等式为：；第2个等式为：；第3个等式为：；…根据等式所反映的规律，解答下列问题： (1)第4个等式为 (2)猜想：第n个等式为 （n为正整数） (3)根据你的猜想，计算： 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意写出第四个式子即可； （2）找到题中规律即可写出第n个等式； （3）根据规律变形，再计算即可． 【详解】（1）解：第4个等式为，即； （2）解：根据题意可得第n个等式为； （3）解：， ， ． 45．已知一列数：，，，，，，，根据其规律，第35个数是___． 【答案】 【分析】分别从符号、分子的被开方数、分母三个维度寻找数字变化规律，归纳得到第n个数的一般形式，再代入化简计算即可. 【详解】解：，，，，，，， 观察可知，该列数的符号为“负，负，正”三个为一组进行循环，分子为，分母为， ∵， 故第35个数的符号为负，分子为，分母为， 故第35个数是. 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．（2022·河北衡水·模拟预测）如图，在正方形中，顶点分别与数轴上表示数1，3的点重合．将正方形绕点顺时针旋转一周，正方形的边与数轴的交点所表示的数中，最大的数为（     ） A．5 B． C． D．9 【答案】C 【详解】解：正方形的顶点中到点距离最远的是点，易得， 点到点的距离为， 顶点与数轴上表示1的点重合， ∴当点在数轴原点的右侧时，点到原点的距离为，正方形的边与数轴的交点所表示的数最大为， 故选C． 2．（25-26七年级下·云南曲靖·期末）下列说法正确的是（     ） A．4的平方根是 B．无限小数都是无理数 C．带根号的数都是无理数 D．有理数与数轴上的点一一对应 【答案】A 【分析】根据平方根、无理数定义及实数与数轴的关系逐一判断选项正误． 【详解】解：A. ∵ ，∴ 4的平方根是，该选项正确； B. ∵ 无限小数包括无限循环小数和无限不循环小数，无限循环小数是有理数，∴ 无限小数不都是无理数，该选项错误； C. ∵ 带根号，但是有理数，∴ 带根号的数不都是无理数，该选项错误； D. ∵实数与数轴上的点一一对应，有理数与数轴上的点并非一一对应，该选项错误． 3．（21-22八年级上·山东青岛·期中）下列各数中是无理数的有（    ） ，，，，，，3.1415，（小数部分由相继的非负整数组成） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】无理数是无限不循环小数，有理数是整数与分数的统称，即有限小数和无限循环小数是有理数，据此逐个判断各数即可得到结果． 【详解】解：是无限循环小数，属于有理数； 是分数，属于有理数； 是整数，属于有理数； 是有限小数，属于有理数； ，，，（小数部分由相继的非负整数组成）都是无限不循环小数，属于无理数， 故无理数共个． 4．（25-26八年级下·浙江丽水·期末）新定义运算：，，是任意实数，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据新定义可得，再逐一判断选项即可． 【详解】解：∵， ∴， A、，故该选项错误，不符合题意； B、，与不一定相等，故该选项错误，不符合题意； C、∵，， ∴，故该选项正确，符合题意； D、∵，， ∴两式不相等，故该选项错误，不符合题意． 5．（25-26七年级下·北京·期末）有下面四个推断： ①两个无理数的和一定是无理数； ②两个无理数的积一定是无理数； ③一个有理数与一个无理数的和一定是无理数； ④一个有理数与一个无理数的积一定是无理数． 上述推断中，正确的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】通过举反例和反证法逐个判断四个推断的正误即可得到结果． 【详解】① 推断“两个无理数的和一定是无理数”，取无理数和，，是有理数，因此①错误； ② 推断“两个无理数的积一定是无理数”，取无理数和，，是有理数，因此②错误； ③ 推断“一个有理数与一个无理数的和一定是无理数”，设是有理数，是无理数，假设为有理数，可得， ∵ 两个有理数的差仍为有理数， ∴ 为有理数，与是无理数矛盾，因此③正确； ④ 推断“一个有理数与一个无理数的积一定是无理数”，取有理数和无理数，，是有理数，因此④错误； 综上，正确的推断只有个． 6．（25-26八年级下·辽宁大连·期末）如图，在数轴上有A，B，C，D四个点，则下列说法正确的是（     ） A．点A表示的数可能是 B．点B表示的数可能是 C．点C表示的数可能是 D．点D表示的数可能是 【答案】D 【分析】先估算各选项中无理数的大小，确定其所在的整数区间，再结合数轴上各点的位置进行判断． 【详解】解： ， ， ， 而点在与之间，故A选项错误； ， ， 而点在与之间，故B选项错误； ， ， 而点在与之间，故C选项错误； ， ， 而点在与之间，故D选项正确． 7．（25-26七年级下·福建福州·期末）将图1中的5个边长为1的小正方形剪拼成图2中的大正方形，将正方形的顶点与数轴的原点重合，以为圆心，和的长为半径画弧分别与数轴的正半轴交于点，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据剪拼前后图形面积不变，求出大正方形的面积及边长，由图可知为小正方形边长，利用圆的半径相等得出、的长，进而求出的长． 【详解】解：大正方形是由个边长为的小正方形剪拼而成， 大正方形的面积为， 大正方形的边长， 由图可知，为小正方形的边长， ， 以为圆心，和的长为半径画弧分别与数轴的正半轴交于点，，， ． 二、填空题 8．（25-26八年级下·内蒙古呼伦贝尔·期末）我们知道实数与数轴上的点一一对应，如图，正方形的边长为1，以数轴上表示数1的点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，与数轴负半轴交于点P，则点P表示的实数为____________． 【答案】/ 【分析】先根据勾股定理求出的长，再根据数轴上两点间的距离公式求出点表示的数即可． 【详解】解：如图， 正方形的边长为1， ， ， 点表示1， 点到点原点的距离为：， ∵点在数轴的负半轴上， 点表示． 9．（25-26七年级下·山东滨州·期末）计算：=________． 【答案】1 【详解】解： ． 10．（25-26七年级下·甘肃定西·期末）如图，在数轴上，与之间的整数的个数是________． 【答案】4 【分析】先估算和的取值范围，找出二者之间包含的整数，再统计整数的个数． 【详解】解：， ， ， 找出与之间的整数：， 整数一共有个． 11．（22-23七年级下·山东日照·阶段检测）规定一种新的运算：，如，则________． 【答案】 / 【分析】根据新定义列出算式，再进一步计算即可得到答案． 【详解】解： ． 三、解答题 12．（25-26七年级下·甘肃定西·期末）计算： 【答案】 【详解】解：原式 ． 13．（25-26七年级下·云南曲靖·阶段检测）计算： 【答案】 【详解】解： ． 14．（25-26七年级下·江苏无锡·阶段检测）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【详解】解： ， 当时，原式． 15．（21-22七年级下·河南濮阳·期中）计算下列各题： (1)已知的平方根是，4是的算术平方根，求的立方根； (2)如果，其中a，b为有理数，求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平方根和算术平方根的定义求出和的值，代入计算后，再求其立方根即可． （2）整理原等式，分离出有理部分和无理部分，根据是有理数得到方程组，求解得到后计算，再求其平方根即可． 【详解】（1）解∶∵ 的平方根是， ∴ ， 解得 ． ∵ 4是的算术平方根， ∴ ， 把代入得∶ ， 解得 ， ∴ ， ∵ 的立方根是， ∴ 的立方根是． （2）解：∵， ∴ ， ∵ 为有理数， 是无理数， ∴ ，解得 ， ∴ ， ∴ 的平方根是． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $